La Théorie des Semi groupes et Applications aux EDP

--,'\,***tlq".etPopulaire

-T@uUti[ue

Alg6rienne

De

Ministdre

de

t'il;:A;*:"t

l:p6rieui

et de la Recherche

Scientifique

Universite

8

Mai

1945

-

Guelma

62a

,

o4ai

Facult6

des

Math6matiques

et

de

I'Informatique

et

des

Sciences

de

la

Matidre

D6partement

de

Math6matiques

',,:i,

.,-{

uv)

_t\

A al \a'

f\"

/

1."

?

PRESIDENT

EXAMII\{ATEURl

EXAMN{ATEUR2

@noire

Pr6sent6 en vue

de

I'obtention du

diplOme de

Master Acad6mique

en

tliath6matiques

Option

:

Equation aux d6riv6es

partielles

Irar

:

Samia El-bir et Fahima

Kh6laifia

Diriq6 Par : Dr' Amar

Debbouche

Derrant le

jurY

IL

Mellal

'd'

Berrahail

M'

Kerboua

Univ-Guelma

Univ-Guelma

Univ-Guelma

/J

*/

i**,Jr*** .'i-l{o*.Yr

fo*_.rtr*ll

lntitu16

La

Th6orie

des SernigrouPes

€IUX

EDP

remereiements

Jre

voudrais remercier tout particulidrement mon encadreur Docteur

monsieur

Debbouche

Amar

qui

m'a

ttirig6

au

long

de ce

Semesfre

de

thdse.

Il

a

toujouns

6t6

disponible,

d

1'6coute

de

mes

nombreuses questions, et s'est

toujours

inrtdressd d

l'avancde

de

mes

ffavaux.

Les nombreusos discussions

que

nous

avons

eues

ainsi

que

ses conseils sont

pour beaucoup

dans

le rdsultat

final

de ce

travail.

Sa

capacitd

d'analyse

et

son enthousiasme

m'ont

monfi6

que

le monde

de

la

Rechercher

pouvait Ofie un univers passionnant.

Enfin,

ses

nombreuses

relectures

et

corrections

de

cette

thdse ont

etd

ftds

appr6ciablLes.

Cette

thdse

lui

doit

beaucoup Pour

tout

cela

merci'

Je

1emercie dgalement tous

les

ens6ignents

et les

autres membres du

D6partement

de

nofie

facult6

notamment

ceux

avec

qui

j'ai

eu

l'occasion

de

travailler

et les aufies simplement pour

les bons

moments partagds'

Ddd'icace

Je

tiens

i

remercier

en

premier

lieu

_allah

qui m'a

_donnde

_vie

_et

santd

pour

parachdvement

de ce

modeste travatl.

Je

remercie

mes

parents

qui

m'

ont toujours

donn6s la

possibilit6e

de

faire

ce

que

je

veux

durant

mes

dtudes

.

Enc:ore

une

foie

mille

merci

i

mon

marie

monsieur

fetatnra

g@U

qui m'a

_aid€

_moralement,

et qui

_6tait

_toujour

_patrent

comprdherrsif envers moi.

A

mon futur

bebe

Petit

bijou

de

maman,papa,

et

toute

la

famille

qui

s'appelle

Nour

-

Eljihane

_inchaa-alIah

.

-A

mes

ffds chdres frdres

:Imad

et

Khaled.

-A

ma

chdre

sueur

:

Bouchra.

-A

ma colldgue

: Samia.

-A

tous

mes

amis

delapromotion2}ll

.

-

t-I

I

t-I

Didicarce

re

fieru

a

remacia enprerniu

tieu

ALfuIH

_{qui m'a donnie}

yie _{et sant6}

_oour

Ie

parachhtentent

_{de ce modeste}

_trapail.

-A

celui

gui

est toujours

_saqifii

_{afin qui}

_rim

_{entrave Ie}

_dbroulemmt

de mes

dndier

qui

nous

quittl

_en

_laissant

_un

_trds

_grand

_vide

_que

_dieu

l,accaeit dans

sa

vasrc

paradis

-

mctnpire

-'A

ma

mire qui

n'at

pas

cessi de

pia

pour moi

_{et de}

_m'encutrage

_darc

_les

moments

diftciles.

-Ames

_tris

_chiresfrdres

_:

_Tarek

_et

_{Abd Elnour.}

-Ames

_tris

_{chires sueurs :}

_Amel,

_{Houda,Farida,}

-A

ma

colligue

:

Fahima.

-A

tous mes

amis

de Ia

_{promotion z0I}

_I

_qui

_n,ont

_encouragi.

merct

Thble

des

matibres

1

{Dp6rateur

_d'un

_semigroupe

6

1.1

Rappel:

6

1.1.1

_{Opdrateur dans I'espace de}

_Banach:

6

I.1.2

Op{rateur

bomd,:

6

1.1.3

Opirateur

_ferm6

: .

T

1.L.4

Dltiriltiott

prutiquc

tl,.un op{rutc.ur

fcnn{:

_T

1.1.5

Propnf.tis:

_...

T

1.1.6

Prvlongement

_{par continuit€ d'un}

_ophrateur

_rinlaire

_:

_g

t'2

semigraupe uniform€ntent _{continue d,,urr,}

_opirateur

_lindaire

_bamd:

i

tr u arl operateur l,xnea?,re

bame:

g 1

3

semigroupe

fortement

continue

d'opirateur

lin1ai.rv born6

:

10

1,4

Tlr,4orhne

&

Hi,ile-yositla

:

..

_.

.

1.5

Semigroupescornpactes:

_..

L4

1q

S_emigroupe _{ddgdrentielle}

:

lb

L,7

SemigroupeAnalyti,que:

_...

16

1.8

Caractd,risatian d,,un Cs-semigroupe

:

_1g

1.9

Problime

_de

_Cauchy:

l.L$bsoluti,onmild,

_...21

1.11 Ia soluti,on

_forte

(classi,que):

Zz

t.72

la

solution p€.riod,ique prisque

par

tout:

.

_Zz

Erquations

Int€gro-diffdrentielles

_avec

_semigroupe

_Analytique

28

2."1

Introd,ucti,on

:

Zz

2.',2

Eri,stance de

Ia

soluti,on

Mild,lacal

:

_Zb

z.il

R4gularitde de Ia solution

Mikl

_{. . . .}

_.

B0

2.t,1

EristenceGlobate:

_...

J4

2.1;

Applicati,ons

:

UNrvrnsnf 0g Mer 1945_GuELMA _Dtpanrgvnxr

oe MerHbuerlqurs

3

Applications

3.1

Introduction:

3.2

Les

Thdories iles _{1quatioru paraboli,que d,aw L2}

3.3

Les

Thiones

des iquati,ons parabolique

_daw

_If

4L 41 44 51 l

t*

t-r

f

I

UnrvpRsmf 08 Mar ig45-Guulil{e _{DEpenruunNr oe M,uHbu,qrrqur:s}

l-fntroduction

L'6tude

fbrr'elle

des ser'igroupes est verrue

l6gber'errt

plus tard, qu'e _{d'autres structures alg6briques comrne}

_goupes

ou _{anneaux dans le rni}

19i:me sibcle.

Urr

ccdaiu

uornbrc dc sout'tes

_il]

attril;ucz

la prcrniirc) _{utilisatiorr tlc la}

_lirlitc

(en frangais) de s6guier dans des Groupes

Abstraits

_{d,6lements de}

la

llhdorie

(Eldments de

la

theorie de groupes _{abstraits) en} 1g04.

Lc ilennc

rst

emplovd en anglai.s cn 1908 cn Harolrl

Ilinton 'Ihrnric

_{6c grrxrpc}

d'ordre

_fini.

_En

_{1970, un nouveau pairiodique appel6 Forme de semigroupe} (act;usllgmrnt 6ditd pres

spri'ger

verlag)

mt

devenu un des

journaru

math6matiques _{rares consacr6s}

_entiirement

_i

_la

_theorie

de sernigroupe. Antron Suschkewitsch est souvent cr6dit6

d'obtenir

les premiers

_r6slltats

non

triviaux

au sujet des semigroupes.

Son papier 1928

La

matrice

d'Uber

endlichen _{I'eindeutigen Umkehrbarkeit}

de

dir

de Gesetz de das d'ohne de Gruppen

(sur

les groupes finis sans rbgle

d'ilN'crtibility

uniquc)

di:tcrrnirri

la

structurc

dcs scrnigr.oupos

sirlplcs

firris ct

monl;r6 cela

l'id6al minimal

(ou Relations _{de Green}

_la

_J-ciasse)

_d'un

sernil4roupe

_fini

_{est si{nple . De ce}

_point

_{dessus . les}

barses de

la

theorie de

[JNlwRsnf

08 Mer 1945-Guer,ua

DEPAnTEMENT on M*rniu.errques

Evgenii sergeevich

Lyapin.

Alfi-ed

_{H. clifford}

_et

_{Gordon preston.}

Les derniers deux

ont

editds une monographie _{sur Ia theorie de semigroupe} fitriis

txt

discutableurerrt _{plus ddvelopl*e que ses}

corrtre-ptu.ties irrfirries .

Cer:i refoule en

particulier

_de

_la

_notion

du semigroupe _{syntactique et les liens suivants entre les pseudo-vari6t6s} du scmigroupcs

ct

lm _{prctcnducs vari6t6s dc langagcs formcls qui ont}

_prouvis

particulilrement fructueux dam la

_{theorie finie d'autamates.}

Les th6ories

d'un

_{semigroupe des op,6rateurs lin6aires sont}

appliqu€es aux diffr-le.ntes branches _,

_p.r

_{exemple dans I'analyse}

, la th6orie d,approximation

et

dans l'6tude des equations

intdgrodiff6rentillles

...

En'tilisant

_{les theories des semigroupes analytique pour dtudier}

l'exlstance _,

I'unicit6

_, la rdgularitee et la continuit6e de Ia _{solution d,6quation}

int6p;rodiffdrentille _avec

_{la condition}

_initiale

_suivante

:

ry

.

Au(t):

_J'(r,

u(r))

+

r{(u)(r)

u(te)

:

u6,

t-

'1-I

1 telle que : K(u1, ....

u,)(t)

:

ft

a(.

*

s)o{s, u(s), ..., ra(.s))r/s

Jto

Dans cc

travail

on

_{priscntc trois}

_{c.hapitrcs ,le prcmidr chapitrc}

UruveRsnf 08

Mel

l94b-Gust,t4e _{DEPARTcMENT oe Mltubu,lrrqtres}

de connaissance

' des d6finitions sur les op6rateurs , les r6spaces , les th6orbmes

et

_{les caract6ristiques des semi-groupes anarytique}

des op6rateurs

lindaire horn6.

da's

ie second

chapitre

_, on d6montre

l'exista'ce

et I'unicit6

de la solution

l\{ild

local

et

global _,

_En

_{6ffet on 6tudera }a r6gularitee}

_et

_la continuitee _{de cette solution mild.}

on

6nonce aussi dans le

troisil*re

chapitre les rdsultats

du

thdorie

des 6quatiorrs

parab'lique

_da's

_L2

_{{r)

_et

_{tle prus}

_tra's

If

(ln)

ar,'ec les

derx

cas

de

1

< p

<

oo

,

1- cas

de

p:

1.

Chapitre

1

Opdrateur

_dtun

_semigroupe

1.1

Rapp,I

:

1.1..1

Opirateur

d,ans

lrespace de

Banach

:

Ddfinition

t.L.l

soit

X

etY

d,eua espaces de Banach

sur

le

mrps1

L'applim,tion

_A:

_D(A)

_--.

y

_s'appelle

_un

_opCrvteur

de

dornaine

D(A)

_-

D

.

L.t.z

Op€rateur

botn6,

;

D6finition

l.l.Z

un opiratcur

A: X

-.,-,

y

cst dit bom6

si

:

L'image de

toute

partie

barnie

M

c

x

appartient

dans une

_wftie

born1e

IvI'

c"Y

c'est

-

d,-dirc

:yM

_C

_X

_{bomiS C}

_>0

_telle

_{qae :}

!$yEEgqlq

Mer i g4b_cuELMA

DlperrrnveNr oe M.lrubu.uquos

1.1.3

Opdrateur

_fer-m6,

_:

Dtifinition

_1.1,3

_soit

_A

_:

_D{A)

_c

_X

----

y

un t4t6rute.ut.

lirfiuire

_tl,irnuge

R(A)

le graphe

_A

d.6fi,nit

par

:

G(A)

₌

_{tu,o)

:

u

e

D(A)

et

Lt

=

Au}

c X

xy

s'i,

X

et

Y

sont _{des espaces de Banach}

,

alors

X

x

y

est d,e Banach ,

muin'i de

la

norme :

(1.1.2)

D6finition

_{1.1.4 L'opirateur}

_A

_est

fermi

si

G(A)

est

_ferm6

dans

x

xy,

G(Ar) est

_fermi

e

_{pour tout}

gn:

_(un,un)

_c

_G(A)

qui conaerge uers

f

=.

{r,r),

alors

_{"i €}

_G(A)

_{c,est_a_d,ire :}

rn

-

u

dans

X

et un ---+

u

dans

y

e

:

(u,u) e G(A)

t-+.

u

e

D(A)

et

u

: Au,

_(1.1.J)

LL.4

D€ft,nition

_prati*e

_d,run

_{op€ratear fer.rn€}

:

Ddfinition

_I.1.5

_soit

_A:

_D(A)

_C

_X

_*-r

_y

_un

_opirateur

fermi

si

:

pour

tout

_W

C

D(A)

telle

que

!

_un ___) ,.1

d,ans

X

_et Aun

_

y

dawY

_a&ors:

_{ueD(A) etu=Att}

1.1.5

Propridtd,s

:

a) A:

DtA)

C

X

----*

I/

_{un opdrateur lindaire born6.}

alors

D{A)

est ferm6

_{{dans X)}

_cela

_ir'plique

_que

_A

_{est ferm6}

.

UNrrysnsrrd 08 M.lr lg4b-Guer,v,A _{Df; elnror,rmr lp}

lt{erniuerreuBs

b)

4: nU)C

X---+yunopdrateurferm6

_et

_B:l)(B)cX

_{__+y}

un opdrateur born6 alors :

D(A)

_c

D(B)

->.4

*

B:

D(A)

c X

...__ny

est born6.

d)

/

:

D(A)

C

X

----+

_Y

_{un opdrateur lin6aire}

avec :

A:

D(A)

_---'

n(l)

_{esr bijectif.}

A:

D(A)

_{---- Y}

est ferm6

e+

A-r

:

.e(A) C

Y----

X

est ferrnd

1.1.6

Prclongernent

_par

_{continuit€,}

_d,un

_op*rateur

lincaire

:

Thdiorbme

_L.L.L

soi't

x

un

espace norm€. e.t

y

un

espace de Banach,

A:

))(A)

c X

----+

_Y

_un

_opdrateur

_lindaire

_{telle que} :

alors

_,

i,l eziste

_{un opirateur l,iniaire}

_bomd.

A:

tt(A)

c

X

--.--> y.

{

Au

-

Au,u

€ D(A)

b)

ll,4ll

=

ll.4ll.

L.2

Semigr:oupe

_{uniforrniment}

_continue

_d,run

opd,rateur

_liniaire

_borni

_z

D6finition

1.2.r

soit

x

un

eswce de Banach

_,

une _fam,*Ie

_e{t))

_c

_B(x)

t.ffi:y

Ullnnsnd

0g M.u 1945_Guer.ue

DipeRrnvsN'r oe MeruEu.rrrquos

teltte-que:

_(/l(?(r))

_t

_X)

s'appelle sem,igroupe

_d,op'rateur

_liniaire

_bomi

sur

X

_si

:

@

r(o):r

(ii)

f(t*

s)

:

I(f)"(s),V

_r,s

)

₀

Le sem,igroupe

T(t)

est _{unilonndrnent continue s,i :}

ti6llr(r)-1ll

_=o

_(1.2.1)

L'opi.rntertr

_ltni.ain:

_A

_tli.fin,,it

_par

_:

D(A):

_{r

€

x'}f %3

*istc}

_(1.2.2)

et

e,=T(t).T-"

_!I(t)*,

,

t

411-lt=0,

Vr e

D(A)

(1.2.3) s'appelle le gdn€rateur _{infi,nitl,simat de}

_Ttt\

Th.orbme

_{r'z'L A}

est' Ie

gindrateur

_{infinttisimar}

_{d,'un semigrvupe} 'un'if|rrrfirnerfi

_urfiirrue

si

et se'arerrrcrfi

si

A

_{est urt, oltrruteuT r,hd,uirt bond,.}

Th6or&me

t.Z.Z

soi,t

T(t)

et

S(t)

semrgrourys

uniforminrcnt

continue d'op6,rateur

liniairc

ban#.

si

:

l'*7(t).-l-,

_t!0

t

alors:

7(l)

:

511;,

V,

>

0

CorolJaire

_1.2.L

_soit

_T(t)

_{semigroupe uniformhment}

Uryvrnsqd _{0g Mer 1945-Cusrue}

Dtpentnuoxr

_ln

_{MerHDuerreurs}

d,\tpirateur

_lindaire

_{alors :}

")

iJ

eriste

une

constante,,s

)

_{A fuUe}

_que

:

fi711;)ll

(

e,,.

l))

iI

eriste urt urrirlue ayt6.rateu,

_A

_{rirduire lxttvfi}

_{teile que}

_:

IT(|il

:

erA.

c)

l'opdrateur

A

est le

_{gin*.rateur infi,nitlsimat}

_de

_T(t).

d)

t

_--.

T(t)

diffirentielle

_telle

que :

dTft\I

--E- :

AT-(t)r:

_T(t)Ar.

G.2.4)

ThdiorEme

_L'2,s

_soi't

_A

_e

_B(x)

_ou

_B(x)

cst

,ewcnrbrc

d,es ap1ratcurs

Iiniairv bomi

_,

_{Alors la}

_famitte

_d,'un

_paramitre

d,,op6.ateur.s

{T(t},-oo

<

t

<

oo}

c

B(X)

_,

(T(t):

_expAr)

_uirifi,ie

_:

I'

"(0)

: I

ou

I

t

X

-+

X

est

I'opirateur

identittque.

2.

T(t

_*

s)

:

T(t)T(s),

_{Vr, s}

_€

_R

9. l,nl

_llf(,

₊

tt)

*

f

_Q)ils(X)

: 0,

_{V, €}

_lR

.

dTft,\

4 i:AT(t):T(t)A,

Vte

tR

5.

_llf(r)ll

<

expltlll'{li.

_V/

_e

IR

1.3

semigroupe

_fortement

_{continue d,ropirvteur}

Iiniaire

bomtd,

z

D6finition

1.9.1

tfne

_famille

d,,opimteur

lin|aire

_{born6 (T(r))r>o}

_sur

_X

UNrvsnsmd 08 M.qr ig45-Cunr,rvrl _Dbpenreu pr.rt _{on M.rtHiv*rlques}

s'apwlle

_{semigroupe d,e} classe

cs

_ou

_fortement

_eontinue

_si

_:

i)

?(o)

:1

ii)

7(r

_*

s)

:

T(t)T(.s),

Vr, s

€

IR

iii)

_{lim llT(t)u}

_-

ullx

:0.

Vu

e

X

D6ffnition

L.3.2

soit

T(t)

un Cs semigroupe

sur

X,

alors

il

edste detn

constantes

u

) A et

ful

> L

telle que :

ll"(r)ll

1t$exp,t.

0<f(m.

(1.3.1)

Th6or&me 1.3.1

soit

T(t),t

)

0

un cs-semigroupe

_,A

son

ginirateur

infi,nitdsimal

_,

alors :

a)

VneX,

1

1t+h

m(;

_I

?.(s)r)d.s

:

r(t)n.

_(1.3.2) 1t

b) tt,

e

X,

_I

?(s).r'ds

_€

_D(A)

_et : JO

A([^?(s)cds)

:r(t)t-x

_(1.3.8) JO

C)

'Vu

_€

_D(.4)

_ona

_T(s)r

_e

_D(A)

et

ry

:

AT(t)r

:

T(tlAr.

_(1.3.4)

d,)

\rr

€ D(A)

T(t)x-

r(s)-r

:

lr'

T(r)Ardr

:

_l"'

AT(r)rd,r.

(1.3.b) 11

t-f

1-Uxrvpnsrf

08

Mu

lg4b-Gurlr,r,c _{DBpenreunrr oe Merutu,urques}

crrrollaire

1.3.1

soit

A

le gd,nirateur

_{infiniti,simal}

_d'un Cs- semigraupe alors :

i)D(A)

est d"ense dans

X.

ii)

A

est un

opirateur

_fermd,.

Thdorbme

1.3.2

soit

T(t.)

et

_^g(t)

sont d,es semigroupes d,e classe cn rl'opi.m,terr lini.ni,ru. horn.i.

A,

B

respecti,uement

sont des

ginirateurs

i,nfini,td.sintal

_si

:

.4:

B

alors,

"(t)

:

511; telleque:

|

)

0

L.4

ThCorCme de

Hille-yosida

:

Ddfinition

I.A.L

soit

A:

X

*

X

_{un opirateur}

_liniaire

_(non

_liniaire)

A

'le

gindrateur

infi,nitdsima,l

d'un

cs

semi.groupe contraction

(T(t))r;s

s'i est seulement s,i :

1. Aest,ferm.(.,

et

_ffi:y

9.

_10,+mlc

p(A)

et

llrr^(/)ll

s+ v.\>o

(1.4.1)

Lenrme

L.4.t

soit

A

uirifi,ant

(1)-(g)

d,u

thiordme

de Hille-yosi,d,a akors :

i$

fn1,l,

A)r

:

t,

Vr

e

X

_0.4.2)

Lernme

1.4.2

soit

A

ui.ri,fi,an.t

(1)-(g)

&t,

th,i.ori.m,e rte

Hiile-yosirln

,

si

A;

est

l'approdmation de

Yosida

de

A

alors :

}!1.{^"

-

ttx,yr

e

D(A)

(1.4.3)

UrmeRsnd 0g Mnr 1945_Gunr,un

Diplnrrumlr on M.nrubuerrqurs

Dtiffnition

1.4.2

soit

A

udrifier

(1)-(g)

d,u

thdorime

de

Hile-yosid,a

,

si

Ax

est l'apprvrimati,on

_de

yasid,a

_de

_A

,

et

A1

est le

g€nirateurirr,firilt{shnul

d'un

sem,igroury uniformdrnent

_untinue

_d,e

_contraction

_€xpr/r

en

plu,s Vr €

X,

_A

_,

_{p >}

_0,

_{alors :}

lletA^r -- ctAuxii

{

tll.4p

,.

Arrll

e.4.4)

Co:rollaire

_!.4.L

soit.

_A

Ie. q6.n,i.rateu,r _{infi,n.itdsimal d,,un C6 semigrvupe T(t,)}

d,e c.ontractian .Si,

As

_{est I'a,pprvri,mation}

_de

yosid,a _d,e

_A

_{alors :}

T{tfu:

_{j5L etA'r, vr}

_e

_x

_(1.4.b)

co'ollaire

L.4.2

soi,t

A

re _{gd,n€rateur infi,nitdsimar d,'un}

_c0

_sem,igroupe

satisfait

_{ff"(r)fl <}

_e.t

_{s,i est seulement sz :}

1.

A

est

_ferrrfi

et

ffi

_-

y

2.

_{^:

Int):O,

₎

_>

_,}

_c

_p(A)

_et

_pour

_tout

A

e p{A)

:

llR(),.1)ll

_{"- A-,,}

s

-l-

(1'4'6)

1.5

Semigrcurys

_compctes

z

on note

par

K(x):

_{r'ensembere des op6rateurs lin6aire conipacts}

d6finies

sur

X

D6ffrrition

1.5.r

un

co

sernigroupe

_tT(t))

_{s,appelre semigroupe cornpacte}

pour

tlts,(to>0)

_{siestseulementsi:}

_f(r)

-a

UxrwRsnd 08 M,cr

tg4i-Gusr,lrl

_{DBplnreusNr oe M,trxbuarrqurs} c'est & d'iru

(r@)

_{sem'igroupe compacte}

_si

g(t))

_est

_{un oplrateur}

_linlaire

compact

pour

_{(t >}

_to

:

_91.

Remarque 1.5.1

si

r(0)

e.sf

utmpnct*

on, a

|iq,it,nrent

,srr,it,o,n,t :

1.

I

est compacte 2t.

dint,X

<

a

3'.

A

le gdrt€rute.ur. _{irtlitilt€sirrruI tle}

_("(r))

_est

_bon#

D6finition 1.5.2

soit

T(t)

un, .scm,i,qroupc _{un,iform,im,cn,t con,tintr,ct on dite}

que

T(t)

est un semigroupe cornpacte s,i est seulement

si

: R(,\,

A)

est compacte

pour tout

A

€ p(A)

corollaire

t.5.L

sait

T(t)

_{un cs-semigroup et}

_A

_{le. qi.ndrnteur}

i,nf,nitisi,mal

_,

si

_ft(,\,,4)

_cornpact

_pour

_A

_e

_p(A)

et

1'{t)

est conti,nue dans

Ia

topologi,e uniforme d'opdratteur

pour

t

)

_{ts ,alors}

_T(t)

est ca,rnpact.

corollaire

1.5.2

soi,t

T{t)

_un

_semigroupe

_uniformiment

_continue,

T{l)

semigroupe

cotnryct

si, est seulenrent

si

:

R()

:

,a)

est compact

pour

tow

A

e

p(A)

l.

le eemigroupe T(t) est uniform6"ment continue si :

|ifllr(t)*7(0)ll=s

{l.b.r)

t-I

Ur.:runnslrd 0g

Mel

194S_GUELMA

Dhpenrnvonr oe Mlruiverrqurs

IIrijJ-lllSz-Crlog111

_,

pou,r

o<tlos

_(1.6.2)

akns

: T(t)

est

_{difidrvrfiielle 7nur.}

_,

, Y

C

conollaire

_l'6']-

_soitT(t)

_{est un c(,-semigroupe}

diffdrentrelle

est A le

ginirateur

i,nfi';nitdsi,mal,A

_est

_non

_bami

_{alors :}

,,,ff'uo

_ll/

_-

"(r)ll

>

c

(1.6.3)

L.T

_{Semigrvupe Analyti,que}

_:

D6fiinition

_1.7.1

_Soit

_{A:{; eC:zl0 et}

rp1

larQz<pzu{0}}

une _.famille

_d'opirateur

_{lineaire bomd}

_(T(z))zrn

est un sem,xgroupe anal,,ytique

_dans

I

_si

_:

i)

r(o)

:1.

ii)

T'{21*

z2) _=,

T(z)T(z),

_vh,

_z2

_€

_L.

iii)

zlim^("(z)t:

x),

Vc

€

X

iv)

l,'applicati,on :z

€

A

----

_T{z)

_{est analytique}

_d,ansA,

_:

_A\{0}

Th60rrame

r.7.r

_soit

_T(t)

_{est un co-sert?,groupe}

unrformiment

bom6.

(llf(t)ll

<

I/,V,

>

0)

de

ginirateurinfinitisimal

_A

et

o

€:

p(A),uhrs

_lcs

_conditt'tts

_su.i,uurts

_sr,t

_{itlu,iuulcrfis}

UrvryeRsttf 08 Mnr lg4b-Guer,rvrn

Dilp,q,nrBueNr _{ne MerHiuarrgues}

a)

T(t')

peut 6'tre pralongd d, an _{sernigroupe anarytique}

_sur

_{,,n secteur}

Ao=

_{{z\largzl(r},}

ilr(')ll

est

_{urdfu,rr*rnent bon{,}

_su,

chuque secteu, Jenn6

a;,-ie\loreel

_<o,\

b)

iI

eriste C

>0

telleque;Vcr

)

_O.iJ#A

_et

_):u*.i8

lln.,(.a)

i

s

*.

Url

c)''?(t)

est diffirenti'able

pour

_tout

_t

)

₀

_et

₃

_c

_{> 0}

_{terleque :}

llAr(t)ir

<f,rto

_(1.7.2)

Thdiorbme

_L.7.2

_soit

_T(t)

_{un c,-semigroupe}

d,iffirentette

pour

tous

t

)

0

A

lc

qi.ndratar

_{infi,ni,tisim.nl sr, :}

(r.7.1)

,r$*up

41rp711

"

!

est

ll

e.st. u,n.

opi.rnterr

harn.ie..

(1.7.3)

L.8

Caract€ri,sation

_d,,un

_Cs-

_semigrvupe

:

Lemme L.8.1

soet

A

un

opirateur

liniaire

_{, pour}

chaquep(l)

_{:]0, oo[,}

_si

_:

ll,\"8():A)ll<M.

n,:1,2,...,)>0

(1.g.1)

il

edltte une noryne

_{ll.ll dan,}

X

_{est satisfait :}

llrll

<j

rlsllrll

, r€x

_(1.8.2)

et

I)n(,\:A)l<lrl,

xEX,^>0

(1.8.J)

Urvrvsnsrrf 0g

Mel

1945_GuELMA

DEp,{nrguerlr nn MerHiuarrquns

Thdor&me

_r.8-1

_{sodf A re g6n6rateurinfinitisi,mar}

d,,u,ncs-semigroupeT(t.),

ui'r.ifier I

7(r)ll

1

tr{

_,si

et seulement

_si

:

1.

A

est

_Jenn6,

et

_Q$:

y

,2. le resoluent

p{.4)

de

A

_eR+

_ef

llR(r

:

_d)"ll

_s

#,

)

>

o,

n:

r,2,.

_(1.8.4)

Th'6orEme

_1.9-2

_{soit T(t)}

_un

_sernigroupe

de

crasse

cs

_sur

_x

_auec IIT(L)ll

l

Mexpnt,

hl

>

1,u€lR

1.

si

u

_=a,

_fir?)il

_s

_u,

_v,

_>

₀

_T(t)

se narne semigroupe d,e classe

Cs

uni,fonnirnent

_bomi.

2.

si 14=t

_et

_o:0,llf(r)ll

_<1,

_Vr>0

T(t)senonxesemi,groupe de

classe

_Go

de contracti,on.

D6finition L.8.1

Soit

A

:

D{A)

C

X'

__r

X

_{un ophrateur}

li,niaire non

bom6

L'ensemble

_rCsoloent

_:

p(A):

_{.1

e

C:)I

*

A

_{cstinuusiblect}

_(f/*

_t)-t

_e

_B(X)}

lo

_famille

rCeol$ent:

Rx(A)

₌

(,\/

_-

t)-t

_€

_p(.{)

le

spectrz de

A:

_t(A):C

_p(A).

f-lUr.lrvrRsnf 0g Mer 1g4S_Cuuue

D*pmrrguerr _{or MeruBuerquns}

Proposition

_l.g.L

_Soit

_A

_{un op,rateur}

lin€,aire _ferm6

_,

_T(t)

_{un semigroupe} de

classe

co

_d,e

_contraction,

_A

est re

_{gin€rateur infi,nitisimal}

_Arors

:

V) >

0,

Rx(A):

_()/

_-

_A)-ru:

I*

exp-r,

T{t)udt.

'hdor&me

1.8.

9

soit

A

re g

in,rateur

infinit,s,intar d,,un cs - s emigroupe _{T (t) .}

sti'

A7

e.st' _{u€rifie.r ,appronm,at,ion,}

_,e

_yo.si.da

c,est

_i,

,i,re :

Ax:

AAR(,\ :

,a),

alors

_T(tfu

=

_,*!T*,

eiAAr.

(1.g.5)

1,9

_{Prvbl4rne de Cauchy}

_:

On considire le probldme _{suiuant :}

(

du(t\

J

,:Au(t)+IU),

t>0

I

(r.e.

r)

I

u(0)

:

q.

Dd'finition

I.9.1

une

_fonction

1t:

_1t(t)

_est

_dit

une solutr,on du problime

(1.,e,1)

_si

:

tL'

u

est

_fortement

_continue

_{en chaque pai,nt}

r.2 a

c,est-a-d,,ire :

vr >

o.

_pi

_{llr(r +}

h)

_ z(*)ll

:

_s

2',

u(t) e

D(A)

est

_lortement

_d*riaable

_{en chaque}

Wi,nt

t

)

0 C'est-a-d,ire :

I

p(t)

e

x

kueque

,

I,S

,,u(t

+

hl-

u(t)

_*

p(r)ll

:

o on note

p(t):

u'1t1

:

ry

19

Uxrypnsnf _0g

_Mel

_194S-GuELMA

DlprnreueNr _{on Me:ruiuerrgues}

3.

u(t)

udriSer probldm,e

_(I.g

_r).

Nous ut'tlisoru lcs

risultats

_dt,

_u

_trdot'irttc

_pour.

_tt.,uuc,

urtc sorutrott, du

pn>blime _{suiuant :}

{T=::'"

ThdorEme 1.9.1

_sr

_A

_e

_B(x)

_,T(L)

_:expA,

est Ie _{semtgroupe engendrd}

parAet

_ua€X

_Alors

u(t)

:

T(t)u,6 cst tlu

solution

aru,quc rlu gtrvbternc

(l.g.Z).

Thdlorbme

_L.g-z

_soi,t

_{T{t) un}

_{(;s-sem,igroupe}

sur

x

arors

il

_{eriste detn}

corutantes

d>0 et n/>1

_telleque:

ll"(r)ij

lMexpit

Vt>0

Th6orbme

_l.g.J

_soit

_T(t)

_un

co-sernig.oupe d,e crasse et

A

Ie

giniratcur

rnfinit4.s,imal de

_T(t)

alors :

i)

vr,:

_€

x

:

_tiq

*

['*o ,1r1uds:

T(t)u

h-0 lt Jt

t't

ii)Vu€X:

_efl

_-Jo

_rg)uds]

_{:T(t)u_u}

iii)

Vu

e D(A)

:

T(t)u

_{- T(s)u:}

_['

_Tft)Audr

Jo (1.e.2) '

t-

T-f

Urvlvnnsrrf 0g Mer 1945_GuELMA

Dbprnrsrdnnr on Merrbuerreups

corollaire

_r'g.r

_soit

_A

_re

gindrateur infinitistrnar

_{d,un cs-semigrcupe}

T(t)

alors

1.

D(A)

est dense d,ans X.

2.

A

est

un

_{opirateur fennd.}

1.10

Ia

solution

_rnild

Ddftnition

1.10.1

la

_fanction

_conti,nue

_u:

_{J _,}

_X

udrifi,ant

l,|quation

t"nteigrale _4quiuaut

_{atn problirne}

_(l.g,I)

u(t):s(,-

to)uo+

I),tu-s)/(s)ds,

t€

J

(1.10.1)

s'ap,pelle

_la

_{solution Mi.td de (1.g.1).}

On

_{lteut dd,finir}

_la

_m€me

fonction

conttnue

u

telle que :

u

:

J11: _{[ro, ?o]}

_C

_J

+ f,

eornrne une solution

_Mild

_{lacal d,e (1.g.1).}

1.1.1 la

solution

_forte

_(classique)

_:

Ddfinition

_1'rr'r

_ort

_{appeile sorutiort}

lorte dt

,ytrabrirrrc (1.g.1)

si, est seulement

_si

_:

i)

u(t:,) est

une

solutian Mild, du

problime

_(1.g.1).

ii)

u

,s

_{C({O,TI,X) n}

_Cr([0,

_r],

_X).

iii)

1tu4

T(t)u:

u,

_Va

_e

_X.

iv)

u

e

D(A)

_et

_{sati,sfait le}

_problime

_(Lg.t).

UrvrvsRsn6 08

Mll

1945-Guar,:ral _Di:panrnuwr

oe Matrbru.ureurs

L.Lz

Ia

salut'ion

p*riod,ique

prd,sque

par

_tout

_;

D6finition

_1.1p.1

_Soit

_l:

_[O.f]

---+

X

_,t..+

J.e)

!

est

dit

presque _{partout piriodzque ,si, :}

ll/(r+

r)

_

_f(t)ll

<

(,.

vr e

_[0,7],

0

<

r

<

(

donc

u(t)

est

par

_{tout pdriod,r,que solutr,on sr, :}

Chapitre

2

Elquations

_{rnt6gro-diff6rentielles}

a.'yec

Semigroupe

_Analytique

2,".L Intrroduction

z

.Dans ce chapitre nous allons ddmontrer _{I'existence et}

l'unicit6

de

la

solution

Mild

rocal

du

_{problbrne (2.1.1) en plus, on dtudie}

la rtinrlaritde

de r-.ette _sohrtian.

enfin, _{nous dr6montrons I'existence}

_{et I'unicitd}

de

la

solution Mildl global.

Soit

le probl6me _suivant :

f

ry

+

Au(t)

:

_{f (t,ur(t).}

_...,u.{t))+

_K(u1(r),

_{...,u,{t)){t)}

JO'

)

(2.1.1) I

(

u(to;

:

uo, telle que :

K{ur,...,

u'Xt)

:

I:,a(r

-

s)e(s,

r(r),

....

u.(s))ds

Uun'nRsnf ₀₈

_Mnl

_1945-Cuer.ue

DbpeRteuexr oe M,uHtu;rrrques

P:roposition

_{2.r.1 soit}

_x

_{un eswce}

d,e Banach

et

.I

un intervaile _ferrnd.

bomi

_lto,Tl,t

_<T

(

_oo.

_-.4

_{est re}

_ginhrateur

infinitisimar

d,un semigroape

analytique

_S(r).,

_>

₀

_dans

_X.

on suppose que :

ll,s(r)ll

<

M,t>

0

0

€ p(_A)

cor,nnle

_-A

est inuersible

(car

a

e

p{*A)

₎

arors

, Ao

est

un op\rateur

Ii'ndaire i,naersi,bre

pour

_{taute 0}

₍

_n

_<

₁

_et

_D(A")

est d,ewe

dans

x

on note

Xu

*

D(A")

_{L,espace de Banach muni, de}

_la

_norme

ll"ll.

:

llA"dl

On propose une

_fonetion

_u

_€

_Ce,x)

_telle

_que

_u

_{satisfait (g.1.1)}

d.ans

J.

On peut difi,ni,r

_{Ia lonction}

_u

_{d,ans ,/o}

=

[to, Ts]

c

J

C

X

telle que : to

<

_%

1T

_comme

_une

_solution

classi,que d,e

(2.1.1)

.

Proposition

_Z.!.2

_Soi,t

_U

_un

_ensemble

ouaert d,e _[0, oo]

*

&

pour

_tout

_(t,

_r)

_e

_I)

_,il

_eriste

_un

_uoi,sinage

V

_{c LI}

de

(t,t)

et les constantes

_{L> A,}

₀

_<

_d

_{< I}

telle que :

llf("r,

u)

_-

_f

(sz,u)ll

_{s rfl",}

.*

_,rlo

_*

ll,,

_

ull.J

(2.1.2)

pour

_tout

_{(sr,u) et}

_(s2.u)

_d,ans

V.

'i-'r

r

't 24

l,'rrugRsrrf _{0g M,qr l94b_Guplun}

_

nB Mersiuer:reuBs

Ddfinition

_{2.1.1 lafonctioncontinuett,:.1}

_{_,}

X

u|rifierl€,quationintZ,grable iqu,iuarn

_aw

_problime

_(p.1.1)

u(t)

:

s(r

_-

ro)zo

₊

[,'

tu-

s)[/(", zr(s),...,

u,("))

rto

+K(u1,...u",

_)(s)]d

_s,t

_€

_J

_(2.1.3)

s'appelle

la

solution Mi,ld, d,e (e.1.1).

Urt, _Tteut

_rl'lirdr.

_la

_r,€rne

laactiort

corrtirue .u _{telle que :}

u':

Js:

_[to,7o]

_c

"l

--

x

conune une sorutipn IuIild rocar d,e (2,1.1).

Proposition

_z.'.'

_soit

_u

_un

ensembre

ouaertde

_{[0. oo]}

_x

_Xo

_pour

_chaque

t,

t:

€.

U,il

eriste

un

uoisinage

_V

_C

_IJ

_{de L-}

_x

_et

_{la cowtante}

Lo

>

0 telle que :

ll/(s,

u)

_-

_,f(s,u)ll

_<

_Lsllu

_-

ull,

(2.1.s)

pour

_tous

_(s,u)

_et

_(s,u)

d,ans V.

2'2

Edstance

_de

_{ra sorution}

_lurild

rocar

:

Th.orbme

_2'z'L

_soit

*

_A

_rc

a6rd,utcu, ir$i,utts,irnur

rJ,urr, _scrt,,graupc

analytique

_S(t)

_{teile que :}

ll,s(t)ii

sM,

r>o

et on suppose que :

0

€

p(A)

si

les

_fonctions

_J'

_et

g

_ulriliurfi

_{la prcposition}

(g.1.g)

Ijlsn'nnsrld 0g Mer lg45_Gurr,M.c

DtPAnrElpNT on Merubuerrgtros

e:t la

_fonction

o

_{est int€grable}

_d,aw

_.l

alors : 'il!' esi,ste un seure _{sorution rnild rocat d,e}

_(p.l.r)

_paur

tout

us€

x".

D6monstration 2.2.1

on

foi

le

point

(to,uo)

_e

_{J

et,

on

cho'isissant

_t\

_>

_to

_et

₆

_>

_A.

on

pose que

'es

lonctions

J

et

g

air"tJiarft

ta pr:oposition

_(e.r.s)

duns l'ensemble

V

_{telle que :}

V

₌

_{(t,r)

_e

_U

:

_f6

(

_t

_S

_{t,

_{llr_uoll*}

S

d}

(2.2.1) Sai,t

Br:

sup

_ll/(r,

?ro)ll to<t9tl

"'

:

"*lYf'

'

lls{t'

uo)ll

On

choisissant t1

>

ts telle

que :

lls(r

*

16)

*

rlf

_llt*,roll

_s

*d,

sntr

ts< r S

rr

(2,2.2) et

tt *

t _o

< min{ti

-

_Lr,

_tf,c;'(

_I

-

cy) _{ ( 16 ii ₊

B)

+

_ur(L06

_{+ Bz)}*,J}

d,

I.

e.z.J)

convne

Cu

est

un

constante positiue

_diWnd

_de

_o

_{alors :}

lld'S(f)li

l

Cot-o,

pcru,r

_I

) re

e.2.4)

u,

:

I'ra(s)rrls

(2.2.5)

4

En

u'tilisant

le thiorhne

de

point

_fee poar

_dimontrer

_{I'eristence et}

_l,unicitie

UnrvpRsnf 08

Mal

1945-GusLMn _{DTPABTEME$T oe MeruDuxrrquns}

1.

soitY

_-

c(lto,tr];

_x)

_un

_{eswee de Banach}

_muni

_{d,e ra}

_nonne

_:

llvllv

:

"_11f,,

lly(r)ll.

O*

difirdt

uirui

l'opTtli,cuti,rt

h'g:

_{:q* d,ans}

y , on

_{abti,ent :}

a.Q)

:

s(,

-

ts)A*us

+

_{Ji e"slr}

_-

_{s)[/(s,.4-*gr(s), ...,}

_A-*u^G))

f"

*

Jr^o(t

*

r)g(r,

A-oyr(t),...,A-"y,(r))drlcls.

(2.2.6)

Maintenant pour

chaque

A

€

Y,

Fy(td

:

A"uo

et

to

_S

s

(

f

{ tr

on

obtient :

Irv$)

_-

t's(s):

_[S(c

_

_ro)

_.9(s

*

_ts)]A'us

f'

+

J"

A"S(t

*

r){f (r,

A-"yr("),

...,

f

(r.

A-"y"(r))

*

_["

ak

_-

tigh,

A'*at(ri,...,

A-oyotrt))d,Tildr

Jto

* ['

o.1s(t

_-

,]-

.9("

_-

,)]lf

(r,

_{A-*yr(r),..., A*.?,n{r))}

Jto

fr

*

!r,

o(,

-

ilgh,

A-"at(rt),...,

A-"yn(rt))drt)dr.

Lorsque les foncti,ons

_f

et

g

u€ri,fient

la ptropoaition(p.l.g)

et

d'u'pris

llirdguli,t&

(2.2./,) et

(Z.Z.S) ort.

tl&Iuit

que :

F:Y

_-Y.

2.

on

notcra

d'abord

s

le

sous cnsembrc

_fcrmi

_bomi

_{d,ans l,cspacc}

de

Banach

Y

telle que :

S

₌

_{ir

eY

:

y(ts):

_{Auua, lly(r)}

_-

_l-roll

_S

d}.

_(2.2.7)

I

t-UuivpRsnf _0g

_Mel

_{lg45_Guplrue}

DbpeRrgueNt oB Mersiuerreuos

alors poar _U

_{€ S on}

_{obtient :}

llpa?)

-

A"uall

_{S lls(r}

_-

_ro)

_

_{rlllf ,a"u6ll}

ft

*

Jr"ilo't(r

-

.r)lillf (s, A-.ar(s), ..., A-nur(r)) _ /(s,

ue)lfds

ft

,.

.

..,

r"

*

lr,lln"t(t-r)lllJ,,lo(t*r)lllg(r,A-ovr("),..,,

A

-sr(r))-g(r,us)lld,rld,s

+

_f'

_il,.,s(r

_-

_,)ilil/(",

_zo)lrd,

Jts

*

_['

yo-r(r

_-

_s)ll[

["

bt,

-

r)lllso,us)lldr]ds.

Jto

'

'Jro'

En, uti.lisant l'ini,qali,t,f.e (2.,1.2) et, _{(8..1.5) on, rli"rhd,t, qte.}

:

ll

ry(r) -

A"

uoll

s

16 +

c.1t-

a) - r [(red

+

B _r) + ar

(Ls6+

B2))(tr _ r0) r _o

on

conclus que

:

<

d'

Q'2's)

F

:

5'-r

51.

3, En

ddmontrvr

rnaintenant que

F

est

contractante

dans

s

pour

_assurie

l'eristence et

l'unici,ti

de Ia solution

Mild

local du

problime

(g.1.1).

Soit

_a,zeS

alors

llFy(r)

-

Fz(t)ll:

_lla.(t)

*

z.(t)ll

('),

-t

..., A-o _Un(s))

_-/(",

.4-oz1 (s), ..., A- o z,,(s))

_lld"

)l

llgk, A-"y,(r),

..., A-^U*G))

t

_f'

ll,a"s(r-s)ll

_ll/(",

A-oa,

*

Unn'nnsnf

0g Mnr lg45_Cuer,ue _{Dbpnnrnltnr,rr}

or Meruiuerlques

-g{r,

A-"

_n(r),

...,

A*o

zn(r))llrlrlrls.

_(2.2.e)

Lorsque les

_fonctions

_f

_et

g

_{#rifient ta}

prvpeition

(g.1.g)

et

on

_{applique I'in6galrt6,e}

_{(9.9.4) et (2,2,5)}

_on

d1duit

que :

llry(t)

-

rtz(t)ll

<z,o[(1

q

_or)

['

iln

rt

_

s)lfds]

_lla

_

_zllv

Jtn

S

La(L

+

a7)C,(t _

_a)-r(rr

_

_ro)'-.lly

_

_zlly

=

*rrd(t

+

ay)C.(L-

o)*,(rr

-

ro),-*lly

-

zllv

a

jtr,

*

Br

*

_{a7(Lsi+ B2)lc"(1}

_-

_a)*r(r,

-

ro),*.

_llu

-

zllv

.

jl,

_-

zllv _(2.2.10)

cela

irnplique _{que I'appkcati.on}

_F

_{est contractant}

d,e

s

d,ans

s

d,onc on

wrrclus q'a'il euiste

u^

seur poirtt

_{!i*e,g e}

_s

_{d,e |appri,cati,on}

_F

_arors

Fu:u-y'.

Soit

u

*. A-oy.

Alors

pur

r

e

_[tq,

t]

d,,ou

u(t):

A-"y(t)

:,s(r

_-

_to)uo*

[',g(r

-

s)[/(s,ur(s),...,u"(s))

Jto

*K(u1,...,

u")(s)lds.

Enfin

u

est _{I'unique solution Mi,ld tocal d,u}

_problime

_(2.1.1).

29

(2.2.r1)

U.NlvsRsnd _{0g Mer 1g45-Gusr.rul}

Dipenrnucxr on MerHiulrrqvrs

2.3

Rdgularitd,e

_de

_la

_solution

_IUIiId

Dans r:ette

partie

_{, nouri}

_{6tudi,rrs la}

_{r.6gularitee tle la}

_s,lutiorr

M:ild

du

probldme _{(2.1.1). on netera}

_d'abord

:

I

'=

lts,Tl

un intervalle ferm6 born6 telle que

:

16

(

?

(

:c

o*

appliquons Ia

proposition

_(2.8.1)

_{sur le Kernel}

_o

_{teile que}

:

Proposition

2.3.1

_II

eciste

une

constante co

>

0 et

0

<

/i <

I

sac:hant que

:

,l

+

lo(r)

_.r(")l s

celr _

.sjn.

pour

_tout

_{t,s €}

_J.

Thdorbme

_2,3.L

_soit

_-A

e..st

qindral.err

_{rn,fin.i.td.sim,o,l r!,,tm.}

scm,xqroltpe

Annlitique

S(t)

sachant que :

lls(r)ll

<It.

pour

r2o.

et

a

€

pU).

de p'lus _on

_swwse

_{que les fonctions}

f

et g

uirifient

r,a

prcpoaitian

_(2,1.2)

et le

Kemel

a

satisfait

plpoaition

_(Z.S.I)

_alors

le

prcblime

(2.1.1)

ad'rnettre unzque

sorution

classique locar pour

chaque

uo

€

X,.

D€rrronstration

_z.s.r

_{D'npri.s re Th,€.orime (p..g.r)}

,

i.t

etnst.e

Ts

UNvpnsrrf 08 Met 1945-Gust,ltl Dbr*rnrnusnt DE MATHDMATIQUES

u(t)

:,9(,

_-

ts)u6

* [' t(r-

s)[/(s.ur(s),

".,

ur(s))

*

K(u1,"',

u,.)(s)]ds,

rto

(2.3.1)

ouf

I((u1, ...,u")(t)

: I

a(t

_-

s)g(s,

ur(s),

'..,

u"(s))ds

Jto soit

u(t)

: '4*u(t)'

(2'3'2)

et

Ia

fonction

u

est

I'unique

solution

MiId

local

du

problirne (2.1.1)

dans

Jo

:

_[to,

?o]

_{, t}

€

Js

ilonni

Par :

on cuusidhe

u(t)

_-

S(t

-

ts)Aus+

_f,

S1t

-

s)4"[/(s,

A-"u1(s),...,.{-"u"(s))

+

["

u$

_-

r)str..4-*u1(r),

--',A-u'u1(r))dr)ds'

(2'3'3) Jto

On

notom

d'abord

/-(t)

:

t

(,

A-"u1(t),

...,

.A*"c;(t)).

g-(L)

:

g(1, A--'u1(c). ."..

l-*u"(t)).

(2.3.4)

donc on peut

4crirc

(2.5.il

comtne :

u(t):s(r

_-r0)A'uo*

_['

A's{t-s)U.(s)

+

_["

a$-r)s'(r)dr]ds.

(2.3.5)

Jto

J to

Lorsqte

u(t)

est continue

darc

Jo

et

les fonetions

f

et

g

sont satisfaient

lo

Propositian (2.1.2)

celo im,plique que

f*

et

g*

sont continuent et d,e plus sont bornd

dans

Jo

En

par-ticulier

Nr

_-

sup

_ll/-ll.

t€Jo

Unrvrnr;rrf 08

Mlt

1945-Guplue Dtpenreuotr or MltHbumlQues

,Mr

₌

zup

llq'll.

(2.3.6)

pour

ilcimontrcr

quc

_{f. et g'}

sotnt u6,nfi6,r Ia

continuitic

d,c Hiild,cr local

dans Js

_,

'iI

_faut

et i,l

sufait

d'montrvr

que

u(t)

est

udrifier

Ia continutd,

d,e

Hiltler

lacal

dans

Js

le

thi.orime. 2.6.1,9 rlnns Bazy fttage 131 est' rl,i't, :

pour

0<g<1*a

etpour

0<h<l

onobti,ent:

ll(s(t

)

-

1).4's(t

-

_")ll

< CpilsllA+rs(t

-

s)ll

S

Clf

(t

-

s)-(o+c;.

(2.3.7)

En

parti,culier

llu(t

+

h)

-

r'(t)ll

<

ll(s(t

)

*

I)s(t

-

s).A"uoll

7t

f"

+

_|

ll(s(/,)-/)s(r-"),{'ll

llJ'.(")

+

/

o(s-

r)s'(r)drlldb

Jto

Jto

1t+h

f"

+l

lls(r+h-s)A'll

ll/'(')

+/

o(s-r)e-(r)drllds.

(2.3.8)

Jt

Jto C'est-a.-di,re que :

il(s(1,)

-

r)s(,

-

te)l'usli

S C{t

*

t0)-(o+s) he

<

Mtha.

(2.3-9)

cornrne

Ih

ddpend' de

t

alors

on

obttent :

7t

ft

/

ltt.sfnl

-

I)s(t

-

,'),4'll

ll.f.(.')

+

/

a("

-

r)a'(r)rlrllrts

Jto

J to

S

_llf,

+

{r?b&rg]

ttpce

_[

_1t-

s)-(*+rr),7"

Jt,

UNrusnslri 08 Mnt 1945-Guei,un Dbpenrpur,Nr nu Mersiir,llttQu m ft

+

_I

lo(t

-

r)lllg'(r)lldr.

Je

S

Czlt

-

sl't

+

NzCoTolt

*

slp

+

l'{2avo(276)r-011- slp

<

c4lt

- sld.

(2.3.15)

lorsque

Ce>0

et

0<d<1

on

considire le

problime

ualeur

unitio]

suiuarr,t :

ft+ru(,)

:h(t)

[

,1,0;

:,0,

(2.3.16)

d'apri.s

le

corollaire

(/,.5.3)

d,ans _{Bazy {pagel3l,} Ie problq,ne

(2'g'16)

ad,rnet

une

seule

solution

u

e

C1([t6,fo];X)

an abtient :

ft

t'(t)

:,s(, -

t6)ue

*

Jr^t(,

-

s)h(s)ds'

(2'3'17)

2.4

Eci'stence

GIobaIe

z

pour

6tudier

I'existance global de

la

solution classique du probldme

(2.1.1),on

utillisons

le lemme suivant :

Lemme

2.4.L

soit0(t,s)

)

0

esf continue en 0

_Ss

S

f

(

T 1

x'

s'il

wiste

d,es constantes positiues A,

B

et

a

telle que :

o(1,

s)

<

A

+

,

_['

(,

_-

o)o-ril{o,

s)d,o

(2.4.1)

{Jxrwnsrrf

08

Mnt

1945-GuPlur Diprurreunrt oo MerntMrrtQugs

pour

(l

_S

_s

_S

_t

_ST

_,et

obtient une eonstante

C

telleque :

O(t,

s)

<

C

DrSmonstration 2.4.L

pourO

-< s

S

I

< T,on'a

:

['

(,

_-r)"-,(r

-

s)d,r

:

(t

-s)a+6-t:!")fqi

(2.4.2)

J"

') \' "t*' \''

f(o+il)

\

/

pour

chaque a,13

)

A

_{,on i,ntigrant}

(2.4-1)

n-l

fois

et

utilisons (2

4'2)

et d,e prfus

on

substituant

(t

-

s)

par

T

,on

obtient :

o(r,,s)

s

AET:;(+)'.

S#

l"'t,

-

o)*-'\Q(o,s)rto

(2 4.3)

on ma;iorant

(t

*

o)"'o

-t

par

Tv**t

on obtient :

Q(t,

_{s) S}

cr

*

,,

['

a6,

rldo

(2.4.4)

Js

on

appliquant l''inigaktd,e de Gronwelle on trouue :

O(t.s)

lcrs"z?-")

<qeqr

<C

(2.4.5)

Thdorbme

2.4.L

soitA

e

D{A)

et

sait

_-A

le

gindrateur infinitdsimal

d'un

semigroupe analytique

S(t)

u€nfidr

:

lls(t)ll

< i./

pourt

_2ts

_,sait!,g:

_[tg,oo)

x

Xn-

X

uirifierlo,pwpoaitian(2.1,2)

et

soit le

kemel

a

uirifier

la,

proposition(2.3.1),