Théorème central limite
Référence : Zuily-Queffelec : Analyse pour l’agrégation, p540+555+563
Pour toute suite de complexes (z n ) n convergeant vers z ∈ C on a
1 + z n n
n
−→ n e z . Lemme 1
Preuve du Lemme :
Par la formule du binôme de Newton, on a e z
n− 1 + z n
n n
=
+∞
X
k=0
z n k k! −
n
X
k=0
n k
z k n n k =
∞
X
k=0
a (n) k z n k avec
a (n) k =
1 k!
1 − n(n − 1) . . . (n − k + 1) n k
si k 6 n 1
k! sinon
Les a (n) k sont positifs 1 . Donc :
e z
n−
1 + z n
n n
=
∞
X
k=0
a (n) k z k n
6
∞
X
k=0
a (n) k |z n | k = e
|zn|−
1 + |z n | n
n
= e
|zn|− e n ln(1+
|zn|n)
6
(?)
e
|zn|− e n
|zn|n −|zn|2
2n2
= e
|zn|1 − e
−|zn|2n2
!
6
(??)
|z n | 2 2n e
|zn|(?) et (??) découlant à chaque fois d’une simple étude de fonction ou d’une formule de Taylor 2 . Cette inégalité nous permet alors de conclure car :
e z −
1 + z n n
6 |e z − e z
n| + e z
n−
1 + z n n
6 |e z − e z
n| + |z n | 2 2n e
|zn|avec le terme de droite tendant vers 0 puisque la suite (z n ) converge vers z (et que exp est continue) et z n est
alors bornée à partir d’un certain rang.
Si X ∼ N (0, 1). Alors X a pour fonction caractéristique ϕ X (t) = e
−t2/2 . Lemme 2 (Fonction caractéristique de la loi normale)
Preuve (Nourdin p.82) :
1. 1 − n(n − 1) . . . (n − k + 1)
n
k= 1 −
61
z}|{ n
n
61
z }| {
n − 1 n · · ·
61
z }| {
n − k + 1 n
| {z }
61
> 0
2. Pour x > 0 ln(1 + x) > x − x
22 et pour tout x, 1 − e
−x6 x
Laura Gay d’après N. Fétique et F. Lemonnier p.1 7 juin 2015
Par définition et par le lemme de transfert, pour t ∈ R , ϕ X (t) = 1
√ 2π Z
R
e itx e
−x2/2 dx = 1
√ 2π Z
R
e itx−x
2/2 dx Nous allons faire un peu plus et calculer, pour z ∈ C , G(z) = 1
√ 2π
Z
R
e zx−x
2/2
| {z }
f(z,x)
dx
On veut appliquer le théorème d’holomorphie sous le signe intégral pour montrer que G est holomorphe sur C . On va pour cela montrer que G est holomorphe sur D(0, R), R > 0.
— ∀z ∈ D(0, R), x → f (z, x) est intégrable sur R .
— ∀x ∈ R z → f (z, x) est holomorphe dans D(0, R).
— ∀x ∈ R , ∀z ∈ D(0, R), |f(z, x)| = e zx e
−x2 2
= e xRez e
−x2
2
6 e Rx e
−x2 2
| {z }
intégb et indép de z
Donc G est holomorphe sur D(0, R) et donc sur C (car holomorphe en tout point).
Calculons maintenant G sur R . Soit u ∈ R . On a : G(u) = 1
√ 2π Z
R
e ux−
x2
2
dx = 1
√ 2π Z
R
e
u2
2
e
−(x−u)22dx = e
u2 2
Ainsi, G et z → e z
2/2 sont des fonctions holomorphes qui coïncident sur R (ouvert non vide de C donc sur C (ouvert connexe) par principe de prolongement analytique.
En particulier, si t ∈ R , ϕ X (t) = G(it) = e
−t2/2 .
Soit (X n ) n
>1 une suite de va iid dans L 2 . On note S n =
n
X
i=1
X i , m = E [X 1 ] et σ 2 = Var(X 1 ) > 0. Alors on a : S n − nm
√ nσ 2
−→ N
L(0, 1) Théorème (Théorème central limite)
Preuve :
Quitte à considérer les variables aléatoires Y n = X n − m
σ on peut supposer m = 0 et σ = 1.
On cherche donc à montrer que S n
√ n converge en loi vers une gaussienne centrée réduite. Pour cela, on va utiliser le théorème de Lévy : on va montrer
ϕ
Sn√ n(t) −→
n e
−t2
2
∀t ∈ R
car si N ∼ N (0, 1), alors ϕ N (t) = e
−t2 2
. ϕ
Sn√n
(t) = ϕ S
nt
√ n
=
ϕ X
1t
√ n n
car les va X i sont iid.
De plus, comme X 1 est dans L 2 , on en déduit 3 que ϕ est de classe C 2 et on connait ses dérivées en fonc- tions des moments de X 1 :
ϕ
0(0) = i E [X 1 ] = im = 0
ϕ
00(0) = i 2 E [X 2 ] = −(Var[X] + E [X ] 2
| {z }
0
) = −σ 2 = −1
On peut donc écrire un développement de Taylor de ϕ à l’ordre 2 en l’origine : ϕ X
1t
√ n
= ϕ X
1(0) + t
√ n ϕ
0X
1
(0) + t 2 2n ϕ
00X
1
(0) + ε n
n = 1 − t 2 2n + ε n
n , où ε n −→
n→∞ 0.
On en déduit alors que ϕ
Sn√ n(t) =
1 − t 2 2n + ε n
n n
. On voudrait maintenant passer à la limite quand n tend vers l’infini, mais la quantité à l’intérieur de la parenthèse n’est pas réelle (une fonction caractéristique est à
3. Prop 12 de la leçon 261 : Si X v.a. réelle admet un moment d’ordre n, alors ϕ est C
nLaura Gay d’après N. Fétique et F. Lemonnier p.2 7 juin 2015
valeurs complexes, c’est caché dans le ε n ici). Nous allons donc utiliser le Lemme 1 qui traite le cas complexe.
On l’applique à l’expression trouvée pour ϕ
√Sn n, avec z n = − t 2
2 + ε n ,on obtient : ϕ
√Snn
(t) =
1 − t 2 2n + ε n
n
−→ n e
−t2 2