• Aucun résultat trouvé

Password-Authenticated Group Key Agreement with Adaptive Security and Contributiveness

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Password-Authenticated Group Key Agreement with Adaptive Security and Contributiveness"

Copied!
23
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: inria-00419147

https://hal.inria.fr/inria-00419147

Submitted on 22 Sep 2009

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Password-Authenticated Group Key Agreement with Adaptive Security and Contributiveness

Michel Abdalla, Dario Catalano, Céline Chevalier, David Pointcheval

To cite this version:

Michel Abdalla, Dario Catalano, Céline Chevalier, David Pointcheval. Password-Authenticated Group

Key Agreement with Adaptive Security and Contributiveness. Second African International Con-

ference on Cryptology (AfricaCrypt ’09), 2009, Gammarth - Tunisie, Tunisia. pp.254–271. �inria-

00419147�

(2)

❚❤✐s ✐s t❤❡ ❢✉❧❧ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❛❜str❛❝t ✇❤✐❝❤ ❛♣♣❡❛rs ✐♥ ❆❢r✐❝❛❝r②♣t ✬✵✾ ✭✷✶ ✕ ✷✺ ❥✉♥❡ ✷✵✵✾✱ ●❛♠♠❛rt❤✱ ❚✉♥✐s✐❛✮

❇✳ Pr❡♥❡❡❧ ❊❞✳✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ▲◆❈❙ ❄❄❄❄✱ ♣❛❣❡s ❄❄❄✕❄❄❄✳

P❛ss✇♦r❞✲❆✉t❤❡♥t✐❝❛t❡❞ ●r♦✉♣ ❑❡② ❆❣r❡❡♠❡♥t

✇✐t❤ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❙❡❝✉r✐t② ❛♥❞ ❈♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss

▼✐❝❤❡❧ ❆❜❞❛❧❧❛

1

✱ ❉❛r✐♦ ❈❛t❛❧❛♥♦

2

✱ ❈é❧✐♥❡ ❈❤❡✈❛❧✐❡r

1

✱ ❛♥❞ ❉❛✈✐❞ P♦✐♥t❝❤❡✈❛❧

1

1 ➱❝♦❧❡ ◆♦r♠❛❧❡ ❙✉♣ér✐❡✉r❡✱ ❈◆❘❙✲■◆❘■❆✱ P❛r✐s✱ ❋r❛♥❝❡

2 ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞✐ ❈❛t❛♥✐❛✱ ❈❛t❛♥✐❛✱ ■t❛❧②

❆❜str❛❝t✳ ❆❞❛♣t✐✈❡❧②✲s❡❝✉r❡ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ❛❧❧♦✇s t❤❡ ❡st❛❜❧✐s❤♠❡♥t ♦❢ s❡❝✉r❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s✲

❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ❛❞✈❡rs❛r② t❤❛t ❝❛♥ ❝♦rr✉♣t ♣❛rt✐❡s ❛❞❛♣t✐✈❡❧② ❛♥❞ ♦❜t❛✐♥ t❤❡✐r ✐♥t❡r♥❛❧ st❛t❡s✳ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ✇❡

❣✐✈❡ ❛ ❢♦r♠❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥tr✐❜✉t♦r② ♣r♦t♦❝♦❧s ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ✐❞❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❢♦r ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❣r♦✉♣

❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✇✐t❤ ❡①♣❧✐❝✐t ❛✉t❤❡♥t✐❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss ✐♥ t❤❡ ❯❈ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ❆s ✇✐t❤ ♣r❡✈✐♦✉s

❞❡✜♥✐t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦✱ ♦✉r ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❞♦ ♥♦t ❛ss✉♠❡ ❛♥② ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ ♣❛ss✇♦r❞s

♦r ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❛ss✇♦r❞s ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❛rt✐❡s✳ ❲❡ ❛❧s♦ ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ✜rst st❡♣s t♦✇❛r❞ r❡❛❧✐③✐♥❣ t❤✐s

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ str♦♥❣ ❛❞❛♣t✐✈❡ s❡tt✐♥❣ ❜② ❛♥❛❧②③✐♥❣ ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ❡①✐st✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧ ❛♥❞ s❤♦✇✐♥❣

t❤❛t ✐t r❡❛❧✐③❡s t❤❡ ✐❞❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✐♥ t❤❡ r❛♥❞♦♠✲♦r❛❝❧❡ ❛♥❞ ✐❞❡❛❧✲❝✐♣❤❡r ♠♦❞❡❧s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❈❉❍

❛ss✉♠♣t✐♦♥✳

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

▼♦t✐✈❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ❣♦❛❧ ♦❢ ❛♥ ❛✉t❤❡♥t✐❝❛t❡❞ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✭❆❑❊✮ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s t♦ ❛❧❧♦✇ ✉s❡rs t♦

❡st❛❜❧✐s❤ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❦❡② ♦✈❡r ❛ ♣✉❜❧✐❝ ❝❤❛♥♥❡❧✱ ❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛❞✈❡rs❛r✐❡s✳ ❚❤❡ ♠♦st ❝♦♠♠♦♥

✇❛② t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤✐s ❣♦❛❧ ✐s t♦ r❡❧② ❡✐t❤❡r ♦♥ ❛ ♣✉❜❧✐❝✲❦❡② ✐♥❢r❛str✉❝t✉r❡ ✭P❑■✮ ♦r ♦♥ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❤✐❣❤✲

❡♥tr♦♣② s❡❝r❡t ❦❡② ❬✸✽❪✳ ❯♥❢♦rt✉♥❛t❡❧②✱ t❤❡s❡ ♠❡t❤♦❞s r❡q✉✐r❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ tr✉st❡❞ ❤❛r❞✇❛r❡ ❝❛♣❛❜❧❡

♦❢ st♦r✐♥❣ ❤✐❣❤✲❡♥tr♦♣② s❡❝r❡t ❦❡②s✳ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ❛♥❞ ♣❡r❤❛♣s ♠♦r❡ r❡❛❧✐st✐❝

s❝❡♥❛r✐♦ ✇❤❡r❡ s❡❝r❡t ❦❡②s ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ s❤♦rt ♣❛ss✇♦r❞s✳

❙✐♥❝❡ t❤❡ s❡♠✐♥❛❧ ✇♦r❦ ❜② ❇❡❧❧♦✈✐♥ ❛♥❞ ▼❡rr✐tt ❬✶✶❪✱ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ❤❛s ❜❡❝♦♠❡

q✉✐t❡ ♣♦♣✉❧❛r✳ ❉✉❡ t♦ t❤❡✐r ❧♦✇ ❡♥tr♦♣②✱ ♣❛ss✇♦r❞s ❛r❡ ❡❛s✐❧② ♠❡♠♦r✐③❛❜❧❡ ❜② ❤✉♠❛♥s ❛♥❞ ❛✈♦✐❞ t❤❡

♥❡❡❞ ❢♦r tr✉st❡❞ ❤❛r❞✇❛r❡✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ t❤❡ ❧♦✇ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ♣❛ss✇♦r❞s ♠❛❦❡s t❤❡♠ ✈✉❧♥❡r❛❜❧❡

t♦ ❡①❤❛✉st✐✈❡ s❡❛r❝❤✿ ♣❡r❢❡❝t ❢♦r✇❛r❞ s❡❝r❡❝② t❤✉s ❜❡❝♦♠❡s q✉✐t❡ ✐♠♣♦rt❛♥t✳ ❚❤✐s ♥♦t✐♦♥ ♠❡❛♥s t❤❛t✱

❡✈❡♥ ✐❢ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞ ♦❢ ❛ ✉s❡r ✐s ❧❛t❡r ❣✉❡ss❡❞ ♦r ❧❡❛❦❡❞✱ ❦❡②s ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ❧❡❛❦❛❣❡ ♦❢ t❤❡

♣❛ss✇♦r❞ r❡♠❛✐♥ ♣r✐✈❛t❡✳ ❉❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ s❡❝✉r✐t② ♠♦❞❡❧✱ t❤❡ ♣r✐✈❛❝② ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❦❡② ❤❛s ❜❡❡♥

♠♦❞❡❧❡❞ ✈✐❛ ❡✐t❤❡r ✏s❡♠❛♥t✐❝ s❡❝✉r✐t②✑ ❬✾❪ ♦r t❤❡ ✐♥❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ♣r♦t♦❝♦❧ ❛♥❞ ❛♥

✐❞❡❛❧ ♦♥❡ ❬✷✻❪✳ ■♥ ❜♦t❤ ❝❛s❡s✱ t❤❡ ❧❡❛❦❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦♥❣✲t❡r♠ s❡❝r❡t ✭♣❛ss✇♦r❞ ✐♥ ♦✉r ❝❛s❡✮ ❤❛s ❜❡❡♥

♠♦❞❡❧❡❞ ❜② ✏❝♦rr✉♣t✐♦♥✑ q✉❡r✐❡s✳ ❯♥❢♦rt✉♥❛t❡❧②✱ t❤❡ ❧♦♥❣✲t❡r♠ s❡❝r❡t ♠❛② ♥♦t ❜❡ t❤❡ ♦♥❧② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

❧❡❛❦❡❞ ❞✉r✐♥❣ ❛ ❝♦rr✉♣t✐♦♥✳ ❊♣❤❡♠❡r❛❧ s❡❝r❡t ❧❡❛❦❛❣❡ ❤❛s ❛❧s♦ ❜❡❡♥ s❤♦✇♥ t♦ ❝❛✉s❡ s❡✈❡r❡ ❞❛♠❛❣❡s ✐♥

s♦♠❡ ❝♦♥t❡①ts ❬✸✻✱ ✸✺❪✱ ❛♥❞ t❤✉s ✏str♦♥❣ ❝♦rr✉♣t✐♦♥s✑ s❤♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❬✸✾❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ♠❛②

♥♦t ❜❡ ✈❡r② r❡❛❧✐st✐❝ t♦ ❛❧❧♦✇ t❤❡ ❞❡s✐❣♥❡r ♦❢ ❛ ♣r♦t♦❝♦❧ t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤✐❝❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s r❡✈❡❛❧❡❞ ❜② s✉❝❤ ❛ str♦♥❣ ❝♦rr✉♣t✐♦♥ q✉❡r②✳ ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦♠♣♦s❛❜✐❧✐t② ✭❯❈✮ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❬✷✹❪✱ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱

❛❧❧♦✇s ❢♦r ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤✿ ✇❤❡♥❡✈❡r ❛ str♦♥❣ ❝♦rr✉♣t✐♦♥ ♦❝❝✉rs✱ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❜r❡❛❦s ✐♥t♦ t❤❡

❝♦rr✉♣t❡❞ ♣❧❛②❡rs✱ ❧❡❛r♥s ✇❤❛t❡✈❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❝♦♠♣❧❡t❡ t❤❡ s❡ss✐♦♥✱ ❛♥❞ ❝♦♥tr♦❧s t❤❡

♣❧❛②❡r t❤❡r❡❛❢t❡r✳ ❚❤✐s s❡❡♠s t♦ ❜❡ ❛ ♠♦r❡ r❡❛❧✐st✐❝ s❝❡♥❛r✐♦✳

■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r str♦♥❣❡r ❝♦rr✉♣t✐♦♥s ❢♦r ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❣r♦✉♣ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ♣r♦t♦❝♦❧s

✐♥ t❤❡ ❛❞❛♣t✐✈❡ s❡tt✐♥❣✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛❞✈❡rs❛r✐❡s ❛r❡ ❛❧❧♦✇❡❞ t♦ ❝♦rr✉♣t ♣❛rt✐❡s ❛❞❛♣t✐✈❡❧② ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡② ❤❛✈❡ ❣❛t❤❡r❡❞ s♦ ❢❛r✳ ❉❡s♣✐t❡ ♥✉♠❡r♦✉s ✇♦r❦s ♦♥ ❣r♦✉♣ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ♣r♦t♦❝♦❧s✱ ✈❡r②

❢❡✇ s❝❤❡♠❡s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣r♦✈❡♥ t♦ ✇✐t❤st❛♥❞ str♦♥❣ ❝♦rr✉♣t✐♦♥s ✐♥ ❝❛s❡ ♦❢ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❛❞✈❡rs❛r✐❡s✳ ■♥ t❤❡

❝♦♥t❡①t ♦❢ ❣r♦✉♣ ❆❑❊✱ ❑❛t③ ❛♥❞ ❙❤✐♥ ❬✸✹❪ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛ ❝♦♠♣✐❧❡r t❤❛t ❝♦♥✈❡rts ❛♥② ♣r♦t♦❝♦❧ t❤❛t ✐s s❡❝✉r❡

✐♥ ❛ ✇❡❛❦ ❝♦rr✉♣t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✐♥t♦ ♦♥❡ t❤❛t ✐s s❡❝✉r❡ ✐♥ ❛ str♦♥❣ ❝♦rr✉♣t✐♦♥ ♠♦❞❡❧✱ ❜✉t t❤❡✐r ♣r♦t♦❝♦❧ r❡❧✐❡s

♦♥ s✐❣♥❛t✉r❡s ❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t ✇♦r❦ ✐♥ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ s❝❡♥❛r✐♦✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❣r♦✉♣

❆❑❊ ♣r♦t♦❝♦❧s✱ t♦ t❤❡ ❜❡st ♦❢ ♦✉r ❦♥♦✇❧❡❞❣❡✱ t❤❡ ♦♥❧② s❝❤❡♠❡ s❤♦✇♥ t♦ ✇✐t❤st❛♥❞ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❝♦rr✉♣t✐♦♥s

❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ✷✵✵✾✳

(3)

✐s ❞✉❡ t♦ ❇❛r❛❦ ❡t ❛❧✳ ❬✻❪ ✉s✐♥❣ ❣❡♥❡r❛❧ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❢r♦♠ ♠✉❧t✐✲♣❛rt② ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥✳ ❯♥❢♦rt✉♥❛t❡❧②✱ t❤❡✐r s❝❤❡♠❡ ✐s ♥♦t ♣r❛❝t✐❝❛❧✳

❆♥♦t❤❡r ✐ss✉❡ ❜❡✐♥❣ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❡r❡ ✐s ❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss ❬✶✸✱ ✷✽✱ ✷✶❪✳ ■♥ t❤❡ s❡❝✉r✐t② ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❑❛t③

❛♥❞ ❙❤✐♥ ❬✸✹❪✱ ♦♥❡ ❥✉st ✇❛♥ts t♦ ♣r❡✈❡♥t t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❢r♦♠ ❢✉❧❧② ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ❦❡②✱ ✉♥❧❡ss ✐t ❤❛s

❝♦rr✉♣t❡❞ ♦♥❡ ♣❧❛②❡r ✐♥ t❤❡ ❣r♦✉♣✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❜❡tt❡r t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❡ r❛♥❞♦♠♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❦❡②✱

✉♥❧❡ss ✐t ❤❛s ❝♦♠♣r♦♠✐s❡❞ t❤❡ s❡❝✉r✐t② ♦❢ ❛ s✉✣❝✐❡♥t ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❧❛②❡rs✿ ■❢ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❤❛s ♥♦t

❝♦♠♣r♦♠✐s❡❞ t♦♦ ♠❛♥② ♣❧❛②❡rs✱ ✐t s❤♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❜✐❛s t❤❡ ❦❡②✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ s❡✈❡r❛❧ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s

✐♥ ❛❞♦♣t✐♥❣ ❛ str♦♥❣❡r ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss ❢♦r ❣r♦✉♣ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ♣r♦t♦❝♦❧s✳ ❋✐rst✱ ✐t ❝r❡❛t❡s

❛ ❝❧❡❛r ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❦❡② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛♥❞ ❦❡② ❛❣r❡❡♠❡♥t ♣r♦t♦❝♦❧s ❜② ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥❝r❡t❡

t❡r♠s t❤❡ ♥♦t✐♦♥ t❤❛t✱ ✐♥ ❛ ❣r♦✉♣ ❦❡② ❛❣r❡❡♠❡♥t ♣r♦t♦❝♦❧✱ ❡❛❝❤ ♣❧❛②❡r s❤♦✉❧❞ ❝♦♥tr✐❜✉t❡ ❡q✉❛❧❧② t♦

t❤❡ s❡ss✐♦♥ ❦❡②✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ✐t r❡♥❞❡rs t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ♠♦r❡ r♦❜✉st t♦ ❢❛✐❧✉r❡s ✐♥ t❤❛t t❤❡ s❡ss✐♦♥ ❦❡② ✐s

❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❜❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❡✈❡♥ ✐❢ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❞♦ ♥♦t ❝❤♦♦s❡ t❤❡✐r ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s

❝♦rr❡❝t❧② ✭❞✉❡ t♦ ❤❛r❞✇❛r❡ ♠❛❧❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✮✳ ❚❤✐r❞✱ ✐t ❛✈♦✐❞s s❝❡♥❛r✐♦s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ♠❛❧✐❝✐♦✉s

✐♥s✐❞❡rs s❡❝r❡t❧② ❧❡❛❦ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❛ s❡ss✐♦♥ ❦❡② t♦ ❛ t❤✐r❞ ♣❛rt② ❜② ❡✐t❤❡r ✐♠♣♦s✐♥❣ s♣❡❝✐✜❝ ✈❛❧✉❡s ❢♦r t❤❡ s❡ss✐♦♥ ❦❡② ♦r ❜✐❛s✐♥❣ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧❛tt❡r✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❦❡② ❝❛♥ ❜❡ q✉✐❝❦❧② ❞❡r✐✈❡❞✱ ❛♥❞

t❤❡♥ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❡❛✈❡s❞r♦♣♣❡❞ ✐♥ r❡❛❧✲t✐♠❡✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♠❛❣✐♥❡ t❤❡ t❤✐r❞ ♣❛rt② t♦ ❜❡

❛♥ ✐♥t❡❧❧✐❣❡♥❝❡ ❛❣❡♥❝②✱ s✉❝❤ ❛s t❤❡ ❈■❆✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠❛❧✐❝✐♦✉s ✐♥s✐❞❡rs t♦ ❜❡ ♠❛❧✐❝✐♦✉s ♣✐❡❝❡s ♦❢ ❤❛r❞✇❛r❡

❛♥❞ s♦❢t✇❛r❡ ✭♣s❡✉❞♦✲r❛♥❞♦♠ ❣❡♥❡r❛t♦r✮ ✐♥st❛❧❧❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥t❡❧❧✐❣❡♥❝❡ ❛❣❡♥❝②✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✐❢ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡

♦❢ s✉❜❧✐♠✐♥❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s ❬✹✵❪ ❝❛♥ ❜❡ ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❧✐❢❡t✐♠❡ ♦❢ t❤❡ s❡ss✐♦♥ ❦❡② st❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡

♠♦♠❡♥t ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❤❛✈❡ ❣❛t❤❡r❡❞ ❡♥♦✉❣❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤✐s ❦❡② ✭❛ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t

♥❡❡❞s t♦ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧②✮✱ t❤❡♥ ♥♦ ♠❛❧✐❝✐♦✉s ✐♥s✐❞❡r ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❤❡❧♣ ❛♥ ♦✉ts✐❞❡r t♦

❡❛✈❡s❞r♦♣ ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✐♥ r❡❛❧✲t✐♠❡✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ s✐♥❝❡ ❛❧❧ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧❛t❡r r♦✉♥❞s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝✱ t❤✐s ♣r♦♣❡rt② s❡❡♠s t♦ ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ❜② ♦✉r s❝❤❡♠❡✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ♦♥❡ ❝❛♥♥♦t ❦❡❡♣

❛♥ ✐♥s✐❞❡r ❢r♦♠ ❧❛t❡r r❡✈❡❛❧✐♥❣ t❤✐s ❦❡②✱ ❜✉t ❜② t❤❡♥ ✐t ♠✐❣❤t ❛❧r❡❛❞② ❜❡ t♦♦ ❧❛t❡ ❢♦r t❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦

❜❡ ✉s❡❢✉❧✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ♣❤②s✐❝❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥s ♦r ♥❡t✇♦r❦ s✉r✈❡✐❧❧❛♥❝❡ ❝❛♥ ❡♥s✉r❡ t❤❛t ♥♦ str❡❛♠ ♦❢

❞❛t❛ ❝❛♥ ❜❡ s❡♥t ♦✉t ❜② t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❞✉r✐♥❣ ❛ ❝♦♥✜❞❡♥t✐❛❧ ❞✐s❝✉ss✐♦♥✳ ❈♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss ❛♥❞ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡

♦❢ s✉❜❧✐♠✐♥❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s t❤❡r❡❢♦r❡ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ♥♦ r❡❛❧✲t✐♠❡ ❡❛✈❡s❞r♦♣♣✐♥❣✱ t❤✉s ②✐❡❧❞✐♥❣ ❛ ♥❡✇ s❡❝✉r✐t②

♣r♦♣❡rt②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ st✉❞② ♦❢ s✉❜❧✐♠✐♥❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s ✐s ♦✉t ♦❢ t❤❡ s❝♦♣❡ ♦❢ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ♣❛♣❡r✳

❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ t❤r❡❡ ♠❛✐♥ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✳ ❋✐rst✱ ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❛ str♦♥❣❡r

♥♦t✐♦♥ ♦❢ s❡❝✉r✐t② ❢♦r ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❣r♦✉♣ ❆❑❊✳ ❚❤✐s ✐s ❞♦♥❡ ❜② ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ r❡❝❡♥t r❡s✉❧ts ♦♥ t❤❡

t♦♣✐❝ ♦❢ ❆❑❊ ✐♥ t❤❡ ❯❈ ❢r❛♠❡✇♦r❦✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ✇♦r❦ ♦❢ ❈❛♥❡tt✐ ❡t ❛❧✳ ❬✷✺❪✱ ❑❛t③ ❛♥❞ ❙❤✐♥ ❬✸✹❪✱ ❛♥❞

❇❛r❛❦ ❡t ❛❧✳ ❬✻❪✳ ❚❤❡ ✜rst ♦♥❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ t❤❡ ✐❞❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❢♦r t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❆❑❊✱ ❛♥❞ ♣r♦✈❡❞

t❤❛t ❛ ✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ❑❖❨✴●▲ s❝❤❡♠❡ ❬✸✸✱ ✸✶❪ s❡❝✉r❡❧② r❡❛❧✐③❡s t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②✱ ♦♥❧② ❛❣❛✐♥st st❛t✐❝

❛❞✈❡rs❛r✐❡s ✭♥♦ str♦♥❣ ❝♦rr✉♣t✐♦♥s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✱ ❜✉t ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦♥❧②✮✳ ❑❛t③ ❛♥❞

❙❤✐♥ ❬✸✹❪ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❡ ✐❞❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❢♦r t❤❡ ❣r♦✉♣ ❆❑❊✱ ❛♥❞ ♣r♦✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ♥❡✇✱ ❞❡r✐✈❡❞✱ s❡❝✉r✐t②

♥♦t✐♦♥ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② str♦♥❣❡r t❤❛♥ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❇r❡ss♦♥ ❡t ❛❧✳ ♦♥❡ ❬✷✵❪✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡ t❤❡② ❢♦r♠❛❧✐③❡❞ ❛ str♦♥❣

❝♦rr✉♣t✐♦♥ ♠♦❞❡❧✱ ✇❤❡r❡ ❤♦♥❡st ♣❧❛②❡rs ♠❛② ❜❡ ❝♦♠♣r♦♠✐s❡❞ ❛t ❛♥② ♣♦✐♥t ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡

♣r♦t♦❝♦❧✱ ❛♥❞ ❧❡❛❦ t❤❡✐r ❧♦♥❣✲t❡r♠ ❛♥❞ ❡♣❤❡♠❡r❛❧ s❡❝r❡ts ✭t❤❡ ❡♥t✐r❡ ✐♥t❡r♥❛❧ st❛t❡✮✳ ❇❛r❛❦ ❡t ❛❧✳ ❬✻❪

❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ♣r♦t♦❝♦❧s ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ♠✉❧t✐✲♣❛rt② ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❛✉t❤❡♥t✐❝❛t❡❞ ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ■♥

♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡② ♣r♦✈✐❞❡❞ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ❝♦♥❝❡♣t✉❛❧❧② s✐♠♣❧❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✭t❤♦✉❣❤ ✐♥❡✣❝✐❡♥t✮ t♦ ❛ ♥✉♠❜❡r

♦❢ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❣r♦✉♣ ❆❑❊✳

■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛♥ ✐❞❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❢♦r ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❣r♦✉♣ ❆❑❊✳ ❖✉r ♥❡✇ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✲

✐t② ❣✉❛r❛♥t❡❡s ♠✉t✉❛❧ ❛✉t❤❡♥t✐❝❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❡♥s✉r❡s t❤❛t✱ ✐❢ ❛ ♣❧❛②❡r ❛❝❝❡♣ts t❤❡ s❡ss✐♦♥ ❦❡②✱

t❤❡♥ ❛❧❧ ❤✐s ✐♥t❡♥❞❡❞ ♣❛rt♥❡rs ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ❛♥❞ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤❡ ❦❡② ♠❛t❡r✐❛❧✳ ◆♦t❡

❤♦✇❡✈❡r t❤❛t t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ♠❛② ♠♦❞✐❢② s✉❜s❡q✉❡♥t ✢♦✇s ❛♥❞ ❡✈❡♥t✉❛❧❧② ♠❛❦❡ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛②❡rs r❡❥❡❝t ✇❤✐❧❡ ♦t❤❡rs ❛❝❝❡♣t✳ ❚❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ❛❧s♦ ✐♥❡✈✐t❛❜❧② ❧❡❛❦s s♦♠❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✱ ✇❤♦

❡♥❞s ✉♣ ❧❡❛r♥✐♥❣ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ♣❛rt✐❡s s❤❛r❡ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s❡❝r❡t ❦❡② ♦r ♥♦t✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ s✉❣✲

❣❡st❡❞ ✐♥ ❬✷✺❪✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞s ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ❜② t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✱ ✇❤♦ t❤❡♥ ❤❛♥❞s t❤❡♠ t♦

t❤❡ ♣❛rt✐❡s ❛s ✐♥♣✉t✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ str♦♥❣❡st s❡❝✉r✐t② ♠♦❞❡❧✱ s✐♥❝❡ ✐t ❞♦❡s ♥♦t ❛ss✉♠❡ ❛♥② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥

(4)

♣❛ss✇♦r❞s✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✐t ❛❧❧♦✇s t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t t♦ ❢♦r❝❡ ♣❧❛②❡rs t♦ r✉♥ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✉s✐♥❣ ❞✐✛❡r❡♥t

✭♣♦ss✐❜❧② r❡❧❛t❡❞✮ ♣❛ss✇♦r❞s✳ ❚❤✐s ✐s ✉s❡❢✉❧✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t♦ ♠♦❞❡❧ t❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡r❡ ✉s❡rs ♠✐st②♣❡

t❤❡✐r ♣❛ss✇♦r❞s✳

❱✉❧♥❡r❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞s ✭✇❤♦s❡ ❡♥tr♦♣② ♠❛② ❜❡ ❧♦✇✮ ✐s ♠♦❞❡❧❡❞ ✈✐❛ s♣❧✐t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t✐❡s ❬✻❪

❛♥❞ ❚❡stP✇❞ q✉❡r✐❡s✳ ❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ s♣❧✐t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t✐❡s ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ ❛❧✇❛②s

♣❛rt✐t✐♦♥ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ✐♥t♦ ❞✐s❥♦✐♥t s✉❜❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❡♥❣❛❣❡ ✐♥ s❡♣❛r❛t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧s ✇✐t❤

❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡s❡ s✉❜❣r♦✉♣s✱ ♣❧❛②✐♥❣ t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡rs✳ ❚❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡✱ ✐♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ str♦♥❣

❛✉t❤❡♥t✐❝❛t✐♦♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s s✉❝❤ ❛s s✐❣♥❛t✉r❡s✱ ❤♦♥❡st ♣❛rt✐❡s ❝❛♥♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤❡ ❝❛s❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡②

✐♥t❡r❛❝t ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ❢r♦♠ t❤❡ ❝❛s❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡② ✐♥t❡r❛❝t ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✳ ❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❚❡stP✇❞

q✉❡r✐❡s ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t✱ ✇✐t❤✐♥ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r s✉❜❣r♦✉♣✱ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ♠❛② ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❢✉rt❤❡r

❞✐✈✐❞❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❤♦♥❡st ✉s❡rs ✐♥t♦ s♠❛❧❧❡r ❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❧♦❝❛❧❧② t❡st t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞s ♦❢ t❤❡s❡ ✉s❡rs✳ ■♥ ❢❛❝t✱

✐♥ ♠♦st ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ♣r♦t♦❝♦❧s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❇✉r♠❡st❡r✲❉❡s♠❡❞t ❣r♦✉♣ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ❬✷✸❪ s✉❝❤ ❛s t❤❡ ♦♥❡ ❜② ❆❜❞❛❧❧❛ ❡t ❛❧✳ ❬✷❪✱ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ t❡st t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞ ❤❡❧❞ ❜② ❛ ✉s❡r ❜② s✐♠♣❧②

♣❧❛②✐♥❣ t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ t❤✐s ✉s❡r✳ ❲❡ ♥♦t❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❛t ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ❚❡stP✇❞ q✉❡r✐❡s ♠❛②

❜❡ ❛✈♦✐❞❡❞ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♣r♦t♦❝♦❧ ❜❡✐♥❣ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✱ ✐ts ✉s❡ ❞♦❡s ♥♦t s❡✈❡r❡❧② ✇❡❛❦❡♥ t❤❡

s❡❝✉r✐t② ♠♦❞❡❧ s✐♥❝❡ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ✐s st✐❧❧ ❧✐♠✐t❡❞ t♦ ❛t ♠♦st t✇♦ ♣❛ss✇♦r❞ t❡sts ♣❡r ❤♦♥❡st ✉s❡r ❢♦r

❡❛❝❤ s❡ss✐♦♥ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✐t ♣❧❛②s ❛♥ ❛❝t✐✈❡ r♦❧❡✱ ❜② s♣❧✐tt✐♥❣ t❤❡ ❣r♦✉♣ ✐♥t♦ s✉❜❣r♦✉♣s ♦❢ ♦♥❡ ❤♦♥❡st ✉s❡r

❡❛❝❤✳ ❍❡♥❝❡✱ ♦♥❡ ❥✉st ♥❡❡❞s t♦ ❛❞❞ ♦♥❡ ♠♦r❡ ❜✐t ♦❢ ❡♥tr♦♣② t♦ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞ ❛s ❛ ❝♦✉♥t❡r♠❡❛s✉r❡✳

❆ s❡❝♦♥❞ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♣❛♣❡r ✐s t♦ str❡♥❣t❤❡♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❡❝✉r✐t② ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❑❛t③ ❛♥❞ ❙❤✐♥ ❬✸✹❪

❜② ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♥❣ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss ✐♥ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡✳ ❆ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s s❛✐❞

t♦ ❜❡ (t, n) ✲❝♦♥tr✐❜✉t♦r② ✐❢ ♥♦ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ ❜✐❛s t❤❡ ❦❡② ❛s ❧♦♥❣ ❛s ✭str✐❝t❧②✮ ❧❡ss t❤❛♥ t ♣❧❛②❡rs ✐♥

t❤❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ n ♣❧❛②❡rs ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝♦rr✉♣t❡❞✳ ❚❤✐s ✐s str♦♥❣❡r t❤❛♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❑❛t③✲❙❤✐♥ ♠♦❞❡❧✱ ✇❤✐❝❤

♣r❡✈❡♥ts t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❢r♦♠ ❝❤♦♦s✐♥❣ t❤❡ ❦❡②✱ ❜✉t ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❝♦rr✉♣t❡❞ ♣❧❛②❡r ✐♥ t❤❡ ❣❛♠❡

✭ t = 1 ✮✱ ♦♥❧②✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ♦♥❡ ❝❛♥♥♦t ♣r❡✈❡♥t ❛♥ ✐♥s✐❞❡r ❛❞✈❡rs❛r② ❢r♦♠ ❧❡❛r♥✐♥❣ t❤❡ ❦❡②✱ ❛♥❞ ♣♦ss✐❜❧② r❡✈❡❛❧✐♥❣ ✐t ♦r t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✐ts❡❧❢ t♦ ♦✉ts✐❞❡✳ ❇✉t ✇❡ ♠❛② ❤♦♣❡ t♦ ♣r❡✈❡♥t ✏s✉❜❧✐♠✐♥❛❧✑ ❧❡❛❦❛❣❡

♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❛❧❧♦✇ ❡❛✈❡s❞r♦♣♣✐♥❣ ✐♥ r❡❛❧✲t✐♠❡✳

❖✉r ❧❛st ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ✐s t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❛ s❧✐❣❤t ✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❣r♦✉♣ ❆❑❊ ♣r♦t♦❝♦❧ ❜②

❆❜❞❛❧❧❛ ❡t ❛❧✳ ❬✷❪ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❇✉r♠❡st❡r✲❉❡s♠❡❞t ♣r♦t♦❝♦❧ ❬✷✷✱ ✷✸❪ ❛♥❞ ❜r✐❡✢② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✱

s❡❝✉r❡❧② r❡❛❧✐③❡s t❤❡ ♥❡✇ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②✱ ❡✈❡♥ ❛❣❛✐♥st ❛❞❛♣t✐✈❡ ❛❞✈❡rs❛r✐❡s✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹

✭t❤❡ ❞❡t❛✐❧s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❈✮ ❛♥❞ ✐s ✐♥ t❤❡ ✐❞❡❛❧✲t✇❡❛❦❛❜❧❡✲❝✐♣❤❡r ❛♥❞ r❛♥❞♦♠✲♦r❛❝❧❡

♠♦❞❡❧s ❬✽❪✳ ❊✈❡♥ t❤♦✉❣❤✱ ❢r♦♠ ❛ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✱ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♣r❡❢❡r❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❛ ♣r♦♦❢

✐♥ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♠♦❞❡❧✱ ✇❡ ♣♦✐♥t ♦✉t t❤❛t t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❤❡r❡ ✐s t❤❡ ✜rst ❣r♦✉♣ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡

♣r♦t♦❝♦❧ r❡❛❧✐③✐♥❣ s✉❝❤ str♦♥❣ s❡❝✉r✐t② ♥♦t✐♦♥s✱ ♥❛♠❡❧② ❛❞❛♣t✐✈❡ s❡❝✉r✐t② ❛❣❛✐♥st str♦♥❣ ❝♦rr✉♣t✐♦♥s ✐♥

t❤❡ ❯❈ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❛♥❞ (n/2, n) ✲❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ♦✉r ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s q✉✐t❡ ❡✣❝✐❡♥t✳ ❲❡ ❛❧s♦

♣r♦✈✐❞❡ ❛ ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥ t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ (n − 1, n) ✲❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss✳

❘❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ s❡♠✐♥❛❧ ❉✐✣❡✲❍❡❧❧♠❛♥ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ❬✷✾❪✱ s❡✈❡r❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢

t❤❛t ♣r♦t♦❝♦❧ t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ s❡tt✐♥❣ ✇❡r❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ❬✷✷✱ ✺❪ ✇✐t❤♦✉t ❛ ❢♦r♠❛❧ s❡❝✉r✐t②

♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ✜rst s❡❝✉r✐t② ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❣r♦✉♣ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✇❛s ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❇r❡ss♦♥ ❡t ❛❧✳ ❬✷✵❪✱ ✇❤♦ ❧❛t❡r

❡①t❡♥❞❡❞ ✐t t♦ ❞②♥❛♠✐❝ ❛♥❞ ❝♦♥❝✉rr❡♥t s❡tt✐♥❣ ❬✶✺✱ ✶✻❪✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❛s ❇❡❧❧❛r❡ ❡t ❛❧✳ ❬✾✱

✶✵❪✳ ■♥ t❤❡ ❯❈ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❬✷✹❪✱ t❤❡ ✜rst s❡❝✉r✐t② ♠♦❞❡❧ ✐♥ t❤❡ ❣r♦✉♣ s❡tt✐♥❣ ✇❛s ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❑❛t③

❛♥❞ ❙❤✐♥ ❬✸✹❪✳ ❚❤❡✐r ♠♦❞❡❧ ✐s q✉✐t❡ str♦♥❣✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② t♦ ❝♦rr✉♣t ♣❧❛②❡rs ❛❞❛♣t✐✈❡❧② ❛♥❞

❧❡❛r♥ t❤❡✐r ✐♥t❡r♥❛❧ st❛t❡✳ ■♥ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ s❝❡♥❛r✐♦✱ ♠♦st ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ t❤❡

2 ✲♣❛rt② ❝❛s❡✳ ❚❤❡ ✜rst s❡❝✉r✐t② ♠♦❞❡❧s t♦ ❛♣♣❡❛r ❬✼✱ ✶✹❪ ✇❡r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦s ❜② ❇❡❧❧❛r❡ ❡t

❛❧✳ ❬✾✱ ✶✵❪ ❛♥❞ ❜② ❙❤♦✉♣ ❬✸✾❪✳ ■♥ t❤❡ ❯❈ ❢r❛♠❡✇♦r❦✱ t❤❡ ✜rst ♦♥❡s t♦ ♣r♦♣♦s❡ ❛♥ ✐❞❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❢♦r

♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❆❑❊ ✇❡r❡ ❈❛♥❡tt✐ ❡t ❛❧✳ ❬✷✺❪✳ ▼♦r❡ r❡❝❡♥t❧②✱ ❆❜❞❛❧❧❛ ❡t ❛❧✳ ❬✸❪ s❤♦✇❡❞ t❤❛t t❤❡ ✷✲♣❛rt②

♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❛✉t❤❡♥t✐❝❛t❡❞ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐♥ ❬✶✽❪ ✐s ❛❧s♦ s❡❝✉r❡ ✐♥ t❤❡ ❯❈ ♠♦❞❡❧ ❛❣❛✐♥st

❛❞❛♣t✐✈❡ ❛❞✈❡rs❛r✐❡s ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❡ r❛♥❞♦♠✲♦r❛❝❧❡ ❛♥❞ ✐❞❡❛❧✲❝✐♣❤❡r ♠♦❞❡❧s✳ ■♥ t❤❡ ❣r♦✉♣ ♣❛ss✇♦r❞✲

❜❛s❡❞ ❆❑❊ s❝❡♥❛r✐♦✱ t❤❡r❡ ❤❛s ❜❡❡♥ ❛ ❢❡✇ ♣r♦t♦❝♦❧s ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✇♦r❦

❜② ❇r❡ss♦♥ ❡t ❛❧✳ ❬✶✼✱ ✶✾❪ t♦ t❤❡ ♠♦r❡ r❡❝❡♥t ♣r♦♣♦s❛❧s ❜② ❉✉tt❛ ❛♥❞ ❇❛r✉❛ ❬✸✵❪✱ ❆❜❞❛❧❧❛ ❡t ❛❧✳ ❬✶✱

(5)

✷✱ ✹❪✱ ❛♥❞ ❇♦❤❧✐ ❡t ❛❧✳ ❬✶✷❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♥♦♥❡ ♦❢ t❤❡♠ ❛♣♣❡❛r t♦ s❛t✐s❢② t❤❡ s❡❝✉r✐t② r❡q✉✐r❡♠❡♥ts ❜❡✐♥❣

❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✳

✷ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❙❡❝✉r✐t②

◆♦t❛t✐♦♥s✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② k t❤❡ s❡❝✉r✐t② ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❆♥ ❡✈❡♥t ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ✐❢ ✐t ❤❛♣♣❡♥s

✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❧❡ss t❤❛♥ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ ❛♥② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ k ✳ ■❢ G ✐s ❛ ✜♥✐t❡ s❡t✱ x ←

R

G ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡

♣r♦❝❡ss ♦❢ s❡❧❡❝t✐♥❣ x ✉♥✐❢♦r♠❧② ❛♥❞ ❛t r❛♥❞♦♠ ✐♥ G ✭t❤✉s ✇❡ ✐♠♣❧✐❝✐t❧② ❛ss✉♠❡ t❤❛t G ❝❛♥ ❜❡ s❛♠♣❧❡❞

❡✣❝✐❡♥t❧②✮✳

❚❤❡ ❯❈ ❋r❛♠❡✇♦r❦✳ ❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤✐s ♣❛♣❡r ✇❡ ❛ss✉♠❡ ❜❛s✐❝ ❢❛♠✐❧✐❛r✐t② ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦♠✲

♣♦s❛❜✐❧✐t② ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ r❡❛❞❡r ✐s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❬✷✹✱ ✷✺❪ ❢♦r ❞❡t❛✐❧s✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥

t❤✐s ♣❛♣❡r ✐s t❤❡ ❯❈ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✇✐t❤ ❥♦✐♥t st❛t❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❈❛♥❡tt✐ ❛♥❞ ❘❛❜✐♥ ❬✷✼❪✳

❆❞❛♣t✐✈❡ ❆❞✈❡rs❛r✐❡s✳ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❞❛♣t✐✈❡ ❛❞✈❡rs❛r✐❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛❧❧♦✇❡❞ t♦ ❛r❜✐tr❛r✲

✐❧② ❝♦rr✉♣t ♣❧❛②❡rs ❛t ❛♥② ♠♦♠❡♥t ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✱ t❤✉s ❣❡tt✐♥❣ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛❝❝❡ss t♦ t❤❡✐r ✐♥t❡r♥❛❧ ♠❡♠♦r②✳ ■♥ ❛ r❡❛❧ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✱ t❤✐s ✐s ♠♦❞❡❧❡❞ ❜② ❧❡tt✐♥❣ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② A

♦❜t❛✐♥ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr✉♣t❡❞ ♣❧❛②❡r✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ A ❝❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧② ♠♦❞✐❢② t❤❡ ♣❧❛②❡r✬s str❛t❡❣②✳ ■♥ ❛♥ ✐❞❡❛❧ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✱ t❤❡ s✐♠✉❧❛t♦r S ❣❡ts t❤❡ ❝♦rr✉♣t❡❞ ♣❧❛②❡r✬s

♣❛ss✇♦r❞ ❛♥❞ ❤❛s t♦ s✐♠✉❧❛t❡ ✐ts ✐♥t❡r♥❛❧ st❛t❡✱ ✐♥ ❛ ✇❛② t❤❛t r❡♠❛✐♥s ❝♦♥s✐st❡♥t t♦ ✇❤❛t ✇❛s ❛❧r❡❛❞②

♣r♦✈✐❞❡❞ t♦ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳

❈♦♥tr✐❜✉t♦r② Pr♦t♦❝♦❧s✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ str♦♥❣❡r ❝♦rr✉♣t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ❛❣❛✐♥st ✐♥s✐❞❡rs t❤❛♥

t❤❡ ♦♥❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❑❛t③ ❛♥❞ ❙❤✐♥ ✐♥ ❬✸✹❪✱ ✇❤❡r❡ ♦♥❡ ❛❧❧♦✇s t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② t♦ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ s❡ss✐♦♥ ❦❡②

❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦rr✉♣t✐♦♥✳ ❖♥ t❤❡ ❝♦♥tr❛r②✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❤❡r❡ ❛ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥tr✐❜✉t♦r② ♣r♦t♦❝♦❧

✇❤✐❝❤ ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡ss✐♦♥ ❦❡②s t♦ ❜❡ r❛♥❞♦♠ ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡r❡ ❛r❡ ❡♥♦✉❣❤ ❤♦♥✲

❡st ♣❛rt✐❝✐♣❛♥ts ✐♥ t❤❡ s❡ss✐♦♥✿ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥♥♦t ❜✐❛s t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✉♥❧❡ss ✐t ❝♦♥tr♦❧s ❛ ❧❛r❣❡

♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❧❛②❡rs✳ ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ✇❡ s❛② t❤❛t ❛ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s (t, n) ✲❝♦♥tr✐❜✉t♦r② ✐❢ t❤❡ ❣r♦✉♣ ❝♦♥s✐sts

♦❢ n ♣❡♦♣❧❡ ❛♥❞ ✐❢ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥♥♦t ❜✐❛s t❤❡ ❦❡② ❛s ❧♦♥❣ ❛s ✐t ❤❛s ❝♦rr✉♣t❡❞ ✭str✐❝t❧②✮ ❧❡ss t❤❛♥

t ♣❧❛②❡rs✳ ▼♦r❡ ❝♦♥❝r❡t❡❧②✱ ✇❡ ❝❧❛✐♠ t❤❛t ♦✉r ♣r♦♣♦s❡❞ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s (n/2, n) ✲❝♦♥tr✐❜✉t♦r②✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥♥♦t ❜✐❛s t❤❡ ❦❡② ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡r❡ ❛r❡ ❛t ❧❡❛st ❤❛❧❢ ❤♦♥❡st ♣❧❛②❡rs✳ ❲❡ ❡✈❡♥ s❤♦✇

✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇✳✷ t❤❛t (n − 1, n)✲❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss ❝❛♥ ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❜② r✉♥♥✐♥❣ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❡①❡❝✉t✐♦♥s ♦❢ ♦✉r

♣r♦t♦❝♦❧✳

❚❤❡ ❘❛♥❞♦♠ ❖r❛❝❧❡ ❛♥❞ ■❞❡❛❧ ❚✇❡❛❦❛❜❧❡ ❈✐♣❤❡r✳ ■♥ ❬✷✺❪✱ ❈❛♥❡tt✐ ❡t ❛❧✳ s❤♦✇❡❞ t❤❛t t❤❡r❡ ❞♦❡s♥✬t

❡①✐st ❛♥② ♣r♦t♦❝♦❧ t❤❛t ❯❈✲❡♠✉❧❛t❡s t❤❡ t✇♦✲♣❛rt② ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❦❡②✲❡①❝❤❛♥❣❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✐♥ t❤❡

♣❧❛✐♥ ♠♦❞❡❧ ✭✐✳❡✳ ✇✐t❤♦✉t ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ s❡t✉♣ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✮✳ ❍❡r❡ ✇❡ s❤♦✇ ❤♦✇ t♦ s❡❝✉r❡❧② r❡❛❧✐③❡ ❛ s✐♠✐❧❛r

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✇✐t❤♦✉t s❡t✉♣ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❜✉t ✇♦r❦✐♥❣ ✐♥ t❤❡ r❛♥❞♦♠✲♦r❛❝❧❡ ❛♥❞ ✐❞❡❛❧✲t✇❡❛❦❛❜❧❡✲❝✐♣❤❡r

♠♦❞❡❧s ✐♥st❡❛❞✳ ❚❤❡ r❛♥❞♦♠ ♦r❛❝❧❡ ❬✽❪ ✐❞❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❍♦❢❤❡✐♥③ ❛♥❞ ▼ü❧❧❡r✲

◗✉❛❞❡ ✐♥ ❬✸✷❪ ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✮✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ✐t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❢♦r t❤❡ ✐❞❡❛❧

t✇❡❛❦❛❜❧❡ ❝✐♣❤❡r ♣r✐♠✐t✐✈❡ ❬✸✼❪✱ s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❢♦r ❜♦t❤✱ s✐♥❝❡ t❤❡ s❡ss✐♦♥ ✐❞❡♥t✐✜❡r sid ✇✐❧❧

❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ❡✐t❤❡r ✐♥ t❤❡ ✐♥♣✉t ❢♦r t❤❡ r❛♥❞♦♠ ♦r❛❝❧❡✱ ♦r ✐♥ t❤❡ t✇❡❛❦ ❢♦r t❤❡ ✐❞❡❛❧✲t✇❡❛❦❛❜❧❡ ❝✐♣❤❡r✱

✇❡ ❝❛♥ ❤❛✈❡ ♦♥❡ ✐♥st❛♥t✐❛t✐♦♥ ♦❢ ❡❛❝❤ ♦♥❧②✱ ✐♥ t❤❡ ❥♦✐♥t st❛t❡✱ ❛♥❞ ♥♦t ❞✐✛❡r❡♥t ✐♥st❛♥t✐❛t✐♦♥s ❢♦r ❡❛❝❤

s❡ss✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♠♦r❡ r❡❛❧✐st✐❝✳ ◆♦t❡ ❤♦✇❡✈❡r t❤❛t ✐♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s ✭✐♥ t❤❡ ✜rst ✢♦✇✱ s❡❡ ❋✐❣✉r❡ ✸✮✱ ♦♥❧② s♦♠❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s❡ss✐♦♥ ✐❞❡♥t✐✜❡r ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦✉❧❞ ❧❡❛❞ t♦ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ✇✐t❤ ♦t❤❡r s❡ss✐♦♥s s❤❛r✐♥❣ t❤✐s ♣❛rt ♦❢ t❤❡ sid ✭✇❤✐❝❤ ❜② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ❛r❡ t❤❡ s❡ss✐♦♥s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡

s♣❧✐t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②✱ s❡❡ ❜❡❧♦✇✮✳ ■t ❝♦✉❧❞ ❧❡❛❞ t♦ ❛ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧② ✐♥ ❝❛s❡

♦❢ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ t❤❡ r❛♥❞♦♠ ♦r❛❝❧❡ ♦r t❤❡ ✐❞❡❛❧ ❝✐♣❤❡r✳ ❇✉t ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦♥❧② ❢♦r

❤♦♥❡st ♣❧❛②❡rs ✐♥ ❛ s❡ss✐♦♥✳ ❆♥❞ ✇✐t❤ t❤❡ s♣❧✐t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②✱ ❤♦♥❡st ♣❧❛②❡rs ❛r❡ s❡♣❛r❛t❡❞ ✐♥t♦ ✈❛r✐♦✉s s❡ts t❤❛t ♠❛❦❡ ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ ✭t❤❡② ❛r❡ ❛❧❧ ❞✐s❥♦✐♥t✮✿ s✐♥❝❡ ❛ ♣❧❛②❡r ❝❛♥♥♦t ❜❡❧♦♥❣ t♦ t✇♦ ❞✐st✐♥❝t s❡ss✐♦♥s✱

t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ s✐♠✉❧❛t♦r ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ t♦ ♣r♦❣r❛♠ t❤❡ r❛♥❞♦♠ ♦r❛❝❧❡ ♦r t❤❡ ❞❡❝r②♣t✐♦♥ ♦♥❧② ♦♥❝❡ ❛♥❞

(6)

t❤❛t ♥♦ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❝❝✉rs ✭❡①❝❡♣t✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ✐❢ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❛s❦❡❞ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ q✉❡r②✱ ❡✳❣✳ ❛♥

❡♥❝r②♣t✐♦♥ ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝✐♣❤❡rt❡①t✱ ❜✉t t❤✐s ❤❛♣♣❡♥s ✇✐t❤ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦♥❧②✮✳

❙♣❧✐t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t✐❡s✳ ❲✐t❤♦✉t ❛♥② str♦♥❣ ❛✉t❤❡♥t✐❝❛t✐♦♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s✱ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ ❛❧✇❛②s

♣❛rt✐t✐♦♥ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ✐♥t♦ ❞✐s❥♦✐♥t s✉❜❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❡①❡❝✉t❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s❡ss✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✇✐t❤

❡❛❝❤ s✉❜❣r♦✉♣✱ ♣❧❛②✐♥❣ t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡rs✳ ❙✉❝❤ ❛♥ ❛tt❛❝❦ ✐s ✉♥❛✈♦✐❞❛❜❧❡ s✐♥❝❡ ♣❧❛②❡rs

❝❛♥♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤❡ ❝❛s❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡② ✐♥t❡r❛❝t ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ❢r♦♠ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡② ✐♥t❡r❛❝t

✇✐t❤ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✳ ❚❤❡ ❛✉t❤♦rs ♦❢ ❬✻❪ ❛❞❞r❡ss❡❞ t❤✐s ✐ss✉❡ ❜② ♣r♦♣♦s✐♥❣ ❛ ♥❡✇ ♠♦❞❡❧ ❜❛s❡❞ ♦♥ s♣❧✐t

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t✐❡s ✇❤✐❝❤ ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t t❤✐s ❛tt❛❝❦ ✐s t❤❡ ♦♥❧② ♦♥❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ t♦ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✳

●✐✈❡♥ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②F✱ t❤❡ s♣❧✐t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②sF ♣r♦❝❡❡❞s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✿

✕ ❯♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣(■♥✐t, sid)❢r♦♠ ♣❛rt②Pi✱ s❡♥❞(■♥✐t, sid, Pi)t♦ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✳

✕ ❯♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛ ♠❡ss❛❣❡(■♥✐t, sid, Pi, H, sidH)❢r♦♠A✱ ✇❤❡r❡H ✐s ❛ s❡t ♦❢ ♣❛rt② ✐❞❡♥t✐t✐❡s✱ ❝❤❡❝❦ t❤❛tPi❤❛s

❛❧r❡❛❞② s❡♥t (■♥✐t, sid) ❛♥❞ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ r❡❝♦r❞❡❞ (H, sidH)✱ ❡✐t❤❡r H =H ❛♥❞ sidH =sidH ♦r H ❛♥❞H

❛r❡ ❞✐s❥♦✐♥t ❛♥❞ sidH 6=sidH✳ ■❢ s♦✱ r❡❝♦r❞ t❤❡ ♣❛✐r (H, sidH)✱ s❡♥❞(■♥✐t, sid, sidH) t♦ Pi✱ ❛♥❞ ✐♥✈♦❦❡ ❛ ♥❡✇

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②(F, sidH)❞❡♥♦t❡❞ ❛sFH ❛♥❞ ✇✐t❤ s❡t ♦❢ ❤♦♥❡st ♣❛rt✐❡sH✳

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥✿

✕ ❯♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣(■♥♣✉t, sid, m)❢r♦♠ ♣❛rt②Pi✱ ✜♥❞ t❤❡ s❡tH s✉❝❤ t❤❛tPi∈H ❛♥❞ ❢♦r✇❛r❞mt♦FH

✕ ❯♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣(■♥♣✉t, sid, Pj, H, m)❢r♦♠A✱ s✉❝❤ t❤❛tPj∈/H✱ ❢♦r✇❛r❞mt♦FH ❛s ✐❢ ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠Pj

✕ ❲❤❡♥FH❣❡♥❡r❛t❡s ❛♥ ♦✉t♣✉tm❢♦r ♣❛rt②Pi∈H✱ s❡♥❞mt♦Pi✳ ■❢ t❤❡ ♦✉t♣✉t ✐s ❢♦rPj∈/H♦r ❢♦r t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✱

s❡♥❞mt♦ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✳

❋✐❣✳ ✶✳ ❙♣❧✐t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② sF

❚❤❡ s♣❧✐t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✐s ❛ ❣❡♥❡r✐❝ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❜❛s❡❞ ✉♣♦♥ ❛♥ ✐❞❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②✿ ■ts ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥

❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ♦♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✳ ■♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ st❛❣❡✱ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❛❞❛♣t✐✈❡❧② ❝❤♦♦s❡s ❞✐s❥♦✐♥t s✉❜s❡ts

♦❢ t❤❡ ❤♦♥❡st ♣❛rt✐❡s ✭✇✐t❤ ❛ ✉♥✐q✉❡ s❡ss✐♦♥ ✐❞❡♥t✐✜❡r t❤❛t ✐s ✜①❡❞ ❢♦r t❤❡ ❞✉r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✮✳

▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ st❛rts ✇✐t❤ ❛ s❡ss✐♦♥ ✐❞❡♥t✐✜❡r sid ✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ st❛❣❡ ❣❡♥❡r❛t❡s s♦♠❡ r❛♥❞♦♠ ✈❛❧✉❡s ✇❤✐❝❤✱ ❝♦♠❜✐♥❡❞ t♦❣❡t❤❡r ❛♥❞ ✇✐t❤ sid ✱ ❝r❡❛t❡ t❤❡ ♥❡✇ s❡ss✐♦♥ ✐❞❡♥t✐✜❡r sid

✱ s❤❛r❡❞ ❜② ❛❧❧ ♣❛rt✐❡s ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ r❡❝❡✐✈❡❞ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡s ✕ t❤❛t ✐s✱ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❞✐s❥♦✐♥t s✉❜s❡ts✳

❚❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣♦✐♥t ❤❡r❡ ✐s t❤❛t t❤❡ s✉❜s❡ts ❝r❡❛t❡ ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛②❡rs✱ t❤✉s ❢♦r❜✐❞❞✐♥❣ ❝♦♠♠✉✲

♥✐❝❛t✐♦♥ ❛♠♦♥❣ t❤❡ s✉❜s❡ts✳ ❉✉r✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥✱ ❡❛❝❤ s✉❜s❡t H ❛❝t✐✈❛t❡s ❛ s❡♣❛r❛t❡ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢

t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② F ✳ ❆❧❧ t❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✐♥st❛♥❝❡s ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✿ ❚❤❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧

❢♦r ❡❛❝❤ s✉❜s❡t H ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ r❡❧❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✇❛② t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❤♦♦s❡s t❤❡ ✐♥♣✉ts ♦❢ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ✐t

❝♦♥tr♦❧s✳ ❚❤❡ ♣❛rt✐❡s P

i

∈ H ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡✐r ♦✇♥ ✐♥♣✉ts ❛♥❞ r❡❝❡✐✈❡ t❤❡✐r ♦✇♥ ♦✉t♣✉ts ✭s❡❡ t❤❡ ✜rst ✐t❡♠

♦❢ ✏❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥✑ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✮✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ♣❧❛②s t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ♣❛rt✐❡s P

j

∈ / H ✭s❡❡ t❤❡

s❡❝♦♥❞ ✐t❡♠✮✳

❚❤❡ ●r♦✉♣ P❛ss✇♦r❞✲❇❛s❡❞ ❑❡② ❊①❝❤❛♥❣❡ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✇✐t❤ ▼✉t✉❛❧ ❆✉t❤❡♥t✐❝❛t✐♦♥✳ ■♥

t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❞✐s❝✉ss t❤❡ F

GP AKE

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✭s❡❡ ❋✐❣✉r❡ ✷✮✳ ❚❤❡ ♠✉❧t✐✲s❡ss✐♦♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ♦✉r

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✇♦✉❧❞ ❜❡ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♦♥❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❈❛♥❡tt✐ ❛♥❞ ❘❛❜✐♥ ❬✷✼❪✳ ❖✉r st❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥ts ❛r❡

t❤❡ ❣r♦✉♣ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❬✸✹❪ ❛♥❞ t❤❡ ✭t✇♦ ♣❛rt②✮ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❬✷✺❪✳ ❖✉r ❛✐♠ ✐s t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ t❤❡ t✇♦ ♦❢ t❤❡♠ ❛♥❞ t♦ ❛❞❞ ♠✉t✉❛❧ ❛✉t❤❡♥t✐❝❛t✐♦♥

❛♥❞ (t, n) ✲❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss✳ ❚❤❡ ♥❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ st✐❧❧ r❡♠❛✐♥s ✈❡r② ❣❡♥❡r❛❧✿ ❧❡tt✐♥❣ t = 1 ✱ ✇❡ ❣❡t ❜❛❝❦ t❤❡

❝❛s❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ♠❛② ♠❛♥❛❣❡ t♦ s❡t t❤❡ ❦❡② ✇❤❡♥ ✐t ❝♦♥tr♦❧s ❛t ❧❡❛st ❛ ♣❧❛②❡r✱ ❛s ✐♥ ❬✷✺❪✳

❋✐rst✱ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✐s ♥♦t ✐♥ ❝❤❛r❣❡ ♦❢ ♣r♦✈✐❞✐♥❣ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞s t♦ t❤❡ ♣❛rt✐❝✐♣❛♥ts✳

❘❛t❤❡r ✇❡ ❧❡t t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❞♦ t❤✐s✳ ❆s ❛❧r❡❛❞② ♣♦✐♥t❡❞ ♦✉t ✐♥ ❬✷✺❪✱ s✉❝❤ ❛♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛❧❧♦✇s t♦

♠♦❞❡❧✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ s♦♠❡ ✉s❡rs ♠❛② ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣❛ss✇♦r❞ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ♣r♦t♦❝♦❧s ❛♥❞✱

♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ ♣❛ss✇♦r❞s ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ s♦♠❡ ❛r❜✐tr❛r② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭✐✳❡✳ ♥♦t

(7)

♥❡❝❡ss❛r✐❧② t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ♦♥❡✮✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t ❛❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t t♦ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞s

❣✉❛r❛♥t❡❡s ❢♦r✇❛r❞ s❡❝r❡❝②✱ ❜❛s✐❝❛❧❧② ❢♦r ❢r❡❡✳ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛❧❧♦✇s t♦ ♣r❡s❡r✈❡ s❡❝✉r✐t②

❡✈❡♥ ✐♥ t❤♦s❡ s✐t✉❛t✐♦♥s ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞ ✐s ✉s❡❞ ✭❜② t❤❡ s❛♠❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✮ ❢♦r ♦t❤❡r ♣✉r♣♦s❡s✳

■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② n t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❧❛②❡rs ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✳

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② st❛rts ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ st❡♣ ❞✉r✐♥❣ ✇❤✐❝❤ ✐t ❜❛s✐❝❛❧❧② ✇❛✐ts ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❧❛②❡r t♦

♥♦t✐❢② ✐ts ✐♥t❡r❡st ✐♥ ♣❛rt✐❝✐♣❛t✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✳ ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❡✈❡r② ♣❧❛②❡r st❛rts ❛

♥❡✇ s❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✇✐t❤ ✐♥♣✉t ✭◆❡✇❙❡ss✐♦♥✱ sid✱ P

i

✱ P id✱ pw

i

✮✱ ✇❤❡r❡ P

i

✐s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♦❢ t❤❡

♣❧❛②❡r✱ pw

i

✐s ✐ts ♣❛ss✇♦r❞ ❛♥❞ P id r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ s❡t ♦❢ ✭✐❞❡♥t✐t✐❡s ♦❢✮ ♣❧❛②❡rs ✇✐t❤ ✇❤♦♠ ✐t ✐♥t❡♥❞s t♦ s❤❛r❡ ❛ s❡ss✐♦♥ ❦❡②✳ ❖♥❝❡ ❛❧❧ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ✭s❤❛r✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ sid ❛♥❞ P id ✮ ❤❛✈❡ s❡♥t t❤❡✐r ♥♦t✐✜❝❛t✐♦♥

♠❡ss❛❣❡✱ F

GP AKE

✐♥❢♦r♠s t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② t❤❛t ✐t ✐s r❡❛❞② t♦ st❛rt ❛ ♥❡✇ s❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✳

■♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✱ ❛❢t❡r t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ st❛❣❡ ✐s ♦✈❡r✱ ❛❧❧ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❛r❡ r❡❛❞② t♦ r❡❝❡✐✈❡ t❤❡ s❡ss✐♦♥

❦❡②✳ ❍♦✇❡✈❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✇❛✐ts ❢♦r S t♦ s❡♥❞ ❛♥ ✏♦❦✑ ♠❡ss❛❣❡ ❜❡❢♦r❡ ♣r♦❝❡❡❞✐♥❣✳ ❚❤✐s ❛❧❧♦✇s S t♦

❞❡❝✐❞❡ t❤❡ ❡①❛❝t ♠♦♠❡♥t ✇❤❡♥ t❤❡ ❦❡② s❤♦✉❧❞ ❜❡ s❡♥t t♦ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❛♥❞✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐t ❛❧❧♦✇s S t♦

❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❡①❛❝t ♠♦♠❡♥t ✇❤❡♥ ❝♦rr✉♣t✐♦♥s s❤♦✉❧❞ ♦❝❝✉r ✭❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ S ♠❛② ❞❡❝✐❞❡ t♦ ❝♦rr✉♣t s♦♠❡

♣❛rt② P

i

❜❡❢♦r❡ t❤❡ ❦❡② ✐s s❡♥t ❜✉t ❛❢t❡r P

i

❞❡❝✐❞❡❞ t♦ ♣❛rt✐❝✐♣❛t❡ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ s❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✱

s❡❡ ❬✸✹❪✮✳

❖♥❝❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② r❡❝❡✐✈❡s ❛ ♠❡ss❛❣❡ (sid, P id, ok , sk) ❢r♦♠ S ✱ ✐t ♣r♦❝❡❡❞s t♦ t❤❡ ❦❡② ❣❡♥❡r❛t✐♦♥

♣❤❛s❡✳ ❚❤✐s ✐s ❞♦♥❡ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ■❢ ❛❧❧ ♣❧❛②❡rs ✐♥ P id s❤❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣❛ss✇♦r❞ ❛♥❞ ❧❡ss t❤❛♥ t ♣❧❛②❡rs ❛r❡

❝♦rr✉♣t❡❞✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❝❤♦♦s❡s ❛ ❦❡② sk

✉♥✐❢♦r♠❧② ❛♥❞ ❛t r❛♥❞♦♠ ✐♥ t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❦❡② s♣❛❝❡✳ ■❢

❛❧❧ ♣❧❛②❡rs ✐♥ P id s❤❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣❛ss✇♦r❞ ❜✉t t ♦r ♠♦r❡ ♣❧❛②❡rs ❛r❡ ❝♦rr✉♣t❡❞✱ t❤❡♥ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②

❛❧❧♦✇s S t♦ ❢✉❧❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❦❡② ❜② ❧❡tt✐♥❣ sk

= sk ✳ ■♥ ❛❧❧ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ❝❛s❡s ♥♦ ❦❡② ✐s ❡st❛❜❧✐s❤❡❞✳

❘❡♠❛r❦✳ ❋♦r s❛❦❡ ♦❢ s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ✇❡ ❝❤♦s❡ t♦ ✐♥t❡❣r❛t❡ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss ✐♥ t❤❡ ❯❈✲❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②✳

❍♦✇❡✈❡r✱ ♦♥❡ ❝♦✉❧❞ s❛② t❤❛t t❤✐s ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ t❤❛t ♦♥❡ ❝♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ❦❡♣t t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②

❢♦r ❣r♦✉♣ ♣❛ss✇♦r❞✲❜❛s❡❞ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡✱ ❛♥❞ t❤❡♥ st✉❞②✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss ❛s ❛♥ ❡①tr❛ ♣r♦♣❡rt②✳

❇✉t t❤❡♥✱ t✇♦ s❡❝✉r✐t② ♣r♦♦❢s ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞✳

❖✉r ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ F

GP AKE

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❞❡❛❧s ✇✐t❤ ❝♦rr✉♣t✐♦♥s ♦❢ ♣❧❛②❡rs ✐♥ ❛ ✇❛② q✉✐t❡ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❛t ♦❢ F

GP AKE

✐♥ ❬✸✹❪✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ✐❢ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❤❛s ❝♦rr✉♣t❡❞ s♦♠❡ ♣❛rt✐❝✐♣❛♥ts✱ ✐t ♠❛②

❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ s❡ss✐♦♥ ❦❡②✱ ❜✉t ❤❡r❡ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❛r❡ ❡♥♦✉❣❤ ❝♦rr✉♣t❡❞ ♣❧❛②❡rs✳ ◆♦t✐❝❡ ❤♦✇❡✈❡r t❤❛t S ✐s ❣✐✈❡♥ s✉❝❤ ♣♦✇❡r ♦♥❧② ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ❦❡② ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❡st❛❜❧✐s❤❡❞✳ ❖♥❝❡ t❤❡ ❦❡② ✐s s❡t✱ ❝♦rr✉♣t✐♦♥s

❛❧❧♦✇ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ ❦❡② ❜✉t ♥♦t t♦ ❝❤♦♦s❡ ✐t✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❬✷✺❪✱ ❛ ❝♦rr❡❝t ♣❛ss✇♦r❞ t❡st ✐s

❝❛♣t✉r❡❞ ❜② ♠❛r❦✐♥❣ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡❝♦r❞ ❛s ❝♦♠♣r♦♠✐s❡❞✱ ❛♥❞ ❛ ❢❛✐❧❡❞ ❛tt❡♠♣t ❜② ♠❛r❦✐♥❣ ✐t ❛s

✐♥t❡rr✉♣t❡❞✳ ❘❡❝♦r❞s t❤❛t ❛r❡ ♥❡✐t❤❡r ❝♦♠♣r♦♠✐s❡❞ ♥♦r ✐♥t❡rr✉♣t❡❞ ❛r❡ ✐♥✐t✐❛❧❧② ♠❛r❦❡❞ ❛s ❢r❡s❤✳

❖♥❝❡ ❛ ❦❡② ✐s ❡st❛❜❧✐s❤❡❞✱ ❛❧❧ r❡❝♦r❞s ✐♥ P id ❛r❡ ♠❛r❦❡❞ ❛s ❝♦♠♣❧❡t❡✳ ❈❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ ❢r❡s❤ st❛t✉s ♦❢ ❛ r❡❝♦r❞ ✇❤❡♥❡✈❡r ❛ ♣❛ss✇♦r❞ t❡st ♦❝❝✉rs ♦r ❛ ✭✈❛❧✐❞✮ ❦❡② ✐s ❡st❛❜❧✐s❤❡❞✱ ✐s ❛✐♠❡❞ ❛t ❧✐♠✐t✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r

♦❢ ♣❛ss✇♦r❞ t❡sts t♦ ❛t ♠♦st ♦♥❡ ♣❡r ♣❧❛②❡r✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❚❡stP✇❞ q✉❡r✐❡s s❡❡♠ ✉♥♥❡❝❡ss❛r② ✐♥ t❤❡

❝♦♥t❡①t ♦❢ s♣❧✐t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t✐❡s✱ s✐♥❝❡ ❜② s♣❧✐tt✐♥❣ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❣r♦✉♣ ✐♥ s✉❜❣r♦✉♣s ♦❢ ♦♥❡ ♣❧❛②❡r ❡❛❝❤✱ t❤❡

❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ ❛❧r❡❛❞② t❡st ♦♥❡ ♣❛ss✇♦r❞ ♣❡r ♣❧❛②❡r✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛❞❞✐♥❣ t❤✐s q✉❡r② ❥✉st ❛❧❧♦✇s A t♦ t❡st

❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣❛ss✇♦r❞ ♣❡r ♣❧❛②❡r✱ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② ✐ts ♣♦✇❡r ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✳ ❇❡s✐❞❡s✱

t❤❡s❡ q✉❡r✐❡s ❛r❡ ♥❡❡❞❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡❝✉r✐t② ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ♦✉r ♣r♦t♦❝♦❧✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ tr✐❡❞ t♦ ❦❡❡♣ ❛s ❡✣❝✐❡♥t

❛s ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❉❡s✐❣♥✐♥❣ ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ♣r♦t♦❝♦❧ ✇❤✐❧❡ ❣❡tt✐♥❣ r✐❞ ♦❢ t❤❡s❡s q✉❡r✐❡s ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ♦♣❡♥

♣r♦❜❧❡♠✳

■♥ ❛♥② ❝❛s❡✱ ❛❢t❡r t❤❡ ❦❡② ❣❡♥❡r❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✐♥❢♦r♠s t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❛❜♦✉t t❤❡ r❡s✉❧t✱

♠❡❛♥✐♥❣ ✇✐t❤ t❤✐s t❤❛t t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ✐s ✐♥❢♦r♠❡❞ ♦♥ ✇❤❡t❤❡r ❛ ❦❡② ✇❛s ❛❝t✉❛❧❧② ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ ♦r ♥♦t✳

■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ✐s ❛❧s♦ ✐♥❢♦r♠❡❞ ♦♥ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ♣❧❛②❡rs s❤❛r❡ t❤❡ s❛♠❡

♣❛ss✇♦r❞ ♦r ♥♦t✳ ❆t ✜rst ❣❧❛♥❝❡ t❤✐s ♠❛② s❡❡♠ ❧✐❦❡ ❛ ❞❛♥❣❡r♦✉s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ t♦ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✳

❲❡ ❛r❣✉❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❛t t❤✐s ✐s ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡ ✐♥ ♦✉r s❡tt✐♥❣✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❜❡✐♥❣ ❛❧❧ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞s ❝❤♦s❡♥ ❜② t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✱ s✉❝❤ ❛♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ t♦ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❛♥②✇❛②✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐t ❞♦❡s

❇② ✏♣r❡s❡r✈❡❞✑ ❤❡r❡ ✇❡ ♠❡❛♥ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜r❡❛❦✐♥❣ t❤❡ s❝❤❡♠❡ ✐s ❜❛s✐❝❛❧❧② t❤❡ s❛♠❡ ❛s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢

❣✉❡ss✐♥❣ t❤❡ ♣❛ss✇♦r❞✳

(8)

♥♦t s❡❡♠ ❝r✐t✐❝❛❧ t♦ ❤✐❞❡ t❤❡ st❛t✉s ♦❢ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✭✐✳❡✳ ✐❢ ✐t ❝♦♠♣❧❡t❡❞ ❝♦rr❡❝t❧② ♦r ♥♦t✮✱ ❛s ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡

t❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♦❢t❡♥ ❡❛s✐❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s✐♠♣❧② ♠♦♥✐t♦r✐♥❣ ✐ts ❡①❡❝✉t✐♦♥ ✭✐❢ t❤❡ ♣❧❛②❡rs s✉❞❞❡♥❧② st♦♣ t❤❡✐r ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✱ t❤❡r❡ ♠✉st ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ s♦♠❡ ♣r♦❜❧❡♠✮✳

❋✐♥❛❧❧② t❤❡ ❦❡② ✐s s❡♥t t♦ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❝❤❡❞✉❧❡ ❝❤♦s❡♥ ❜② S ✳ ❚❤✐s ✐s ❢♦r♠❛❧❧②

♠♦❞❡❧❡❞ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❦❡② ❞❡❧✐✈❡r② q✉❡r✐❡s✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t✱ ♦♥❝❡ S ❛s❦s t♦ ❞❡❧✐✈❡r t❤❡ ❦❡② t♦ ❛ ♣❧❛②❡r✱

t❤❡ ❦❡② ✐s s❡♥t ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②✳

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② FGP AKE ✐s ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ s❡❝✉r✐t② ♣❛r❛♠❡t❡rk ❛♥❞ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rt♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐✈❡♥❡ss✳

■t ✐♥t❡r❛❝ts ✇✐t❤ ❛♥ ❛❞✈❡rs❛r②S ❛♥❞ ❛ s❡t ♦❢ ♣❛rt✐❡sP1✱✳ ✳ ✳ ✱Pn✈✐❛ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡r✐❡s✿

✕ ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ❯♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣(◆❡✇❙❡ss✐♦♥, sid, Pi, P id, pwi)❢r♦♠ ♣❧❛②❡rPi❢♦r t❤❡ ✜rst t✐♠❡✱ ✇❤❡r❡P id✐s ❛ s❡t

♦❢ ❛t ❧❡❛st t✇♦ ❞✐st✐♥❝t ✐❞❡♥t✐t✐❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣Pi✱ r❡❝♦r❞(sid, Pi, P id, pwi)✱ ♠❛r❦ ✐t ❢r❡s❤✱ ❛♥❞ s❡♥❞(sid, Pi, P id) t♦S✳ ■❣♥♦r❡ ❛♥② s✉❜s❡q✉❡♥t q✉❡r②(◆❡✇❙❡ss✐♦♥, sid, Pj, P id, pwj)✇❤❡r❡P id6=P id✳

■❢ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛❧r❡❛❞② |P id| − 1 r❡❝♦r❞❡❞ t✉♣❧❡s (sid, Pj, P id, pwj) ❢♦r ♣❧❛②❡rs Pj∈P id\ {Pi}✱ t❤❡♥ r❡❝♦r❞

(sid, P id,r❡❛❞②)❛♥❞ s❡♥❞ ✐t t♦S✳

✕ P❛ss✇♦r❞ t❡sts✳ ❯♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛ q✉❡r②(❚❡stP✇❞, sid, Pi, P id, pw)❢r♦♠ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②S✱ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ r❡❝♦r❞

♦❢ t❤❡ ❢♦r♠(sid, Pi, P id, pwi)✇❤✐❝❤ ✐s ❢r❡s❤✿

• ■❢pwi=pw✱ ♠❛r❦ t❤❡ r❡❝♦r❞ ❝♦♠♣r♦♠✐s❡❞ ❛♥❞ r❡♣❧② t♦S ✇✐t❤ ✏❝♦rr❡❝t ❣✉❡ss✑✳

• ■❢pwi6=pw✱ ♠❛r❦ t❤❡ r❡❝♦r❞ ✐♥t❡rr✉♣t❡❞ ❛♥❞ r❡♣❧② t♦S ✇✐t❤ ✏✇r♦♥❣ ❣✉❡ss✑✳

✕ ❑❡② ●❡♥❡r❛t✐♦♥✳ ❯♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛ ♠❡ss❛❣❡ (sid, P id,♦❦, sk) ❢r♦♠ S ✇❤❡r❡ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ r❡❝♦r❞❡❞ t✉♣❧❡

(sid, P id,r❡❛❞②)✱ t❤❡♥✱ ❞❡♥♦t❡ ❜②nc t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦rr✉♣t❡❞ ♣❧❛②❡rs✱ ❛♥❞

• ■❢ ❛❧❧Pi ∈P id❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣❛ss✇♦r❞s ❛♥❞nc< t✱ ❝❤♦♦s❡ sk ∈ {0,1}k ✉♥✐❢♦r♠❧② ❛t r❛♥❞♦♠ ❛♥❞ st♦r❡

(sid, P id, sk)✳ ◆❡①t✱ ❢♦r ❛❧❧Pi∈P id♠❛r❦ t❤❡ r❡❝♦r❞(sid, Pi, P id, pwi)❝♦♠♣❧❡t❡✳

• ■❢ ❛❧❧Pi ∈P id❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣❛ss✇♦r❞s ❛♥❞nc ≥t✱ st♦r❡(sid, P id, sk)✳ ◆❡①t✱ ❢♦r ❛❧❧ Pi ∈P id♠❛r❦ t❤❡

r❡❝♦r❞(sid, Pi, P id, pwi)❝♦♠♣❧❡t❡✳

• ■♥ ❛♥② ♦t❤❡r ❝❛s❡✱ st♦r❡(sid, P id,❡rr♦r)✳ ❋♦r ❛❧❧Pi∈P id♠❛r❦ t❤❡ r❡❝♦r❞(sid, Pi, P id, pwi)❡rr♦r✳

❲❤❡♥ t❤❡ ❦❡② ✐s s❡t✱ r❡♣♦rt t❤❡ r❡s✉❧t ✭❡✐t❤❡r ❡rr♦r ♦r ❝♦♠♣❧❡t❡✮ t♦S✳

✕ ❑❡② ❉❡❧✐✈❡r②✳ ❯♣♦♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛ ♠❡ss❛❣❡(❞❡❧✐✈❡r,❜, sid, Pi)❢r♦♠S✱ t❤❡♥ ✐❢Pi∈P id❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛ r❡❝♦r❞❡❞

t✉♣❧❡(sid, P id, α) ✇❤❡r❡α∈ {0,1}k∪ {❡rr♦r}✱ s❡♥❞(sid, P id, α)t♦Pi ✐❢ ❜ ❡q✉❛❧s ②❡s ♦r(sid, P id,❡rr♦r)✐❢ ❜

❡q✉❛❧s ♥♦✳

✕ P❧❛②❡r ❈♦rr✉♣t✐♦♥✳ ■❢S ❝♦rr✉♣tsPi∈P id✇❤❡r❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ r❡❝♦r❞❡❞ t✉♣❧❡(sid, Pi, P id, pwi)✱ t❤❡♥ r❡✈❡❛❧pwi

t♦S✳ ■❢ t❤❡r❡ ❛❧s♦ ✐s ❛ r❡❝♦r❞❡❞ t✉♣❧❡(sid, P id, sk)✱ t❤❛t ❤❛s ♥♦t ②❡t ❜❡❡♥ s❡♥t t♦Pi✱ t❤❡♥ s❡♥❞(sid, P id, sk)t♦S✳

❋✐❣✳ ✷✳ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t②FGP AK E

◆♦t✐❝❡ t❤❛t✱ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❛✉t❤❡♥t✐❝❛t✐♦♥ ✐♥❞❡❡❞ ♠❡❛♥s t❤❛t ✐❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❛❝❝❡♣ts✱ t❤❡♥ ❛❧❧

♣❧❛②❡rs s❤❛r❡ t❤❡ ❦❡② ♠❛t❡r✐❛❧❀ ❜✉t✱ ✐t ❞♦❡s♥✬t ♠❡❛♥ t❤❛t t❤❡② ❛❧❧ ❛❝❝❡♣t✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❛ss✉♠❡

t❤❛t ❛❧❧ t❤❡ ✢♦✇s ❛r❡ ❝♦rr❡❝t❧② ❢♦r✇❛r❞❡❞ ❜② t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r②✿ ✐t ❝❛♥ ♠♦❞✐❢② ❥✉st ♦♥❡ ✢♦✇✱ ♦r ❛t ❧❡❛st ♦♠✐t t♦ ❞❡❧✐✈❡r ♦♥❡ ✢♦✇✳ ❚❤✐s ❛tt❛❝❦✱ ❝❛❧❧❡❞ ❞❡♥✐❛❧ ♦❢ s❡r✈✐❝❡✱ ✐s ♠♦❞❡❧❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ❜② t❤❡ ❦❡②

❞❡❧✐✈❡r②✿ t❤❡ ❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ ✇❤❡t❤❡r ✐t ✇❛♥ts t❤❡ ♣❧❛②❡r t♦ r❡❝❡✐✈❡ ♦r ♥♦t t❤❡ ❣♦♦❞ ❦❡②✴♠❡ss❛❣❡s s✐♠♣❧② ✇✐t❤ t❤❡ ❤❡❧♣ ♦❢ t❤❡ ❦❡②✇♦r❞ ❜ s❡t t♦ ②❡s ♦r ♥♦✳

✸ ❖✉r ❙❝❤❡♠❡

❉❡s❝r✐♣t✐♦♥✳ ❖✉r s♦❧✉t✐♦♥ ❜✉✐❧❞s ♦♥ ❛♥ ❡❛r❧✐❡r ♣r♦t♦❝♦❧ ❜② ❆❜❞❛❧❧❛ ❡t ❛❧✳ ❬✷❪ ❛♥❞ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❋✐❣✲

✉r❡ ✸✳ ▲❡t E ❛♥❞ D ❜❡ t❤❡ ❡♥❝r②♣t✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡❝r②♣t✐♦♥ s❝❤❡♠❡s ♦❢ ❛♥ ✐❞❡❛❧ t✇❡❛❦❛❜❧❡ ❝✐♣❤❡r s❝❤❡♠❡✳

❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② E

pw

(m) ❛♥ ❡♥❝r②♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ m ✉s✐♥❣ t❤❡ ✐❞❡❛❧ t✇❡❛❦❛❜❧❡ ❝✐♣❤❡r✱ ❧❛❜❡❧ ℓ ❛♥❞

♣❛ss✇♦r❞ pw✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡ ❞❡❝r②♣t✐♦♥ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❛s D

pw

(c)✳ ❚❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧ ✉s❡s ✜✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t r❛♥❞♦♠

♦r❛❝❧❡s✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② H

i

❢♦r ❛❧❧ i = 0, . . . , 4 ✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② q

hi

t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ q✉❡r✐❡s ♠❛❞❡ t♦ t❤❡ ♦r❛✲

❝❧❡ H

i

✭ q

h

= q

h0

+ · · · + q

h4

✮✱ ❛♥❞ ❜② k

i

= 2

i

t❤❡ ♦✉t♣✉t s✐③❡✿ H

i

: {0, 1}

k

→ {0, 1}

i

✳ ❋♦r ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧

✐♥st❛♥t✐❛t✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ i✱ ℓ

i

= 2k ✭❝♦❧❧✐s✐♦♥s✮✱ ✇❤❡r❡ k ✐s t❤❡ s❡❝✉r✐t② ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❋✐✲

♥❛❧❧② ❧❡t (SKG, Sign, Ver) ❜❡ ❛ ♦♥❡✲t✐♠❡ s✐❣♥❛t✉r❡ s❝❤❡♠❡✱ SKG ❜❡✐♥❣ t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ❦❡② ❣❡♥❡r❛t✐♦♥✱ Sign

Références

Documents relatifs

To test whether the vesicular pool of Atat1 promotes the acetyl- ation of -tubulin in MTs, we isolated subcellular fractions from newborn mouse cortices and then assessed

Néanmoins, la dualité des acides (Lewis et Bronsted) est un système dispendieux, dont le recyclage est une opération complexe et par conséquent difficilement applicable à

Cette mutation familiale du gène MME est une substitution d’une base guanine par une base adenine sur le chromosome 3q25.2, ce qui induit un remplacement d’un acide aminé cystéine

En ouvrant cette page avec Netscape composer, vous verrez que le cadre prévu pour accueillir le panoramique a une taille déterminée, choisie par les concepteurs des hyperpaysages

Chaque séance durera deux heures, mais dans la seconde, seule la première heure sera consacrée à l'expérimentation décrite ici ; durant la seconde, les élèves travailleront sur

A time-varying respiratory elastance model is developed with a negative elastic component (E demand ), to describe the driving pressure generated during a patient initiated

The aim of this study was to assess, in three experimental fields representative of the various topoclimatological zones of Luxembourg, the impact of timing of fungicide

Attention to a relation ontology [...] refocuses security discourses to better reflect and appreciate three forms of interconnection that are not sufficiently attended to