2nde Correction DM n°3
1. D'après l'énoncé, AB=15 , AC=9 , BD=6 , a. Si x=2 , alors AM=2 et BM=13
AMC est rectangle en A donc, d'après le théorème de Pythagore, MC2=AM2AC2=2292=85 BMD est rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, MD2=BM2BD2=13262=205 b. De même, si x=10, on a AM=10 et BM=5 et on trouve MC2=181 et MD2=61
c. Si x=2 , MC2MD2 donc MCMD, c'est donc l'oiseau C le plus proche du poisson.
Si x=10, MC2MD2 donc MCMD, c'est donc l'oiseau D le plus proche.
Ce n'est donc pas toujours le même oiseau qui est le plus proche du poisson.
2. D'après l'énoncé x∈]0;15 [, AM=x et donc BM=AB−AM=15−x. AMC est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore :
MC2=AM2AC2=x292 d'où MC2=x281
BMD est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore : MD2=BM2BD2=15−x262=225−30xx236
d'où MD2=x2−30x261 3.
Valeur de x 0,5 2 3 8 10 12,78 14
MC2 81,25 85 90 145 181 244,33 277
MD2 246,25 205 180 85 61 40,93 37
Oiseau le
plus proche C C C D D D D
4. a. Si en se jetant sur lui les oiseaux ont atteint le poisson au même moment, c'est qu'ils étaient tous les deux à la même distance donc MC=MD : M se trouve sur la médiatrice du segment [CD]. Le point M est donc le point d'intersection entre [AB] et la médiatrice de [CD].
b. MC=MD revient à MC2=MD2, il faut donc résoudre l'équation : x281=x2−30x261 . Résolution : x281=x2−30x261 revient à 30x=180 c'est-à-dire x=6, or 6∈]0;15 [ donc l'ensemble-solution de l'équation est S={6}
Le poisson est à 6 mètres du palmier (de pied A) sur lequel se trouve l'oiseau C.
5. L'oiseau C est le plus proche si et seulement si MCMD
MCMD revient à MC2MD2, il faut donc résoudre l'inéquation : x281x2−30x261. Résolution : x2812−30x261 revient à 30x180 c'est-à-dire x6 ou encore x∈]−∞;6 [, or on sait que x∈]0;15 [ donc l'ensemble-solution de l'inéquation est S=]0;15 [∩]−∞;6[=] 0;6 [ L'oiseau C est le plus proche lorsque le poisson est à une distance comprise entre 0 et 6 mètres de son palmier (de pied A).
A B
C
D
M
