1. Modèles de transport en 1D

(1)

Equations différentielles ordinaires Equations aux dérivées partielles

Partie 2 : Equations de transport

Franck Boyer

franck.boyer@math.univ-toulouse.fr Bureau 204 - Bât. 1R3

Master 1 Mathématiques - Enseignement Supérieur et Recherche 2019/2020

Institut de Mathématiques de Toulouse

(2)

Plan général

• Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

• Partie 2 : Equations de transport

• Partie 3 : Problèmes aux limites elliptiques Evaluation

• Un devoir à la maison

• Un partiel

• Un examen terminal

• Note de CC“1{3DM`2{3P

• Note finale“0.4CC`0.6CT Remarque

• Contenu de base

• Contenu plus avancé

2

(3)

Plan de la partie 2

1. Modèles de transport en 1D 1.1 Trafic routier

1.2 Dynamique des gaz simplifiée

2. Modèles de transport en dimension quelconque 2.1 Théorème de Liouville

2.2 Théorème de Reynolds

2.3 Etablissement de lois de conservation

3

(4)

3. Solutions classiques des équations de transport 3.1 Cas général de l’équation de convection

3.2 Quelques exemples simples 3.3 Autres types d’équations

4. Solutions faibles des équations de transport 4.1 Introduction et Définition

4.2 Propriétés 4.3 Expression explicite 4.4 Unicité

3

(5)

Partie 2 : Equations de transport

1. Modèles de transport en 1D

(6)

1. Modèles de transport en 1D

1.1. Trafic routier

(7)

Modélisation

Hypothèses

• On suppose la route rectiligne et infinie R.

• Une seule voie de circulation. Impossible de dépasser.

• On ne regarde pas les problèmes d’entrées et sorties.

Quantités d’intérêt

• ρpt,xq= densité de véhicules à l’instanttet au pointx Le nb de véhicules entre les positionsaetbà l’instanttest donné par

żb

a ρpt,xqdx.

• vpt,xq= vitesse du véhicule qui passe au pointxà l’instantt.

But du jeu :Etablir des équations satisfaites parρetv.

4

(8)

On suppose connu le champ de vitessev Soit)un des véhicules roulant sur l’autoroute.

On notetÞÑXpt,)qsa trajectoire le long de cette route.

Principe fondamental #1 = cinématique = définition de la vitesse L’équation différentielle vérifiée parXest

d

dtXpt,)q “vpt,Xpt,)qq.

Dans toute la suite on supposera (et on vérifiera éventuellementa posteriori) quevest une fonction régulière.

5

(9)

Loi de conservation des véhicules

Enoncé

Avec nos choix de modélisation, aucun véhicule ne peut apparaître, disparaître ou dépasser un autre véhicule.

Principe fondamental #2 = loi de conservation

Si elles sont régulières, les deux fonctionsρ(densité) etv(vitesse) sont liées par l’équation aux dérivées partielles

B Btρ` B

Bxpρvq “0.

On va en donner deux preuves

• La preuve « des physiciens ».

• La preuve « des matheux ».

6

(10)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 1

Soientaăbdeux pointsfixéssur l’autoroute.

Idée

Comparer le nombre de véhicules dans la portionra,bsà l’instantt et à l’instantt`δt, pourδtpetit.

Instantt Instantt`δt

x“a x“b

) ) ) )) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

δtˆvpt,aq ˆρpt,aq ˆ p q ˆ p q

żb

a ρpt`δt,xqdx´ żb

a ρpt,xqdx

“véh. entrants´véh. sortants

δtpetitùñ żb

a

ˆBρ

Bt `Bpρvq Bx

˙

pt,xqdx“0. Argument final :Ce qui précède est vrai pour toutt,a,b !

7

(11)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 1

Idée

x“a x“b

) ) ) )) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

δtˆvpt,aq ˆρpt,aq

δtˆvpt,bq ˆρpt,bq

żb

a ρpt,xqdx

“pδtqvpt,aqρpt,aq´véh. sortants

δtpetitùñ żb

a

ˆBρ

Bt `Bpρvq Bx

˙

7

(12)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 1

Idée

x“a x“b

) ) ) )) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

δtˆvpt,aq ˆρpt,aq δtˆvpt,bq ˆρpt,bq

żb

a ρpt,xqdx

“pδtqvpt,aqρpt,aq´pδtqvpt,bqρpt,bq

δtpetitùñ

a

Bρ

Bt `Bpρvq

Bx pt,xqdx“0. Argument final :Ce qui précède est vrai pour toutt,a,b !

7

(13)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 1

Idée

x“a x“b

) ) ) )) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

żb a

ρpt`δt,xq ´ρpt,xq

δt dx“ ´

żb a

B

Bxpρpt,xqvpt,xqqdx.

δtpetitùñ żb

a

ˆBρ

Bt `Bpρvq Bx

˙

7

(14)

Preuve 1

Idée

x“a x“b

) ) ) )) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

δtpetitùñ żb

a

ˆBρ

Bt `Bpρvq Bx

˙

pt,xqdx“0.

Argument final :Ce qui précède est vrai pour toutt,a,b !

7

(15)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 2

Soient)et)deux voitures qui roulent sur l’autoroute.

Principe

Le nombre de véhicules entre)et)ne dépend pas du temps ! Instantt0

Instantt

) ⁾ ⁾⁾ ⁾ ^{) )})

) ) ) ) )

) ^{) )} ⁾ ⁾ ^{) )} )

) ) ) ) )

0“

żXpt,)q Xpt,)q

ˆBρ Bt ` B

Bxpρvq

˙ dx.

Argument final :Ce qui précède est vrai pour toutt,),) !

8

(16)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 2

Principe

Instantt

) ⁾ ⁾⁾ ⁾ ^{) )})

) ) ) ) )

) ^{) )} ⁾ ⁾ ^{) )} )

) ) ) ) )

0“ d dt

żXpt,)q Xpt,)q

ρpt,xqdx.

0“

Xpt,)q

Bρ Bt ` B

Bxpρvq dx.

8

(17)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 2

Principe

Instantt

) ⁾ ⁾⁾ ⁾ ^{) )})

) ) ) ) )

) ^{) )} ⁾ ⁾ ^{) )} )

) ) ) ) )

0“ ˆd

dtXpt,)q

˙

ρpt,Xpt,)qq ´ ˆd

dtXpt,)q

˙

ρpt,Xpt,)qq

` żXpt,)q

Xpt,)q

Bρ

Btpt,xqdx.

0“

żXpt,)q Xpt,)q

ˆBρ Bt ` B

Bxpρvq

˙ dx.

8

(18)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 2

Principe

Instantt

) ⁾ ⁾⁾ ⁾ ^{) )})

) ) ) ) )

) ^{) )} ⁾ ⁾ ^{) )} )

) ) ) ) )

0“vpt,Xpt,)qqρpt,Xpt,)qq ´vpt,Xpt,)qqρpt,Xpt,)qq

` żXpt,)q

Xpt,)q

Bρ

Btpt,xqdx.

0“

Xpt,)q

Bρ Bt ` B

Bxpρvq dx.

8

(19)

Loi de conservation des véhicules

Preuve 2

Principe

Instantt

) ⁾ ⁾⁾ ⁾ ^{) )})

) ) ) ) )

) ^{) )} ⁾ ⁾ ^{) )} )

) ) ) ) )

0“

żXpt,)q Xpt,)q

ˆBρ Bt ` B

Bxpρvq

˙ dx.

8

(20)

Et si on donnait un nom à ) et ) ?

• La notation)et)ne peut pas être conservée, il faut trouver un moyen de les identifier.

• Idée :On fixe un temps de référencet₀et on repère ces véhicules par leur position à cet instant.

Instantt0 ) x1

) x0

) )) ) ) )

) ) ) ) )

)ðñpt0,x₁q, et )ðñpt0,x0q.

ÞÑ p q ÞÑ p ⁰, 0q

$

&

% d

dtXpt,t0,x0q “vpt,Xpt,t0,x0qq, Xpt₀,t₀,x₀q “x₀,

Définition (Caractéristiques)

Dans le cadre des phénomènes de transport les trajectoires tÞÑXpt,t0,x0qsont plutôt appeléescourbes caractéristiques associées au champ de vitesse v.

9

(21)

Et si on donnait un nom à ) et ) ?

Instantt0 ) x1

) x0

) )) ) ) )

) ) ) ) )

• La trajectoiretÞÑXpt,)qest désormais notéetÞÑXpt,t₀,x₀q.

$

&

% d

dtXpt,t0,x0q “vpt,Xpt,t0,x0qq, Xpt0,t0,x0q “x0,

• Xn’est rien d’autre que leflotassocié au champ de vitessev !

Dans le cadre des phénomènes de transport les trajectoires tÞÑXpt,t₀,x₀qsont plutôt appeléescourbes caractéristiques associées au champ de vitesse v.

9

(22)

Et si on donnait un nom à ) et ) ?

Instantt0 ) x1

) x0

) )) ) ) )

) ) ) ) )

• La trajectoiretÞÑXpt,)qest désormais notéetÞÑXpt,t₀,x₀q.

$

&

% d

dtXpt,t0,x0q “vpt,Xpt,t0,x0qq, Xpt0,t0,x0q “x0,

Dans le cadre des phénomènes de transport les trajectoires tÞÑXpt,t0,x0qsont plutôt appeléescourbes caractéristiques

associées au champ de vitesse v. ⁹

(23)

La pièce manquante

Modélisation du comportement des conducteurs

A ce stade :Une seule équation pour deux inconnuesρetv La brique manquante

Comment les véhicules adaptent leur vitesse au trafic ? Il faut une loi de comportement !

10

(24)

• Modèle 1 :

vpt,xq “Vmax“constante donnée On obtient l’équation de transport à vitesse constante

B^tρ`Vmax B^xρ“0.

10

(25)

La pièce manquante

• Modèle 2 :

vpt,xq “Vmaxpxq “fonction donnée On obtient l’équation (forme conservative)

B^tρ` B^xpρVmaxpxqq “0.

ou encore (forme non conservative)

B^tρ`Vmaxpxq B^xρ`V_max¹ pxqρ“0.

10

(26)

• Modèle 3 : Les conducteurs adaptent leur vitesse au trafic v“gpρq, g:RÑRloi donnée

On obtient l’équationnon-linéaire B^tρ` B^xpfpρqq “0, avecfpρq “ρgpρq.

Exemple typique : v“Vmaxp1´ρq, ñ B^tρ`VmaxB^xpρp1´ρqq “0.

10

(27)

1. Modèles de transport en 1D

1.2. Dynamique des gaz simplifiée

(28)

Dynamique des gaz simplifiée

Lois de bilan

Pb :Evolution d’un gaz dans un tube rectiligne hermétique de sectionS.

• Problème mono-dimensionnel

• Densité du gazρpt,xq

• Vitesse moyenne des particules de gazvpt,xq

• Pression du gazppt,xq

B^tρ` B^xp q “ Loi de Newton= bilan de quantité de mouvement On fixeaăb.

On considère le volume de gaz compris entreXpt,0,aqetXpt,0,bq.

11

(29)

Dynamique des gaz simplifiée

Lois de bilan

Conservation des particules B^tρ` B^xpρvq “0.

Loi de Newton= bilan de quantité de mouvement On fixeaăb.

11

(30)

Lois de bilan

d dt

˜ S

żXpt,0,bq

Xpt,0,aqpρvqpt,xqdx

¸

“somme des forces extérieures

11

(31)

Dynamique des gaz simplifiée

Lois de bilan

d dt

˜ S

żXpt,0,bq

Xpt,0,aqpρvqpt,xqdx

¸

“ ´S ppt,Xpt,0,bqq `S ppt,Xpt,0,aqq

11

(32)

Lois de bilan

żXpt,0,bq Xpt,0,aq

B

Btpρv`ρv²qdx“ ´

żXpt,0,bq Xpt,0,aq

Bp Bxdx.

11

(33)

Dynamique des gaz simplifiée

Lois de bilan

On considère le volume de gaz compris entreXpt,0,aqetXpt,0,bq. Btpρvq ` Bxpρv²`pq “0.

11

(34)

Lois de comportement

A ce stade :

# B^tρ` B^xpρvq “0 Btpρvq ` Bxpρv²`pq “0.

Il manque une loi pour la pression

• Gaz sans pression

p“0

• Ecoulement isentropique :

p“p0ρ^γ,

avecp0etγą1 dépendant du gaz considéré.

• Ecoulement isotherme d’un gaz parfait : p“c²ρ,

oùcdépend des conditions de température (vitesse du son !)

• et bien d’autres ...

12

(35)

2. Modèles de transport en dimension

quelconque

(36)

Rappels sur les opérateurs différentiels

Définition (Gradient, Laplacien, Divergence)

SoitΩun ouvert deR^det uPC¹pΩ,Rq, FPC¹pΩ,R^dq. On définit

∇u:“

¨

˚

˝ B^x1u

... B^xdu

˛

‹

‚, ∆u:“

d

ÿ

i“1

Bx²iu,

“TrpD²_xuq,

divF:“

d

ÿ

i“1

B^xiFi

“TrpD_xFq

Proposition (Quelques formules utiles)

divpuFq “F¨ p∇uq ` pdivFqu, ∆u“div`∇u˘ .

SoitΩundomaine régulierdeR^det FPC¹pR^d,R^dq, alors on a ż

ΩpdivFqpxqdx“ ż

BΩ

Fpxq ¨npxqdσpxq, où n désigne lanormale unitaire sortanteau domaineΩ.

13

(37)

Rappels sur les opérateurs différentiels

Définition (Gradient, Laplacien, Divergence)

SoitΩun ouvert deR^det uPC¹pΩ,Rq, FPC¹pΩ,R^dq. On définit

∇u:“

¨

˚

˝ B^x1u

... B^xdu

˛

‹

‚, ∆u:“

d

ÿ

i“1

Bx²iu,

“TrpD²_xuq,

divF:“

d

ÿ

i“1

B^xiFi

“TrpD_xFq

Théorème (Formule de Stokes)

SoitΩundomaine régulierdeR^det FPC¹pR^d,R^dq, alors on a ż

ΩpdivFqpxqdx“ ż

BΩ

Fpxq ¨npxqdσpxq, où n désigne lanormale unitaire sortanteau domaineΩ.

13

(38)

2. Modèles de transport en dimension quelconque

2.1. Théorème de Liouville

(39)

Théorème de Liouville

Enoncé

• Soitv:pt,xq PRˆR^dÑvpt,xq PR^dunchamp de vitesse régulier et borné.

• On noteXles caractéristiques associées àv.

• Pour touttPR, le flot au tempst

yPR^dÞÑXpt,0,yq PR^d,

est unC¹-difféomorphisme. On noteJpt,yq:“detpDyXqpt,0,yq.

Théorème (de Liouville)

Le jacobien J vérifie, pour tout yPR^d, l’équation différentiellelinéaire scalaire

#B^tJpt,yq “ pdiv_xvqpt,Xpt,0,yqqJpt,yq, Jp0,yq “1, Corollaire (Conservation des volumes)

Si v està divergence nullealors Jpt,yq “1pour tout t,y !

14

(40)

Théorème de Liouville

Enoncé

est unC¹-difféomorphisme. On noteJpt,yq:“detpDyXqpt,0,yq. Théorème (de Liouville)

#B^tJpt,yq “ pdiv_xvqpt,Xpt,0,yqqJpt,yq, Jp0,yq “1,

• En particulier :Jpt,yq ą0 pour toutt,y !

• Dans ce contexte on notera plutôtdivvau lieu dedivxv.

14

(41)

Théorème de Liouville

Enoncé

est unC¹-difféomorphisme. On noteJpt,yq:“detpDyXqpt,0,yq. Théorème (de Liouville)

#B^tJpt,yq “ pdiv_xvqpt,Xpt,0,yqqJpt,yq, Jp0,yq “1, Corollaire (Conservation des volumes)

14

(42)

Théorème de Liouville

Preuve

• On utilise le théorème de différentiation du flot

# B^tpDyXq “ pDxvqpt,Xpt,0,yqq.pDyXq, pD_yXqp0q “Id,

• Puis la différentielle de l’application « déterminant » :

pDdetqpMq.H“ pdetMqTrpM^´1.Hq, @MPGL_dpRq, @HPM_dpRq.

B^tJpt,yq “ B^tpdetpD_yXqpt,0,yqq

“`

detpD_yXqpt,0,yq˘ Tr`

pD_yXpt,0,yqq^´1.B^tpD_yXqpt,0,yq˘

“Jpt,yqTr`

pD_yXpt,0,yqq^´1.pD_xvqpt,Xpt,0,yqq.pD_yXpt,0,yqq˘

“Jpt,yqTr`

pDxvqpt,Xpt,0,yqq˘

“Jpt,yqpdiv_xvqpt,Xpt,0,yqq.

15

(43)

Théorème de Liouville

Preuve

• On utilise le théorème de différentiation du flot

# B^tpDyXq “ pDxvqpt,Xpt,0,yqq.pDyXq, pD_yXqp0q “Id,

• Puis la différentielle de l’application « déterminant » :

pDdetqpMq.H“ pdetMqTrpM^´1.Hq, @MPGL_dpRq, @HPM_dpRq.

• La suite est un calcul de dérivée composée ...

B^tJpt,yq “ B^tpdetpD_yXqpt,0,yqq

“`

detpD_yXqpt,0,yq˘ Tr`

pD_yXpt,0,yqq^´1.B^tpD_yXqpt,0,yq˘

“Jpt,yqTr`

pDyXpt,0,yqq^´1.pDxvqpt,Xpt,0,yqq.pDyXpt,0,yqq˘

“Jpt,yqTr`

pDxvqpt,Xpt,0,yqq˘

“Jpt,yqpdiv_xvqpt,Xpt,0,yqq.

15

(44)

2. Modèles de transport en dimension quelconque

2.2. Théorème de Reynolds

(45)

Théorème de Reynolds

Enoncé

But :on veut pouvoir écrire un bilan de conservation (comme pour le trafic routier) mais en dimension quelconque.

Il faut donc généraliser le calcul suivant : d

dt

˜żXpt,)q Xpt,)q

ρpt,xqdx

¸

“

żXpt,)q Xpt,)q

pB^tρ` B^xpρvqqdx.

Théorème

SoitΩ₀ĂR^dun domaine fixé. Pour tout tPRon pose Ω_t:“Xpt,0,Ω₀q.

Soit f:pt,xq PRˆR^d ÞÑfpt,xq PR, de classeC¹. Alors on a d

dt ˆż

Ω_t

fpt,xqdx

˙

“ ż

Ω_t

“B^tf`divpfvq‰

pt,xqdx.

16

(46)

Enoncé

But :on veut pouvoir écrire un bilan de conservation (comme pour le trafic routier) mais en dimension quelconque.

Il faut donc généraliser le calcul suivant : d

dt

˜żXpt,)q Xpt,)q

ρpt,xqdx

¸

“

żXpt,)q Xpt,)q

pB^tρ` B^xpρvqqdx.

Théorème

SoitΩ₀ĂR^dun domaine fixé. Pour tout tPRon pose Ω_t:“Xpt,0,Ω₀q.

Soit f:pt,xq PRˆR^d ÞÑfpt,xq PR, de classeC¹. Alors on a d

dt ˆż

Ω_t

fpt,xqdx

˙

“ ż

Ω_t

“B^tf`divpfvq‰

pt,xqdx.

16

(47)

Théorème de Reynolds

Preuve

On veut calculer la dérivée de Fptq:“

ż

Ω_t

fpt,xqdx.

• Changement de variable Fptq “

ż

Ω₀

fpt,Xpt,0,yqqJpt,yqdy.

• Dérivation sous l’intégrale + Théorème de Liouville F¹ptq “

ż

Ω₀

fpt,Xpt,0,yqqdy

` ż

Ω₀

„

B^tfpt,Xpt,0,yqq ` pDxfqpt,Xpt,0,yqq.



Jpt,yqdy

• Changement de variable inverse F¹ptq “

ż

Ω_t

“divpfvq ` B^tf‰

pt,xqdx.

17

(48)

Théorème de Reynolds

Preuve

ż

Ω_t

fpt,xqdx.

ż

Ω₀

ż

Ω₀

fpt,Xpt,0,yqqB^tJpt,yqdy

` ż

Ω₀

„

B^tfpt,Xpt,0,yqq`pDxfqpt,Xpt,0,yqq.B^tXpt,0,yq



Jpt,yqdy

F¹ptq “ ż

Ω_t

“divpfvq ` Btf‰

pt,xqdx.

17

(49)

Théorème de Reynolds

Preuve

ż

Ω_t

fpt,xqdx.

ż

Ω₀

ż

Ω₀

` ż

Ω₀

„

B^tfpt,Xpt,0,yqq`pDxfqpt,Xpt,0,yqq.vpt,Xpt,0,yqq



Jpt,yqdy

ż

Ω_t

“divpfvq ` Btf‰

pt,xqdx.

17

(50)

Théorème de Reynolds

Preuve

ż

Ω_t

fpt,xqdx.

ż

Ω₀

ż

Ω₀

` ż

Ω₀

„

B^tfpt,Xpt,0,yqq`p∇xfqpt,Xpt,0,yqq¨vpt,Xpt,0,yqq



Jpt,yqdy

F¹ptq “ ż

Ω_t

“divpfvq ` Btf‰

pt,xqdx.

17

(51)

Théorème de Reynolds

Preuve

ż

Ω_t

fpt,xqdx.

ż

Ω₀

ż

Ω₀

fpt,Xpt,0,yqqpdiv_xvqpt,Xpt,0,yqqJpt,yqdy

` ż

Ω₀

„

B^tfpt,Xpt,0,yqq`p∇xfqpt,Xpt,0,yqq¨vpt,Xpt,0,yqq



Jpt,yqdy

ż

Ω_t

“divpfvq ` Btf‰

pt,xqdx.

17

(52)

Théorème de Reynolds

Preuve

ż

Ω_t

fpt,xqdx.

ż

Ω₀

ż

Ω₀

“fpt,Xqpdiv_xvqpt,Xq ` p∇xfqpt,Xq ¨vpt,Xq‰

Jpt,yqdy

` ż

Ω₀B^tfpt,XqJpt,yqdy

F¹ptq “ ż

Ω_t

pt,xqdx.

17

(53)

Théorème de Reynolds

Preuve

ż

Ω_t

fpt,xqdx.

ż

Ω₀

ż

Ω₀

pt,XqJpt,yqdy

ż

Ω_t

pt,xqdx.

17

(54)

Preuve

ż

Ω_t

fpt,xqdx.

ż

Ω₀

ż

Ω₀

pt,XqJpt,yqdy

ż

Ω_t

pt,xqdx.

17

(55)

Théorème de Reynolds

Commentaires

On vient de montrer d dt

ˆż

Ω_t

fpt,xqdx

˙

“ ż

Ω_t

“B^tf`divpfvq‰

pt,xqdx.

1. Si on applique cette formule àf“1 on trouve d

dt|Ω_t| “ ż

Ω_tpdivvqpt,xqdx.

On retrouve que sidivv“0, alorstÞÑ |Ωt|est constant. De plus

• Sidivvě0, alors le volume deΩtaugmente avec le temps.

• Sidivvď0, alors le volume deΩtdiminue avec le temps. 2. Si on applique la formule de Stokes, on trouve

d dt

ˆż

Ω_t

fpt,xqdx

˙

“ ż

Ω_tB^tf dx` ż

BΩ_t

fpv¨nqdσpxq.

18

(56)

Théorème de Reynolds

Commentaires

ˆż

Ω_t

fpt,xqdx

˙

“ ż

Ω_t

“B^tf`divpfvq‰

pt,xqdx.

dt|Ω_t| “ ż

Ω_tpdivvqpt,xqdx.

• Sidivvď0, alors le volume deΩtdiminue avec le temps.

d dt

ˆż

Ω_t

fpt,xqdx

˙

“ ż

Ω_tB^tf dx` ż

BΩ_t

fpv¨nqdσpxq.

18

(57)

Théorème de Reynolds

Commentaires

ˆż

Ω_t

fpt,xqdx

˙

“ ż

Ω_t

“B^tf`divpfvq‰

pt,xqdx.

dt|Ω_t| “ ż

Ω_tpdivvqpt,xqdx.

• Sidivvď0, alors le volume deΩtdiminue avec le temps.

2. Si on applique la formule de Stokes, on trouve d

dt ˆż

Ω_t

fpt,xqdx

˙

“ ż

Ω_tB^tf dx` ż

BΩ_t

fpv¨nqdσpxq.

18

(58)

FIN DE LA SéANCE 7

(59)

2. Modèles de transport en dimension quelconque

2.3. Etablissement de lois de conservation

(60)

Equations de conservation

Soit un système de « particules » dense décrit par une densité ρpt,xq PRet un champ de vitessevpt,xq PR^d, réguliers.

Théorème (Equation de continuité)

On suppose qu’il n’y ani disparition ni apparitionde particules durant l’évolution, alorsρet v sont reliées par l’EDP

Btρ`divpρvq “0.

On l’appelleéquation de continuité, ouconservation de la masse.

αp q P r s désigne la proportion de l’espèce 1 au tempstet au pointxalors :

Théorème (Equation de convection)

Si la densité totaleρest non nulle, alorsαet v sont reliées par l’EDP B^tα`v¨∇α“0.

On l’appelleéquation de transport, ouéquation de convection.

20

(61)

Equations de conservation

Soit un système de « particules » dense décrit par une densité ρpt,xq PRet un champ de vitessevpt,xq PR^d, réguliers.

Théorème (Equation de continuité)

On suppose qu’il n’y ani disparition ni apparitionde particules durant l’évolution, alorsρet v sont reliées par l’EDP

Btρ`divpρvq “0.

On l’appelleéquation de continuité, ouconservation de la masse.

Si la population est divisée en deux espèces et queαpt,xq P r0,1s désigne la proportion de l’espèce 1 au tempstet au pointxalors :

Théorème (Equation de convection)

Si la densité totaleρest non nulle, alorsαet v sont reliées par l’EDP B^tα`v¨∇α“0.

On l’appelleéquation de transport, ouéquation de convection. 20

(62)

3. Solutions classiques des équations de

transport

(63)

Objectif

Problème de Cauchy pour une EDP d’évolution

Un peu de vocabulaire

• EDP d’évolution= EDP dont l’une des variables est le tempst.

Les autres variables sonten généraldes variables « d’espace ».

B^tu“qqchose en fonction deu,B^xiu, ... p‹q

• Problème de Cauchy= Une EDP d’évolution + une donnée initiale

up0,xq “u₀pxq, @x. p‹‹q On trouve aussi les notations

up0, .q “u₀p.q, ou up0q “u₀, ou u_|t“0“u₀.

• Le vocabulaire issu de la théorie des EDO est largement conservé :

• trajectoire

• problème linéaire / non-linéaire

• équilibre

• stabilité

• linéarisé

Warning !

Un problème de Cauchy pour une EDP d’évolutionne relève en aucun casde la théorie développée pour les équations

différentielles !

Solution du problème de Cauchy

On se donnexÞÑu₀pxqet on cherche une fonctionpt,xq ÞÑupt,xq qui vérifiep‹qetp‹‹q.

21

(64)

Problème de Cauchy pour une EDP d’évolution

Un peu de vocabulaire

• EDP d’évolution= EDP dont l’une des variables est le tempst.

Les autres variables sonten généraldes variables « d’espace ».

B^tu“qqchose en fonction deu,B^xiu, ... p‹q

• Problème de Cauchy= Une EDP d’évolution + une donnée initiale

up0,xq “u₀pxq, @x. p‹‹q Warning !

Un problème de Cauchy pour une EDP d’évolutionne relève en aucun casde la théorie développée pour les équations

différentielles !

Solution du problème de Cauchy

On se donnexÞÑu0pxqet on cherche une fonctionpt,xq ÞÑupt,xq

qui vérifiep‹qetp‹‹q. ²¹

(65)

3. Solutions classiques des équations de transport

3.1. Cas général de l’équation de convection

(66)

Résolution du problème de Cauchy

Théorème

Pour tout champ v régulier et borné, pour toute donnée initiale u₀PC¹pR^dq, ilexisteuneuniquesolution uPC¹pr0,`8rˆR^dqdu problème de Cauchy

#B^tu`vpt,xq ¨∇u“0, @tą0,@xPR^d, up0,xq “u₀pxq, @xPR^d, et celle-ci est donnée par la formule

upt,xq “u₀pXp0,t,xqq, @tą0,@xPR^d, où X désigne les caractéristiques associées au champ v.

Idée fondamentale („preuve) :la solution est constante le long des caractéristiques !

On parle deméthode des caractéristiques ²²

(67)

Equation de transport/convection

Résolution du problème de Cauchy

upt,xq “u0pXp0,t,xqq, @tą0,@xPR^d, Illustration de la formule en 1D d’espace

22

(68)

Equation de transport/convection

Preuve par analyse-synthèse

• On suppose qu’une solutionuexiste.

• On fixe un pointx0PRet on considère la valeur deule long de la caractéristique issue dex0

ϕptq:“upt,Xpt,0,x0qq, @tě0.

• On observe (dérivation de fonction composée) que

ϕ¹ptq “ B^tupt,Xpt,0,x0qq ` pB^tXpt,0,x0qq ¨∇upt,Xpt,0,x0qq

“ B^tupt,Xpt,0,x0qq `vpt,Xpt,0,x0qq ¨∇upt,Xpt,0,x0qq

“ pBtu`v¨∇uqpt,Xpt,0,x₀qq

“0,

cette dernière égalité étant issue de l’équation vérifiée paru.

Donc ϕest constante.

ϕptq “ϕp0q, @tě0.

• On calcule par ailleurs

ϕp0q “up0,Xp0,0,x₀qq “up0,x₀q “u₀px₀q.

• On a donc montré

upt,Xpt,0,x₀qq “u₀px₀q, @tě0,@x₀PR. Il faut maintenant en déduireupt,xqpour toutt,x.

• Question :Etant donnést,xpeut-on trouverx0tel que Xpt,0,x0q “x? p‹q

On dit qu’on cherche lepied de la caractéristique.

• Réponse :Oui bien sûr !

La solution dep‹qest donc donnée par x₀“Xp0,t,xq. On trouve donc la formule annoncée

upt,xq “u₀pXp0,t,xqq.

23

(69)

Equation de transport/convection

• On a donc établi

ϕp0q “up0,Xp0,0,x0qq “up0,x0q “u0px0q.

upt,xq “u0pXp0,t,xqq.

23

(70)

Equation de transport/convection

23

(71)

Equation de transport/convection

upt,Xpt,0,x0qq “u0px0q, @tě0,@x0PR.

Il faut maintenant en déduireupt,xqpour toutt,x.

23

(72)

Equation de transport/convection

upt,Xpt,0,x0qq “u0px0q, @tě0,@x0PR.

Il faut maintenant en déduireupt,xqpour toutt,x.

0

Xpt,0,x₀q “x? p‹q

La solution dep‹qest donc donnée par x0“Xp0,t,xq. On trouve donc la formule annoncée

upt,xq “u₀pXp0,t,xqq.

23