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Influence des variations locales de masse dans la dynamique du réseau cristallin
Christian Janot
To cite this version:
Christian Janot. Influence des variations locales de masse dans la dynamique du réseau cristallin.
Journal de Physique, 1963, 24 (9), pp.641-647. �10.1051/jphys:01963002409064100�. �jpa-00205542�
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LE JOURNAL DE PHYSIQUE
INFLUENCE DES VARIATIONS LOCALES DE MASSE DANS LA DYNAMIQUE DU RÉSEAU CRISTALLIN
Par CHRISTIAN JANOT (1),
Laboratoire Infra-Rouge, Faculté des Sciences de Nancy.
Résumé. 2014 On étudie l’influence de variations locales de masse sur la dynamique du réseau
cristallin et l’absorption optique des solides. La méthode employée consiste à distribuer la fluc- tuation de masse sur tous les motifs du réseau. Une application est faite au cas de l’effet isotopique dans un réseau cristallin du type sel gemme.
Abstract.
2014The influence of local mass shifts upon lattice dynamics and optical absorption
are studied. The mass fluctuation is distribued among all the lattice cells. This theory is applied to the isotopic effect in a face centered cubic lattice such as NaCl.
Tome 24 No 9 SEPTEMBRE 1963
I. Principe du calcul sur une chaîne linéaire
biatomique.
-On considère une chaîne d’atomes,
constituée de N mailles, comprenant des atomes
de masse m, et d’autres de masse M’t, susceptibles
de prendre plusieurs valeurs (isotopiques par
exemple). On appelle ur et v, les déplacements des
atomes par rapport à leurs positions moyennes ;
on impose à la chaîne les conditions cycliques de
Born.
Les équations du mouvement, dans le cas de forces supposées centrales et harmoniques, sont du type :
Si la chaîne se reproduit identiquement à elle-
même chaque fois que l’on parcourt N mailles élémentaires, il existe une périodicité de lon-
gueur N, dans la distribution du mouvement ; ceci suppose en particulier une homogénéité statis- tique de la distribution des masses. Pour en rendre
compte écrivons :
(1) Actuellement au Laboratoire de Physique de l’École
des Mines de Nancy.
pour chaque valeur entière de r. La résolution de
ce système en ck et Ck nous donne les amplitudes
des différentes fluctuations périodiques de masse :
Par ailleurs, l’élongation du mouvement fluctue
d’un noeud à l’autre de la même façon que les
masses. On peut donc chercher des solutions du
type : 1
avec
et où la longueur d’une maille est prise comme
unité.
Remarquons que :
-
Par ailleurs :
où m et 1J1 représentent la moyenne sur une maille
cinétique des masses mr et Mr.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE. - T. 24. NO 9. SEPTEMBRE 1963.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01963002409064100
642
En portant ur, vr, mr et lVlr dans le système (1),
on obtient les équations du mouvement sous la
forme :
Comme les fluctuations de masse Ck et d’ampli-
tude Uk, sont petites devant les parties principales
co et Uo nous allons négliger les quantités telles
que ck Uk (avec as 0) dans le développement :
L’ensemble des équations étant applicable à
toutes les mailles élémentaires, c’est-à-dire quelle
que soit la valeur prise par r tous les coefficients
doivent être nuls :
B6)
pour toute valeur de k # 0.
Le système (2) donne des amplitudes principales
non nulles si l’équation séculaire est satisfaite : (6)k Co
-2x) (6)1: Co
-2rl)
-4rl cos2 (Km JN) = 0 (4) OÙ
Ceci détermine le spectre de fréquence ; -, on
remarque qu’il est identique à celui d’une chaîne
sans fluctuations, constituée par les masses moyennes.
Le système (3) aura des solutions en Uk et Vk si :
(5) pour toute valeur de k # 0.
Or, K et k pouvant prendre toutes les valeurs
comprises entre
--N/2 et + N/2 (à l’exception
de la valeur nulle pour k) la somme K + k redonne toujours une valeur comprise dans cet intervalle (à une périodicité près). Les conditions (4) et (5)
ne sont donc compatibles que pour : K + k = 0.
On a bien alors
Théorème : Chaque type de fluctuation n’est com- patible qu’avec une seule distribution des phases
dans la maille cinétique.
En particulier, le vecteur d’onde nul n’est com-
patible qu’avec la fluctuation zéro, c’est-à-dire
avec une distribution identique de la masse sur
tous les noeuds du réseau : les amplitudes alors ne
fluctuent pas.
CALCUL DU MOMENT DIPOLAIRE.
-On Sait que le moment électrique d’une chaîne sans fluctuations est nul sauf si le vecteur d’onde est égal à zéro.
Si on suppose que in, et Mer sont des ions chargés respectivement - e. et + e, le moment électrique
de la chaîne sera :
On voit ici que le moinent électrique est uul sauf
si
ce qui confirme l’indépendance des fluctuations.
Donc pour chaque vecteur d’onde K, on a un
moment électrique
AK = N.e.exp (i wKt).(V-K- U-K)
En particulier on peut dire qu’un cristal où la
masse fluctue absorbera les radiations de manière continue sur l’ensemble de son spectre de fré-
quences. Il y aura éventuellement des maximums secondaires d’absorption là où ov JÀ’J v F(v) F(v) du dv
sera le plus grand. (F(v) est la densité de vibra- tion.)
Le système (3) permet de calculer Uk et Vk,
donc en portant ces valeurs dans l’expression
de 4C.K, on en déduit la valeur du carré du module.
Soit
Limitons-nous, à titre d’exemple, au cas où une
seule des deux masses peut fluctuer, et prendre nI
643 fois la valeur ml, n2 fois la valeur m2. Il nous faut
alors calculer :
"
Remplaçons cette quantité par sa valeur moyenne, en tenant compte de toutes les distri-
butions possibles :
Soit :
Donc: r 1,XV12 F( v) d v sera le plus grand
pour les zéros de sin4 Kn/N (ce qui donne ici la
fréquence fondamentale) et là où la densité de
vibration passera par des maximums.
II. Application au cas d’un réseau cristallin tri- dimensionnel.
-1. RAPPELS ET SYMBOLISME.
-Rappelons l’essentiel de la dynamique cristal-
line [2], [3], [4]. On définit la position d’un atome
dans le cristal, par la somme de trois translations :
m : est une translation du réseau et caractérise la maille où se trouve l’atomé :
où ti t2 t3 sont les périodes du réseau et
M1M2,M3== ’’’-2,-1,0,1,2
...j : caractérise la position moyenne de l’atome à l’intérieur de la maille m :
um : va de la position moyenne m + j à la posi-
tion instantanée. Pour abréger, un tel atome sera
dit atome mj.
De même on obtiendra la position d’un atome pk
en accomplissant à partir de l’origine la translation :
p + k + ut.
’
Le déplacement de l’atome mj par rapport à
l’atome pk sera
Les trois axes de coordonnées seront désignés
par Oxa, ce = 1, 2, 3. Dans l’hypothèse d’un champ
de force harmonique, l’atome pk exerce sur
l’atome mj une force de rappel de composantes :
Les C â p forment un tenseur convariant et symé- trique en ce et fi [5]. La force de rappel globale appliquée sur l’atome mi s’écrit :
Introduisons le coefficient :
La force s’exprime alors :
Si pi est la masse de l’atome en position j dans
la maille, les équations du mouvement sont du
type :
.Pour un cristal de N atomes, on a ainsi 3N
équations
2. INFLUENCE DES VARIATIONS LOCALES DE MASSE.
-Supposons que la masse des différents atomes puisse prendre différentes valeurs d’une
maille à l’autre. Elle devient ainsi une, fonction pq"
de la position. On admet qu’il existe une pério- dicité, donc une homogénéité statistique, dans la
distribution des masses. On peut alors poser :
’
avec
où L1, L2, L3 sont les périodes du réseau polaire
telles que
nI’ n2, n3 caractérisent les dimensions de la maille
cyclique ; pa peut prendre toutes les valeurs qui
font décrire à S’ la première zone de Rrillouin ; 1 désigne la sommation sur tous ces vecteurs.
s’
L’inversion de l’expression de !1r donne :
où V = n, n2 na
on remarque que
80j = (Li (la masse moyenne).
Les fluctuations de masse perturbent 1 emouve-
ment, si hien que l’on peut écrire :
644
avec
On en déduit les équations du mouvement :
Dans cette expression, on peut négliger les
termes qui contiennent des produits de fluctuations
comme 88’1 U 8’;a.... On obtient :
Cette relation doit être vérifiée quelque soit
l’atome nii considéré : tous les coefficients doivent donc être nuls.
Ce qui permet d’écrire les conditions du mouve-
ment :
à ceci près que les masses des atomes y sout rem-
placées par les masses moyennes.
Le système (1’) admet des solutions non nulles si :
où I est la matrice unité d’ordre 3g X 3g (g nombre
d’atomes dans,un motif cristallin). La condition (3’)
détermine le spectre de fréquences (3g fréquences
par vecteur d’onde dont 3 acoustiques et 3g-3 op-
tiques).
Le système (2’) admet des solutions en Us,ia ...
si :
pour toute valeur de S’ =1= 0, où Ks,+s = ; |X âs|
est une matrice dont les propriétés sont analogues
à la matrice de Fourier ci-dessus (voir définition
des éléments).
Or, S et S’ sont deux vecteurs du réseau polaire ;
la somme S -E- S’ redonne donc toujours un vecteur
du réseau polaire (à une translation près de ce dernier). Autrement dit, les conditions (3’) et (4’)
ne sont compatibles pour toute valeur de S’ # 0 que si S + S’ = 0 et on a bien alors :
Théorènae : Chaque type de fluctuation n’est com- patible qu’avec une seule distribution des phases
dans la maille cinétique.
En particulier, le vecteur d’onde nul n’est com-
patible qu’avec la fluctuation zéro, c’est-à-dire une
distribution identique de la masse sur tous les
noeuds du réseau : les amplitudes ne fluctuent pas.
CALCUL , DU MOMENT DIPOLAIRE. Si on
appelle ei la charge de la particule placée en posi- tion j dans la maille, sa participation au moment dipolaire du cristal, le long de l’axe Oxm sera : -.
Le moment électrique total aura pour compo-
santes :
Donc 1 sera différente de zéro seulement si
«
645 S + S’ = 0. Chaque fluctuation est donc bien indé-
pendante et l’on a
Ms03B1 = exp (i 27tvt) - V £ ej U-Sia.- (5’)
j
Pour continuer le calcul, il faut résoudre le sys- tème (2’).
Nous allons le faire dans le cas particulier d’un
cristal ayant la structure du sel gemme, c’est-à- dire pour un réseau cubique à faces centrées, com- prenant deux types d’ions chargés respectivement
-f- e et - e, dont l’un est susceptible de figurer
sous deux formes isotopiques responsables des va-
riations locales de masse.
FORME GÉNÉRALE DE LA MATRICE DE FOURIER
POUR LE SEL GEMME. - On sait [5] que la matrice de Fourier est une matrice hermitienne d’ordre
6 X 6, fonction périodique du vecteur de propa-
gation S. Elle possède certaines propriétés dues
aux symétries du réseau :
1° Tous les termes sont réels : En effet, comme chaque atome est centre de symétrie, on peut
écrire :
ce qui permet de grouper les termes deux à deux dans l’expression de reg
2° Elle est symétrique : Car elle est hermitienne et réelle
"3° Chaque sous-matrice carrée d’ordre 3 X 3
[yk1J est symétrique ; ceci est dû à la symétrie en ce et du tenseur Clii.
On en déduit la forme la plus générale pour la
matrice de Fourier du sel gemme :
Forme particulière de la matrice de Fourier pour S = 0.
On remarque sur l’expression de ygà, où l’on
fait S + S’ = 0, que la matrice K est identique à
la matrice de Fourier établie pour un vecteur de
propagation nul. Nous allons donc chercher à obte- nir cette matrice K = r o.
Quand S = 0, les deux réseaux d’ions oscillent
comme des assemblages rigides l’un par rapport à
l’autre. r est constituées par des sous-matrices [yi]
ayant la structure des tenseurs en relatifs à un
couple d’atomes situés sur un axe de symétrie parallèle au vecteur d’onde. Quand ce dernier s’annule, les sous-matrices [-ykl- doivent avoir la structure d’un tenseur du deuxième ordre, réduit
au maximums compte tenu de tous les éléments de
symétrie du réseau cristallin. Dans le cas présent
du réseau cubique à faces centrées, le maximum de réduction entraîne :
T",e = T 8aa De plus comme :
On en déduit :
Ce qui permet d’écrire dans le cas présent :
En posant :
En définitive, nous obtenons :
646
avec :
et
1
On peut développer Dl par rapport à la qua- trième colonne et D2 par rapport à la première
colonne. On obtient :
En portant les valeurs ainsi obtenues de US’ll
et US’21 dans l’expression (5’) du moment dipo-
laire on a :
Et en tenant compte des trois composantes, le
carré du module peut s’exprimer par :
Dans cette expression intervient la quantité 8s, 8s* qui en toute rigueur, dépend du vecteur
de propagation :
.
