A234 : Attention, virages !
Le premier problème se résout presque sans aucun calcul…
En plaçant l’origine à l’angle aigu des couloirs, on voit que le coin qu’il faut contourner (un avatar du premier triplé pythagoricien) appartient au cercle de centre l’origine et de rayon 2,5 m, qui est également la trajectoire du milieu du segment représentant le
tableau, lorsque ses extrémités s’appuient sur les axes (la médiane du triangle rectangle étant égale à la moitié de l’hypothénuse). Ce coin n’est pas confondu avec le point de contact du cercle et du segment lorsque celui-ci lui est tangent, c’est à dire quand il forme un triangle isocèle rectangle avec les axes : il est donc au dessous du segment dans cette position, que l’on ne peut atteindre: ça ne passe pas !
Prenons des axes similaires pour le second problème : soient donc (a, b) les
coordonnées du coin C du jardin du Palais Royal avec a=7, b=6, et d=2 la largeur du camion. Le coté extérieur du rectangle représentant le camion sera un segment de longueur l dont les extrémités sont sur les axes, et au plus près, ce segment sera à une distance d de C ; l’équation de la droite qui le porte sera donc de la forme :
(x-a)cost + (y-b)sint+d=0 (en désignant par t l’angle du vecteur normal). Les extrémités du segment sont donc (acost+bsint-d)/cost, 0) et (0, acost+bsint-d)/sint), sa longueur vaut l=(acost+bsint-d)(1/cos2t+1/sin2t)1/2=(acost+bsint-d)/(sintcost), dont la dérivée par rapport à t s’annule si acos3t-bsin3t+d(cos2t-sin2t)=0, qu’il faut résoudre par des moyens graphiques ou numériques.
Tous calculs faits, avec les valeurs numériques du problème, on trouve une valeur maximale de l=14,366…m.
A noter que l’enveloppe du coté extérieur du camion, comme celle du tableau est une branche d’astroïde, ou hypocycloïde à 4 points de rebroussement (H4), et celle du coté intérieur une hypotrochoïde parallèle à l’astroïde.
