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Cours de la Méthode des Différences Finies

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1

Cours de la Méthode des Différences Finies

Master : GNSS

Professeur : Dr. Driss BAHIA

Université Mohammed Premier Oujda Faculté Pluridisciplinaire de Nador

Département de Physique

(2)

2

Introduction

Dans la nature, les systèmes et les phénomènes physiques sont régis par des équations et les phénomènes physiques les plus intéressants sont aussi les plus complexes à étudier. Ils sont souvent régis par un grand nombre de paramètres non- linéaires interagissant entre eux (la météorologie, la turbulence des fluides...).

Pour comprendre ou étudier ces phénomènes :

1. L’une des solutions est l’expérience pour analyser les paramètres et les grandeurs du système, mais les essais peuvent s'avérer très coûteux (essais en vol, essais avec matériaux rares, instrumentations très chères...) et ils peuvent être très dangereux (essais nucléaires, environnement spatial...). Enfin, il peut être difficile de mesurer tous les paramètres : échelles du problème trop petites (chimie du vivant, couche limite en fluide...) ou trop grandes (astrophysique, météorologie, géophysique...).

(3)

2. La solution analytique, On peut aussi construire un modèle mathématique permettant la représentation du phénomène physique. Ces modèles utilisent très souvent des systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) ou des systèmes d'équations différentielles (EDO) non-linéaires dont on ne connait pas de solutions analytiques en général.

3. La solution numérique (simulation numérique), Il faut alors résoudre le problème numériquement en transformant les équations continues de la physique en un problème discret sur un certain domaine de calcul (le maillage).

Dans certains cas il s'agit de la seule alternative (nucléaire, astrophysique, spatial...). Dans d'autres cas, les simulations numériques sont menées en parallèle avec des expérimentations ou encor des solutions analytiques.

3

(4)

Les différentes étapes pour la modélisation numérique :

• Recherche d'un modèle mathématique représentant le phénomène physique. (Mise en équation du phénomène)

• Elaboration d'un maillage du domaine de calcul (discrétisation spatial du domaine d’étude en un ensemble de petit domaines).

• Discrétisation des équations de la physique (chercher le schéma numérique adéquat). (transformation des équations continues en équations discrètes applicables sur le maillage)

• Etablir les conditions aux limites sur les différentes frontières du domaine de calcul, ainsi que les conditions initiales.

• Développement et programmation d’un code de calcul des relations discrètes. (solution d'un problème matriciel).

• Validation du code de calcul (simulation numérique), résolution des équations discrètes (souvent systèmes linéaires à résoudre).

• Exploitation, comparaison et interprétation des résultats

obtenus. 4

(5)

Pour passer d'un problème exact continu régit par une EDP au problème approché discret, il existe trois grandes familles de méthodes :

1. Les schémas aux différences finis (FDM): consistent à remplacer les dérivées partielles par des différences divisées ou combinaisons de valeurs ponctuelles de la fonction en un nombre fini de points discrets ou nœuds du maillage.

• Avantages : grande simplicité d'écriture et faible coût de calcul.

• Inconvénients : limitation à des géométries simples, difficultés de prise en compte des conditions aux limites de type Neumann.

2. Les schémas aux éléments finis (FEM): consistent à chercher une solution approchée dans un sous-espace de dimension finie, en écrivant notre équation sous forme variationnelle. La résolution se déroule en deux étapes :

- La formulation faible.

- La formulation forte. 5

(6)

6

• Avantages : traitement possible de géométries complexes, nombreux résultats théoriques sur la convergence.

• Inconvénient : complexité de mise en œuvre et grand coût en temps de calcul et mémoire.

3. Les schémas aux volumes finis (FVM) : intègrent sur des volumes élémentaires de forme simple, les équations écrites sous forme de loi de conservation. La méthode fournit ainsi de manière naturelle des approximations discrètes conservatives et est particulièrement bien adaptée aux équations de la mécanique des fluides. Sa mise en œuvre est simple avec des volumes élémentaires de forme géométrique complexes.

• Avantages : permet de traiter des géométries complexes avec des volumes de forme quelconque, détermination plus naturelle des conditions aux limites de type Neumann.

• Inconvénient : peu de résultats théoriques de convergence.

(7)

7

Equations aux dérivées partielles Equations différentielles

Utilisation des méthodes numériques approchées : - Méthode des différences finies

- Méthode des éléments finis - Méthode des volumes finis

Système d’équations algébriques Facile à résoudre

Impossibilité de trouver directement des solutions analytiques

(8)

8

Equation différentielle ordinaire d’ordre n est une équation qui relie une fonction y et ses dérivées :

 n

F x, y, y',...,y  0

Equation différentielle linéaire si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles :

   

'

 

''

 

 n

 

0 1 2 n

a x y+a x y +a x y  ...  a x y  g x

Equation différentielle linéaire homogène Ou sans second membre :

   

'

 

''

 

 n

0 1 2 n

a x y+a x y +a x y  ... a  x y  0

Equation différentielle non linéaire si la fonction et ses dérivées interviennent avec une puissance ou si elles sont multipliées entre elles :

y

''

sin y   0

Exemple d’équations différentielles :

(9)

9

Exemple d’équations aux dérivées partielles :

1. Equations de Navier-Stokes :

2. Equations de Maxwell :

3. Corde vibrante :

. . 0

c d

S S

U d F dS F dS

t

    

   

0 0 0

E = - B t B = j + E

   t

 

   

 

  

2 2 2 2

2 2 2 2 2

= T = 1

t t a

y y y y

x x

   

(10)

10

Plan

 Chapitre 1 : Techniques de discrétisation

 Chapitre 2 : Analyse des schémas numérique (Consistance-Stabilité-Convergence)

 Chapitre 3 : Application :

Résolution de l’équation de la chaleur

(11)

11

I- Base de la méthode :

Soit une fonction U(x, y, z, t).

Par définition :

l’idée de base est de prendre Δx petit mais non nul, et d’éstimer par le rapport (c’est une approximation) faisons un développement limité (Taylor) de U(x) au voisinage de x

Techniques de discrétisation

Méthode des différences finies

   

x 0

U x+ x, y.... -U x, y....

U = lim

x   x

 

 

U x

   

U x+ x, y.... -U x, y....

x

   

     

2 2 n n

2 n

n n

2 2 n

2 n

f h f h f

f x+h f x h ...

x 2! x n ! x

-1 h

f h f f

f x-h f x -h ...

x 2! x n ! x

(12)

12

   

   

2 2 n n

2 n

2 n-1 n

2 n

T

U Δx U Δx U

U x+ Δx =U x +Δx ...

x 2! x n! x

U x+ Δx -U x U Δx U Δx U

...

Δx x 2! x n! x

  

  

  

  

   

  

ε

T est appelée Erreur de troncature.

Ici

ε

T est proportionnelle à Δx. On dit que

ε

T est du premier ordre avec :

On écrit :

C’est un schéma numérique

     

x 0 T

2

T 2

lim = 0

U x+ x U x

U 0

x x

x U

2! x

x

 

  

  

 

  

Donc :

(13)

II- Discrétisation de l’espace :

Soit l’espace de dim 1 (l’axe OX).

Soit une fonction U(x) définie sur l’intervalle [0, L]

On divise OL en N segment de largeur Δx : OL = N.Δx Soit les points : xi = i Δx , i = 0, ………N

Pour simplifier on va appeler les points xi directement : 0, 1,…N

Soit Ui la valeur de U au point xi Ui = U(xi )= U(i Δx)

Les segments [i, i+1] sont appelés mailles ou cellules du domaine.

Δx : le pas du maillage, les points i sont appelés des nœuds.

(14)

Prob: Estimation de au point xU i : ? x

i

U x

 

 

   

2 2 3 3

i+1 i 2 3

i i i

2 2 3 3

i-1 i 2 3

i i i

i+1 i-1

U Δx U Δx U

U = U + Δx ... a

x 2! x 3! x

U Δx U Δx U

U = U - Δx ... b

x 2! x 3! x

a b U - U = 2 x U

x

   

  

       

    

     

   

  

       

    

     

   

  

 

3 3

3

i i

2

i+1 i

2

i i

T

Δx U

2 ... c 3! x

U - U U x U

a = +

x x 2! x erreur de troncature d'ordre 1

ε

  

     

  

   

 

  

 

           

 

2

i+1 i

T 2

i i

U U

U x U

0 x avec

x x  2! x

  

 

               

(15)

On l’appelle : schéma décentré en avant. ‘’Forward scheme ‘’

 

1 0 N+1 N

0 N

U U U U

U U

, conditions aux limites

x x x x

 

 

     

       

   

 

i i-1 2 2

i i

T

U - U U x U

b = -

x x 2! x erreur de troncature d'ordre 1

ε

 

  

 

           

 

2

i i-1

T 2

i i

U U

U x U

0 x avec

x x  2! x

  

 

                

On l’appelle : schéma décentré en arrière. ‘’Backward scheme ‘’

(16)

 

i+1 i-1 2 3 3

i i

T

U - U U x U

c = +

2 x x 3! x erreur de troncature d'ordre 2

ε

 

  

 

           

 

2 2 3

i+1 i-1

T 3

i i

U U

U x U

0 x avec

x x  3! x

  

 

               

On l’appelle : schéma centré. ‘’Centred scheme ‘’.

Remarque :

Un schéma centré est plus précis qu’un schéma décentré.

décroit vers zéro plus vite pour un schéma centré.

Les trois schémas utilisent seulement deux points : Les deux schémas décentrés : (i+1, i) ou (i, i-1).

Le schéma centré : (i+1, i-1).

T

(17)

Interprétation graphique

(18)

III- Schémas avec un nombre arbitraire de points :

 

i i-1 i-2

i

i i-1 i-2

T i

T

2 2 3 3

i-1 i 2 3

i i i

Estimons U en fonction de U , U , U par exemple.

x

aU +bU +cU

U - 1

x x

a, b et c ? ?

U Δx U Δx U

U = U - Δx ...

x 2! x 3! x

  

  

 

   

   

 

   

  

        

    

     

 

2 2 3 3

i-2 i 2 3

i i i

i i-1 i-2

i

i

..

U Δx U Δx U

U = U -2 Δx 4 8 ...

x 2! x 3! x

aU +bU +cU a+b+c U

U b+2c

x Δx x

   

  

        

    

     

  

         

(19)

   

   

 

2 2 3

2 3

i i

2 3 3

2

T 3 3

i i

x U x U

b+4c b+8c ...

2! x 3! x

a= 3

a+b+c=0 2

Pour avoir 1 , il faut que : - b+2c 1 b 2

b+4c=0 1

c= 2

x U 2 U

b+8c x or

3! x 3! x

   

   

 

     

   

 

 

    

 

 

 

   

  

               

 

2

i i-1 i-2

i

dre 2 3U -4U +U

U + 0 x

x 2 x

C'est un schéma décentré en arrière d'ordre 2.

    

   

 

(20)

20

 

i i+1 i+2

i

i i+1 i+2

T i

T

2 2 3 3

i+1 i 2 3

i i i

* De même, Estimons U en fonction de U , U , U : x

aU +bU +cU

U - 2

x x

a, b et c ? ?

U Δx U Δx U

U = U + Δx ...

x 2! x 3! x

  

  

 

   

   

 

   

  

        

    

     

 

2 2 3 3

i+2 i 2 3

i i i

i i+1 i+2

i

i

..

U Δx U Δx U

U = U +2 Δx 4 8 ...

x 2! x 3! x

aU +bU +cU a+b+c U

U b+2c

x Δx x

   

  

        

    

     

  

         

(21)

   

   

 

2 2 3

2 3

i i

2 3 3

2

T 3 3

i i

x U x U

b+4c b+8c ...

2! x 3! x

a=- 3

a+b+c=0 2

Pour avoir 2 , il faut que : b+2c 1 b 2

b+4c=0 1

c=- 2

x U 2 U

b+8c x ord

3! x 3! x

   

               

 

 

   

 

 

 

   

  

              

 

2

i i+1 i+2

i

re 2 -3U +4U -U

U + 0 x

x 2 x

C'est un schéma décentré en avant d'ordre de précision 2.

    

   

 

(22)

 

En général pour les schémas décentré, afin d'obtenir un ordre

de précision p il faut utiliser p+1 points.

(23)

IV- Dérivées supérieures :

 

2 2

i

i i-1

i i

2 2

2 2

i i

Pb : Estimation de U ? x

On peut choisir, par exemple un schéma décentré en arrière pour U -U

U U

l'estimation de : + 0 Δx

x x x

U

U U

l'estimation de :

x x

  

  

 

 

    

      

   

      

     

     

 

i i-1

2

i i-1 i-2

2 2

i

- U

x x

+ 0 Δx x

U -2U U

U + 0 Δx

x x

C'est un schéma décentré en arrière d'ordre de précision 1.

    

     

   

   

       

(24)

24

 

 

i+1 i

i i

2 2

i+1 i

2 2

i i

On peut choisir, par exemple un schéma décentré en avant pour U -U

U U

l'estimation de : + 0 Δx

x x x

U U

U U x - x

l'estimation de : + 0 Δx

x x x

 

    

      

   

 

   

   

            

      

   

2 2 i+2 i+12 i

 

i

U -2U U

U + 0 Δx

x x

C'est un schéma décentré en avant d'ordre de précision 1.

   

    

 

(25)

25

 

2

i-1 i i+1

T T

2 2

i

2 2 3 3

i+1 i 2 3

i i

On peut aussi obtenir un schéma centré en utilisant les trois points : i-1, i, i+1.

aU +bU cU

U - a, b et c ? ?

x x

U Δx U Δx U

U = U + Δx

x 2! x 3! x

 

   

    

 

 

  

     

    

   

 

i

2 2 3 3

i-1 i 2 3

i i i

2

i-1 i i+1

2 2 i 2

i i

...

U Δx U Δx U

U = U - Δx ...

x 2! x 3! x

aU +bU cU a+b+c c-a U 1 U

U c+a

x Δx Δx x 2! x

 

 

 

   

  

       

    

     

 

           

      

(26)

   

 

 

3 2 4

3 4

i i

2 4

T 4

i

2

i-1 i i+1 2

2 2

i

Δx U Δx U

c-a c+a ...

3! x 4! x

a+b+c=0

a=c=1

1 Δx U

il faut que : c+a 1 = 2 b=-2

2 4! x

c-a=0

U -2U U

U +0 Δx

x x

     

 

     

   

     

   

       

 

   

    

 

2 4

T 4

i

Δx U = 12 x

C'est un schéma centré d'ordre de précision 2.

 

 

  

  

   

(27)

i-2 i-1 i i+1

T i

i+2 i+1 i i-1 i-2

T i

i

Exercices :

Soient les schémas :

aU +bU cU dU

U -

x x

aU +bU cU dU eU

U -

x x

Estimer U pour chaque schémas en calculant les x

coéfficients a, b, c, d et e

 

   

   

 

  

   

   

 

  

  

 

ainsi que l'erreur de troncature 

T

.

(28)

28

Remarque :

Tous les schémas numériques qu’on a établi donne l’estimation de directement en fonction des valeurs de U en

différents points ……i-1, i; i+1,……

On les appelle : Schémas explicites.

V- Formulation des schémas implicites :

Ce sont des schémas où les en différents points du maillage apparaissent simultanément.

Exemples :

1. Schémas implicite décentré en avant :

2 2

i i

U U

ou

x x

   

 

 

   

   

       

i-1 i i+1

i

U f ....,U , U , U ...

x

   

  

 

U x

i-1 i i+1

i-1 i i+1

U U U

f ..., , , ,... ....,U , U , U ...

x x x g

                 

          

 

(29)

29

2 2 3 3

i+1 i 2 3

i i i

2 2 3

i+1 i

2 3

i i i

2 2

i i i

U Δx U Δx U

U = U + Δx ...

x 2! x 3! x

U - U

U Δx U Δx U

...

x Δx 2! x 3! x

U Δx U U Δx U

x 2! x x 2! x x

   

  

       

    

     

   

  

 

                  

 

    

     

                      

 

i+1 i

i

i+1 i i+1 i

i

i+1 i 2

i+1 i

U - U Δx

U U

U - U

U Δx x x

x 2! Δx Δx

U - U

1 U U

0 Δx

2 x x Δx

 

   

  

 

    

   

  

     

       

       

                 

(30)

30

2 3

T 3

i

Δx U

Avec : = schéma implicite décentré en avant d'ordre 2 3! x

Rappelons que le schéma explicite décentré en avant est d'ordre 1.

Un schéma implicite est plus précis qu'un schéma explicite

  

utilisant le même nombre de points.

2 1

1 2

i = 0 et i = N conditions aux limites U et U y sont donnés.

x

U U 2

i=1 : U U

x x x

. .

 

 

      

      

   

(31)

31

 

 

 

i i-1

i-1 i

i+1 i

i i+1

N N-1

N-1 N

U U 2

i-1 : U U

x x x

U U 2

i : U U

x x x

U U 2

i=N-1 : U U

x x x

 

      

      

   

 

      

      

   

 

      

      

   

(32)

32

Matrice bidiagonale, il faut inverser la matrice pour calculer les inconnues :

1 i N-1

U U U

, ... , ...

x x x

  

     

        

     

(33)

33

2. Schémas implicite décentré en arrière :

2 2 3 3

i-1 i 2 3

i i i

2 2 3

i i-1

2 3

i i i

2 2

i i i

U Δx U Δx U

U = U - Δx ...

x 2! x 3! x

U - U

U Δx U Δx U

...

x Δx 2! x 3! x

U Δx U U Δx U

x 2! x x 2! x x

   

  

       

    

     

   

  

 

                  

 

    

     

                      

 

i i-1

i

i i-1 i i-1

i

i i-1 2

i i-1

U - U Δx

U U

U - U

U Δx x x

x 2! Δx Δx

U - U

1 U U

0 Δx

2 x x Δx

 

   

  

 

    

   

  

     

       

       

                 

(34)

34 34

2 3

T 3

i

Δx U

Avec : = schéma implicite décentré en avant d'ordre 2 3! x

Rappelons que le schéma explicite décentré en avant est d'ordre 1.

Un schéma implicite est plus précis qu'un schéma explicite

  

utilisant le même nombre de points.

1 0

1 0

i = 0 et i = N conditions aux limites U et U y sont donnés.

x

U U 2

i=1 : U U

x x x

. .

 

 

      

      

   

(35)

35

 

 

 

i-1 i-2

i-1 i-2

i i-1

i i-1

N-1 N-2

N-1 N-2

U U 2

i-1 : U U

x x x

U U 2

i : U U

x x x

U U 2

i=N-1 : U U

x x x

 

      

      

   

 

      

      

   

 

      

      

   

(36)

36

 

1

1 0

0

i 1

i-

i

N-1

U

x U

U U

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 x

0 1 1 0 0 0 0 0 U

x

0 0 1 1 0 0 0 0 2

0 0 0 1 1 0 0 0 U x U

x 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1

U x

    

 

    

      

 

        

 

 

 

 

    

 

        

    

       

        

 

 

 

 

 

 

 

 

    

   

    

 

1 i-2

i i-1

N-1 N-2

U

U U

U U

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

 

  

 

(37)

37

Matrice bidiagonale, il faut inverser la matrice pour calculer les inconnues :

3. Schémas implicite centré :

De la même manière on peut définir le schéma implicite centré.

VI- Différence finies dans un espace multidimensionnelle :

Dim 2 :

Soit U(x, y) tel que : x ε [0, Lx] et y ε [0, Ly].

 On divise [0, Lx] en N segments de largeur Δx : Lx = N. Δx avec : xi = i. Δx et i = 0, 1, 2……..N

 On divise [0, Ly] en M segments de largeur Δy : Ly = M. Δy avec : yj = j. Δx et j = 0, 1, 2……..M

1 i N-1

U U U

, ... , ...

x x x

  

     

        

     

i j

 

i j

i,j

Soit le point x , y noté i, j tel que U x , y = U

(38)

38

2 2 3 3

i+1,j i,j 2 3

i,j i,j i,j

2 2 3 3

i,j+1 i,j 2 3

i,j i,j i,j

U Δx U Δx U

U = U + Δx ...

x 2! x 3! x

Avec :

U Δy U Δy U

U = U + Δy ...

y 2! y 3! y

           

               

 

   

    

        

         

(39)

39

Exemples :

1) Schémas décentrés en avant pour :

2) Schémas centrés pour :

i,j i,j

U U

et

x y

 

 

 

 

   

   

 

 

2

i+1,j i,j

T 2

i,j i

2

i,j+1 i,j

T 2

i,j i

U U

U x U

0 x avec

x x 2! x

U U

U y U

0 y avec

y y 2! y

           

           

         

        

       

2 2

2 2

i,j i,j

U U

et

x y

     

     

   

 

 

2 2 2

i+1,j i,j i-1,j 2

2 2 T 2

i,j i,j

2 2 2

i,j+1 i,j i,j-1 2

2 T 2

i,j i,j

U 2U U

U x U

0 x avec

x x 12 x

U 2U U

U y U

0 y avec

y y 12 y

 

           

          

 

 

      

         

       

(40)

40

3. Discrétisation du Laplacien :

2 2

2 2

2 2

2 2

i+1,j i,j i-1,j i,j+1 i,j i,j-1

2 2 T

2 4 2 4

T 4 4

i,j i,j

i+1

U U

U = +

x y

U U

Choisissons des schémas centrés d'ordre 2 pour et

x y

U 2U U U 2U U

U = x y

x U y U

12 x 12 y

Si x = y U = U

 

  

 

 

   

  

 

   

   

            

 

,j

U

i,j+1

4U

2i,j

U

i-1,j

U

i,j-1 T

x 

   

 

(41)

41

Autre schéma de discrétisation du Laplacien :

 

i+1,j+1 i+1,j-1 i,j i-1,j+1 i-1,j-1 2

2

U U 4U U U

U = 0 x

x

   

  

(42)

42

4. Discrétisation des dérivées croisées :

2

i,j

U x y

  

   

 

2

i,j i,j

2 ère

i,j

U U

x y x y

Suivant les choix des schémas de discrétisation

des dérivées 1 on aura des schémas pour U . x y

       

         

 

  

   

 

(43)

43

VII- Maillage irrégulier :

i i i-1

2 2 3 3

i+1 i+1

i+1 i i+1 2 3

i i i

2 2 3 3

i i

i-1 i i 2 3

i i i

x x x

Δx Δx

U U U

U = U + Δx ...

x 2! x 3! x

Δx Δx

U U U

U = U - Δx ...

x 2! x 3! x

Schéma décentré en av

  

   

  

       

    

     

   

  

       

    

     

  

 

i+1 i

i+1

i i+1

i i-1

i

i i

U U

ant : U 0 x

x x

U U

Schéma décentré en arrière : U 0 x

x x

     

   

 

  

         

(44)

44

VII- Discrétisation dans le temps :

Domaine de calcul :

De la même façon on divise l’axe du temps en un certains nombres d’intervalles de largeur Δt.

   

te

U U

Soit l'équation a 0 avec

t x

a=c équation de BURGERS , U x, t ?

   

 

   

n

n i n i

n n

i i

Soit les instants : t n. t, U x , t = U i. x, n. t = U

U U

au point i. x à l'instant n. t : = - a

t x

   

 

   

           

(45)

45

   

n

i

n n n

i i-1

i

Pour le terme spacial U , on peut choisir : x

- Un schéma décentré en arrière d'ordre 1 :

U U

U = 0 x 1

x x

- Un schéma centré d

  

  

 

    

   

 

   

 

n n n

i+1 i-1 2 i

n

i

n

i n i

U U

'ordre 2 : U = 0 x 2

x 2 x

- Ou autres schémas.

Pour le terme temporel U , t

Faisons un développement limité de U x , t U par rapport à t :

    

   

 

  

  

 

(46)

46

i n+1

    

i n

2 2 n

2 i

n n

n 2 2 3 3

n+1 n

i i 2 3

i i i

U x , t =U i x, n+1 t =U i x, n t t U x , t t

t U

+ ...

2! t

U Δt U Δt U

U = U + Δt ..

t 2! t 3! t

      

 

 

   

 

   

  

 

                 

 

 

   

n n+1 n 2 n

i i

2

i i

0 t d'ordre 1 pour t

n+1 n n n

i i i i-1

..

U - U

U Δt U

Schéma d'Euler

t Δt 2! t

U - U U U

Alors : 1 a 0 t, x

Δt x

 

 

 

            

      

(47)

47

   

   

     

   

 

n+1 n n n

i i i+1 i-1 2

n+1 n n n n n

i i i i-1 i-1 i

n+1 n n n 2

i i i+1 i-1

n+1 n n

1 0 1

n+1 n n

2 1 2

U - U U U

2 a 0 t, x

Δt 2 x

Posons : = a Δt

Δx

1 U U U U U 1 U

2 U U U U 0 t, x

2

1 U U 1 U

U U 1 U

.

  

 

 

      

       

 

      

 

   

  

.

(48)

48

 

 

   

 

n+1 n n

i i-1 i

n+1 n n

N-1 N-2 N-1

n+1 1

n+1 i-1 n+1 i

n+1 N-1

matrice bidiagonale

U U 1 U .

U U 1 U U 1-

.

. U 1

U 1

.

. U 1

 

 

 

 

 

  

  

   

   

   

   

   

    

      

   

   

   

     

    

 

n n

1 0

n i-1

n i

n N-1

U U

0 0

U 0

U 0

0 0

U 0

    

   

   

   

   

    

   

   

   

   

     

   

 

(49)

49

   

0 i

1 2 n n+1

i i i i

n+1 n n n

i i i+1 i-1

n+1 n

1 1

On part des conditions initiales U et on calcule ensuite directement U , U , ...U , U

Ce schéma est appelé : schéma explicite d'Euler d'ordre 1.

2 U U U U

2 U U

   

   

 

n n

2 0

n+1 n n n

2 2 3 1

U U

2

U U U U

2 .

.

  

(50)

50

 

 

n+1 n n n

i i i+1 i-1

n+1 n n n

N-1 N-1 N N-2

n+1 1

n+1 i-1 n+1 i

n+1 N-1

matrice tridi

U U U U

2 .

U U U U

2

1 2

U .

.

U 2 1 2

U 1

2 2

. U .

2 1

 

 

 

 

       

 

n

n 0

1

n i-1

n i

n N-1 n

N

agonale

U 2 U

0 0 U 0

U 0

0 0

U U

2

  

 

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