Exercices résolus de mathématiques.
TRI 39
EXTRI390-EXTRI399
http://matheux.ovh/Accueil.html
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans
Fabienne Zoetard
Septembre 2014
EXTRI390 – EPL, UCL, LLN, septembre 2014.
Cochez chaque fois l'unique affirmation vraie parmi les trois possibilités.
Réponse juste 1 point, autre réponse 0.
Dans un triangle équilatéral, le rapport entre les rayons des cercles circonscrit e
t inscrit est égal à :
2 3 2
Dans l'intervalle 0 , l'équation sin 2 sin 6 0 admet exactement 2
0 solution 1 solution 3 solutions
1 cos Pour tout dans l'intervalle 0, , l'expression sin arccot
sin
x x x
est
égale à
sin sin sin
2 2 cos 5 2 cos 5 4 cos
Soit un triangle isocèle en , un point du segment , et un point du segment , tels que le triangle est rectangle en et que l'aire du t
ABC A D BC E
AC CDE D
riangle vaut le tiers de l'aire du triangle , alors est égal à
6 7 8
CDE ABC BC
DC
Solution proposée par Nicole Berckmans
2) sin 2 sin 6 0 2 sin 4 cos 2 0
sin 4 0 4 180 45
cos 2 0 2 90 180 45 90
Rép : 1 solution 45
1 cos
3) 0, . Posons arccot , tel que 0, ;
sin 1 cos
et cot 0 0,
sin 2
On
x x x x
x x k x k
x x k x k
x
2 2
2
2 2
1 1
demande sin
1 cot 1 cos
1 sin
1 sin
sin sin 1 cos 2 2 cos
12 2
12
1 1
4)Aire . , Aire .
2 2
1 3
Or . . 1
3
D'autre part (Thalès) dans le triangle : 2 .
De 1 et 2 3 6 6
.
ABC BC H EDC CD h
h BC DC h BC H
H DC
h DC DC
AMC H MC BC
DC BC BC BC
BC DC DC DC
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
14 septembre 2014
EXTRI391 – EPL, UCL, LLN, septembre 2014.
Le croquis ci-dessous schématise deux couloirs d'une piste d'athlétisme. Chaque couloir est constitué de deux lignes droites parallèles de longueur (situées entre les deux traits pointillés parallèle
a
s) et de deux demi cercles appelés virages. Les lignes droites sont tangentes aux virages. Le rayon des virages du couloir inférieur est et le rayon des virages du couloir extérieur est . Les deux v
r
R irages de gauche sont concentriques, ainsi que les deux virages de droite.
Le point est situé à la sortie du virage de droite du couloir extérieur. Le point est situé à la sortie du virage de gauche
A C
du couloir intérieur. Le point appartient au virage de gauche du couloir intérieur et la droite est tangente au virage.
On vous demande de répondre aux questions suivantes qui interviennent dans le B
AB
1 2
calcul de la position de la ligne de départ de l'épreuve du 800 mètres dans le deuxième couloir.
1) Exprimez la longueur du segment en fonction de , et . 2) Exprimez la longueur de l'arc de c
d AB r R a
d
1 2
ercle compris entre et en fonction de , et .
3) Calculez et au cm près pour les données suivantes : 36.8 m, 37.92 m, et 84.39 m
B C r R a
d d r R
a
Solution proposée par Nicole Berckmans
2 2 2 2 2 2 1
2 2 2
1
1
2
36.8 m, 37.92 m, 84.39 m.
: ; : ;
84.88 m
37.92 84.88
tan 24.196 ; tan 66.562 ;
84.39 36.8
270 270 66.562 24.196 179.242 3.128 rad . ra
r R a
OAB OA d r OAD OA a R
d a R r
R d
a r
d BC r
d 36.8 3.128 115.124 d2115.12 m
Solution proposée par Dominique Druez
14 septembre 2014
EXTRI392 – Compléments.
2
En 1755, Euler a trouvé la formule suivante :
1 1
arctan arctan arctan
1 1 Vérifier la formule.
2 Utiliser la formule pour démontrer que
1 3
5arctan 2 arctan
4 7 79
p
n n p n np
2 2
2
2 2 2 2
3 2 2 2 2 2
2
1
1 1
1 tan arctan arctan
1 1
1 1 .
1
1 2 1 1
2 1
2 Il suffit d'appliquer la formule un certain nombre de fois : Posons
p
p n p n np
n p n np
n p n np
n np np p n np p
n n p n n p np p p n n np p n
p n
1 arctan1
4 1
1 3 3
arctan arctan car 1 7 6
7 4 4
1 17 4 17 17
2 arctan arctan car 7
7 31 3 3 31
1 3 1 31 79 1250 1
2 arctan arctan arctan car
7 79 2 17 3 51 2
1 3 1 1
3arctan arctan arctan car 2 7 5
7 79 3 3
np
p p
p p
p p
p p
1 3 2 2
4 arctan arctan arctan car 3 7 4
7 79 11 11
1 3 11 3 3
5arctan 2 arctan car 7
7 79 2 2 79
p p
p p
15 mai 2014
EXTRI393 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2014.
Résoudre l'équation trigonométrique suivante : tan tan 3 sin 2 0
Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
x x x
Solution proposée par Fabienne Zoetard
: 2
3 2 6 3
sin sin 3 sin cos 3 cos sin 3 sin 4 tan tan 3
cos cos 3 cos cos 3 cos cos 3
sin 4 2 sin 2 cos 2
sin 2 0 sin 2 0
cos cos 3 cos cos 3
1 sin 2 0 2
2 Compte tenu des :
x k
CE k
x k x
x x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x k x k
CE x
2
2
2sin .cos
2 2 2 2 2
1 cos
2 4 2 2
2 cos 2
2 1 0
cos cos 3
2 cos 2 cos cos 3 0
2 cos 2 cos cos 2 cos sin 2 sin 0 2 cos 2 cos .cos 2 cos .sin . sin 2 0
2 cos 1 cos 2 cos 1 2 cos .sin 0
4 cos 2 2 cos cos 2 cos 2 co
x x
x
k x
x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x
4
4 2
2
s 0
4 cos cos 2 0
1 33
A rejeter car 0 cos 8
1 33
8
1 33
a) cos 0.770 0.692 2
8
1 33
b) cos 0.770 2.450 2
8
x
x x
x
x x k
x x k
10 novembre 2014
EXTRI394 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2014.
Vérifier l'identité suivante : cot .cot 2 1
cos 2 sin 2 . tan cot .cot 2 1
x x
x x x
x x
Solution proposée par Fabienne Zoetard Premier membre :
cos cos 2
. 1
cot .cot 2 1 sin sin 2 cos .cos 2 sin .sin 2 cos 3 cos cos 2
cot .cot 2 1 . 1 cos .cos 2 sin .sin 2 cos
sin sin 2 Deuxième membre :
sin cos .cos 2 sin .sin 2 cos 2 sin 2 .
cos cos
x x
x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
cos 3
cos x x
10 novembre 2014
EXTRI395 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2014.
Par une point fixe d'un segment , on mène une perpendiculaire à . Elle coupe en et les côtés et d'un triangle inscrit à un demi-cercle de diamètre . Montrer que le produit entre
P AB AB D
E AC BC ABC AB
PD
34
et est une constante quelle que soit la position du point sur le cercle.
Calculer la valeur de cette constante lorsque le point est situé aux d'un segment de 12 cm de longueur.
PE C
P QB
Solution proposée par Fabienne Zoetard
cot
Remarquons que pour que le triangle existe, il faut et .
Si ou , alors et . 0 .
Soient les triangles et . On a : . . tan . . tan
. . tan . tan 90
A
ABC C A C B
C A C B P D E PD PE cste
ADP BCP PD PE AP A BP B
AP BP A A
1
2
. car est fixe.
Si 12 cm, alors 3 cm et 9 cm . 27 cm
AP BP cste P
AB PD PE AP BP
10 novembre 2014
EXTRI396 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2014.
Dans l'angle formé par un mur érigé verticalement par rapport au sol horizontal, une petite balle de rayon vient se coincer. Une balle de plus grand rayon vient, elle aussi se caler dans cet angle e
r R
t cacher la plus petite.
Les centres de ces balles (sphériques) se trouvant dans le même plan, perpendiculaire au mur et au sol, quelle est la condition géométrique (relation entre et ) pour que la r R grande balle (supposée indéformable) bloque la plus petite sans l'écraser?
Qu'adviendra-t-il si la grande balle est un ballon de football (diamètre 22 cm) et la petite balle est une balle de ping-pong (diamètre de 4 cm)?
Solution proposée par Fabienne Zoetard
2
.cos 45 .cos 45
2 2
Les balles seront bloquées si :
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2 1 1
2 2
. . . 3 2 2
2 2 2
1 1 . 1
2 2 2
Si 2 cm et 11 cm :
2 2 11 2
2 2 11.19
2 2 2
AB r BC r CD R
AD R
r r R R
r R
r R R r R
r R
r r R
11
Dans ce cas, les deux balles sont légèrement écrasées.
EXTRI397 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014 .
4 4 4 4
Montrer que
3 5 7 3
sin sin sin sin
8 8 8 8 2
4 4 4 4
2 2
7 3 7
Notons que sin sin et que sin sin car ce sont des sinus d'angles
8 8 8 8
supplémentaires. L'espression devient :
3 1 3
2sin 2 sin 4sin 4 sin
8 8 2 8 8
1 3
1 cos 1 cos Formu
2 4 4
2 2
le de Carnot
1 2 2
1 1
2 2 2
1 1 1 3
1 2 1 2
2 2 2 2
5 décembre 2014
EXTRI398 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014 .
Résoudre l'équation :
cos 3 cos 7 1 cos10
représenter les solution entre 0 et 2 sur le cercle trigonométrique x x x
2 2
cos 3 cos 7 1 cos10
2 cos5 .cos 2 1 2 cos 5 1 (Simpson et Carnot) cos5 .cos 2 cos 5
1) cos5 0 5 2 2
2 10 5
2) cos 2 cos5
5 2 2 3 2 2
3
5 2 2 7 2 2
7
x x x
x x x
x x x
x x k x k
x x
x x k x k x k
x x k x k x k
5 décembre 2014
EXTRI399 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014
.EPL, UCL, LLN, juillet 2017.
Deux églises sont situées de part et d'autre d'une place horizontale. Les clochers de ces deux églises sont représentés respectivement par les segments et . Les bases de ces clochers sont séparées
AB CD
d'une distance . Un observateur placé au point voit le sommet du clocher opposé sous un angle . De même un observateur situé au point voit le sommet du clocher opposé sous un angle valant
k C B
BCA A
DAC la moitié de l'angle . La somme des angles et sous lesquels un observateur placé au point voit respectivement les sommets et est égale à 90°. Si la distance vaut 60 m, déterminer la
BCA
BEA DEC E
B D k hauteur des deux clochers
et . AB CD
Nous reprenons la solution proposée par l’université.
(Prof. P. Duysinx et Prof. P. Dewallef)
Solution proposée par Martine Devillers
2
1 1 2
1 2
1 1 2
1 2
2
2 2
tan 2 60
tan .tan 3600.tan .tan
tan 60 2 3600 2
90 tan .tan tan .tan 90 1 tan .tan 1
2 4
tan tan .tan 900
30 900
tan 30 2 tan
2 tan 1 8 tan
2 4
1 tan 2 l l l l
l l
l l l
l l l
2 2
2 1
2
1 2
1 1
1 tan tan avec 0,90 tan
2 2 2 9 2 3
60 900
Finalement : 60 tan 20 m 45 m
2 3
Réponse : 45 m, 20 m
l l
l
l l
20 janvier 2015
