DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE
Théorème de Carathéodory
Leçons :181
[TauGéo], résultats 4.3.5-4.3.6 Théorème
SoientE un espace affine de dimension finie, d’espace vectoriel associéE, etA ⊂ E, avecA 6=∅. Tout élément de Conv(A)s’écrit comme combinaison convexe dekpoints deA, aveck61+dimE.
Démonstration :
SoitM ∈Conv(A); par définition de l’enveloppe convexe,Mest combinaison convexe d’un nombre fini de points deA, notésA1, . . . ,Ak.
On a donc :M=t1A1+. . .+tkAk, avec 06t1, . . . ,tk61 et
∑
k i=1ti=1.
On suppose quek>1+dimE, puisque sinon, on est content.
La famille−−−→
A1A2, . . . ,−−−→
A1Ak
est liée, car elle possède au moins(1+dimE)vecteurs deE.
En conséquence, il existeλ2, . . . ,λk ∈Rnon-tous nuls, tels que :λ2−−−→
A1A2+. . .+λk−−−→
A1Ak =−→ 0 . On pose alorsµ1=λ2+. . .+λket pouri∈[[2,k]],µi=−λi.
On a alors :µ1−−→
OA1+. . .+µk−−→
OAk=−→
0 , oùOest un point quelconque, fixé, deE.
Commeµ1+. . .+µk=0, et que lesµi(i∈[[1,k]]) sont non-tous nuls, on sait que :∃j∈[[1,k]],µj>0.
On pose alorsλ=min ti
µi
µi >0
, puis, pouri∈[[1,k]],vi =ti−λµi. De cette façon,v1, . . . ,vk>0 et
∑
k i=1vi =
∑
k i=1ti−0=1.
Aussi,∃q∈[[1,k]],λ= tq
µq, d’oùvq=0.
Ainsi,−−→
OM=
∑
k i=1ti
−−→OAi=
∑
k i=1vi
OA−−→i+λ
∑
k i=1µi−−→
OAi=
∑
k i=1vi
OA−−→i+−→ 0 =
∑
k i=1i6=qvi
OA−−→i.
DoncM=
∑
k i=1i6=qviAi, doncMest combinaison convexe de(k−1)points deA.
DoncMpeut s’écrire (en itérant) comme combinaison convexe d’au plus(1+dimE)points.
Corollaire
Sous les mêmes hypothèses :
1. siAest compact, alors Conv(A)est compact ;
2. siAest borné, alors Conv(A)est borné et de même diamètre queA:δ(A) =δ(Conv(A)).
Démonstration :
1. On posen=dimE, etK=(t1, . . . ,tn+1)∈[0, 1]n+1t1+. . .+tn+1=1 . Kest compact ; on définit : f :
K× En+1 → E
(t1, . . . ,tn+1,A1, . . . ,An+1) 7→ t1A1+. . .+tn+1An+1 . D’après le théorème de Carathéodory,f K× An+1=Conv(A).
Orf est continue, etK× An+1est compact, donc Conv(A)est compact.
2. CommeA ⊆Conv(A), on a :δ(A)6δ(Conv(A)).
CommeAest borné, il existeA∈ Aetr>0, tels queA ⊂ B(A,r). CommeB(A,r)est convexe, on a : Conv(A)⊂ B(A,r).
Ainsi, Conv(A)est borné.
SoitM∈Conv(A),M=t1A1+. . .+tkAk, oùA1, . . . ,Ak∈ A,t1, . . . ,tk>0 et
∑
k i=1ti =1.
Florian LEMONNIER 1
Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1
DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE
SoitN∈ A, on a :MN6t1A1N+. . .+tkAkN6δ(A) (t1+. . .+tk) =δ(A).
Ainsi, la distance d’un point quelconque deA à un point quelconque de Conv(A)est inférieure à δ(A).
Soit alorsP∈Conv(A),MP6t1A1P+. . .+tkAkP6δ(A) (t1+. . .+tk) =δ(A). Puis, par passage à la borne supérieure,δ(Conv(A))6δ(A)doncδ(Conv(A)) =δ(A).
Références
[TauGéo] P. TAUVEL–Géométrie, 2eéd., Dunod, 2005.
Florian LEMONNIER 2
Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1
