Méthodes numériques II

(1)

Méthodes numériques II

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2019/02/19

2019/02/19 1 / 85

(2)

Partie IV

Résolution numérique des E.D.P.

2019/02/19 2 / 85

(3)

1

Exemples d’E.D.P.

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies

4

Méthode des différences finies 1D

5

Problème modèle évolutif

2019/02/19 3 / 85

(4)

Plan

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Exemples d’E.D.P. 2019/02/19 4 / 85

(5)

Equation de Laplace et équation de Poisson

Pierre-Simon Laplace 1749-1827, mathématicien, astronome, physicien et homme politique français

Siméon Denis Poisson 1781-1840, mathématicien, géomètre et physicien français

´ ∆u “ f , dans Ω Ă R ⁿ (4.1)

où ∆ est l’opérateur laplacien : ∆u “

^B_Bx²

^u

2

1

` . . . `

^B_Bx²

^u

2 n

. Equation de Laplace si f “ 0, sinon équation de Poisson.

Exemples d’E.D.P. Equation de Laplace/Poisson 2019/02/19 5 / 85

(6)

Conditions aux limites

´ ∆u “ f , dans Ω Ă R ⁿ

‚ Dirichlet si on impose, sur une partie de BΩ,

u “ g , sur Γ _D Ă BΩ. (4.2)

‚ Neumann si on impose sur une partie de BΩ, Bu

Bn “ g , sur Γ _N Ă BΩ. (4.3) où

^Bu_Bn

“ x grad grad grad u, n n ny avec n n n normale exterieure unitaire à Ω

‚ Robin si on impose sur une partie de BΩ Bu

Bn ` αu “ g , sur Γ _R Ă BΩ. (4.4)

(7)

Find u : Ω ÝÑ R such that

´ ∆u “ 0 in Ω Ă R

²

, u “ 0 on Γ

10

, u “ ´1 on Γ

2

Y Γ3, u “ 1 on Γ

1

Y Γ4, Problème de condensateur en 2D

!₁ !₂

!3 !₄

!₁₀

(8)

Find u : Ω ÝÑ R such that

´ ∆u “ 0 in Ω Ă R

²

, u “ 0 on Γ

10

, u “ ´1 on Γ

2

Y Γ3, u “ 1 on Γ

1

Y Γ4, Problème de condensateur en 2D

!₁ !₂

!3 !₄

!₁₀

(9)

Find u : Ω ÝÑ R such that

´ ∆u “ 0 in Ω Ă R

²

, u “ 0 on Γ

10

, u “ ´1 on Γ

2

Y Γ3, u “ 1 on Γ

1

Y Γ4, Problème de condensateur en 2D

!₁ !₂

!3 !₄

!₁₀

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

(10)

Trouver

u: ΩÝÑR

tel que

´∆u “

0 dans

ΩĂR², u “ ´1 surΓ₂YΓ3, u “

1 sur

Γ₁YΓ4, Bu

Bn “

0 sur

Γ₁₀.

Champ de vitesses en 2D :V V V “ ∇ ∇ ∇ u

!₁ !

2

!₃ !

4

!₁₀

(11)

Trouver

u: ΩÝÑR

tel que

´∆u “

0 dans

1 sur

Γ₁YΓ4, Bu

Bn “

0 sur

Γ₁₀.

Champ de vitesses en 2D :V V V “ ∇ ∇ ∇ u

!₁ !

2

!₃ !

4

!₁₀

(12)

Trouver

u: ΩÝÑR

tel que

´∆u “

0 dans

1 sur

Γ₁YΓ4, Bu

Bn “

0 sur

Γ₁₀.

Champ de vitesses en 2D :V V V “ ∇ ∇ ∇ u

!₁ !

2

!₃ !

4

!₁₀

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

(13)

Problème mal posé

Find u : Ω ÝÑ R such that

´∆u “ f in Ω Ă R ⁿ , Bu

Bn “ g sur BΩ.

Problème en dimension n

où Ω est un domaine borné de R ⁿ .

Ce problème est mal posé : non unicité de la solution.

u solution ñ u ` constante solution

(14)

Equation de la chaleur

Bu

Bt pt, xxxq ´ D∆u pt, xxxq “ f pt, xxx q

ρc , @xxx P Ω, @t P r0, T s (4.5)

‚ Ω Ă R ^d de frontière BΩ

‚ D, coefficient de diffusivité thermique (en m

²

{s),

‚ f , production volumique de chaleur (en W {m

³

),

‚ ρ, masse volumique du matériau (en kg {m

³

),

‚ c , chaleur spécifique massique du matériau (en J{kg {K ),

‚ ∆u laplacien (en espace) : ∆u “

^B_Bx²

^u

2

1

` . . . `

^B_Bx²

^u

2 d

Problème bien posé ?

Exemples d’E.D.P. Equation de la chaleur 2019/02/19 10 / 85

(15)

Equation de la chaleur

Bu

Bt pt, xxxq ´ D∆u pt, xxxq “ f pt, xxx q

ρc , @xxx P Ω, @t P r 0, T s (4.5) Problème bien posé :

‚ condition initiale

@xxx P Ω, u p0, xxxq “ u

₀

pxxx q (4.6)

‚ conditions aux limites sur BΩ

§ Dirichlet :

@xxx P Γ

D

Ă BΩ, @t P r0, T s upt , xxxq “ g

D

pt, xxxq

§ Neumann :

@xxx P Γ

N

Ă BΩ, @t P r0, T s D Bu

Bn pt, xxxq “ g

N

pt, xxxq

§ Robin :

@xxx P Γ

R

Ă BΩ, @t P r0, T s D Bu

Bn pt, xxxq ` αupt, xxxq “ g

N

pt, xxxq

(16)

Find u : Ω Ă R

²

ÝÑ R such that B u

Bt ´ D∆u “ 0 in r0,T s ˆ Ω, up0,xxx q “ 20 @xxx P Ω,

Bu

B n “ 0 on Γ

₁₀

, u “ g

1

on Γ

2

Y Γ3, u “ g

2

on Γ

1

Y Γ4, Problème de chaleur en 2D

où Ω (cotés de 20cm)

‚ D “ 98.8 ˆ 10

^´6

(aluminium) ou D “ 23.9 ˆ 10

^´6

(plomb),

‚ @xxx P Γ

2

Y Γ3,

g

1

pt, xxxq “ p20 ` 40tq si t ă“ 1 et g

1

pt, xxxq “ 60 sinon,

‚ @xxx P Γ

1

Y Γ4,

g

2

pt, xxxq “ p 20 ` 80tq si t ă“ 1 et g

2

pt, xxxq “ 100 sinon.

!1 !2

!3 !4

!10

(17)

Equation des ondes

B

²

u

Bt

²

pt, xxx q ´ c

²

∆u pt, xxxq “ 0, @xxx P Ω, @t P r 0, T s (4.7)

‚ Ω Ă R ^d de frontière BΩ

‚ c ą 0 vitesse de propagation de l’onde, Problème bien posé ?

Exemples d’E.D.P. Equation des ondes 2019/02/19 12 / 85

(18)

B

²

u

Bt

²

pt, xxx q ´ c

²

∆u pt, xxxq “ 0, @xxx P Ω, @t P r0, T s

‚ conditions initiales

up 0,xxx q “ u

0

pxxx q, @xxx P Ω [position initiale] (4.8) Bu

Bt p0,xxx q “ v

₀

pxxx q, @xxx P Ω [vitesse initiale] (4.9)

‚ conditions aux limites sur BΩ

§ Dirichlet :

@xxx P Γ

D

Ă BΩ, @t P r0, T s, upt , xxxq “ g

D

pt , xxxq

§ Neumann :

@xxx P Γ

N

Ă BΩ, @t P r0, T s, c

²

Bu

Bn pt , xxxq “ g

N

pt, xxxq

§ Robin :

@xxx P Γ

_R

Ă BΩ, @t P r0, T s, c

²

Bu

Bn pt , xxxq ` αupt , xxxq “ g

_N

pt , xxxq

Exemples d’E.D.P. Equation des ondes 2019/02/19 13 / 85

(19)

Plan

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Méthodes de résolution numérique

d’EDP 2019/02/19 14 / 85

(20)

Résolution numérique d’EDP

Méthodes déterministes :

‚ méthode des différences finies

‚ méthode des éléments finis

‚ méthode des volumes finis

Méthodes de résolution numérique

d’EDP 2019/02/19 15 / 85

(21)

Plan

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Opérateurs aux différences finies 2019/02/19 16 / 85

(22)

Opérateurs aux différences finies

Soient ϕ : R ÝÑ R suffisament régulière, h ą 0 et x P R pD _h

^`

ϕqpxq “ 1

h pϕpx ` hq ´ ϕpxqq (4.12)

pD _h

^´

ϕqpxq “ 1

h pϕpxq ´ ϕpx ´ hqq (4.13) pD _h

⁰

ϕqpxq “ 1

2h pϕpx ` hq ´ ϕpx ´ hqq (4.14)

‚ D _h

^`

opérateur progressif/décentré avancé

‚ D _h

^´

opérateur rétrograde/décentré retardé

‚ D _h

⁰

opérateur centré

Opérateurs aux différences finies Dimension 1 2019/02/19 17 / 85

(23)

Definition 4.1

Soit h ą 0. On dit qu’un opérateur aux différences finies D

h

est une approximation consistante d’ordre p de

^d_dx^k^ϕk

si pour tout ϕ : ra, bs ÝÑ R suffisament régulière on a

max

xPra,bs

ˇ ˇ ˇ ˇ

pD

h

ϕqpxq ´ d

^k

ϕ dx

^k

pxq

ˇ ˇ ˇ

ˇ ď Ch

^p

, (4.15)

où C est une constante indépendante de h.

Proposition 4.2

Si ϕ : R ÝÑ R est suffisament régulière, les opérateurs D

_h^`

et D

_h^´

appliqués à ϕ sont des approximations consistantes d’ordre 1 de

^dϕ_dx

et l’opérateur D

_h⁰

appliqué à ϕ est une approximation consistante d’ordre 2 de

^dϕ_dx

.

(24)

Exercice 1

Soient

hą

et les trois opérateurs aux différences finies suivant

pD_h^`ϕqpxq “

1

hpϕpx`hq ´ϕpxqq pD_h^´ϕqpxq “

1

hpϕpxq ´ϕpx´hqq pD⁰_hϕqpxq “

1 2h

pϕpx`hq ´ϕpx´hqq

Q.1

Montrer que ces trois opérateurs sont linéaires (i.e.

@pλ, µq PR²,@ϕ: RÝÑ R,

@ψ:RÝÑR,D_hpλϕ`µψq “λD_hϕ`µD_hψ.)

Q.2

On suppose que

ϕPC^kpra,bs;Rq

avec

kě

2. Montrer que les opérateurs

D_h^`

et

D_h^´

sont des approximations consistantes d’ordre 1 de

^dϕ_dx.

Q.3

On suppose que

ϕPC^kpra,bs;Rq

avec

k ě

3. Montrer que l’opérateur

D_h⁰

est une approximation consistante d’ordre 2 de

^dϕ_dx.

(25)

Proposition 4.3

Soient ϕ P C

⁴

pra, bs; Rq. On note D

_h²

l’opérateur défini, pour tout x Psa, br et h ą 0 tels que x ˘ h P ra, bs, par

pD

_h²

ϕqpxq

^def

“ 1

h

²

rϕpx ` hq ´ 2ϕpxq ` ϕpx ´ hqs . (4.16) Alors D

_h²

ϕ appliqué à ϕ est une approximation consistante d’ordre 2 de

^d_dx²^ϕ₂

. De plus on a

D

_h²

ϕ “ D

⁰h 2

pD

⁰h 2

ϕq “ D

_h^`

pD

_h^´

ϕq “ D

_h^´

pD

_h^`

ϕq (4.17) est une approximation consistante d’ordre 2 de

^d_dx²^ϕ₂

.

Démonstration en exercice

(26)

Dimension n ą 1

Proposition 4.4: (admis)

Soit U un ouvert non vide de R ⁿ et f une application f : U Ă R ⁿ ÝÑ R avec f P C ^r pUq. Soient xxx P U, i P v 1, nw, et @h P R

^˚

vérifiant

@t P r0, 1s, xxx ` theee

^ris

où eee

^ris

est le i -ème vecteur de la base canonique de R ⁿ .

Alors il existe θ Ps 0, 1 r tel quel f pxxx ` heee

^ris

q “ f pxxxq `

r´1

ÿ

k“1

h ^k k!

B ^k f

Bx _i ^k pxxx q ` h ^r r !

B ^r f

Bx _i ^r pxxx ` θheee

^ri^s

q (4.18) où eee

^ris

est le i-ème vecteur de la base canonique de R ⁿ .

Opérateurs aux différences finies Dimensionną1 2019/02/19 21 / 85

(27)

Opérateurs aux différences finies en dimension n ą 1

Soient ϕ : U Ă R ⁿ ÝÑ R suffisament régulière, h ą 0 et i P v1, nw pD _h,i

^`

ϕqpxxx q “ 1

h

´

ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ ϕpxxx q

¯

(4.19) pD _h,i

^´

ϕqpxxx q “ 1

h

´

ϕpxxxq ´ ϕpxxx ´ heee

^ri^s

q

¯

(4.20) pD _h,i

⁰

ϕqpxxx q “ 1

2h

´

ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ ϕpxxx ´ heee

^ri^s

q

¯

(4.21)

(28)

Exercice 2

Soientϕ:UĂR²ÝÑRune fonction suffisament régulière,hą0 et les trois opérateurs aux différences finies suivant définis pouriP v1,2w

pD_h,i^`ϕqpxxxq “ 1 h

´

ϕpxxx`heee^risq ´ϕpxxxq¯ pD_h,i^´ϕqpxxxq “ 1

h

´

ϕpxxxq ´ϕpxxx´heee^risq

¯

pD_h,i⁰ϕqpxxxq “ 1 2h

´

ϕpxxx`heee^risq ´ϕpxxx´heee^risq

¯

aveceee^r1s“ ˆ1

0

˙ eteee^r2s“

ˆ0 1

˙ .

Q.1 Monter que ces trois opérateurs sont linéaires (i.e. @pλ, µq P R²,@ϕ: UĂR² ÝÑR,@ψ : UĂR²ÝÑR,D_h,ipλϕ`µψq “λD_h,iϕ`µD_h,iψ.)

Q.2 On suppose queϕPC^kpUĂR²;Rqaveckě2.Montrer que les opérateursD_h,i^` etD_h,i^´ appliqués à ϕsont des approximations consistantes d’ordre 1 de_Bx^Bϕ_i.

Q.3 On suppose queϕPC^kpUĂR²;Rqaveckě3.Montrer que l’opérateurD_h,i⁰ appliqué àϕest une approximation consistante d’ordre 2 de_Bx^Bϕ

i.

(29)

Proposition 4.5

Si ϕ : U Ă R

ⁿ

ÝÑ R est suffisament régulière, les opérateurs D

_h,i^`

et D

_h,i^´

appliqués à ϕ sont des approximations consistantes d’ordre 1 de

_Bx^Bϕ

i

et l’opérateur D

_h,i⁰

appliqué à ϕ est une approximation consistante d’ordre 2 de

_Bx^Bϕ

i

.

Proposition 4.6

Soient i P v1, nw, ϕ P C

⁴

pU Ă R

ⁿ

; Rq. On note D

_h,i²

l’opérateur défini, pour tout xxx P U et h ą 0 vérifiant xxx ˘ heee

^ris

P U, par

pD

_h,i²

ϕqpxxxq

^def

“ 1 h

²

”

ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ 2ϕpxxx q ` ϕpxxx ´ heee

^ris

q ı

(4.22)

Alors D

_h,i²

ϕ est approximation consistante d’ordre 2 de

^B_Bx²^ϕ2 i

. De plus, on a

D

_h,i²

ϕ “ D

⁰h 2,i

pD

⁰h

2,i

ϕq “ D

_h,i^`

pD

_h,i^´

ϕq “ D

_h,i^´

pD

_h,i^`

ϕq. (4.23)

(30)

Plan

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Méthode des différences finies 1D 2019/02/19 25 / 85

(31)

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D + Dirichlet 2019/02/19 26 / 85

(32)

Soient a ă b, c ą 0, α P R , β P R , et f : ra, bs ÝÑ R donnés.

Trouver u : ra, bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa, br, upaq “ α,

upbq “ β.

EDP modèle stationnaire 1D

ou

Trouver upxq P R , @x P ra, bs telle que

´u

²

pxq ` cupxq “ f pxq @x Psa, br, upaq “ α,

upbq “ β.

EDP modèle stationnaire 1D : formulation aux points

Chercher u ou upxq, @x P ra, bs (infinité de points!)

(33)

Trouver upxq P R , @x P ra, bs telle que

´u

²

pxq ` cupxq “ f pxq @x Psa, br, upaq “ α,

upbq “ β.

EDP modèle stationnaire 1D : formulation aux points

x _i “ a ` ih, @i P v 0, Nw, avec h “ b ´ a N .

Trouver upx

i

q P R , @i P v0, N w tels que

´u

²

px

i

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0, Nv, (4.24)

upx

₀

q “ α, (4.25)

upx

N

q “ β. (4.26)

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de dis- crétisation

(34)

Trouver upx

_i

q P R , @i P v0, Nw tels que

´u

²

px

_i

q ` cupx

_i

q “ f px

_i

q @i Pw0, Nv, upx

₀

q “ α,

upx

N

q “ β.

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de discrétisa- tion

u

²

px

i

q “ pD _h

²

uqpx i q ` Oph

²

q “ upx i`1 q ´ 2upx _i q ` upx i

´1

q

h

²

` Oph

²

q.

Trouver upx

i

q P R , @i P v0, Nw tels que

´ upx

i`1

q ´ 2upx

_i

q ` upx

i´1

q

h

²

´ Oph

²

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0, Nv,(4.27)

upx

0

q “ α, (4.28)

upx

_N

q “ β. (4.29)

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

(35)

Trouver upx

_i

q P R , @i P v0, Nw tels que

´u

²

px

_i

q ` cupx

_i

q “ f px

_i

q @i Pw0, Nv, upx

₀

q “ α,

upx

N

q “ β.

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de discrétisa- tion

u

²

px

i

q “ pD _h

²

uqpx i q ` Oph

²

q “ upx i`1 q ´ 2upx _i q ` upx i

´1

q

h

²

` Oph

²

q.

Trouver upx

i

q P R , @i P v0, Nw tels que

´ upx

i`1

q ´ 2upx

_i

q ` upx

i´1

q

h

²

´ Oph

²

q ` cupx

_i

q “ f px

_i

q @i Pw0, Nv,(4.27)

upx

0

q “ α, (4.28)

upx

_N

q “ β. (4.29)

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

(36)

Trouver upx

i

q P R , @i P v 0, N w tels que

´ upx

i`1

q ´ 2upx

_i

q ` upx

i´1

q

h

²

´ Oph

²

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0, N v, upx

0

q “ α,

upx

N

q “ β.

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

On oublie le Oph

²

q et on pose u

_i

« upx

_i

q.

Trouver u

i

P R , @i P v0, N w tels que

´ u

_i`1

´ 2u

_i

` u

_i´1

h

²

` cu

i

“ f px

i

q @i Pw0, N v, (4.30)

u

₀

“ α, (4.31)

u

N

“ β. (4.32)

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux différences finies

(37)

Trouver upx

i

q P R , @i P v 0, N w tels que

´ upx

i`1

q ´ 2upx

_i

q ` upx

i´1

q

h

²

´ Oph

²

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0, N v, upx

0

q “ α,

upx

N

q “ β.

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

On oublie le Oph

²

q et on pose u

_i

« upx

_i

q.

Trouver u

i

P R , @i P v0, N w tels que

´ u

_i`1

´ 2u

_i

` u

_i´1

h

²

` cu

i

“ f px

i

q @i Pw 0, N v, (4.30)

u

₀

“ α, (4.31)

u

N

“ β. (4.32)

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux différences finies

(38)

Trouver u _i P R , @i P v0, Nw tels que

´ u _i

`1

´ 2u _i ` u i´1

h

²

` cu _i “ f px _i q @i Pw0, Nv, (4.30)

u

0

“ α, (4.31)

u _N “ β. (4.32)

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux différences finies

système linéaire de N ` 1 équations à N ` 1 inconnues !

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

₀

“ α Ð eq. en x

₀

´u

2

` µu

1

´ u

0

“ h

²

f px

1

q Ð eq. en x

1

.. .

´u _N ` µu _N´1 ´ u _N´2 “ h

²

f px _N´1 q Ð eq. en x

_N´1

u N “ β Ð eq. en x

N

avec µ “ 2 ` ch

²

.

(39)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

0

“ α Ð eq. en x

0

´u

2

` µu

1

´ u

0

“ f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µu

₂

´ u

₁

“ f px

₂

q Ð eq. en x

₂

.. .

´u N´1 ` µu N´2 ´ u N´3 “ f px N´2 q Ð eq. en x

N´2

´u _N ` µu _N´1 ´ u _N´2 “ f px _N´1 q Ð eq. en x

_N´1

u N “ β Ð eq. en x

N

AU U U

^def

“

¨

˚

˝

1 0 . . . . . . . . . . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 . .. ... ... ... .. . .. . .. . .. . . .. ... ... ... 0 .. .

.. . 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 1

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u

0

u

1

u

2

.. . .. . u

N´2

u

N´1

u

_N

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ α h

²

f px

1

q h

²

f px

2

q

.. . .. . h

²

f px

_N´2

q h

²

f px

N´1

q

β

˛

‹

‚

def

“ B B B (4.33)

(40)

Proposition 4.1: admis

Le schéma aux différences finies (4.30)-(4.32) est consistant à l’ordre 2 avec l’EDP (4.24)-(4.24) et on a

iPv0,Nw max |u px i q ´ u i | “ Oph

²

q. (4.34)

(41)

Exercice 3: (schéma étudié en cours)

Q.1 Ecrire la fonctionAssembleMat1D retournant la matriceMPMdpRqdéfinie par

M“

¨

˚

˝

γ 0 0 . . . 0

β α β . .. ...

0 . .. ... ... ... ... ... . .. ... ... ... ... ...

... . .. ... ... ... 0

... . .. β α β

0 . . . 0 0 γ

˛

‹

‚

(4.35)

oùα, βetγsont des réels donnés.

On souhaite résoudre par un schéma aux différences finies l’EDP suivante

´u²`cu “ f insa,br, upaq “ α, upbq “ β.

Q.2 En prenant le jeu de donnéesa“0,b“2π,c“1, α“1, β“ ´1 etf:xÞÑcospx²q,écrire un programme permettant de résoudre l’EDP précédente. On pourra utiliser la fonctionXXXÐSolvepA,BBBqretournant la solution du système linéaireAXXX“BBB.

Q.3 En choisissant judicieusement un jeu de données écrire un programme permettant de vérifier l’ordre du schéma utilisé à l’aide de la formule (4.34).

(42)

1e-3 1e-2 1e-1 1e-6

1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

h

Error(h) O(h) O(h^2)

Figure: Représentation en échelle logarithmique

(43)

1 f u n c t i o nM=A s s e m b l e M a t 1 D(d,alpha,beta,g a m m a)

2 M=s p a r s e(d,d) ;

3 M(1 ,1) =g a m m a;M(d,d) =g a m m a;

4 for i=2:d-1

5 M(i,i) =a l p h a;

6 M(i,i-1) =b e t a;M(i,i+1) =b e t a;

7 end

8 end

Listing 1:fonction Matlab/OctaveAssembleMat1D

1 f u n c t i o n[x,U]=s o l v e E D P 1(a,b,c,alpha,beta,f,N)

2 h=(b-a) /N;

3 x=a:h:b;

4 A=A s s e m b l e M a t 1 D(N+1 ,2+c*h*h, -1 ,h*h) ;

5 B=z e r o s(N+1 ,1) ;

6 B(1) =a l p h a;B(N+1) =b e t a;

7 for i=2:N

8 B(i) =f(x(i) ) ;

9 end

10 B=h*h*B;

11 U=A\B;

12 end

Listing 2:fonction Matlab/OctavesolveEDP1

1 c l e a r all

2 c l o s e all

3 % I n i t i a l i s a t i o n des d o n n e e s

4 uex=@(x) sin(x. ^2 ) ;

5 c=1;

6 f=@(x) 4*x^2*sin(x^2) - 2*cos(x^2) +c*sin(x^2) ;

7 a=0;b=2*pi;

8 % C a l c u l des e r r e u r s

9 LN= [ 1 0 0 , 2 0 0 , 4 0 0 , 8 0 0 , 1 6 0 0 , 3 2 0 0 ] ;

10 k=1;

11 for N=LN

12 [x,U]=s o l v e E D P 1(a,b,c,uex(a) ,uex(b) ,f,N) ;

13 H(k) =(b-a) /N;

14 E(k) =max(abs(uex(x) ’ -U) ) ;

15 k=k+1;

16 end

17 % R e p r e s e n t a t i o n g r a p h i q u e

18 l o g l o g(H,E, ’r < - ’ , ’ L i n e W i d t h ’ ,2)

19 h o l don

20 l o g l o g(H,H, ’ kd : ’ , ’ L i n e W i d t h ’ ,2)

21 l o g l o g(H,H.^2 , ’ k *: ’ , ’ L i n e W i d t h ’ ,2)

22 l e g e n d( ’ E r r o r ( h ) ’ , ’ O ( h ) ’ , ’ O ( h ^2) ’ )

23 x l a b e l( ’ h ’ )

Listing 3:Script Matlab/Octave pour la représentation de l’ordre

(44)

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire + CL mixtes 2019/02/19 37 / 85

(45)

EDP stationnaire + CL mixtes

Trouver u : ra, bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa, br, (4.36)

upaq “ α, (4.37)

u

¹

pbq “ β. (4.38)

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Seule la dernière ligne du système linéaire est à modifier! Remplacer par ???

u

¹

px N q “ pD _h

^`

uqpx N q ` Ophq “ upx N q ´ upx N´1 q

h ` Ophq “ β. u

N

´ u

N´1

h “ β. (4.39)

(46)

EDP stationnaire + CL mixtes

Trouver u : ra, bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa, br, (4.36)

upaq “ α, (4.37)

u

¹

pbq “ β. (4.38)

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Seule la dernière ligne du système linéaire est à modifier! Remplacer par ???

u

¹

px N q “ pD _h

^`

uqpx N q ` Ophq “ upx N q ´ upx N´1 q

h ` Ophq “ β.

u

N

´ u

N´1

h “ β. (4.39)

(47)

EDP stationnaire + CL mixtes

Trouver u : ra, bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa, br, (4.36)

upaq “ α, (4.37)

u

¹

pbq “ β. (4.38)

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Seule la dernière ligne du système linéaire est à modifier! Remplacer par ???

u

¹

px N q “ pD _h

^`

uqpx N q ` Ophq “ upx N q ´ upx N´1 q

h ` Ophq “ β.

u

N

´ u

N´1

h “ β. (4.39)

(48)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

0

“ α Ð eq. en x

0

´u

2

` µu

1

´ u

0

“ h

²

f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µu

₂

´ u

₁

“ h

²

f px

₂

q Ð eq. en x

₂

.. .

´u _N´1 ` µu _N´2 ´ u _N´3 “ h

²

f px _N´2 q Ð eq. en x

_N´2

´u _N ` µu _N´1 ´ u _N´2 “ h

²

f px _N´1 q Ð eq. en x

_N´1

u

N

´ u

N´1

“ hβ Ð eq. en x

N

AU U U

^def

“

¨

˚

˝

1 0 . . . . . . . . . . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 . .. ... ... ... .. . .. . .. . .. . . .. ... ... ... 0 .. .

.. . 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . . . . . . . . . . . . . ´1 1

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u

0

u

1

u

2

.. . .. . u

N´2

u

N´1

u

_N

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ α h

²

f px

1

q h

²

f px

2

q

.. . .. . h

²

f px

_N´2

q h

²

f px

N´1

q

hβ

˛

‹

‚

def

“ B B B (4.40)

Mais ...

(49)

Schéma d’ordre 1 !!!

1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1 1e+0 1e+1

h

(a) Représentation en échelle logarithmique de l’ordre du schéma

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

x

error(x)

Error for N=1600

(b) Représentation de l’erreur en fonction de x pour N “ 1600

Ecrire un schéma d’ordre 2 pour Neumann

(50)

TD

Exercice 4

Soit ϕ une fonction suffisament régulière et h ą 0 Q.1 Montrer que

d ϕ

dx pxq “ ´3ϕpxq ` 4ϕpx ` hq ´ ϕpx ` 2hq

2h ` Oph

²

q (4.41)

Q.2 Montrer que d ϕ

dx pxq “ 3ϕpxq ´ 4ϕpx ´ hq ` ϕpx ´ 2hq

2h ` Oph

²

q (4.42)

(51)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

0

“ α Ð eq. en x

0

´u

2

` µu

1

´ u

0

“ f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µu

₂

´ u

₁

“ f px

₂

q Ð eq. en x

₂

.. .

´u _N´1 ` µu _N´2 ´ u _N´3 “ f px _N´2 q Ð eq. en x

_N´2

´u _N ` µu _N´1 ´ u _N´2 “ f px _N´1 q Ð eq. en x

_N´1

3u

_N

´ 4u

_N´1

` u

N´2

“ 2hβ Ð eq. en x

N

AU U U

^def

“

¨

˚

˝

1 0 . . . . . . . . . . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 . .. ... ... ... .. . .. . .. . .. . . .. ... ... ... 0 .. .

.. . 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . . . . . . . . . . 1 ´4 3

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u

0

u

1

u

2

.. . .. . u

N´2

u

N´1

u

_N

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ α h

²

f px

1

q h

²

f px

2

q

.. . .. . h

²

f px

_N´2

q h

²

f px

N´1

q

2hβ

˛

‹

‚

def

“ B B B (4.54)

et ...

(52)

Schéma d’ordre 2

1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

h

(a) Représentation en échelle logarithmique de l’ordre du schéma

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

x

error(x)

Error for N=1600

(b) Représentation de l’erreur en fonction de x pour N “ 1600

(53)

Exercice 5

Soit le problème suivant

´u²pxq `cpxqupxq “ fpxq,@xPsa;br, (4.55)

u¹paq “ α, (4.56)

upbq “ β. (4.57)

oùcest une fonction positive.

Q.1

1 Quelles sont les données du problème (4.55)-(4.57)? (préciser le type de chaque donnée : réel, entier, fonction, vecteur, ...)

2 Quelles sont les inconnues du problème (4.55)-(4.57)? (préciser le type)

3 Quelles sont les conditions initiales?

4 Quelles sont les conditions aux limites?

Q.2 Construire une discrétisation régulière dera;bsavecNpas de discrétisation en espace.

On notex_i,iP v0,Nwcette discrétisation. On souhaite résoudre (4.55) à l’aide du schéma numérique

´ui`1´2u_i`ui´1

∆x² `ciui“fi. (4.58)

Q.3

1 Expliquer comment le schéma (4.58) a été obtenu à partir de (4.55) et préciser ce que représente les termesui,fi,ciet

∆x?

2 Donner l’ensembleEdes valeurs que peut prendreidans le schéma (4.55).

3 Construire une discrétisation des conditions aux limites d’ordre 2 au moins.

4 Le schéma global est de quel ordre? Justifiez.

On noteVVVle vecteur de dimensionN`1,de composantesVVV_i“ui´1,@iP v1,N`1w.

Q.4 Montrer que le vecteurVVVest solution du système linéaire

AVVV“FFF (4.59)

en explicitant la matriceAet le vecteurFFF(préciser les dimensions).

Q.5 Ecrire un algorithme complet de résolution du problème (4.55) à (4.57) basé sur (4.59). (Utiliserau maximumles fonctions). On pourra utiliser la fonctionXXXÐSolvepA,BBBqretournant la solution du système linéaireAXXX“BBB.

(54)

Plan

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Problème modèle évolutif 2019/02/19 45 / 85

(55)

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

(56)

Trouver u : r0, T s ˆ ra, bs ÝÑ R telle que Bu

Bt pt, xq ´ D B

²

u

Bx

²

pt , xq “ f pt, xq, @pt, xq Ps0, T sˆsa, br, (4.76) up0, xq “ u

0

pxq, @x P ra, bs (4.77)

´D Bu

Bx pt , aq “ αptq, @t P r 0, T s (4.78)

upt, bq “ βptq, @t P r0, T s (4.79)

EDP modèle instationnaire en dimension 1 : équation de la chaleur

où a ă b, D ą 0 (coefficient de diffusivité), α : r0, T s ÝÑ R ,

β : r 0, T s ÝÑ R , u

0

: ra, bs ÝÑ R et f : r 0, T s ˆ ra, bs ÝÑ R donnés.

condition de compatibilité :

u

0

pbq “ βp 0 q. (4.80)

(57)

x i “ a ` i ∆ x , @i P v 0, N x w, avec ∆ x “ pb ´ aq{N x

t ⁿ “ n∆ t , @n P v0, N t w, avec ∆ t “ T {N t . Objectif: Trouver u u u ⁿ _i « upt ⁿ , x _i q, @n P v 0, N t w, @i P v 0, N x w

x t

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

t⁰ t¹ t² t³ t⁴ t⁵ t⁶ t⁷

Figure: Représentation d’une grille espace-temps avec N

_t

“ 7 et N

_x

“ 9. Les noeuds de la grille sont les points bleus.

(58)

Trouver upt ⁿ , x _i q P R , @n P v 0, N t w, @i P v 0, N x w, tels que Bu

Bt pt ⁿ , x i q ´ D B

²

u

Bx

²

pt ⁿ , x i q “ f pt ⁿ , x i q, (4.81) upt

⁰

, x i q “ u

0

px i q, @i P v0, N x w, (4.82)

´D Bu

Bx pt ⁿ , x

0

q “ αpt ⁿ q, @n P v 0, N t w (4.83) upt ⁿ , x _N

_x

q “ βpt ⁿ q, @n P v0, N _t w (4.84) EDP modèle d’évolution en dimension 1 : équation de la chaleur, formulation aux points de discrétisation

ùñ il nous faut maintenant discrétiser les opérateurs de dérivation Bu

Bt , B

²

u Bx

²

et Bu

Bx

(59)

On déduit des développements de Taylor : B

²

u

Bx

²

pt, xq “ upt, x ` hq ´ 2upt, xq ` upt , x ´ hq

h

²

` Oph

²

q

Avec h “ ∆ _x on obtient B

²

u

Bx

²

pt ⁿ , x _i q “ upt ⁿ , x _i`1 q ´ 2upt ⁿ , x _i q ` u pt ⁿ , x _i

_´1

q

∆

²

_x ` Op∆

²

_x q (4.85)

(60)

On déduit des développements de Taylor : Bu

Bt pt, xq “ upt ` h, xq ´ upt, xq

h ` Ophq

Bu

Bt pt, xq “ upt, xq ´ upt ´ h, xq

h ` Ophq.

Avec h “ ∆ _t on obtient Bu

Bt pt ⁿ , x _i q “ upt ^n`1 , x _i q ´ u pt ⁿ , x _i q

∆ t

` Op∆ _t q (4.86) Bu

Bt pt ⁿ , x _i q “ upt ⁿ , x _i q ´ upt ^n´1 , x _i q

∆ _t ` Op∆ t q. (4.87)

(61)

On déduit des développements de Taylor : Bu

Bx pt, xq “ upt , x ` hq ´ upt , xq

h ` Ophq

Bu

Bx pt, xq “ upt , xq ´ upt, x ´ hq

h ` Ophq

Bu

Bx pt, xq “ upt , x ` hq ´ upt , x ´ hq

2h ` Oph

²

q

Bu

Bx pt, xq “ ´ 3upt, xq ` 4upt, x ` hq ´ upt, x ` 2hq

2h ` Oph

²

q

Bu

Bx pt, xq “ 3upt, xq ´ 4u pt, x ´ hq ` u pt, x ´ 2hq

2h ` Oph

²

q

On veut approcher

^Bu_Bx

pt ⁿ , x

0

q à l’ordre 2! ñ 4ème approximation.

Avec h “ ∆ _x on obtient Bu

Bx pt ⁿ , x

0

q “ ´3upt ⁿ , x

0

q ` 4upt ⁿ , x

1

q ´ u pt ⁿ , x

2

q

2∆ _x ` Op∆

²

_x q (4.88)

(62)

1

Exemples d’E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d’EDP

3

Opérateurs aux différences finies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des différences finies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Problème modèle évolutif Schéma explicite 2019/02/19 53 / 85

(63)

Schéma explicite en temps pour l’EDP (54) à (4.84)

On rappelle (54) Bu

Bt pt

ⁿ

, x

_i

q ´ D B

²

u

Bx

²

pt

ⁿ

, x

_i

q “ f pt ⁿ , x _i q, @n Pw 0, N t w, @i Pw 0, N x v, qui devient avec (4.86) et (4.85)

upt

^n`1

, x

_i

q ´ upt

ⁿ

, x

_i

q

∆

_t

` Op∆

_t

q

´D u pt

ⁿ

, x

_i`1

q ´ 2upt

ⁿ

, x

_i

q ` upt

ⁿ

, x

_i´1

q

∆

²_x

` Op∆

²_x

q “f pt ⁿ , x _i q (4.94) avec n P v 0, N t v et i Pw 0, N x v.

En utilisant (4.87) en lieu et place de (4.86) on obtient un schéma implicite...

(64)

Schéma explicite en temps pour l’EDP (54) à (4.84)

Un schéma numérique d’ordre 1 en temps et d’ordre 2 en espace pour (54):

@n P v 0, N _t v, @i Pw 0, N _x v u u

u ^n`1 _i ´ u u u ⁿ _i

∆ t

´ D u u u ⁿ _i`1 ´ 2u u u ⁿ _i ` u u u ⁿ _i´1

∆

²

_x “ fff ⁿ _i (4.95) avec fff ⁿ _i “ f pt ⁿ , x i q et (en espérant) u u u ⁿ _i « u pt ⁿ , x i q.

(4.95) est équivalent à

u u u ^n`1 _i “ u u u ⁿ _i ` D ∆ _t

∆

²

_x

` u u u ⁿ _i`1 ´ 2u u u ⁿ _i ` u u u ⁿ _i´1 ˘

` ∆ t fff ⁿ _i (4.96) Et (4.82), (4.83), (4.84)?

(65)

Schéma explicite en temps pour l’EDP (54) à (4.84)

On rappelle respectivement (4.82) et (4.84):

upt

⁰

, x i q “ u

0

px i q, @i P v0, N x w upt ⁿ , x _N

_x

q “ βpt ⁿ q, @n P v0, N _t w qui donne immédiatement (sans approximation)

u u

u

⁰

_i “ u

0

px i q, @i P v 0, N x w

u u u ⁿ _N

_x

“ β pt ⁿ q, @n P v 0, N t w (4.97) Et (4.83)?

(66)

Schéma explicite en temps pour l’EDP (54) à (4.84)

On rappelle (4.83) @n P v0, N t w

´D Bu

Bx pt ⁿ , x

0

q “ αpt ⁿ q qui donne avec (4.88)

´D ´3upt ⁿ , x

0

q ` 4upt ⁿ , x

1

q ´ upt ⁿ , x

2

q

2∆ _x ` Op∆

²

_x q “ αpt ⁿ q Un schéma numérique d’ordre 2 en espace pour (4.83):

´D ´ 3u u u ⁿ

₀

` 4u u u ⁿ

₁

´ u u u ⁿ

₂

∆ _x “ αpt ⁿ q ou encore

u u u ⁿ

₀

“ 1

3 ˆ 2∆ _x

D αpt ⁿ q ` 4u u u ⁿ

₁

´ u u u ⁿ

₂

˙

. (4.105)

(67)

Schéma explicite en temps pour l’EDP (54) à (4.84)

En résumé, avec E “ D

^∆_∆2^t

x

et C “ 1 ´ 2E

u u u ^n`1 _i “ Cu u u ⁿ _i ` E pu u u ⁿ _i`1 ` u u u ⁿ _i

_´1

q ` ∆ t fff ⁿ _i ,

"

@n P v 0, N t v,

@i Pw 0, N _x v (4.96) u u u

⁰

_i “ u

0

px i q, @i P v 0, N x w (4.106) u u

u ⁿ

₀

“ 1 3

ˆ 2∆ _x

D αpt ⁿ q ` 4u u u ⁿ

₁

´ u u u ⁿ

₂

˙

, @n P v0, N t w (4.105) u u u ⁿ _N

_x

“ βpt ⁿ q, @n P v0, N _t w (4.97) Peut-on calculer pu u u

^n`1_i

q

^N_i“0^x

connaissant pu u u

ⁿ_i

q

^N_i“0^x

?

u u u ^n`1 _i “

Cu u u ⁿ _i ` Epu u u ⁿ _i`1 ` u u u ⁿ _i´1 q ` ∆ _t fff ⁿ _i , @i Pw 0, N _x v,

(4.107) u u u ^n`1 _N

x

“

βpt ^n`1 q,

(4.108) u

u u ^n`1

₀

“

1 3

ˆ 2∆ _x

D αpt ^n`1 q ` 4u u u ^n`1

₁

´ u u u ^n`1

₂

˙ .

(4.109)

(68)

Schéma explicite en temps pour l’EDP (54) à (4.84)

En résumé, avec E “ D

^∆_∆2^t

x

et C “ 1 ´ 2E

u u u ^n`1 _i “ Cu u u ⁿ _i ` E pu u u ⁿ _i`1 ` u u u ⁿ _i

_´1

q ` ∆ t fff ⁿ _i ,

"

@n P v 0, N t v,

@i Pw 0, N _x v (4.96) u u u

⁰

_i “ u

0

px i q, @i P v 0, N x w (4.106) u u

u ⁿ

₀

“ 1 3

ˆ 2∆ _x

D αpt ⁿ q ` 4u u u ⁿ

₁

´ u u u ⁿ

₂

˙

, @n P v0, N t w (4.105) u u u ⁿ _N

_x

“ βpt ⁿ q, @n P v0, N _t w (4.97) Peut-on calculer pu u u

^n`1_i

q

^N_i“0^x

connaissant pu u u

ⁿ_i

q

^N_i“0^x

?

u

u u ^n`1 _i “ Cu u u ⁿ _i ` Epu u u ⁿ _i`1 ` u u u ⁿ _i´1 q ` ∆ _t fff ⁿ _i , @i Pw0, N _x v, (4.107) u u u ^n`1 _N

x

“

βpt ^n`1 q,

(4.108) u

u u ^n`1

₀

“

1 3

ˆ 2∆ _x

D αpt ^n`1 q ` 4u u u ^n`1

₁

´ u u u ^n`1

₂

˙ .

(4.109)

Méthodes numériques II