Sur la théorie de l'élasticité

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Submitted on 1 Jan 1901

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Sur la théorie de l’élasticité

Gerrit Bakker

To cite this version:

Gerrit Bakker. Sur la théorie de l’élasticité. J. Phys. Theor. Appl., 1901, 10 (1), pp.558-569.

�10.1051/jphystap:0190100100055801�. �jpa-00240555�

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quelles ^{l’échelle est} repliée ^{sur elle-même afin} de doubler la semilibi- lité pour ^une longueur ^de règle ^donnée.

La lecture elle-même est facilitée par ^la présence ^{d’~~~2e seule}

~’~.l«»e. On ^ne cherche _pas l’endroit où elle ^{doit se} faire sur une

deuxième graduation ^{voisine, mais on le trouve} immédiatement au

bout d’une aiguille. Quand même, dans la règle ordinaire, ^{on se sert}

du curseur Mannheim, ^le voisinage de la deuxième graduation auge- mente un peu l’attention nécessaire.

Dans le même ordre d’idées, j’ai ^{évité la} complication ^de gradua-

tions donnant les racines carrées et les lignes trigonométriques, que aurait du mettre sur des cercles concentriques. ^Il m"a parti pré-

férable de ne demander à un même instrument qne les opérations ^de beaucoup ^les plus fréquentes ^{de la} multiplication ^{et de la division.}

Ce cercle à calculs a été construit par -,NI. I. Werlein. Les mom-e-

ments, solidaires ^Oll indépendants ^des aiguilles, s obtiennent aisé- ment, par les frottements gradués ^{des douilles sur les axes,} réglés

une fois pour ^toutes. Chacune des aiguilles porte ^{un bouton} molletéf qui ^{doit être assez} grand pour que la ^manoeuvre des aiguilles ^soit comrnode, ^et relativement léger pour éviter les effets de l’inertie.

On obtient très facilement, ^{avec cet} instrument, ^une précision

minima de ~’ -, _~000 ^{même dans les} opérations compliquées. 1

SUR LA THÉORIE DE L’ÉLASTICITÉ;

Par M. GERRIT BAKKER.

Considérons ^un corps tel que les points ^{de sa} surface seuls soient sollicités par ^des forces extérieures. lie corps ^étant supposé ^en équi- libre, chacun des éléments de volume dans lesquels ^on peut ^{le dé-} composer ^est également ^en équilibre ^sous l’influence de la pression

des éléments qui l’entourent. Pour ^un élément de volume égal ^if I"unité, ^{le z~iriel des forces} extérieures à l’élément est donné _par:

~~, , ~~" Pa représentant les ~res~sio~z.s principales.

Soient _{M, v,} t~~ les projections ^du déplacement ^d’un point ~~.~, ^y, ~) ~

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:0190100100055801

559

on a, Tx, ’rJ, ^{T~ étant les} composantes des tensions normales aux

faces du parallélipipède élémentaire :

c~’où ~

h et p ^{étant les deux} constantes de la théorie de l’élasticité.

La dilatation à de l’unité de volume est donc :

Par suite, F augmentation de volume d’un corps dont ^{dz est} l’élé- ment de volume est donné par :

Les éléments de volume situés dans l’intérieur du corps donnent,

pour l’intégrale ~ ~r, ^{des termes qui sont} détruits par les ^termes

égaux ^{et de} signe ^contraire fournis par les éléments adjacents. ^Il n’y ^a que les éléments de ^la surface extérieure du corps considéré

qui ^soient efficaces ; par suite

c’est-à-dire que l’~xccroisse~nent de volunte d’un _{co~6’ de} for~~ze quel-

conque solliciié e.rc~.9~~me~~ par des fa~~ces exté~°ie~~~°es c~~~li~uf~es

à sa s~~~~face ^est proportionnel ^{au ~x~~’e~ de ces} forces. Appliquons ^à quelques exemples :

1° Cas du prz~me.2013 ^On applique ^aux bases, parallèlement ^{à l’axe,}

une tension égale, ^à S par unité de surface ; soient lIa longueur ^{et cl}

la section du prisme ; ^{on a :}

560

et la dilatation de l’unité de volume est donnée par

20 Cas d’un vase cylindrique.

Soient : S la tension par unité de surface aux faces tern1inales, ^P et p ^{les forces} respectivement ^nor-

males aux surfaces cylindriques extérieure et intérieure de rayons R et r (considérées ^comme positives ^{dans la direction du} rayon), ^{l la} longueur; ^{le viriel} provenant des forces S, ^donné par la formule gé-

nérale

le viriel de la force P est -1R - ?~rRLP ; ^{on a} de même pour celui

de ~ : - 1 1 ^{r . ~~~°1~~. On a} donc enfin :

La dilatation de l’unité de volume est, ^en remarquant que le ^vo- lume est trr (R 2

,.2) ^1, donnée par :

:lü Cas d’zcn case s~hé~~iq2ce.

Soient p ^{et P les} pressions ^intérieure

et extérieure, comptées positivement ^{dans le sens du} rayon inté- rieur r et extérieur R; l’expression - 3I)c du viriel donne pour celui des forces _p et P respectivement :

et

~

Le volume étant 1 ^{x (R3}

^7°3), la dilatation de l’uni té de volulne ^{est :}

(1) ^X, Y, ^{Z sont les} composantes de la force qui agit ^au point ’a~, ~, ~;~.

561 4,1 Cc~a cl~c pi~W o~~aèt~ne ~’0152’/’é’~~.

Soient V et v les volumes ^exté- rieur et intérieur et p ^la pression intérieure et extérieure. Les eiriels des pressions extérieure et intérieure ^sont respectivement -~- ~ 3 ^pV

3

et 2013 ~ ^{~~ ; le} volume de la matière du vase étant v

_v, la dilata- tion de l’unité de volume est :

La dilatation est indépendante de la forme et de la grandeur ^du

vase ; celui-ci se comprime conformément à t’opinion ^{de Colladon et}

contrairement à celle d’(Erstedt (1).

5~ Cas cl’un conducteur’ plectr.isé.

La pression électrique peut

être considérée ^comme une force normale à la surface du conducteur électrisé. Soient K, ^{la constante} diélectrique du milieu dans lequel

le conducteur est placé, ^{et ~,} la densité électrique superficielle ; ^la pression électrique par unité de surface ^est alors ^{_-.. R.}

Pour un ellipsoïde conducteur, la densité 7 est proportionnelle ^{à la} perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent ^au point ^con-

sidéré :

e est la charge ^totale. p la perpendiculaire, ^cc, b, ^{c les trois demi-}

grands ^{axes de} l’ellipsoïde. ^La pression électrique devient alors :

Soit ds un élément de surface du conducteur correspondant ^{à un}

rayon ^vecteur r, ^{on a} ponr le viril de R:

Or:

(I; Toutes les formules clui précèdent ^{sont en} parfait ^{accord avec celles} que

donne la théorie générale ^de l’élasticité.

562 donc :

L’accroissement de volume est alors :

posons

l’élément ds s’exprime ^en coordonnées elliptiques:

dudv.

La longueur î) ^{de la} perpendiculaire ^est donnée par:

Orona:

d’où :

si l’on ren-iplace ^~ru par ^cette valeur dans I‘équation (5), ^la question

est ramenée à ^un calcul d’intégrales elliptiques. ^{Dans le cas où}

a -- b, ^{on a :}

d’oit:

563

et exposant

Pour un octant de l’ellipsoïde, ^{fI et v doivent être} pris ^{entre 0} et 2

2

d’où :

et

L’accroissement de volume de l’ellipsoïde ^{est donc enfin:}

Pour une mêine charge électrique ^et pour des ell.L~~sa~’des set~~T~tcc~lP.s.

les dilatations sont donc en raison in,terse des c~ir‘ze~zsio~xs ho?nologuI?8.

-- Pour une sphère, ^{c _-__ c~ # R et} la formule précédente ^se présente

sous une forme illusoire; l’application ^du théorème de l’Hopital

montre Ín1média tement que la dilatation d’une sphél°e, ^{son s} l’influience d’une chaj>ge électrique ^{E, a} pour valeur:

F. ÀUERBACH. 2013 Die Gleichgewichtsûguren pulverfurmig’er ^Massen (Figures d’équilibre ^{des masses} pulvérulentes).

I)r~ucle’s Annrllen, ^t. ~~, p. 1 îO; ^~1901.

L’auteur s’est proposé ^d’étudier expérimentalement ^les figures

formées sur des bases entièrement libres, ^bien liorizoiitales, ^{et de}

forme géométrique, par des grains ^{bieii secs,} réguliers, ^{de forme} sphérique ^on presque sphérique, dépourvus ^{d’arêtes ou de} cavités par où ils pourraient ^{adhérer en} formant des agrégats plns ^{oii moins} rigide. Les divers sables (à condition que ^le diamètre du grain ^ne

tombe pas au-dessous de 0,01 centimètre)., ^les graines ^de moutarde,

de lin, de pavot, ^de trèi~le, ^la grenaille ^de plomb, ^{le verre ou} la por-

564

celatne, pulvérisé, ^{tamisés au besoin,} conviennent ^aux expériences.

Quelle que ^{soit la} méthode employées (projection ^{de la} poussière

sur la base isolée ; enlèvement cle la matière toiit autour de la base

placée ^{au-dessus et très} près ^{de la table} d expériences, soulèvement de cette base, ^ou abaissement d’une plate-forn1t’ l’entourant élroi-

ten1ent), ^{on arrive assez} rapidt’111pnt il ^{trouver un mode} opératoire qui ^donne constamment la même figure~ appelée norlnale ,. ^{des mou-} vements trop brusques ^{donnent des} figures plus arrondie5 ; ^{des mou-}

VE’111entS très lents donnent des figures instables, indéterminées, qui ^se

déforment en tendant vers la forme normale, ^SOl1S Faction de secousses

même très faibles.

Les mesures sont faites ait moyen d’une sorte d’équerre ^formée

d’une règle graduée ^mobile verticalement dans line coulisse qui peut glisser ^{elle-même sur une} règle gradué horizontale, ^{nxée il une}

hauteur arbitraire ; le contact de la pointe ^{avec la} figure ^{est accusé}

par ^{la chute et le} glissement, parfaitement visibles, ^du grain touché ;

1 auteur a pu ^mesurer ainsi les cotes au 1 10 et quelquefois au 1, ^2f)

de millimètre. Il appelle h~2~~e »o de ^la figure ^la distance du point ^le plus

élevé à la base ; ligne ^cle pente, ^la 1igO(’ ^cle plus grand> pente ^d’u~~e de pente,. angle de ^{pente, ou i} plus simplement pente ^{en iiii} point d’une surface (et ^{non d’une} arête:B l’angle ^{de la} tangente ^{a la} ligne ^de pente ^avec l’horizontale; li~~taes de ~~,i2,eaz~ oii 2so72~~ses le~

sections de la figure par des plans parallèles ^{il la} base. La concavité et la convexité des surfaces ^ou des lignes ^sont rapportées ^{kt l’e~x’~fe} r/~M?’, c"est-à-dire a 1 air.

Il va de soi que ^{la nature} des grains, ^leur forme, ^Ip1~r frottemeilt,

leur poids spécifique, ^leur grosseur, ^leur compressibilité, influent, ^à

des degrés divers, ^{sur les} rri~~~en~z’o~2.ç de la figure ^{formée sur une}

hase déterminée; Inais, pour ^{unie même} base, ^{la fornle} générale ^est toujours ^{la même.}

Le cas le plus simple ^{est celui} d’un tas de sable appuyé ^{contre un}

mur vertical indéfini ; la surface de pente ^est plane, ^{sauf au} voisinage

des parois d"appui; ^{il en} résulte que les pressions ^{ne se} transmettent

qu’à ^{une assez} faible distance, _car, avec une transmission dans la

masse entière, 1"accroissement de la pression ^{de haut en} bas do1111erai~

une surface à pente, décroissante, c*est-à-dire concave ’ ; la variation

, 1 ~ H~c,Ea. Berl. ~lo~z~cls-Be~°., 1852~ p. 3¡i:

~~~iT~rF~, ^J~ucn~z. f. l’eiîie ~r;z~l ccnr~ei~

~Icctlcer~2aiilr~, t. CXX, p. 18~~; ^1899.

565 de la courbure ^au voisinage ^des parois s’explique par la résistance des parois, qui ^{modifie la} répartition ^des pressions ; ^on peut ^admettre

que ^cette action cesse aux points ^{où la} pente ^devient constante, ^et déduire de là une mesure grossièrement approchée des limites de trans]l1Îs~ion de la pression, ^à la condition de connaître l’arrangement

des grains; ^{avec la} graine ^de pavot, ^{l’auteur a} trouvé 30 couches environ ; ^{avec le} sable, ^{de 15 à ~lU} (Voir plus loin).

Si le tas est limité latéralement par des parois verticales, ^{la surface}

de pente ^est réglée, ^à génératrices parallèles ^aux parois ^latérales,

mais à pente croissante du milieu aux parois; ^une isohypse ^est rectiligne ^et horizontale; ^{au dessus, elles sont concaves, au} dessous.

convexes (li g, 1 j.

I~ Ic . ~1.

Sur une planche horizontale de longueur indéfinie, ^{on aurait un}

toit symétrique ^{à arête} horizontale, ^à pente normale, ^{raccordée au}

contour de la base par ^{une surface convexe.}

Sur des bases polygonales régulières, ^{on a des} pyramides ^sur lesquelles ^on peut prendre ^{des mesures très exactes ; les} pentes ^de

leurs faces sont dites ~20j~~72C~ies ; leur hauteur est un peu inférieure ^à celle que ^donnerait le calcul d’après ^la pente ^{de leurs} faces ; ^les

arêtes sont arrondies, ainsi que ^le sommet, ^{et les faces se raccordent}

au contour de la base _par des surfaces convexes.

Sur des bases circulaires, ^{om a des} cône.s°, surfaces de révolution à pente hyponormale, dont la méridienne est sensiblement une

branche d hyperbole ^{à axe} transverse vertical, ^{et dont le} rapport

d’axes est égal ^{à la} tangente ^{de la} pente normale pour la substance considérée (fig. 2) ; ^{avec une même matière on a} toujours, quel que soit le rayon ^de base, ^{une calotte du même} hyperboloïde: ^{-, avec}

des bases différentes , ^{on a} des hype1-1>oloïdes semblables ^en

employant ^des grains ^{de diamètres} proportionnels ^{aux diamètres}

566

des bases, ^{et de même} pente ^{normale : sur une} hase donnée. la tigure

est complètement déterminée _{par la} pente ^et l’abaisseJneJ71 du .·~~jomet

(abrunding~) (distance ^{du sommet réel au sommet du cône} géomé- trique de même base et de même pente) ; ^cet abaÎssen1ent est,

~f.~~fej~i.~ ~~czj~ib rr.s~, proportionnel ^à ]a grosseur ^des grains.

_

FIG. 2.

Sur une base circulaire percée ^{en son centre d’un trou} circulaire,

et munie d’un manchon cylindrique, ^{on a un} cratère, ^{surface de}

révolution dont la méridienne est sensiblement une branche d’hyper-

boule à axe tramverse horizontal, ^{dont le} rapport ^{d’axes est encore} égal ^{à la} t~~n~c~.~nie ^{de la} pente ^normale, déplacée parallèlement ^{à cet}

Fi6. 3.

axe de manière que ^{son sommet, vienne sur} la verticale du centre de

l’orifice (py. 3).

567 Si on enlève le manchon, ^{on a un toit} ~~znz~~c~?oe dont la pente ^est hy pernormale ^vers l’intérieur de l’anneau, hyponorD1ale ^{vers l’ex-}

térieur.

Avec ^{un trou} circulaire et une hase polygonale, on a encore un

cratère circulaire montant sans changer de forme dans les angles

du manchon ; ^{une ouverture} polygonale ^{donne une} figure ^{inverse de}

la pyramide, ^cratère circulaire ^à la partie supérieure, ^{avec une} partie

inférieure polyédrique ^{à arêtes arrondies.}

Tous ces résultats peuvent ^étre prévus par des considérations aussi simples qu’ingénieuses, ^{et l’accord avec les mesures des cas}

que l’on peut ^{soumettre au calcul n’est} pas ^une des moindres curio- sités du mémoire. Il est facile de calculer l’inclinaison des faces d’un tétraèdre circonscrit à quatre sphères égales, ^{dont l’une} appuie symétriquement ^sur les trois autres, reposant ^{sur un} plan (arran- gement tétraédrique) ; ^{on a ainsi la} pente ~zo~°~~~ccte pour ^toute dispo-

sition définie par l’écartement des sphères d’appui, écartement qui peut ^{varier entre 0} (pente maxima, sphères ^de base, tangentes) ^et 1l3 (pente nulle, ^{les centres de toutes les} sphères ^{sont dans un}

même plan). L’expérience ^montre que les grains ^{tendent à} prendre

cette disposition, ^et que la pente ^est toujours comprise ^{entre les}

deux extrêmes; ^{sa mesure} permet ^{de connaître} l’arrangement; pour la plupart ^{des sables et des} graines, ^la distance des sphères ^est

environ les - 2 ₃ ^{du diamètre; pour la grenaille de} plomb, plus ^des 7/10 (Voir plus ^{haut, tas de} sable) ; ^la pente normale, ^avec isohypses horizontales, ^est caractéristique ^{des surfaces} planes ; ^{si les} isohypses

sont convexes, les lignes ^de pente deviennent divergentes, ^la possi-

bilité de roulement des grains augmente, ^la pente ^diminue (icônes) ;

le contraire a lieu ^avec des isohypses ^concaves (cratère). ^La pente

diminue quand la convexité des isohypses augmente, ^{et devient}

nulle pour ^{une convexité} infinie; c’est-à-dire que des ^arêtes horizon- tales seules peuvent ^être tranchantes (toit) ; ^{toute arête inclinée est}

forcément arrondie. Les mesures faites sur le cnle font connaître le rayon de courbure de l’isohypse correspondant ^{à une} pente donnée;

des mesures prises ^{sur la} pyramide permettent de calculer le rayon de courbure de la partie ^{arrondie de} l’isohypse ; ^{on a un} rayon ^ton-

jours ^{inférieur à celui de} l’isohypse ^au point ^{du cône où la} pente ^est la même (les ^{causes du désaccord ne sont} pas expliquées) ; quant

à l’abaissement du sommet, ^{il est} minimum pour la pyramide ^trian-

568

gulaire ^{et s’élève} peu ^à peu jusqu’à ^{la valeur} qu’il ^a pour le cône,

lorsqu’on augmente le nombre des côtés de la base, ^ce qui ^{était à} prévoir.

Une justification des considérations de l’auteur est offerte _par la concordance entre les prévisions qu’elles permettent pour des

figures compliquées ^{et les mesures} prises ^{sur ces} figures, par

exemple : ^{une base} elliptique allongée ⁽¹ 1 ~~r~.1~.~ ; carré évidé par des

Flh. -1-

quarts de cercle ayant pour ^centres les sommets du carré> et un

rayon égal ^{à la} moitié du côté (~g. ~ } ^{base en f’orme de crc~i~ ; -.}

FIt;. G.

dans ce cas, la figure ^est 1 enveloppe ^des lignes ^de profil que ^l’on peut construire au moyen du ~rincihe cle coînbinaisojî.

( 1~ Cas traité par de Saint-Venant, ^{dans le cas} d’une surface à pente ^constante

nn en a construit des modèles en plâtre et des modèles funiculaires.

569 Pot!~~ r-haque yozt2t ^{de lc~} bos~~, ^un ~~7aer~ehe la a~~c~~fc~ee ^contenue dans ici base, ^il laquelle correspond ^la fz~zc~~e ^de pente ayant, au-des:sus du point eo~a.sidéw~, ^la hauteur rna,cÙna: le lieu des soili- Í/lets ainsi délei-î)tiîîés constitue la ligne ^cle pente ~~het~c7a~e.

Pour les substances essayées, ^la pente ^{normale est} comprise

entre f° (émeri) ^{et 36°} (grenaille ^de plombl ; ^{elle est d’autant} plus grande ^{que les} grains sont plus petits, ^moins sphériques, plus ^irré-

~uliers, plus légers, ^{moins lisses;} pour ^{une mème} poussière, ^la pente peut ^{prendre toutes} les valeurs comprises ^{entre ()0} calotte des

cîmes) ^{et 90°} cratère ^{à ouverture assez} petite). ^La pente, quand ^elle n’est pas constante, ^{décroît en} général ^{de bas en} haut, ^{sauf sur les}

arètes ou des portions de surface ayant ^{le caractère d.’arêtes arron-}

dies.

P. LUGOL.

DRUDE’S ANNALEN DER PHYSIK ;

T. IV et V; 1901.

RLBE~’S et RURLBAUM. 2013 Anvendung der Méthode der Reststrahlen ^zur Prll-

fllng ^des Strahlungsgesetzes (Application de la méthode des rayons restants it l’étude de la loi du rayonnement). - P. ~’i 9-667.

Les auteurs sont conduits par leurs études ^sur les _rayons restants du sel gemme, de la sylvine ^{et de la} fluorine, ^{à cette} conclusion : que les seules formules susceptibles ^de représenter le rayonne- ment E d’un corps ^{noir en} fonction de la longueur ^{d’onde À et de}

la température ^{absolue T, sont celles} qui, pour de ^très grandes ^lon-

gueurs d’onde et de très hautes températures, ^{donnent une valeur}

de E, proportionnelle ^{à T. Les} auteurs sont ainsi conduits ^à rejeter

la formule de Wien et celle de Thiesen. Resteraient les formules de lord Rayleigh,

de Lummer-Sohnke :

c

et, de Plancl, :