I Notion de dérivée

Dérivation

Leçon 6

Tale-Spé-Math- Lycée Gustave Eiel - Bordeaux Thierry Sageaux.

"L’angoisse, au fond, n’est qu’un dérivé de l’espoir." Hubert Aquin (1929-1977).

Etymologie : "Dérivation" vient du latin derivare avec le préxe de et la racine rivus d'où découle notre ruisseau (ou le "river" anglais). Il signie détourner un cours d'eau. Le mot est imposé par Liebniz en 1677.

On trouve parmi les géniteurs : Cavalieri, Toricelli, Fermat, Roberval, Pascal, Descartes, de l'Hopital, Huygens, Bernouilli (Jacques et Jean), Wallis, Taylor, Mac Laurin, mais la notion de dérivée est essentielle- ment due à Newton qui les appelait les uxions.

On savait des mathématiques poétiques à l'époque. Jugez plutôt : Que sont ces uxions ? Les vitesses d'accroissements évanescents. Et que sont ces accroissements évanescents ? Il ne s'agit ni de quantités nies, ni de quantités inniment petites, ni de quoi que ce soit d'autre. Ne pourrait-on pas les qualier de fantasmes de quantités défuntes ? Evêque George Berkeley (1685-1753).

(Son nom a été par la suite donné à un célèbre campus américain... Ah ouais ? ! Lequel ?)

D'après Fermat, un arc inniment petit d'une courbe peut être assimilé au segment correspondant de la touchante (la direction du mouvement d'un point décrivant la courbe). Les inniment petits s'appelaient à l'époque les évanouissantes. On passe de la sécante à la touchante par limite.

I Notion de dérivée

Dénition 6.1 Soit f une fonction dénie surI et soita∈I. La fonctionf est dite dérivable en asi et seulement si la sorite suivante est vériée :

i. lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a =` limite nie.

ii. lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =`limite nie.

iii. Il existe l∈Ret εune fonction telle lim

h→0ε(h) = 0pour lesquels f(a+h) =f(a) +`h+hε(h) pour touth∈R(on parle de développement limité à l'ordre 1).

L'égalité dans la dernière assertion s'appelle un développement limité à l'ordre 1 de f en a. On note alorsl=f⁰(a). Il s'agit du nombre dérivé def en a.

On dit que f est dérivable surI si elle est dérivable en tout point de I.

Dénition 6.2 Lorsque le taux d'accroissement possède en a une limite nie à droite (resp. à gauche) et pas nécessairement bilatère, on dit que la fonction est dérivable à droite (resp. dérivable à gauche) en a.

Remarque: Dans la sorite, la deuxième assertion est l'expression de la dérivée en fonction du taux d'accroissement. C'est, de loin, l'expression la plus utile.

Preuve de la sorite : On la démontre par permutation circulaire.

i)⇒ii) Il sut de poserx=a+h. ii)⇒iii) On poseε(h) = f(a+h)−f(a)

h −`et on a bien ce qui est demandé.

iii)⇒i) On poseh=x−aet même idée que précédemment.

Dénition 6.3 Soitf une fonction dénie sur un intervalle ouvert Icontenant un réel a. On appelle taux d'accroissement def en ala quantité

τ_f,a(h) = f(a+h)−f(a)

h .

Remarque: An de comprendre le concept de dérivabilité, il faut voir que la courbe d'une fonction dérivable n'a pas trop de choix. Elle doit être lisse (d'ailleurs, en anglais, on parle de "smooth curve").

Arthur, un ancien élève m'a dit un jour : "Si elle n'est pas dérivable, elle doit avoir un pointu !". Il a raison et il a tout compris.

Exercice 1.

ˇ “)

Montrer que la fonction f :x7−→ |x|n'est pas dérivable en0. Exercice 2.

ˇ “(

La fonctionf :x7−→x|x|est-elle dérivable en0? Exercice 3.

ˇ “(

La fonction x7−→√

xn'est pas dérivable à droite en0.

Dénition 6.4 On appelle ensemble de dérivabilité def le plus grand ensemble sur lequelf est dérivable.

On commencera toujours par déterminer l'ensemble de dérivabilité avant de dériver, comme on met son baudrier avant de grimper une paroi.

Attention ! Grave bêtise : Certains élèves viennent régulièrement me voir en me disant qu'ils préfèrent calculer la dérivée (qui est de toute façon demandée) puis de calculer l'ensemble de dénition de la dérivée. Des "profs" leur auraient conseillé !

Sauf que l'ensemble de dérivabilité n'est pas, en général, l'ensemble de dénition de la dérivée.

Eh non ! Prenons le contre-exemple (simple - on peut faire plus compliqué) suivant :f :x7−→x√ xqui va mettre en défaut cette technique de fainéasse.

• D'après ce qui précède,on calcule le taux en0 : τf,a(h) = h√ h h =√

h. La limite en 0à droite est 0, elle est donc dérivable sur D= [0,+∞[.

• En appliquant les formules (que l'on donne après), on trouvef⁰(x) =√ x+ x

2√

x qui n'est dénie que surD_f⁰ =]0; +∞[.

Dénition 6.5 Sif est une fonction dénie sur un intervalle ouvertI contenanta.

• Si lim

h→0τf,a(h) =` un réel, alors une équation cartésienne de la tangente à Cf ena est y−f(a) =`(x−a) .

Dans ce cas, l'expressionf(a) +`(x−a)s'appelle la meilleure approximation ane de f ena. • Si lim

h→0τ_f,a(h) =±∞, alors la courbeCf admet une tangente verticale en ad'équation x=a .

Attention ! Le péché suprême

"(f(x))⁰ tu n'écriras point !"

Ceux qui le feront malgré tout devront faire un pèlerinage à Saint-Petersbourg sur les genoux pour faire pénitence devant la tombe d'Euler.

Accessoirement, ils prendront 0.

Pourquoi tant de haine ? Et bien parce que, si l'écriture a un sens, ce n'est pas ce que vous voulez dire : f(x)est un nombre. Or quand on dérive une constante, on obtient 0. Donc(f(x))⁰= 0(et non f⁰(x)).

Un interlude sur la notation de Liebniz : En utilisant la notation classique de physique pour les accrois- sements, on a∆x= (x+h)−x=het∆y=f(x+h)−f(x). Et d'après ce qui précède,

∆y=f⁰(x)×∆x+ ∆xε(∆x). Mais si∆xdevient innitésimal, en physique, on le note dxet on écrit :

dy=f⁰(x)dx ou encore dy

dx=f⁰(x) . C'est la notation de Liebniz.

Là où l'horreur s'installe, c'est que, par abus de langage, on peut voir y comme une fonction et écrire dy

dx =f⁰.

Non mais ! Quelle honte ! Quand on y pense ! !... Alors que l'on vient de bien faire la diérence entre la fonctionf⁰ et le réelf⁰(x)

Mais si l'on passe là-dessus quelques minutes, on vient de faire apparaître un nouvel objet jamais rencontré auparavant : un opérateur diérentiel.

En eet, d

dx peut être vu comme une "fonction" (on parle plutôt d'opérateur en fait) de l'espace des fonctionsF dans lui-même :

d

dx: F −→ F

f 7−→ df dx =f⁰

Pour les dérivées successives, on peut donc écrire en composant l'opérateur diérentiel (f⁰)⁰ =f⁰⁰= d²f

dx², (f⁰⁰)⁰ =f⁽³⁾= d³f

dx³, . . . f⁽ⁿ⁾=dⁿf dxⁿ pourn∈N.

II Premières propriétés

Proposition 6.6 Si f et g sont deux fonctions dérivables surI, alors λf (avecλ∈R), f+g etf g sont dérivables sur I.

Pour ^f_g, il faut supposer, en plus, queg ne s'annule pas surI, auquel cas ^f_g est dérivable surI. Démonstration: Il sut d'écrire les taux et d'appliquer les théorèmes généraux sur les limites.

Corollaire 6.7 Les fonctions polynômes sont dérivables surR. Les fractions rationnelles sont dérivables sur leurs intervalles de dénition.

Théorème 6.8 Si f est dérivable surI, alors f est continue sur I.

Démonstration: Il sut de le vérier localement. Sif est dérivable en a, alors il existe `et ε(h)avec lim

h→0ε(h) = 0tels quef(a+h) =f(a) +`h+hε(h). En passant à la limite, on a

h→0limf(a+h) = lim

h→0(f(a) +`h+hε(h)) =f(a). Il ne reste plus qu'à changer la variable pour éliminer l'accroissement : lim

h→0f(a+h) = lim

x→af(x) =f(a). Doncf est continue ena.

Remarque: La réciproque est fausse. Il sut de considérer la valeur absolue par exemple.

III Règles de calcul

Proposition 6.9 (Dérivations des formules de référence) Soientmet pdeux réels,

• Sif(x) =mx+p, alorsf est dérivable surR etf⁰(x) =m.

• Sif(x) =√

x, alors f est dérivable surR\{0} etf⁰(x) = 1 2√

x.

• Sif(x) = sinx, alors f est dérivable surR etf⁰(x) = cosx.

• Sif(x) = cosx, alors f est dérivable surRetf⁰(x) =−sinx.

Démonstration: Les deux premières ne posent pas de problème et on été faite précédemment. Voyons pourf = sin. On calcule le taux :

τ_sin,a(h) = sin(a+h)−sina

h =sinacosh+ sinhcosa−sina

h = sinacosh−1

h +sinh h cosa Sauf que l'on a déjà vu (leçon 2) que lim

h→0

sinh

h = 1et lim

h→0

cosh−1

h = 0. Donc lim

h→0τsin,a(h) = cosa. Pour la dernière, on peut recommencer le même raisonnement ou voir quecosx= sin(^π₂−x)et procéder par composition en utilisant un théorème qui suit.

Proposition 6.10 (Formules) Soitλ∈R. Soientuet v deux fonctions dénies et dérivables sur un inter- valleI (v ne s'annulant pas pour les formules quotients). On a

• (u+v)⁰ =u⁰+v⁰ , • (λu)⁰ =λu⁰ , • (uv)⁰=u⁰v+uv⁰ ,

• u v

0

= u⁰v−uv⁰

v² , •

1 v

0

=−v⁰ v² . Démonstration: Démontrons que

la plus dure : u v

0

= u⁰v−uv⁰

v² . On procède localement enaen écrivant le taux.

τ^u

v,a(h) =

u

v(a+h)−^u_v(a)

h = u(a+h)v(a)−u(a)v(a+h) hv(a)v(a+h) . On fait un caprice :

τ^u

v,a(h) = 1 v(a)v(a+h)

(u(a+h)−u(a))v(a)

h −u(a)(v(a+h)−v(a)) h

et en calculant la limite, on trouve bien la formule cherchée :u v

0

(a) = u⁰v−uv⁰ v² (a).

Exercice 4.

ˇ “)

Déterminer la dérivée de la fonction tangente (deux formes).

Proposition 6.11 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit g une fonction dérivable sur f(I). Alorsg◦f est dérivable surI et

(g◦f)⁰=f⁰×g⁰◦f

Démonstration: La démonstration repose sur la même idée du caprice précédent. On écrit le taux en a∈I.

τ_g◦f,a(h) = g◦f(a+h)−g◦f(a)

h = g◦f(a+h)−g◦f(a) f(a+h)−f(a)

f(a+h)−f(a)

h .

On pose alorsy=f(a+h)etb=f(a)n ce qui donne τ_g◦f,a(h) = g(y)−g(b)

y−b

f(a+h)−f(a)

h .

Il reste à voir que g est dérivable en b et f est dérivable ena, donc lim

y→b

g(y)−g(b)

y−b =g⁰(b) = g⁰(f(a)) = g⁰◦f(a)et lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =f⁰(a). Ce qui est cohérent parce que lim

h→0y=b. Par produit,(g◦f)⁰(a) =f⁰(a)×g⁰◦f(a).

Exercice 5.

ˇ “(

Déterminer l'ensemble de dérivabilité def :x7−→p

(x²−4)²

Exercice 6. Déterminer les ensembles de dérivabilité et calculer les dérivées des fonctions dénies de la façon suivante :

1) f(x) = sin(3x+ 2), 2) g(x) =√

x²+ 3x−1, 3) h(x) = sin(cosx)).

Corollaire 6.12 Soituune fonction dérivable surI. On a

• √

uest dérivable sur{x∈I, u(x)>0} et (√

u)⁰= u⁰ 2√

u ,

• Pour tout n ∈ Z, la fonction uⁿ est dérivable sur I (sur {x ∈ I, u(x) > 0} si n < 0) et (uⁿ)⁰ =nu⁰uⁿ⁻¹ ,

• e^u est dérivable surI et (e^u)⁰ =u⁰e^u .

Corollaire 6.13 •Si f est paire, alors f⁰ est impaire.

• Sif est impaire, alors f⁰ est paire.

Démonstration: Ecriref(x) =f(−x) =f◦g(x)avecg(x) =−x. Et appliquant la formule de composition précédente, on trouvef⁰(x) =g⁰(x)×f⁰(g(x) =−f⁰(x). Idem pour l'autre.

Remarque: On peut se demander ce qu'il en est de la réciproque...

On a la propriété suivante qui sera démontrée au chapitre intégration : Sif⁰est impaire, alorsf est paire.

En revanche, la réciproque est fausse si on part def⁰ paire.

IV Conséquences massives

Théorème 6.14 (Théorème fondamental de l'analyse) Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI.

• La fonctionf est constante si et seulement si f⁰= 0 surI.

•La fonctionf est croissante (resp. décroissante) surIsi et seulement si f⁰≥0(resp.f⁰≤0) sur I.

• Sif⁰>0 (resp.f⁰<0) alorsf est strictement croissante (resp. strictement décroissante) surI.

Attention ! Dans la dernière assertion, il n'y a pas équivalence, la fonctionx7−→x³ fournissant un contre-exemple classique.

Démonstration: La démonstration de ce théorème est hors programme et pour cause, elle nécessite le théorème de Bolzano-Weierstrass et le théorème des accroissements nis qui découle lui-même du théorème de Rolle. On va en laisser un peu pour les années suivantes.

Théorème 6.15 (Condition nécessaire d'extremum local ena) Soit f une fonction dérivable sur un inter- valle ouvertI.

Si f admet un extremum local en a, alorsf⁰(a) = 0.

Dénition 6.16 On appelle points critiques les points pour lesquels la dérivée s'annule.

D'après le théorème, ils englobent tous les extrema.

Attention ! La réciproque est fausse. On pourra reprendre la fonctionx7−→x³ en0.

Point orthographe : Extremum vient du latin, neutre, dont la déclinaison donne extrema. Il n'y a donc pas de "extremums" qui tienne ! ! Au passage, les "media" ou les "quota" ne devraient pas prendre de 's' non plus pour les mêmes raisons.

Démonstration: Par hypothèse, on suppose quef est dérivable ena, doncf⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h .

L'intervalleI étant ouvert, il existeε >0 tel que]a−ε, a+ε[⊂I.

D'autre part, quitte à prendre g =−f, on peut supposer que l'extremum local est un maximum local.

On a alors

• Pour touth∈]0;ε[, f(a+h)−f(a)

h ≤0, donc lim

h→0

h>0

f(a+h)−f(a)

h ≤0.

• Pour touth∈]−ε,0[, f(a+h)−f(a)

h ≥0, donc lim

h→0

h<0

f(a+h)−f(a)

h ≥0.

Mais comme la fonction est dérivable, la limite à gauche est égale à la limite à droite et n'a donc pas d'autre choix que de valoir0 =f⁰(a).

Attention ! L'intervalle doit être ouvert. En eet, dans le cas ci-dessous, le maximum est atteint enbréel pour lequel la dérivée ne s'annule pas.

Théorème 6.17 (Condition susante d'extremum local ena) Soitf une fonction dérivable sur un intervalle ouvertI. Sif⁰(a) = 0et f⁰ change de signe ena, alors f admet un extremum local en a.

Démonstration: Conséquence directe du fait que la fonction croît puis décroît ou le contraire.

. Exercice 7.

ˇ “

SoitM un point du cercle trigonométrique parcourant l'arc [0, π]. On construitN le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses et on noteI le point de coordonnées(1,0). Quelle est la nature du triangleM N I quand son aire est maximale ?

Exercice 8.

ˇ “

1) Montrer quef :x7−→x²sin¹_x est prolongeable par continuité en0. 2) Montrer que la fonction ainsi prolongéefeest dérivable en0. 3) Montrer quefe⁰ n'est pas continue en0.

V Optimisation

"Le taux d'augmentation de l'ination est décroissant." Nixon 1972. L'ination est une variation, l'aug- mentation de l'ination est la dérivée de la dérivée et son taux est encore une dérivée. Dire qu'il est décroissant signie que sa dérivée est négative ?

François Hollande a dit un jour, concernant la courbe du chômage : "Je veux inverser la courbe du chômage." Il voulait en fait dire qu'il souhaitait changer le signe de la dérivée seconde...

Exercice 9.

ˇ “

Quel est le rapport hauteur/rayon de la casserole optimale (i.e. contenant le plus grand volume pour une surface donnée ?

Exercice 10.

˘ “

Soit un tipi de base de rayonRet de hauteurh. On veut optimiser la quantité de peaux sur les bords pour avoir le plus grand volume.

1) Montrer que l'aire latéraleA satisfaitA²= ‘pi²R⁴+ 9V²

R² oùV est le volume.

2) Déterminer le minimum de la fonctionf :x7−→π²x²+ 9V² x .

3) En déduire le rapport ^h_r correspondant à l'aire minimale pour un volume xé.

Exercice 11.

ˇ “

Etude de la fonction f :x7−→ 1 +x cosx−2. Exercice 12.

˘ “

David court sur la plage quand il voit Pamela dans l'eau, qui otte paisiblement. La croyant en diculté, poussé par son instinct, il détermine instantanément à quel endroit il doit entrer dans l'eau pour la sauver le plus vite possible.

Déterminer cette trajectoire optimale.

Ceux qui sont intéressés par les théorèmes originaux et peu connus pourront jeter un oeil au Théorème de Sturm qui permet de déterminer les valeurs approchées des racines d'un polynôme. De plus, le procédé est facilement programmable.

VI Fonctions convexes

Dénition 6.18 On appelle fonction convexe sur un intervalleI toute fonction telle que Pour tout(a, b)∈I, et pour tout λ∈[0,1], f(λa+ (1−λ)b)≤λf(a) + (1−λ)f(b) i.e. la courbeCf est au-dessous de toutes ses cordes.

Dans le cas où l'inégalité est stricte, on parle parfois de stricte convexité.

Lemme 6.19 Soitf une application sur un intervalleI. On a l'équivalence entre i. f est convexe surI,

ii. les pentes des cordes sont croissantes. i.e. pour tout(a, b)∈I² et pour toutx∈]a, b[, on a f(x)−f(a)

x−a ≤ f(b)−f(x) b−x

Démonstration: On commence par traduire l'inégalité des pentes des cordes par le fait que la fonction px:t7−→ f(t)−f(x)

t−x est croissante.

• i)⇒ii) Sif est convexe, commea < x < b, on poseλ= b−x

b−a ∈]0,1[et 1−λ= x−a b−a ∈]0,1[. On a alors

f(x) =f(x+b−b) =f(b+λ(a−b)) =f((1−λ)b+λa)≤(1−λ)f(b) +λf(a) Doncf(x)−f(b)≤λ(f(a)−f(b)) ⇔ f(x)−f(b)

x−b ≥f(a)−f(b)

a−b ⇔ p_x(b)≥p_a(b).

De la même façon (en faisant le capricef(x) =f(x−a+a), on trouvepa(b)≥px(a). Doncpx(b)≥px(a).

• ii)⇒i) On pose, là encore,λ=b−x

b−a, ce qui donnex=λa+ (1−λ)b. La croissance des pentes donne f(x)−f(b)

x−b ≥ f(a)−f(b)

a−b . D'où,f(x)≤λf(a) + (1−λ)f(b).

Proposition 6.20 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On a la sorite :

i. f est convexe.

ii. Cf est au-dessus de ses tangentes.

iii. f⁰ est croissante surI.

Démonstration: On commence par traduire le ii) qui signie que pour tout (x, a) ∈ I², on a f(x)≥ (x−a)f⁰(a) +f(a).

Pour la suite, par permutation circulaire (comme d'hab)

• i)⇒ii) Soit un réela∈I. Soitx∈I, on supposea < x (la démonstration est analogue sia > x il sura de considérer la dérivabilité à gauche). Comme f est convexe, on peut utiliser le lemme qui assure que les pentes sont croissantes. Ainsi, pour touty tel que a < y < x, on a

f(y)−f(a)

y−a ≤f(x)−f(a) x−a En calculant la limite quandy→a, on obtient lim

y→a

f(y)−f(a)

y−a ≤f(x)−f(a)

x−a ⇔ f⁰(a)≤f(x)−f(a) x−a . Doncf(x)≥f⁰(a)(x−a) +f(a)et on a bienCf au-dessus de la tangente à droite dea(idem à gauche).

• ii)⇒iii) Pour tout couple (x, y) ∈ I², on a, par hypothèse, f(y) ≥ f(x) + (y −x)f⁰(x) et f(x)≥f(y) + (x−y)f⁰(y), d'où

f⁰(x)(y−x)≤f(y)−f(x)≤f⁰(y)(y−x) Donc(y−x)(f⁰(y)−f⁰(x))≥0ce qui implique que f⁰ est croissante surI.

• iii)⇒i) Soit (a, b) ∈ I² tel que a < b On veut montrer que pour tout λ ∈ [0,1], on a f(λa+ (1−λ)b)≤λf(a) + (1−λ)f(b).

On utilise la ruse sempiternelle : il nous sut de montrer queg(λ) =λf(a)+(1−λ)f(b)−f(λa+ (1−λ)b) est positive surλ∈[0,1].

On a clairementg(0) =g(1) = 0et g⁰(λ) =f(a)−f(b) + (b−a)f⁰(λa+ (1−λ)b).

Maisλ7−→λa+(1−λ)best décroissante sur[0,1]etf⁰est croissante par hypothèse, donc par composition, g⁰ est décroissante sur[0,1].

On ne peut pas avoir g⁰(λ)de signe constant car c'est incompatible avec g(0) =g(1) = 0. Il faut donc queg⁰ change de signe. On a donc

x

g⁰(x)

g⁰(x)

g

0 λ0 1

0 0

+ 0 −

0

0 00

On en conclue queg est positive.

Corollaire 6.21 Sif est dérivable deux fois et sif⁰⁰(x)≥0sur l'intervalle I, alorsf est convexe surI.

Démonstration: Sif⁰⁰(x)≥0, alorsf⁰ est croissante et la proposition conclut.

Dénition 6.22 Si −f est convexe, on dit quef est concave.

Exemple: La fonction racine carrée ou encorex7−→ −x²...

Les étudiants ont souvent du mal à se rappeler dans quel sens est la courbe d'une fonction convexe...

Dans le plus pur genre des procédés mnémotechniques "Bozo le clown" dont j'ai le secret : On connaît tous la courbe de l'exponentiel à ce niveau. Et bien il sut de retenir que

L'EXEponentiel est convEXE.

Et pour les conCAVE, on imagine la voute de la CAVE...

Solutions des exercices

Exercice 2.

Oui.

Exercice 5.

On écritf(x) =|x²−4|et on trouve comme ensemble de dérivabilitéD=R\{−2; 2}. Exercice 7.

En posant\OIM=α, on obtient que l'aire vautf(x) = 4 cos²αsinα, dont le maximum est atteint en α= ^π₆.

Exercice 9.

h r = 1. Exercice 10.

2) Minimum atteint pourx= ³ r9V²

2π². 3) h

r =√

2. Attention à penser à dire que le max def(x)est au même endroit que celui def(x²)...

Exercice 12.

On trouve que le temps de sauvetage est T =t1+t2=

√a²−x²

v₁

| {z }

sur le sable

+

pb²−(d−x)² v₂

| {z }

dans l'eau

Le minimum est atteint quand la dérivée s'annule, i.e. sini

v₁ = sinr

v₂ qui est la loi de réfraction de la lumière, loi de Snell-Descartes qui découle du principe de Fermat.