A234. Attention, virages !
Problèmes proposés par Jean Luc Piedanna.
Problème 1 : vous devez faire passer un grand tableau carré qui a la hauteur du plafond de 5 mètres dans l’angle droit d’un couloir dont la largeur passe de 2 mètres à 1,5 mètres (voir figure n°1 ci-dessous). Y parviendrez-vous ? Problème 2 : vous êtes au volant d’un camion de longueur L et de largeur 2 mètres et vous devez tourner à angle droit de la rue de Beaujolais large de 6 mètres pour aller dans la rue de Valois large de 7 mètres qui longe le jardin du Palais Royal (voir figure n°2 ci-dessous). Quelle est la longueur maximale de L qui vous permet de continuer votre route ?
Problème 1
Considérons le grand tableau que l’on fait glisser le long des murs du couloir. On l’assimile à un segment de longueur L = 5 m dont chaque extrémité se déplace sur les axes d’un repère orthonormé.
Posons αla coordonnée angulaire du vecteur normal à ce segment (voir figure).
Le support ∆ du segment a alors une équation de la forme ∆: cosx α+ysinα=k avec
2 2
2 sin cos
sin cos
k k
L k L α α
α α
+ = ⇒ =
.
Soit finalement ∆: cosx α+ysinα=Lsinαcosα
Cette famille de droites a pour enveloppe E, l’astroïde d’équation :
3 2 2 2
3 3 3
2 2 3
: cos sin sin cos
: : sin :
: - sin cos (cos sin ) cos
x y L
x L
x y L
x y L y L
α α α α
α
α α α α α
α
∆ + =
=
⇔ ⇔ + =
∂∆
+ = − =
∂
E E E
A
O α
(2,1.5)
(0,0)
L=5
La surface délimitée par l’astroïde correspond à l’aire balayée par le segment.
On constate alors numériquement que le point A(2 ;1,5) appartient à cette surface de balayage :
2 2 2
3 3 2,897771749 3 2, 924017738
A A
x +y = <L =
Ce qui nous permet de conclure qu’on ne parviendra pas à faire passer le tableau dans l’angle du couloir.
Problème 2
Utilisons des notations analogues au problème précédant.
Le côté extérieur du camion (qui suit les bords de la chaussée) est un segment, de longueur L et de support ∆, dont chaque extrémité se déplace sur les axes d’un repère orthonormé.
Le côté intérieur du camion est un segment de support ∆′ parallèle à ∆ et distant de h = 2 m de celui-ci.
Posons αl’angle du vecteur normal à ∆ et ∆′ et calculons l’équation de ∆′. : cosx α ysinα Lsinαcosα h
∆′ + = +
Cette famille de droites a pour enveloppe E’ une courbe (« parallèle » à l’astroïde) d’équation paramétrique :
3 3
sin cos
:
cos sin
x L h
y L h
α α
α α
= +
′
= +
E
A
O α
L
(7,6)
(0,0)
h=2
Considérons le point A(7 ;6) et cherchons L tel que A∈E′. On pose tan t α2
= .
3 2
2 2
3
6 4 3 2
3 2 3
2 2
2 1
7 2
1 1
sin cos
9 31 48 11 5 0
cos sin 1 2
6 2
1 1
A A
t t
L t t
x L h
t t t t
y L h t t
L t t
α α
α α
−
= +
+ +
= +
⇒ ⇒ − + + − =
= +
−
= +
+ +
Qui admet comme solution positive t ≈ 0,4356010994, d’où on déduit α ≈ 0,821630999, et enfin L ≈ 14,3591654.
Il est possible de continuer sa route avec un camion de longueur maximale d’environ 14,3591654 mètres.
