DIVISIBILITE ET DIVISION EUCLIDIENNE

DIVISIBILITE ET DIVISION EUCLIDIENNE

Dans tout le chapitre, sauf mention contraire, entier signifiera entier relatif, c'est-à-dire positif ou négatif.

I. Divisibilité dans . 1. Définition.

a et b sont deux entiers. Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier c tel que a = bc. On dit alors que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a

Exemples :

2. Propriétés de la divisibilité dans .

a et b désignent des entiers. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) b divise a.

(ii) ( b) divise a.

(iii) b divise ( a).

(iv) ( b) divise ( a).

Démonstration :

Conséquence : a et a ont les mêmes diviseurs dans et les diviseurs négatifs de a sont les opposés de ses diviseurs positifs.

a, b et c désignent des entiers non nuls.

1) Tout diviseur positif de a est compris entre a et a.

2) Tout entier a admet au plus a diviseurs dans et au plus | | ^a diviseurs dans . 3) Tout entier a admet un nombre fini de diviseurs.

4) Si a divise b et b divise c, alors a divise c.

5) Si a divise b et si b divise a, alors a = b ou a =  b.

6) Si a divise b et c, alors pour tous entiers x et y, a divise bx + cy. En particulier, a divise b + c et b  c.

7) Si a divise b, alors ac divise bc.

Démonstrations :

II. La division euclidienne.

1. Division euclidienne dans .

Théorème : a et b désignent des entiers positifs avec b non nul. Alors il existe un unique couple (q ; r) d’entiers positifs tel que a = bq + r et 0  r < b.

Démonstration :

Définition : Effectuer la division euclidienne dans du naturel a par le naturel b, c’est déterminer le couple de naturels (q ; r) tels que a = bq + r et 0  r < b.

q est appelé le quotient de la division, r le reste, a le dividende et b le diviseur.

Remarque : b divise a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

2. Division euclidienne dans .

La division euclidienne se généralise à des entiers relatifs.

On a alors (admis) :

a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul. Alors il existe un unique couple (q ; r) avec q entier relatif et r entier naturel tel que a = bq + r et 0  r < | b . |

Exemples :

Division euclidienne de 352 par 12 : ...

Division euclidienne de 352 par 12 : ...

Division euclidienne de 352 par 12 : ...

Division euclidienne de 352 par 12 : ...

b divise a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

3. Ecriture d’un entier relatif quelconque.

Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Alors les restes possibles dans la division euclidienne de a par b sont 0 ; 1 ; 2 ; ... ; b  1.

Ainsi :

b étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, tout entier relatif peut s’écrire sous une et une seule des formes : bq ou bq + 1 ou bq + 2 ... ou bq + (b  1), avec q un entier relatif.

Exemples :

Application : exercice 17 page 17 :