f i p m e c a
Par Jean-Michel BAËS et Cédric PINARD
sujet proposé et suivi par Isabelle BRUANT et Isabelle DARBORD.
fipmeca
PST, 1 chemin Desvallières 92410 Ville d’Avray
Contact : pierre.gilbertas@u-paris10.fr Tél secrétariat : 01 47 09 70 20
Jean-Michel BAËS
13, route sablée 92370 Chaville
01 47 50 86 46 06 74 79 66 46 jmbaes@free.fr
ANALYSE NUMERIQUE Formation : FIP MECA Le 20 MAI 2003
PROJET :
calcul par la méthode des différences finies,
des températures et déplacements des points d’une barre de section constante, ayant comme contraintes :
- A l’extrémité gauche une température - A l’extrémité droite un flux
- Une température ambiante
Cédric PINARD
98-100 av du Général de Gaulle, 94500 Champigny s/ Marne
SOMMAIRE
1. (page 4) Enoncé et introduction
2. ( page 6 ) Rappel de la méthode des différences finies
3. Calcul du champ de température en fonction de la position
3.1. ( page 8 ) résolution analytique des température en fonction des déplacements 3.2. ( page 10 ) résolution par la méthode des différences fines centrée
3.3. ( page 12 ) résolution par la méthode des différences fines gauche 3.4. ( page 14 ) résolution par la méthode des différences fines droite 4. Calcul du champ de déplacement en fonction de la position
4.1. ( page 16 ) résolution analytique des déplacements en fonction de la position 4.2. ( page 18 ) résolution par la méthode des différences fines centrée
4.3. ( page 20 ) résolution par la méthode des différences fines gauche 4.4. ( page 21 ) résolution par la méthode des différences fines droite 5. ( page 22 )structure programme
6. ( page 23 ) programme
7. ( page 31 ) analyse des courbes et des erreurs obtenues en fonction des solutions
8. (page 34) conclusions
1. Enoncé du problème
L
Calcul du champ de température et de déplacement sur une barre de section uniforme soumise à une différence de température à ses extrémités :
Projet Numérique
FIP
Conditions aux limites mécaniques : rotule en x=L et appui simple en x=0.
La barre de duralumin se refroidissant par convection, l'équation de la chaleur qui détermine la température à l'état stationnaire est une équation différentielle :
0 )
( 0
2 2
=
− +
− T T
S hP dx
T
k d 0≤ x≤ L
TA
T(0)= − =ϕ dx L
kdT
Où k est le coefficient de conductivité thermique, h est le coefficient de perte de chaleur par convection, P le périmètre de la barre (supposée ici de section S indépendante de x) et To est la température ambiante. Dans la suite, on considère x1= 0 et xn+1= L.
Résoudre numériquement par la méthode des différences finies l'équation de la chaleur.
Le champ de température induit un déplacement longitudinal u le long de la poutre. L'équation différentielle vérifiée par le déplacement est
2 0
2
=
− dx SdT dx
u ES d α
0 ) 0 (x= = dx
du u(x= L)=0
E est le module d'Young, S la section et a le coefficient de dilatation.
Résoudre par la méthode des différences finies l'équation en déplacement (connaissant la température en chacun des points de la poutre).
Données : on utilisera par exemple le duralumin
2703 5 222 68000 0,34 23.10-6 5*5 200 Masse volumique à 20°C (kg.m-3 )
Coefficient d'échange (W.m-2.K-l)
Conductivité thermique à 20°C (W.m-1.K-1) Module d'élasticité (MPa)
Coefficient de Poisson
Coefficient de dilatation linéique à 20°C (K-1) Section de la poutre (mm*mm)
Longueur de la poutre (mm)
proposés par : I. Bruant et I. Darbord (01 47 09 45 32 et 01 47 09 45 58) TA
ϕ
Nous allons traiter le problème par : - la méthode Analytique :
Etant donné que les équations de température et déplacement sont des équations différentielles et que nous connaissons les conditions aux limites, nous allons ainsi calculer de manière analytique :
- L’équation de température en fonction de la position - L’équation de déplacement en fonction de la position
Ces équations devant nous donner les valeurs « vraies », nous pourrons ainsi calculer les erreurs obtenues avec les méthodes numériques utilisées.
- les méthodes des différences finies :
Nous savons grâce à la méthode des différences finies exprimer une dérivée 1er ou 2eme.
Nous utiliserons :
- la méthode des différences finies centrée - la méthode des différences finies gauche - la méthode des différences finies droite
Nous verrons qu’en un point Xi, en appliquant à l’équation différentielle les différences finies on obtient une équation à 3 inconnues de températures.
En appliquant aux autres points de la barre on obtiendra donc un système d’équations dans lequel on aura intégré les conditions aux limites.
Par exemple pour la matrice de Température Y, nous représenterons le système par l’écriture matricielle M.Y=X
Et pour trouver le vecteur champ de températures il suffira de calculer Y=X/M
Nous afficherons les courbes de températures ou déplacements obtenues : - Par calcul analytique
- Par la méthode des différences finies centrée - Par la méthode des différences finies gauche - Par la méthode des différences finies droite
Enfin nous calculerons les erreurs relatives en faisant varier les différents paramètres (TA, fi, To, L…) afin d’essayer de comprendre quelle méthode est la plus précise.
2. Méthode des différences finies
Rappel de la formule de Taylor : a b
)
! ( ) ) (
)! ( 1 (
) .. (
)...
( 2 ''
) ) (
( ' ) ( ) ( )
( 1
1 2
c n f
a a b
n f a a b
a f a b
f a b a f b
f n
n n
n • + − •
− + −
− • +
•
− +
= − −
avec a < c < b
b - a = H, H étant le pas de discrétisation
Formule de Taylor simplifié : f(b)= f(a)+(b−a)• f'
2
3 H
O • étant l’erreur, ou le manque de l’addition des dérivées d’ordre supérieur.
Dérivée à droite (ou avant):
' ) (
) ( )
(x H f x x H x f
f i + = i + i + − i • d’où dérivée première :
H
x f H
x x f
f
i(
i) (
i)
) (
' = + −
Dérivée seconde à droite (ou avant) :
posons f’ = F alors f’’=F’
H
x f H x x f
F i '( i ) '( i) )
(
' = + −
pour xi +H dérivée avant :
H
H x f H x
H f x
f i ( i 2 ) ( i )
) (
' + = + • − +
pour x dérivée avant : i
H x f H x x f
f i ( i ) ( i) )
(
' = + −
d’où :
2
) ( ) (
2 ) 2 ( ) ( ' ) (
) (
) 2 ( ) (
'' H
x f H x f H
x f H
H x f H x f H
H x f H x
f x
f i i i
i i
i i
i
+ +
•
−
•
= +
−
− + +
−
• +
=
2
) ( ) (
2 ) 2 ) (
(
'' H
x f H x f H
x x f
f
i=
i+ • − •
i+ +
ixi −2•H xi −H x i xi +H xi +2•H
Dérivée arrière (ou gauche):
' ) (
( ) (
)
(x f x H x x H f
f i = i − + i − i − • d’où dérivée première : H
H x f x x f
f i ( i) ( i ) )
(
' = − −
Dérivée seconde arrière (ou gauche):
posons f’ = F alors f’’=F’
H H x f x x f
F i '( i) '( i ) )
'( = − −
pour xi −H dérivée arrière :
H
H x
f H x H f
x
f i ( i ) ( i 2 )
) (
' − = − − − •
pour x dérivée arrière : i
H
H x f x x f
f i ( i) ( i ) )
(
' = − −
d’où :
2
) ( 2 ) (
2 ) 2 ( ) 2 ( ) (
) (
) ( ) ( '
' H
x f H
x f H
x f H
H
H x
f H x f H
H x f x f x
f i i i
i i
i i
i
• +
−
•
−
•
= −
•
−
−
− −
−
−
=
2
) ( ) (
2 ) 2 ) (
(
'' H
x f H x f H
x x f
f
i=
i− • − •
i− +
iDérivée centrée:
' 2) 2 (
( 2) ( 2)
( H f
H x H x
x H f
x
f i + = i − + i + − i − • d’où dérivée première :
H x H H f
x f x f
i i
i
2) ( 2) ( ) ( '
−
−
= +
Dérivée seconde centré : posons f’ = F d’où
H x H H f x f x F x f
i i
i i
2) '(
2) '(
) '(
)
''( + − −
=
= pour
2
xi + H dérivée centrée :
H x f H x H f
x
f i ( i ) ( i) 2)
(
' + = + −
pour 2
xi − H dérivée centrée :
H
H x f x H f
x
f i ( i) ( i ) 2)
(
' − = − −
on a donc :
H
H
H x f x f H
x f H x f x f
i i
i i
i
) (
) ( ) ( ) (
) ( ' '
−
− −
− +
=
2
) (
) ( 2 ) ) (
(
'' H
H x f x f H
x x f
f
i=
i+ − •
i−
i−
xi −H 2
xi −H xi 2
xi + H xi +H
3. Calcul du champ de température en fonction de la position
3.1 résolution analytique des températures en fonction des déplacements L’équation différentielle de la température à l’état stationnaire est: 0
2
2 T
S P T h S
P h dx
T
k•d + • • = • •
− C’est donc un équation différentielle du type : a.y’’+b.y’+c .y = d avec a = −k , b = 0 , c =
S P h•
, d = S
T P h• • 0
- Résolution de l’équation sans second membre (ESSM) : a.y’’+b.y’+c .y = 0 trouvons les solutions de l’équation caractéristique : a•r2 +b•r+c=0
ac b2 −4
=
∆ on a donc
S P k•h•
•
=
∆ 4 ⇒ ∆>0 2 racines réelles : r =
a b
•
∆
±
−
2 ⇒
a c
r1 = −a• 2 r1 a
c r = − −a• =− b = 0
x
er
Z1 = 1• Z2 =er2•x
La solution de l’équation sans second membre est: YESSM = K1•er1•x+K2 •er2•x - Recherche d’une solution particulière:
Le second membre de l’équation : T0 S
P
h• • est une constante, la solution particulière est donc du même type. Et y'p=y''p=0
Reporté dans l’équation différentielle on a:
(c•) yp =d
(b•) (=0) y'p=0 0
(a•) (=-k)y''p=0 on a donc a•y ''+b•y'+c•y=d ⇒ T0 c yp=d= -Solution générale de l’équation différentielle : YG=YESSM+Yp
YG = K1•er1•x +K2•er2•x + To Déterminons K1 et K2 avec les conditions aux limites :
En x = 0 on a : T(0) = TA : ⇒ YG(o)=K1+K2 +T0 =TA ⇒
0 2
1 K TA T
K + = −
En x=L on a : − •∂∂ =ϕ x k T :
quand x = L : =ϕ
∂
•∂
−
= +
• +
•
•
− − • • − − • •
x k T c e d
K e
K k
x a
c x a
a c a
]'
[ 1 2
e k K e
a K c
a aa c L aac L
= −
•
−
•
• •
− − • • − − • • ϕ
)
( 1 2
c a k e a
K e
K a L
c L a
a c a
•
−
•
−
= •
•
−
• − • • − − • • ϕ )
( 1 2 ⇒
a = -k c =
S P h• x = L
k P h
S S
P k h e
K e
K a L
c L a
a c a
•
• • +
• =
• +
=
•
−
• − • • − − • • ϕ ϕ
)
( 1 2 ⇒
0 2
1 K TA T
K + = − ⇒K1 =TA−T0 −K2
k P h e S
K e
K T
TA a L
c L a
a c a
•
• • +
=
•
−
•
−
− ) − • • − − • • ) ϕ
(( 0 2 1 2
k P h e S
T TA e
e
K a L
c L a
a c L a
a c a
•
• • +
•
−
= +
•( − • • − − • • ) ( 0) − • • ϕ
2
) (
) (
1 1
1
0
2 r L r L
L r
e e
k P h e S
T TA
K • − •
•
+− • • •
•
= −
ϕ
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
0 0
0 0
0 0
1
a L c L a
a c a
a L c a
a L c L a
a c L a
a c L a
a c a
a L c L a
a c a
L a
c L a
a c a
a L c a
L a
c L a
a c a
a L c L a
a c L a
a c L a
a c a
a L c L a
a c a
L a
c a
e e
k P h e S
T TA e
e
k P h
S
e e
e T e
TA
e e
k P h e S
T TA e
e
e e
T e
e TA
e e
k P h e S
T TA T TA K
• •
− −
• •
−
• •
− −
• •
− −
• •
• −
•
− −
• •
−
• •
− −
• •
− −
• •
− −
• •
−
• •
−
• •
− −
• •
−
• •
− −
• •
• −
•
− −
• •
−
• •
− −
• •
−
• •
−
+
•
• • +
•
= − +
•
• • + +
•
−
•
= +
•
• •
−
•
− − +
+
•
− +
•
= +
•
• •
−
•
−
−
−
=
ϕ ϕ
ϕ ϕ
) (
) (
1 1
1
0
1 r L r L
L r
e e
k P h e S
T TA
K
• − ••
−
+ + • • •
•
= − ϕ
c
d = T0
a c r1 = −a•
a c r2 = − −a•
Solution Analytique des temperatures:
TG(x) = 0
0 0
1 1
1 1
1 1
1 1
) (
) (
) (
) (
T e e
e
k P h e S
T TA e e
e
k P h e S
T TA
x r L
r L r
L r x
r L
r L r
L r
+ +− • • • •
•
− + ++ • • • •
•
− − •
•
−
•
•
•
•
−
•
•
− ϕ ϕ
YG = K1•er1•x+K2•e−r1•x + To
3.2
résolution par la méthode des différences finies centrée On a l’ équation de la chaleur à l’état stationnaire: 2 ( 0) 02 + − =
− T T
S hP dx
T
kd '' ( ) 0
0 =
−
• +
•
− y y
S y hP k
En un point xi, la dérivée centrée seconde s’écrit :
2 2
2 ( ) 2( ) ( )
'' H
H x f x f H x f x
y=∂∂ f i= i+ − i + i−
Intégrée dans l’équation on a : ( ) 2 ( ) ( )] ( ) 0
[ + − • 2 + − + • • − • • 0 =
− T
S P x h
S T P h H
H x T x T H
x
k T i i i i
2 0 2
2 2 1) ( )
( ) (
)
( T x T
H P h
S H k
x H T
P h
S H k
x H T
P h
S k
i i
i + • =−
•
•
•
− •
−
• •
• + • +
• •
•
•
en considérant les constantes suivantes : 2 H P h
S Co k
•
•
= • et CoT = -(2•Co + 1) On obtient au pointx(i) l’équation : Co•T(xi −H)+CoT•T(xi)+Co•T(xi +H)=−T0 En appliquant aux autres points on a le système suivant :
) ⇒
2
x( Co•T1+CoT•T2+Co•T3=−T0
) ⇒
3
x( Co•T2+CoT•T3+Co•T4=−T0 M
−1) ⇒
(n
x Co•T(n−2)+CoT •T(n−1)+Co•T(n)=−T0
) ⇒
(n
x Co•T(n−1)+CoT•T(n)+Co•T(n+1)=−T0
(n-1).H n.H xn xn+1 -Conditions aux limites :
enx(1)⇒T1=TA
H x1 x2 ………….
0.H 1.H
) 2 1
( H
n
T + − Tn+1
) 2 1
( H
n
T + +
en +
⇒ − • ∂ ∂ = ϕ
L
n
x
k T
x
( 1) − • + − − =ϕH
L H H T
L T
k )]
( 2 2) ( [
avec la dérivée centrée Mais le point en L+H/2 n’existant pas, on suppose que la dérivée au point (n +1 ) -
2
H est égale à la dérivée point (n +1)
T(L - 2
H ) = T(L) d’où :
H n T n T
k•[ ( +1)− ( )]
=− ϕ On obtient donc :
k n H T n
T + = −ϕ• ) ( ) 1
( mais ce résultat ne tient pas compte des pertes d’énergie dues à l’échange thermique avec la température ambiante To entre Tn+1 et T(n+1) -
2 H : En considérant ces pertes on considère l’équation : pertes
] )) ( ) 1 ( 2 ((
[1 2 )
( ) 1
( H T n T n To
P H h
n T n
So T k
So=− • • + − − • • • • + + −
ϕ•
)) 1 ( 4 ( )]
( ) 1 ( 2 [
) 4 (
1• − • • • =− • • + − − • • • +
•
•
• +
• T n T n h P H T n
H So To k
P H h n T H P h ϕ So
)) 1 ( 4 ( )
1 ( )
2 ( )
4 (
1• − • • • − • • =− • • + − • • • +
•
•
• +
• T n h P H T n
H So n k
H T So To k P H
h n T H P h ϕ So
)) 1 ( ( 4] [
) 2 (
) 4 (
1• − • • • − • • =− • + • • • +
•
•
• +
• h P H T n
H So n k
H T So To k P H
h n T H P h ϕ So
)) 1 ( ( 4 ]
[
2 ) ( ) ( 4 ]
[ • + • • = +
•
•
•
−
• •
• − + •
− • T n
H P h H
So k
H To P h n H T
So k H P So h
ϕ
En posant :
] 4 ] [
4 ]) [
H P h H
So k
H So k H P h
Ko • + • •
− •
•
•
= ]
4 ] [
2 ) (
[
1 h P H
H So k
H To P h So
Ko • + • •
•
•
•
−
=ϕ•
d’où :
On a donc: T(n+1)=−(Ko•T(n)+Ko1) Intégré dans le système, cela donne :
) ⇒
2
x( CoT•T2+Co•T3=−T0−Co•TA on a T1=TA
) ⇒
3
x( Co •T2+CoT •T2+ Co •T3+ = −T0 M
−1) ⇒
x(n Co•T(n−2)+CoT •T(n−1)+Co•T(n)=−T0
) ⇒
x(n Co•T(n−1)+CoT•T(n)•[CoT−Co•Ko]=−T0+Co•Ko1 En reportant ce système dans une matrice on a:
Avec
Ko Co CoT Co
Co CoT
Co Co CoT Co Co CoT Co
Co CoT Co
Co CoT
M
•
−
=
0 0
0 0
0 0
0
0 0
L L L
O M
M
M O
O O O O M
M M L
L L
M•
) (
) 1 (
3 2
n T
n T
T T
− M M M
=
1 1
0 0 0 0
Ko Co T
T T
T Co T
• +
−
−
−
•
−
−
M M M
On peut donc écrire :
) (
) 1 (
3 2
n T
n T
T T
− M M M
= M−1•
1 1
0 0 0 0
Ko Co T
T T
T Co T
• +
−
−
−
•
−
−
M M M
3.3 résolution par la méthode des différences finies gauche
0 )
( 0
2
2 + − =
− T T
S hP dx
T
kd − • ''+ •(y−y0)=0 S
y hP k
2
) ( ) (
2 ) 2 ) (
( '
' H
x f H x f H
x x f
f i = i − • − • i − + i
0 )
( )]
( ) (
2 ) 2
[ ( − • − •2 − + + • • − • • 0 =
− T
S P x h
S T P h H
x T H x T H
x
k T i i i i
0 )
( )]
( ) (
2 ) 2
[ ( − • − •2 − + − • • + • • 0 =
S T P x h
S T P h H
x T H x T H
x
k T i i i i
2 0 2
2 ( 2 ) 2 ( ) ( 1) T(x ) T
H P h
S H k
x H T
P h
S H k
x H T
P h
S k
i i
i − • =−
•
• + •
−
• •
•
• •
−
•
−
• •
•
•
avec 2 H P h
S Co k
•
•
= • CoT = (Co -1) on a l’équation: Co•T(xi −2•H)−2•Co•T(xi −H)+CoT•T(xi)=−T0 En appliquant aux autres points on a le système suivant :
) ⇒
3
x( Co•T1−(2•Co)•T2+CoT•T3=−T0
) ⇒
4
x( Co•T2−(2•Co)•T3+CoT•T4=−T0
) ⇒
5
x( Co•T3−(2•Co)•T4+CoT•T5=−T0 M
−1) ⇒
x(n Co•T(n−3)−(2•CoT)•T(n−2)+CoT•T(n−1)=−T0
) ⇒
x(n Co•T(n−2)+CoT•T(n−1)+Co•T(n)=−T0
+1) ⇒
x(n Co•T(n−1)+CoT•T(n)+Co•T(n+1)=−T0 ϕ
∂ =
•∂
− x L
k T − • − − =ϕ
H
H L T L T
k [ ( ) ( )]
dérivée arrière ϕ
− =
−
•
−
H
H L T L T
k [ ( ) ( )]
ou− • + − =ϕ
H
n T n
T
k [ ( 1) ( )]
k n H T n
T + = −ϕ• ) ( ) 1 (
nous avons des équations allant jusqu’à n+1, l’équation en n+1 final intègre les pertes du dernier élément.
D’où :
H n T n
So T k
So=− • • ( +1)− ( )
ϕ• ⇒
k n H T n
T + = −ϕ• ) ( ) 1 ( TA
T
x ⇒ =
1 ) 1
(
) ⇒
3
x( −(2•Co)•T2+CoT •T3=−T0 −Co•TA
) ⇒
4
x( Co•T2−(2•Co)•T3+CoT•T4=−T0
) ⇒
5
x( Co•T3−(2•Co)•T4+CoT•T5=−T0 M
−1) ⇒
(n
x Co•T(n−3)−(2•CoT)•T(n−2)+CoT•T(n−1)=−T0
) ⇒
x(n Co•T(n−2)+CoT•T(n−1)+Co•T(n)=−T0
+1) ⇒
x(n To
k n H T Co CoT n
T CoT n
T
Co• ( −1)−(2• )• ( )+ • •( ( )−ϕ• )=−
+1) ⇒ x(n
k Co H To Co
CoT n
T n
T
Co• − + • − • + =− + •ϕ• ))
2 ( ) ( ( ) 1 (
En reportant ce système dans une matrice on a:
Avec
Co CoT Co
CoT Co
Co
CoT Co
Co CoT Co
Co
CoT Co
Co
CoT Co
M
+
•
−
•
−
•
−
•
−
•
−
•
−
=
2 0
0
) 2 (
0 )
2 ( 0
0 )
2 ( 0
0 )
2 (
0 0
) 2 (
L L
L
O M
M
M O
O O
O O
M
M M L
L L
M•
) (
) 1 (
3 2
n T
n T
T T
− M M M
=
k Co H T
T T
T Co T
• • +
−
−
−
•
−
−
ϕ
0 0 0
0 1
M M M
On peut donc écrire :
) (
) 1 (
3 2
n T
n T
T T
− M M M
= M−1•
k Co H T
T T
T Co T
• • +
−
−
−
•
−
−
ϕ
0 0 0
0 1
M M M
3.4 résolution par la méthode des différences fines droite 0
)
( 0
2
2 + − =
− T T
S hP dx
T
kd − • ''+ •(y−y0)=0 S
y hP k
2
) ( ) (
2 ) 2 ) (
( '
' H
x f H x f H
x x f
f i = i + • − • i + + i
0 )
( )]
( ) (
2 ) 2
[ ( + • − •2 + + + • • − • • 0 =
− T
S P x h
S T P h H
x T H x T H
x
k T i i i i
0 )
( )]
( ) (
2 ) 2
[ ( + • − •2 + + − • • + • • 0 =
S T P x h
S T P h H
x T H x T H
x
k T i i i i
2 0 2
2 ( 2 ) 2 ( ) ( 1) T(x ) T
H P h
S H k
x H T
P h
S H k
x H T
P h
S k
i i
i − • =−
•
• + • +
• •
•
• •
−
• +
• •
•
•
avec 2 H P h
S Co k
•
•
= • CoT = (Co -1) on a l’équation : CoT•T(xi)−2•Co•T(xi +H)+Co•T(xi +2•H)=−T0 En appliquant aux autres points on a le système suivant :
) ⇒
1
x( CoT •T1−(2•Co)•T2+Co•T2=−T0
) ⇒
2
x( CoT•T2−(2•Co)•T3+Co•T4=−T0
) ⇒
3
x( CoT•T3−(2•Co)•T4+Co•T5=−T0 M
−3) ⇒
x( n CoT •T(n−3)−(2•Co)•T(n−2)+Co•T(n−1)=−T0
−2) ⇒
x(n CoT•T(n−2)−(2•Co)•T(n−1)+Co•T(n)=−T0
−1) ⇒
x(n CoT•T(n−1)−(2•Co)•T(n)+Co•T(n+1)=−T0 ϕ
∂ =
•∂
− x L
k T − • + − =ϕ
H
L T H L T
k [ ( ) ( )]
formule de Taylor, dérivée avant posons que la dérivée au point L – H = la dérivée au point L
ϕ
− =
−
•
−
H
H L T L T
k [ ( ) ( )]
ou− • + − =ϕ
H
n T n
T
k [ ( 1) ( )]
k n H T n
T + = −ϕ• ) ( ) 1 (
En T(n+1) , Il est nécessaire de considérer les pertes d’énergie du à l’échange thermique avec la température ambiante To entre Tn+1 et T(n+1) - H :
] )) ( ) 1 ( 2 ((
[1 )
( ) 1
( h P H T n T n To
H n T n
So T k
So=− • • + − − • • • • + + −
ϕ•
)) 1 ( 2 ( )] 1
( ) 1 ( [ )
2 (
1• − • • • =− • • + − − • • • +
•
•
• +
• T n T n h P H T n
H So To k
H P h n T H
P h ϕ So
)) 1 ( 2 ( ) 1
1 ( )
( )
2 (
1• − • • • − • • =− • • + − • • • +
•
•
• +
• T n h P H T n
H So n k
H T So To k
H P h n T H
P h ϕ So
)) 1 ( ( 2] [ 1
) ( )
2 (
1• − • • • − • • =− • + • • • +
•
•
• +
• h P H T n
H So n k
H T So To k
H P h n T H
P h ϕ So
)) 1 ( ( 2 ]
[
) (
) ( 2 ]
[ • + • • = +
•
•
•
−
• •
• − + •
− • T n
H P h H
So k
To H P h n H T
So k H P So h
ϕ
En posant
2 ] [
2 ]) [
H P h H
So
k H
So k H P h
Ko • + • •
− •
•
•
= et ]
2 ] [
) [ (
1 h P H
H So k
To H P h
Ko =ϕ•So•− +• •• ••
On obtient donc: T(n+1)=−(Ko•T(n)+Ko1) Intégré dans le système, cela donne :
) ⇒
1
x( −(2•Co)•T2+Co•T2=−T0 −CoT•TA
T
1= TA
) ⇒
2
x( CoT•T2−(2•Co)•T3+Co•T4=−T0
) ⇒
3
x( CoT•T3−(2•Co)•T4+Co•T5=−T0 M
−2) ⇒
x( n CoT•T(n−2)−(2•Co)•T(n−1)+Co•T(n)=−T0
−1) ⇒
x( n CoT•T(n−1)−(2•Co)•Tn)−Co•(Ko•T(n)+Ko1)=−T0 et donc :
−1) ⇒
x(n CoT•T(n−1)+T(n)•Co(−2−Ko)=−T0 +Co•Ko1 En reportant ce système dans une matrice on a:
avec
) 2 ( 0
0
) 2 (
0 )
2 ( 0
0 )
2 ( 0
0 )
2 (
0 0
) 2 (
Ko Co
CoT
Co Co
CoT
Co Co
CoT Co Co CoT
Co Co
CoT
Co Co
M
−
−
•
−
•
−
•
−
•
−
•
−
=
L L
L
O M
M
M O
O O
O O
M
M M L
L L
M•
) (
) 1 (
3 2
n T
n T
T T
− M M M
=
0 1
0 0 0
Ko Co T
T T
TA CoT T
• +
−
−
−
•
−
−
M M M
On peut donc écrire :
) (
) 1 (
3 2
n T
n T
T T
− M M M
= M−1•
0 1
0 0 0
Ko Co T
T T
TA CoT T
• +
−
−
−
•
−
−
M M M
4. Déplacement lié aux températures en fonction de la position.
4.1 résolution analytique des déplacements en fonction de la position
L’équation différentielle du déplacement à l’état stationnaire est : 0
2
2 − • •∂∂ =
∂∂
•
• x
S T x
S u
E α
On connaît TG(x) = K1•er1•x +K2•e−r1•x +T0
Alors on connaît aussi : K r er x K r e r x dx
TG • − •
•
•
−
•
•
= 1 1 1 2 1 1
En posant :
1 1
1 K r
B = • et B2 =−K2 •r1 on a : T'(x)=B1•er1•x +B2 •e−r1•x on a donc l’équation différentielle : [ 1 1 2 1 ] 0
2
2 − • • • + • =
∂∂
•
• S B er•x B e−r•x
x S u
E α
ou bien : r x B e r x
e E E B
x
u • − •
•
• +
•
•
∂ =
∂ 1 1
2 2 1
2 α α
L’équation différentielle est de la forme :
a.y’’+b.y’+c .y = d avec a = 1 , b = 0 , c = 0 , d = r x B e r x e E
E B
•
−
• + • •
•
• 1 1 α 2 1
α
Résolution de l’équation sans second membre (ESSM) : a.y’’+b.y’+c .y = 0 Recherche des solutions de l’équation caractéristique : a•r2 +b•r+c=0
ac b2 −4
=
∆ ∆=0 ⇒ ∆ = 0
b = 0
une racine double: r = a b
•
−
2 ⇒ r1 =r2 =0 (ne pas confondre avec r1 de l’équation de la température TG)
b = 0
0 2
1 )
(D D x e
UESSM = + • = D1 +D2x 1) équation avec second membre :
1 1
1 '
''p b y p c yp y
a• + • + • B er x E
• •
•
=α 1 1 l’équation de la forme : Up1 = A1(x)•er1•x
x r
p A x e
U 1 = 1( )• 1•
x r x
r
p A x r e A x e
U' 1= 1( )• 1• 1• + '1( )• 1• posons 0= A'1(x)•er1•x
x r x
r x
r
p A x r e A x r e A x r e
U = • • 1• + • • 1• = 1 • 12 • 1•
2 1 1 1
1
1 ' ( ) ( ) ( )
'' ⇒ r x B er x
e E r x
A1( )• 12 • 1• =α • 1• 1•
x r
p B e
E U r
E B x r
A • • •
= •
• ⇒
= 2• 1 1 2 1 1
1( ) α α