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Submitted on 26 Aug 2019
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Real algebraic curves in real del Pezzo surfaces
Matilde Manzaroli
To cite this version:
Matilde Manzaroli. Real algebraic curves in real del Pezzo surfaces. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Paris Saclay (COmUE), 2019. English. �NNT : 2019SACLX017�. �tel-02270776�
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✷✳✷ P❛t❝❤✇♦r❦✐♥❣
❚❤❡ ❱✐r♦✬s ♣❛t❝❤✇♦r❦✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ ✇❛s ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✐♥ t❤❡ 70✬s ❜② ❱✐r♦❀ ✐t t✉r♥❡❞ ♦✉t t♦ ❜❡ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦st ♣♦✇❡r❢✉❧ ♠❡t❤♦❞ t♦ ❝♦♥str✉❝t r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❤②♣❡r✲ s✉r❢❛❝❡s ✇✐t❤ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ t♦♣♦❧♦❣② ✐♥ r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s❀ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❱✐r♦ ✉s❡❞ ✐t t♦ ❝❧❛ss✐❢② ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❝✉r✈❡s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ 7 ✐♥ RP2 ✭❬❱✐r✽✹❛❪✮✳ ✷✳✷✳✶ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❋✐rst ❛❧❧ ❛❧❧✱ ❧❡t ✉s ❣✐✈❡ s♦♠❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❛❜♦✉t t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛ ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ❛♥❞ ❛❜♦✉t s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥s ♦❢ ♣♦❧②t♦♣❡s❀ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ❛❜♦✉t t❤❡s❡ s✉❜❥❡❝ts ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❬❋✉❧✾✸❪✱ ❬●❑❩✾✹❪✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✳ ❆ t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t② ✐s ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♥♦r♠❛❧ ❝♦♠♣❧❡① ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t② ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ t♦r✉s (C∗)n ❤❛✈✐♥❣ ❛♥ ♦♣❡♥ ❞❡♥s❡ ♦r❜✐t✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✷✳ ❆♥ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ✐♥ Rn ✐s t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ s✉❜s❡t ♦❢ Zn✳ ❋♦r z = (z1, .., zn) ∈ (C∗)n ❛♥❞ w = (w1, .., wn) ∈ Zn✱ ♣✉t zw = zw11..znwn✳ P✉t R+ = {x ∈ R|x ≥ 0}❛♥❞ R∗+ = {x ∈ R|x > 0}✳ ▲❡t ∆ ⊂ Rn❜❡ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ❛♥❞ N = Card(∆ ∩ Zn) − 1✳ ❉❡♥♦t❡ ❜② w 0, ..., wN t❤❡ ✐♥t❡❣❡r ♣♦✐♥ts ♦❢ ∆✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✸✳ ❚❤❡ t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ∆✱ ❞❡♥♦t❡❞ T or(∆)✱ ✐s t❤❡ ❩❛r✐s❦② ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ t❤❡ s❡t {[zw0 : .. : zwN] | z ∈ (C∗)n} ⊂ CPN.✷✳✷✳ P❆❚❈❍❲❖❘❑■◆● ✶✺ ❘❡♠❛r❦ ✷✳✷✳✹✳ ❚❤❡ ♠♦st st❛♥❞❛r❞ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛ ♣♦❧②t♦♣❡ ✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✱ s❡❡ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ❬❋✉❧✾✸❪✳ ❇♦t❤ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✐❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣♦❧②t♦♣❡ ∆ ❣❡♥❡r❛t❡ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ Zn ✇✐t❤ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❛✣♥❡ s♣❛❝❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ∆✳ ❚❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦r✉s (C∗)n ♦♥ T or(∆) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ z · [y0: .. : yN] = [zw0y0: .. : zwNyN], ❛♥❞ T or(∆) ✐s t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♦r❜✐t ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t [1 : .. : 1] ✉♥❞❡r t❤✐s ❛❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ T or(∆) ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②t♦♣❡ ∆✳ ❘❡♠❛r❦ ✷✳✷✳✺✳ ▲❡t Γ ❜❡ ❛ ❢❛❝❡ ♦❢ ∆✱ ❛♥❞ ❧❡t wi0, .., wis ❜❡ t❤❡ ✐♥t❡❣❡r ♣♦✐♥ts ♦❢ Γ✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ CPs ✐♥t♦ CPN : ΦN,s : CPs −→ CPN [y0 : .. : ys] 7→ [0 : .. : y0 : .. : ys: .. : 0], ✇❤❡r❡✱ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✱ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ yj ✐s ✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ ij✳ ❚❤❡ ♠❛♣ ΦN,s ❣✐✈❡s r✐s❡ t♦ ❛♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ T or(Γ) ✐♥t♦ T or(∆)✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ❛♥② ✈❡rt❡① ♦❢ ∆ ❣✐✈❡s ❛ ♣♦✐♥t ✐♥ T or(∆)✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✻✳ ❚❤❡ st❛♥❞❛r❞ r❡❛❧ str✉❝t✉r❡ conj∆♦♥ T or(∆) ✐s t❤❡ r❡str✐❝✲ t✐♦♥ t♦ T or(∆) ♦❢ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛t✐♦♥ conj ♦♥ CPN✱ ✇❤❡r❡ conj : CPN −→ CPN [y0 : .. : yN] 7→ [y0 : .. : yN]. ❊①❛♠♣❧❡ ✷✳✷✳✼✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ∆ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts (0, 0)✱ (0, 1), (1, 0) ❛♥❞ (2, 0) ✐♥ R2✳ ❚❤❡♥ T or(∆) ✐s t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♥❡ ✐♥ (CP3, conj)✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✽✳ ▲❡t f = P aizi ❜❡ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ C[z1, .., zn]✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ s❡t {i ∈ Zn|a i6= 0}✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ◆❡✇t♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡ ♦❢ f✳ ❋♦r ❛♥ ✐♥t❡✲ ❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ∆✱ ❞❡♥♦t❡ ❜② P(∆) t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ◆❡✇t♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡ ∆✳ ▲❡t ∆ ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ n ✐♥ (R+)n ❛♥❞ ❧❡t w0, .., wN ❜❡ t❤❡ ✐♥t❡❣❡r ♣♦✐♥ts ♦❢ ∆✳ ▲❡t f = P i=0,..,N aizwi ∈ P(∆)✳ ❚❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ f ❞❡✜♥❡s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡s ✐♥ T or(∆)✳ ❚❤✐s ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡ ✐s ❛ ❝♦♠♣❛❝t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ Z(f) = {x ∈ (C∗)n|f (x) = 0}✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✾✳ ▲❡t f = P aixi∈ P(∆)✳ ▲❡t Γ ⊂ Zn❜❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ ∆✳ ❚❤❡ tr✉♥❝❛t✐♦♥ ♦❢ f t♦ Γ ✐s t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ fΓ ❞❡✜♥❡❞ ❜② fΓ= P i∈Γ aixi✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✵✳ ❆ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ f ∈ P(∆) ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ✐❢ ❢♦r ❛♥② ❢❛❝❡ Γ ♦❢ ∆ ✭✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ∆ ✐ts❡❧❢✮✱ t❤❡ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡ Z(fΓ) = {x ∈ (C∗)n|fΓ(x) = 0} ✐s ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r✳ ▲❡t f ∈ P(∆)✱ ✇❤❡r❡ ∆ ⊂ (R+)n✐s ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ n✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝♦♠♣❛❝t✲ ✐✜❝❛t✐♦♥ Z(f) ♦❢ Z(f) ✐♥ T or(∆)✳ ■❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ f ❛r❡ r❡❛❧✱ t❤❡♥ Z(f) ✐s ❛ r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t② ✐♥ (T or(∆), conj∆)✳ ■❢ f ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② ❢❛❝❡ Γ ♦❢ ∆✱ t❤❡ s❡t Z(f) ✐s tr❛♥s✈❡rs❡ t♦ T or(Γ)✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✶✳ ❆ s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ∆ ✐s ❛ s❡t ♦❢ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡s (∆i)i∈I s✉❝❤ t❤❛t✿
✶✻ ❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ • S i∈I∆i = ∆✱ • ✐❢ i, j ∈ I✱ t❤❡♥ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ∆i∩ ∆j ✐s ❛ ♣r♦♣❡r ❝♦♠♠♦♥ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②t♦♣❡ ∆i ❛♥❞ t❤❡ ♣♦❧②t♦♣❡ ∆j✱ ♦r ❡♠♣t②✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✷✳ ❆ s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ (∆i)i∈I ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥✈❡① ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥✈❡① ♣✐❡❝❡✇✐s❡✲❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ν : ∆ → R ✇❤♦s❡ ❞♦♠❛✐♥s ♦❢ ❧✐♥❡❛r✐t② ❝♦♥❝✐❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦❧②t♦♣❡s ∆i✳ ❋♦r ε = (ε1, .., εn) ∈ (Z/2Z)n✱ ❧❡t sε : Rn → Rn ❜❡ t❤❡ s②♠♠❡tr② ❞❡✜♥❡❞ ❜② sε(v1, .., vn) = (−1)ε1v1, .., (−1)εnvn. ●✐✈❡♥ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ∆ ⊂ (R+)n✱ ❞❡♥♦t❡ ✇✐t❤ ∆∗ t❤❡ ✉♥✐♦♥ [ ε∈(Z/2Z)n sε(∆). ❙✉♣♣♦s❡ (∆i)i∈I t♦ ❜❡ ❛ ❝♦♥✈❡① s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ∆❀ t❤❡♥ ✐t ❡①t❡♥❞s t♦ ∆∗✳ ◆♦t❛t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✸✳ ■❢ Γ ✐s ❛ ❢❛❝❡ ♦❢ ∆∗✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ ✐♥t❡❣❡r ✈❡❝t♦rs α ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ Γ ❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ x ∈ Γ✱ ✐❞❡♥t✐❢② x ✇✐t❤ sα(x)✳ ❉❡♥♦t❡ ❜② ˆ∆t❤❡ q✉♦t✐❡♥t ♦❢ ∆∗ ✉♥❞❡r t❤❡s❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥s✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✹✳ ❚❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt RT or(∆) ♦❢ T or(∆) ✐s ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ ˆ ∆✳ ✷✳✷✳✷ ❱✐r♦✬s ♣❛t❝❤✇♦r❦✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❝❤❛rts ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❛♥❞ st❛t❡ t❤❡ ❱✐r♦✬s ♣❛t❝❤✇♦r❦✲ ✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ r❡❛❞❡r ❝❛♥ ✜♥❞ ♠♦r❡ ❛❜♦✉t ❱✐r♦✬s ♣❛t❝❤✇♦r❦✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠ ✐♥ ❬❱✐r✽✹❛❪✱ ❬❱✐r✽✹❜❪✱ ❬❱✐r✽✾❪✱ ❬❱✐r✵✻❪ ❛♥❞ ❬■❙✵✸❪✳ ■♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❱✐r♦✬s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱ ♦♥❡ st❛rts ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥✈❡① s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ (∆i)i∈I ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ∆ ✐♥ (R+)n ❛♥❞ ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s fi✱ i ∈ I✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ♣❛t❝❤✇♦r❦✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ ♣r♦❞✉❝❡s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡ X ✐♥ T or(∆)✳ ❚❤❡ ◆❡✇t♦♥ ♣♦❧②t♦♣❡ ♦❢ X ✐s ∆ ❛♥❞ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ♣❛rt ♦❢ X ✭❛♥❞ t❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ X ✐❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s fi✬s ❛r❡ r❡❛❧✮ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ t❤❡ ③❡r♦ ♣♦✐♥t s❡ts ♦❢ t❤❡ fi✬s✳ ▲❡t ∆ ⊂ (R+)n ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡ ✇✐t❤ ✐♥t❡r✐♦r I(∆) ❛♥❞ ✈❡rt✐❝❡s V (∆)✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ♠❛♣ µ∆ : (R∗+)n → I(∆)✱ ❝❛❧❧❡❞ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣✱ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ µ∆(z) = P i∈Zn∩∆ zi· i P i∈Zn∩∆ zi . ■❢ dim(∆) = n✱ t❤❡♥ µ∆ ✐s ❛ ❞✐✛❡♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞✐✛❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ζ : (C∗)n → (R∗ +)n × (S1)n s❡♥❞✐♥❣ z t♦ (|z1|, .., |zn|), (|zz11|, ..,|zznn|) ✳ ❚❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ ζ ❡①t❡♥❞s t♦ ❛ s✉r❥❡❝t✐♦♥ θ : (R∗+)n× (S1)n → Cn✳ ●✐✈❡♥ ❛♥② s✉❜s❡t E ♦❢ (R∗)n✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② CE t❤❡ s✉❜s❡t θ(E × (S1)n) ♦❢ Cn✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✺✳ ❚❤❡ s❡t C∆ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❝♦♠♣❧❡①✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ∆✳ ❚❤❡ ♠❛♣ M∆= θ ◦ (µ∆, Id) ◦ ζ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❝♦♠♣❧❡①✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣✳ M∆: (C∗)n→ (R∗+)n× (S1)n→ I(∆) × (S1)n→ CI(∆). Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✻✳ ❚❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt R∆ ♦❢ C∆ ✐s ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ ∆∗✳
✷✳✷✳ P❆❚❈❍❲❖❘❑■◆● ✶✼ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✼✳ ❚❤❡ ♠❛♣ M∆ ✐s s✉r❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ❝♦♠♠✉t❡s ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♠✲ ♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛t✐♦♥✳ ■t ✐s ❛ ❞✐✛❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ✇❤❡♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ∆ ✐s n✳ ❚❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ CI(∆) ✐s t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ (R∗)n ✈✐❛ M ∆✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✽✳ ▲❡t f ❜❡ ❛ r❡❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ P(∆) ❛♥❞ ❧❡t Z(f) ❜❡ t❤❡ s❡t {z ∈ (C∗)n|f (z) = 0}.▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ t❤❡ s❡t M ∆(Z(f )) ⊂ C∆❀ t❤❡♥✱ ✐ts ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ R∆ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❝❤❛rt ♦❢ f ❛♥❞ ✐t ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ✇✐t❤ Ch(f )✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✾✳ ❋♦r ❛ ❢❛❝❡ Γ ♦❢ ∆✱ ♦♥❡ ❤❛s Ch(f) ∩ RΓ = Ch(fΓ)✳ ❉❡✜♥❡ ❛ ♠❛♣ π∆ : C∆ → T or(∆) ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❣✐✈❡♥ ❛ ❢❛❝❡ Γ ⊂ ∆✱ ♦r ∆ ✐ts❡❧❢✱ ❛♥❞ ❣✐✈❡♥ ω ∈ CI(Γ) s✉❝❤ t❤❛t ω = MΓ(z)✱ t❤❡♥ π∆(ω) ✐s ❡q✉❛❧ t♦ zi ❢♦r i ∈ Γ ∩ Zn ❛♥❞ ❡q✉❛❧ t♦ 0 ♦t❤❡r✇✐s❡✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✷✳✷✵✳ ❚❤❡ ♠❛♣ π∆ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ s✉r❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ❝♦♠♠✉t❡s ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛t✐♦♥✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✐❢ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ∆ ✐s n✱ t❤❡♥ π∆|CI(∆) ✐s ❛ ❞✐✛❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦♥ ✐ts ✐♠❛❣❡✳ ▲❡t ∆ ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥✈❡① n✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣♦❧②t♦♣❡ ✐♥ (R+)n ❛♥❞ ❧❡t S i∈I∆i ❛ s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ∆✳ ❋♦r ❛♥② i ∈ I✱ ♣✐❝❦ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ fi s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❤♦❧❞✿ • ❢♦r ❡❛❝❤ i ∈ I fi ∈ P(∆i) ❛♥❞ fi ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡❀ • ✐❢ Γ = ∆i∩ ∆j✱ t❤❡♥ fiΓ= fjΓ✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ f = P w∈Zn∩∆ awxw✱ s✉❝❤ t❤❛t f∆i = fi ❢♦r ❛❧❧ i ∈ I✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✷✳✷✶ ✭❱✐r♦✬s ♣❛t❝❤✇♦r❦✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠✮✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ s✉❜❞✐✈✐✲ s✐♦♥ Si∈I∆i ♦❢ ∆ ✐s ❝♦♥✈❡① ✈✐❛ ❛ ♣✐❡❝❡✇✐s❡✲❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ν : ∆ → R✳ ❈♦♥✲ s✐❞❡r t❤❡ ♦♥❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ❝❛❧❧❡❞ ❱✐r♦ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ ft= X w∈Zn∩∆ awtν(w)xw. ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts t0 > 0 s✉❝❤ t❤❛t✱ ✐❢ 0 < t < t0✱ t❤❡♥ ft ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♥♦♥✲
❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛✐rs (RT or(∆), π∆(Ch(ft))❛♥❞ RT or(∆), π∆(∪i∈ICh(fi))
❛r❡ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐❝✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ft✭r❡s♣✳ t❤❡ ❝❤❛rt ♦❢ ft✮ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♣❛t❝❤✇♦r❦✐♥❣ f1, ..., fn ✭r❡s♣✳ t❤❡ ❝❤❛rts ♦❢ f1, .., fn✮✳ ✷✳✷✳✸ ❙✐♥❣✉❧❛r ❝✉r✈❡s ❚❤❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❝✉r✈❡s ✐♥ t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s r❡✲ q✉✐r❡s t❤❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❣✐✈❡♥ ✐s♦t♦♣② t②♣❡s✳ ❆♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ ✇❛② ♦❢ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❝✉r✈❡s ✇✐t❤ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ t♦♣♦❧♦❣② ✐s t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛✲ t✐♦♥ ♦❢ r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❝✉r✈❡s ✇✐t❤ ✐s♦❧❛t❡❞ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s✳ ❙✐♥❝❡ ❇r✉s♦tt✐✬s ✇♦r❦ ✭❬❇r✉✷✶❪✮✱ ✐t ✐s ❦♥♦✇♥ t❤❛t ✐❢ ❛ ❝✉r✈❡ ❤❛s ♦♥❧② ♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❞♦✉❜❧❡ ♣♦✐♥ts✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ♣❡rt✉r❜ ❛♥② ♦❢ t❤❡♠ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ❢r♦♠ t❤❡ ♦t❤❡rs✳ ❚✇♦ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❝♦♥✲ str✉❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✱ ✇❤✐❝❤ r❡❧② ♦♥ ❇r✉s♦tt✐✬s t❤❡♦r❡♠✱ ❛r❡ t❤♦s❡ ♦❢ ❍❛r♥❛❝❦ ❛♥❞ ❍✐❧❜❡rt ✭s❡❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❬❍❛r✼✻❪ ❛♥❞ ❬❍✐❧✸✸❪✮❀ ✐♥ ❢❛❝t✱ t❤❡② ❣❛✈❡ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✐❝ ✇❛② t♦ ❝♦♥str✉❝t r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♠❛①✐♠❛❧ ❝✉r✈❡s ♦❢ ❛♥② ❞❡❣r❡❡ ❛rr❛♥❣❡❞ ✐♥ RP2 ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ r❡❛❧ ❧✐♥❡✱ r❡s♣✳ t♦ ❛ ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r r❡❛❧ ❝♦♥✐❝✳
