Synthèse de contrôleurs D-stabilisants pour les modèles flous T-S

(1)

HAL Id: hal-02109339

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Submitted on 18 Sep 2019

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Synthèse de contrôleurs D-stabilisants pour les modèles flous T-S

Abdelmadjid Cherifi, Kevin Guelton, Laurent Arcese

To cite this version:

Abdelmadjid Cherifi, Kevin Guelton, Laurent Arcese. Synthèse de contrôleurs D-stabilisants pour les

modèles flous T-S. 24èmes Rencontres Francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA

2015), Nov 2015, Poitiers, France. �hal-02109339�

(2)

Synth` ese de contrˆ oleurs D-stabilisants pour les mod` eles flous T-S

Abdelmadjid Cherifi Kevin Guelton Laurent Arcese CReSTIC EA3804, Universit´ e de Reims Champagne-Ardenne

Moulin de la housse BP1039, 51687 Reims cedex 2, France email : Pr´ [email protected]

R´ esum´ e :

Ce papier pr´ esente la synth` ese de lois de commande non-PDC (Compensations-Parall` eles-Distribu´ ees) pour les mod` eles Takagi-Sugeno (T-S) continus assurant un placement de pˆ oles de ses polytopes.

Bas´ ee sur le concept de la D-stabilit´ e, une r´ eponse d´ esir´ ee du syst` eme peut ˆ etre obtenue en pla¸ cant les pˆ oles des polytopes en boucle ferm´ ee dans une r´ egion pr´ ed´ efinie du plan complexe. Apr` es avoir pr´ esent´ e ces conditions de D-stabilit´ e quadratiques pour les mod` eles T-S en boucle ferm´ ee, de nouvelles conditions sous forme d’In´ egalit´ es Matricielles Lin´ eaires (LMI ) moins conservatives ont ´ et´ e obtenues en utilisant des Fonctions de Lyapunov Floues (FLF) impliquant une structure floue en double somme. L’efficacit´ e des r´ esultats propos´ es est illustr´ ee par une comparaison entre les r´ esultats pr´ esent´ es et les r´ esultats de l’´ etat de l’art et une simulation d’un mod` ele de bras de robot flexible.

Mots-cl´ es :

Mod` eles Takagi-Sugeno, Loi de commande non-PDC, D-stabilit´ e, LMI.

1 Introduction

Les mod` eles flous Takagi-Sugeno (T-S) [1]

constituent une classe de syst` emes polyto- piques convexes permettant d’´ etendre certains concepts de l’automatique lin´ eaire au cas non lin´ eaire. Ainsi, un syst` eme non lin´ eaire peut ˆ etre repr´ esent´ e exactement par un mod` ele flou T-S sur un compact de l’espace d’´ etat par le biais d’une d´ ecomposition en secteurs non lin´ eaires [2]. Le probl` eme de contrˆ ole des mod` eles T-S est g´ en´ eralement

´

etudi´ e via la m´ ethode directe de Lyapu- nov [2, 3]. Dans ce contexte, le d´ efi consiste

`

a exprimer les conditions de stabilit´ e sous forme d’in´ egalit´ e matricielle lin´ eaire (LMI) [4] qui peuvent ˆ etre r´ esolues par des algo- rithmes d’optimisation convexe [5]. Les pre-

miers r´ esultats de stabilisation ont ´ et´ e obtenus ` a partir d’une loi de commande PDC (Parallel Distributed Compensation) et de Fonctions de Lyapunov Quadratiques (FLQ) [3, 2]. Cependant ces m´ ethodes exigent de trouver une solution commune pour un ensemble d’in´ egalit´ es lin´ eaires matricielles (LMIs) (voir [6] concernant les sources de conservatisme dans les ´ etudes des mod` eles T- S). Afin de r´ eduire le conservatisme, d’autres fonctions de Lyapunov alternatives ont ´ et´ e consid´ er´ ees comme les fonctions de Lyapu- nov par morceaux [7], les fonctions de Lya- punov ` a commutation [8] et les fonctions de Lyapunov non-quadratiques ou encore appel´ ees Fonctions de Lyapunov Floues (FLF) [9, 10, 11]. Dans ce contexte, le recours ` a des fonctions de Lyapunov non-quadratiques s’av` ere plus appropri´ e. En effet, celles-ci sont bas´ ees sur la mˆ eme structure d’intercon- nexion que les mod` eles T-S ` a analyser [9, 12].

N´ eanmoins, dans le cas continu, les d´ eriv´ ees temporelles des fonctions d’appartenance ap- paraissent dans les conditions de stabilit´ e.

Afin de contourner ce probl` eme, de nombreux travaux sont bas´ es sur l’hypoth` ese que ces d´ eriv´ ees sont born´ ees, et que leurs bornes sont connues avant la synth` ese de la boucle ferm´ ee [9], ce qui peut s’av´ erer compliqu´ e en pratique. Pour pallier ce probl` eme, des conditions locales ont ´ et´ e propos´ ees [13] mais qui, du fait de leur complexit´ e, ne feront pas l’objet de la pr´ esente ´ etude.

Dans ce papier, nous nous int´ eressons ` a de

nouvelles conditions LMI garantissant un

(3)

placement de pˆ oles dans une r´ egion d´ efinie.

En effet, assurer la stabilit´ e asymptotique ne signifie pas n´ ecessairement assurer une bonne r´ eponse transitoire du syst` eme en boucle ferm´ ee. Dans ce contexte, certains travaux ont ´ et´ e r´ ealis´ es afin d’am´ eliorer la r´ eponse transitoire en boucle ferm´ ee en ajoutant des contraintes de placement de pˆ ole au probl` eme de la stabilisation [14, 15]. N´ eanmoins, ces r´ esultats sont donn´ es dans le cadre quadratique, qui pr´ esentent les limitations dis- cut´ ees ci-dessus. Par cons´ equent, apr´ es avoir pr´ esent´ e les concepts de base de la D-stabilit´ e [16] et leur extension aux mod´ eles T-S dans le cadre quadratique, de nouvelles conditions non-quadratiques sont propos´ ees via une FLF [17], impliquant une structure floue

`

a double somme afin de r´ eduire le conservatisme, sans toutefois tenir compte de l’es- timation du domaine d’attraction, qui fera l’objet de travaux ult´ erieurs. Enfin, l’efficacit´ e des r´ esultats propos´ es sera illustr´ ee ` a travers deux exemples en simulation.

2 Pr´ eliminaires

Consid´ erons le mod` ele T-S donn´ e par [1] :

˙ x(t) =

r

X

i=1

h

_i

(z(t)) (A

_i

x(t) + B

_i

u(t)) (1) o` u x(t) ∈ R

ⁿ

, u(t) ∈ R

^m

et z(t) sont respectivement le vecteur d’´ etat, le vecteur d’entr´ ee et le vecteur de pr´ emisses. Pour i ∈ I

_r

= {1, ..., r}, h

_i

(z(t)) ∈ [0, 1]

repr´ esentent des fonctions d’appartenance avec

r

P

i=1

h

i

(z(t)) = 1. A

i

∈ R

^n×n

et B

i

∈ R

^n×m

sont les matrices r´ eelles constantes d´ efinissant la dynamique du syst` eme.

Afin de stabiliser (1), consid´ erons la loi de commande non-PDC donn´ ee par [18] :

u(t) =

r

X

i=1

h

i

(z(t))F

i r

X

j=1

h

j

(z(t))H

j

!

⁻¹

x(t) (2)

o` u F

_i

∈ R

^m×n

et H

_j

∈ R

^n×n

sont des matrices de gain constantes ` a d´ eterminer.

Notations : Dans la suite de cet article, les matrices sont suppos´ ees de dimensions appropri´ ees. De plus, afin d’all´ eger les expressions math´ ematiques, le temps t ou les variables de pr´ emisses z sont omis lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´ e. M 0 (resp. ≺ 0) et I d´ efinissent respectivement une matrice d´ efinie positive (resp.

n´ egative) et une matrice identit´ e de dimensions appropri´ ees. Pour toute matrice carr´ ee Q, on note H(Q) = Q + Q

^T

. Dans une matrice, un ast´ erisque (∗) d´ esigne une quantit´ e transpos´ ee. Soit un ensemble de matrices r´ eelles M

i

et N

ij

, tel que pour tout i ∈ I

_r²

, on note M

_z

=

r

P

i=1

h

_i

(z)M

_i

, N

_zz

=

r

P

i=1 r

P

j=1

h

_i

(z)h

_j

(z)N

_ij

. Enfin, ⊗ d´ esigne le produit de Kronecker.

A partir des notations pr´ esent´ ees ci-dessus, et en substituant (2) dans (1), la dynamique en boucle ferm´ ee s’´ ecrit :

˙

x(t) = ˜ A

_zz

x(t), A ˜

_zz

= A

_z

+ B

_z

F

_z

H

_z⁻¹

(3) Par cons´ equent, ∀i ∈ I

_r

, l’obtention des matrices F

_i

et H

_i

telle que la dynamique de la boucle ferm´ ee (3) soit stable garantit la stabilisation du mod` ele T-S (1) par la loi de commande non-PDC (2). L’objectif de ce travail est de proposer de nouvelles conditions LMI pour la synth` ese de (2) via le concept de D- stabilit´ e [16]. L’hypoth` ese, la d´ efinition et les lemmes suivants seront utilis´ es par la suite.

Hypoth` ese 1. Le mod` ele T-S (1) est suppos´ e continu et d´ erivable ∀t ∈ R

^∗+

et ∀x(t) ∈ Ω ⊆ R

ⁿ

, o` u Ω est l’espace de validit´ e du mod` ele T-S.

D´ efinition 1. (R´ egion LMI) [16] : Un sous ensemble D du plan complexe est appel´ e une r´ egion LMI s’il est d´ efini par deux matrices L = L

^T

∈ R

^d×d

et M ∈ R

^d×d

telles que :

D = {λ ∈ C : L + λM + ¯ λM

^T

< 0} (4)

(4)

o` u d est appel´ e l’ordre de la r´ egion LMI.

Par la suite, nous allons consid´ erer la r´ egion LMI d´ efinie ci-dessous et repr´ esent´ ee par la figure 1 :

1. le plan gauche d´ efinie par Re(λ) < β, 2. le secteur conique d´ efinie par son apex

en (γ, 0) et un angle π/2 − θ,

3. un cercle centr´ e en (q, 0) avec un rayon s,

conduisant aux matrices suivantes : L =







−2β 0 0 0 0

0 −2γ cos θ 0 0 0

0 0 −2γ cos θ 0 0

0 0 0 −s −q

0 0 0 −q −s





 (5)

M =







1 0 0 0 0

0 cos θ sin θ 0 0 0 − sin θ cos θ 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0





 (6) Pour plus de d´ etails et exemples illustrant comment obtenir les matrices L et M pour diff´ erentes r´ egions LMI le lecteur peut consulter [16, 19].

β Axe réel

Axe imaginaire

!0 γ

!s θ

Figure 1 – R´ egion LMI d´ efinie par (5) et (6).

Lemme 1. (D-stabilit´ e)[16] : Soit une r´ egion LMI d´ efinie par (4). Un syst` eme dynamique (e.g. la boucle ferm´ ee d’un mod` ele flou T-S (3)) est dit D-stable s’il existe une fonction de Lyapunov V(x) v´ erifiant :

1 2

V˙(x)

V(x)

∈ D, i.e. : L⊗V (x)+M ⊗ 1

2 V ˙ (x)+M

^T

⊗ 1

2 V ˙ (x) ≺ 0 (7)

Notons que, afin de r´ eduire le conservatisme des conditions LMI propos´ ees, de nombreux lemmes sont d´ edi´ es au d´ ecouplage de termes crois´ es (relaxation de sommes) [6]. Dans la suite, le lemme suivant est employ´ e, alors qu’il ne constitue pas la meilleure alterna- tive, pour permettre une comparaison avec des travaux r´ ecents [15], sans alt´ erer la mise en ´ evidence du gain de conservatisme apport´ e dans le cadre de cette ´ etude et qui rel` eve de l’application de fonctions de Lyapunov non- quadratiques.

Lemme 2. [20] : Soient Γ

_ij

, pour (i, j) ∈ I

_r²

, des matrices de dimension appropri´ ees.

Γ

_zz

≺ 0 est v´ erifi´ ee si les conditions suivantes sont v´ erifi´ ees :

Γ

_ij

+ Γ

_ji

≺ 0, i ≤ j, (i, j ) ∈ I

_r²

, (8) Dans le cas quadratique, de premi` eres conditions de D-stabilisation ont ´ et´ e propos´ ees [15]. Celles-ci sont r´ esum´ ees par le lemme suivant :

Lemme 3. [15] : Soit L et M deux matrices d´ efinissant une r´ egion LMI (voir d´ efinition 1). S’il existe des matrices P = P

^T

0, et F

_j

telles que les conditions LMI suivantes soient v´ erifi´ ees :

Ψ

_ij

+ Ψ

_ji

≺ 0, ∀(i, j) ∈ I

_r²

(9) Ψ

_ij

= L ⊗ P + He (M ⊗ (A

_i

P + B

_i

F

_j

)) ,

(10) alors le mod` ele T-S (3) est D-stabilis´ e par la loi de commande (2) avec H

_i

= P commun.

Notons que les conditions du th´ eor` eme 3 ont

´ et´ e obtenues avec la fonction de Lyapunov candidate :

V (x(t)) = x

^T

(t)P

⁻¹

x(t), P = P

^T

0 (11) De plus, elles ne permettent la synth` ese que d’une loi de commande PDC, i.e. H

z

= P dans (2), et sont donc conservatives.

Dans la suite, on propose des conditions

de D-stabilit´ e non-quadratique o` u H

_z

n’est

(5)

plus n´ ecessairement sym´ etrique et peut ˆ etre d´ ecoupl´ ee des matrices de Lyapunov. De plus, pour r´ eduire le conservatisme, une fonction de Lyapunov non-quadratique, impliquant une double somme [17], sera utilis´ ee.

3 R´ esultats principaux

Dans cette section, l’objectif est de proposer de nouvelles condition LMI pour la stabilisation d’une classe de syst` emes non lin´ eaires (1) par la loi de commande non-PDC (2).

Cette loi de commande doit garantir un placement de pˆ oles du syst` eme en boucle ferm´ ee dans une r´ egion LMI pr´ ed´ efinie. Ce r´ esultat est r´ esum´ e par le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 1. Sous l’hypoth` ese 1, on suppose que ∀k ∈ I

_r

, ∃φ

_k

= inf

x∈Ω

( ˙ h

_k

(x)) ≤ 0, φ

_k

6= −∞. Supposons les φ

_k

connus et L et M deux matrices d´ efinissant une r´ egion LMI. Pour (i, j, k) ∈ I

_r³

, s’il existe les matrices X ˜

_ij

= ˜ X

_ij^T

, R ˜

_ij

= ˜ R

_ij^T

, H

_j

, F

_j

et un scalaire ε > 0, tels que les conditions (12), (13) et (14) soient v´ erifi´ ees, alors le mod` ele T-S (3) est D-stabilis´ e par la loi de commande non-PDC (2).

X ˜

ij

+ ˜ X

ji

0, i ≤ j, (i, j) ∈ I

_r²

, (12) X ˜

ijk

+ ˜ X

jik

0, i ≤ j, (i, j, k) ∈ I

_r³

, (13) Υ

ij

+ Υ

ji

≺ 0, i ≤ j, (i, j) ∈ I

_r²

, (14) avec X ^˜

ijk

= ˜ X

_kj

+ ˜ X

_ik

+ ˜ R

_ij

,

Υ

ij

=

"

Υ

^(1,1)_ij

(∗) Υ

^(1,2)_ij

−εI ⊗ H(H

j

)

# ,

Υ

^(1,1)_ij

= L ⊗ X ˜

_ij

+ H M ⊗

A

_i

H

_j

+ B

_i

F

_j

− Φ ˜

_ij

,

Υ

^(1,2)_ij

= M ⊗ ( ˜ X

ij

− H

j

) + εI ⊗ (H

_j^T

A

^T_i

+ F

_j^T

B

_i^T

),

Φ ˜

_ij

= 1 2

r

X

k=1

φ

_k

X ˜

ijk

.

D´ emonstration. Consid´ erons la FLF donn´ ee par [17] :

V ˜ (x(t)) = x

^T

(t) ˜ X

_zz⁻¹

x(t) (15)

Le syst` eme en boucle ferm´ ee (3) est stable si,

∀i ∈ I

_r

, X ˜

_ij

= ˜ X

_ij^T

0 et :

V ˙ (x) = ˙ x

^T

X ˜

_zz⁻¹

x + x

^T

X ˜

_zz⁻¹

x ˙ + x

^T

X ˙˜

_zz⁻¹

x

= 2x

^T

A ˜

^T_zz

X ˜

_zz⁻¹

+

¹₂

X ˙˜

_zz⁻¹

x

= 2x

^T

X ˜

_zz⁻¹

A ˜

_zz

+

¹₂

X ˙˜

_zz⁻¹

x < 0

(16) A partir du lemme 1 et sachant que V (x) > 0, la boucle ferm´ ee du mod` ele T-S (3) est D-stable si :

L ⊗ V ˜ (x) + M ⊗ 1 2

V ˙˜ (x) + M

^T

⊗ 1 2

V ˙˜ (x) ≺ 0 (17) On pose Z

_zz

= ˜ X

_zz⁻¹

A ˜

_zz

+

¹₂

X ˙˜

_zz⁻¹

, (17) s’´ ecrit alors :

L ⊗ x

^T

X ˜

_xx⁻¹

x + H(M ⊗ x

^T

Z

_xx

x) ≺ 0 (18) En utilisant les propri´ et´ es du produit de Kro- necker, (18) devient :

µ

^T

L ⊗ X ˜

_zz⁻¹

+ H(M ⊗ Z

_zz

)

µ ≺ 0 (19) avec µ = I ⊗ x. D’o` u, ∀x :

L ⊗ X ˜

_zz⁻¹

+ H(M ⊗ Z

_zz

) ≺ 0 (20) En multipliant ` a gauche et ` a droite (20) par (I ⊗ X ˜

_z

) et comme ˜ X

_zz

X ˙˜

_zz⁻¹

X ˜

_zz

= − X ˙˜

_zz

, on obtient :

L ⊗ X ˜

_zz

− H

M ⊗

¹₂

X ˙˜

_zz

+H

M ⊗ A ˜

_zz

X ˜

_zz

≺ 0 (21) Consid´ erons ` a pr´ esent un scalaire arbitraire ε et introduisons les termes nuls :

H(M ⊗ A ˜

_zz

H

_z

) − H(M ⊗ A ˜

_zz

H

_z

) = 0 (22) et

H(εI ⊗ A ˜

_zz

H

_z^T

A ˜

^T_zz

) − H(εI ⊗ A ˜

_zz

H

_z

A ˜

^T_zz

) = 0 (23) En additionnant (21) avec (22) et (23), on obtient :

L ⊗ X ˜

_zz

− H

M ⊗

¹₂

X ˙˜

_zz

+ H(M ⊗ A ˜

_zz

H

_z

) +H(M ⊗ A ˜

zz

X ˜

zz

− M ⊗ A ˜

zz

H

z

+ εI ⊗ A ˜

zz

H

_z^T

A ˜

^T_zz

)

−εI ⊗ H( ˜ A

zz

H

z

A ˜

^T_zz

) ≺ 0

(24)

(6)

c’est ` a dire :

L ⊗ X ˜

zz

+ H M ⊗

A ˜

zz

H

z

−

¹₂

X ˙˜

zz

+H((I ⊗ A ˜

zz

)(M ⊗ ( ˜ X

zz

− H

z

) + εI ⊗ H

_z^T

A ˜

^T_zz

))

(I ⊗ A ˜

_zz

)(−εI ⊗ H(H

_z

))(I ⊗ A ˜

^T_zz

) ≺ 0

(25) On note que P

r

i=1

h ˙

_i

(z) = 0, pour toutes matrices sym´ etriques ˜ R

_ij

∈ R

^n×n

on a :

X ˙˜

zz

=

r

X

i=1 r

X

j=1

h

i

(z)h

j

(z)

r

X

k=1

h ˙

k

(z) ˜ X

ijk

(26)

avec ˜ X

_ijk

= ˜ X

_kj

+ ˜ X

_ik

+ ˜ R

_ij

Sous l’hypoth` ese 1, on suppose que ∀k ∈ I

_r

,

∃φ

_k

= inf

x∈Ω

( ˙ h

_k

(x)) ≤ 0, φ

_k

6= −∞. L’in´ egalit´ e (25) est v´ erifi´ ee si :

L ⊗ X ˜

zz

+ H M ⊗

A ˜

zz

H

z

−

¹₂

Φ ˜

zz

+H((I ⊗ A ˜

zz

)(M ⊗ ( ˜ X

zz

− H

z

) + εI ⊗ H

_z^T

A ˜

^T_zz

))

(I ⊗ A ˜

zz

)(−εI ⊗ H(H

z

))(I ⊗ A ˜

^T_zz

) ≺ 0

(27) avec ˜ Φ

_zz

=

r

P

i=1 r

P

j=1

h

_i

(z)h

_j

(z)

r

P

k=1

φ

_k

X ˜

_ijk

et :

r

X

i=1 r

X

j=1

h

_i

(z)h

_j

(z) ˜ X

_ijk

0 (28)

En appliquant le lemme 2, (28) est v´ erifi´ ee si (13) est v´ erifi´ ee. (27) peut ˆ etre ´ ecrit sous la forme suivante :

I I ⊗ A ˜

zz

T

"

Υ

^(1,1)zz

(∗) Υ

^(1,2)zz

−εI ⊗ H(H

z

)

# I I ⊗ A ˜

zz

≺ 0

avec : (29)

Υ

^(1,1)_zz

= L ⊗ X ˜

zz

+ H

M ⊗

A ˜

zz

H

z

− 1 2

Φ ˜

zz

Υ

^(1,2)_zz

= M ⊗ ( ˜ X

_zz

− H

_z

) + εI ⊗ H

_z^T

A ˜

^T_zz

L’in´ egalit´ e (29) est v´ erifi´ ee si : Υ

_zz

=

"

Υ

^(1,1)zz

(∗) Υ

^(1,2)zz

−εI ⊗ H(H

z

)

#

≺ 0 (30) Finalement, en appliquant le lemme 2, (30) est v´ erifi´ ee si (14) est v´ erifi´ ee.

Remarque 1. Les conditions pr´ esent´ ees dans le th´ eor` eme 1 ne sont pas stricte- ment LMI car elles n´ ecessitent la connais- sance d’un param` etre ε, qui doit ˆ etre fix´ e

`

a l’avance. Notons que dans la preuve du th´ eor` eme 2, l’introduction de ce param` etre n’est plus obligatoire. Nous avons n´ eanmoins choisi de le laisser afin de donner plus de li- bert´ e au choix de U

_h

et V

_h

. Ce param` etre est usuellement choisi dans une famille logarith- mique telle que ε ∈ {10

⁻⁶

, 10

⁻⁵

, ..., 10

⁶

} (voir par exemple [18] ou [21]).

Remarque 2. Les conditions pr´ esent´ ees dans le th´ eor` eme 1 sont moins conservatives que celles pr´ esent´ ees dans le lemme 3.

N´ eanmoins, les conditions obtenues via une fonction de Lyapunov non-quadratique sont des conditions locales et ne garantissent la stabilit´ e que dans un sous-espace appel´ e ”Do- maine d’attraction (DA)” qu’il conviendrait d’estimer et qui fera l’objet de travaux ulte- rieurs. Dans le corollaire suivant, une forme quadratique du th´ eor` eme 1 est pr´ esent´ ee. Le r´ esultat obtenu est plus conservatif mais garantit une stabilit´ e globale.

Corollaire 1. Soient L et M deux matrices d´ efinissant une r´ egion LMI. Pour (i, j) ∈ I

_r²

, s’il existe les matrices P = P

^T

0, H

_j

, F

_j

et un scalaire ε > 0, tels que la condition (31) soit v´ erifi´ ee, alors le mod` ele T-S (3) est D-stabilis´ e par la loi de commande non-PDC (2).

Ξ

_ij

+ Ξ

_ji

≺ 0, i ≤ j, (i, j) ∈ I

_r²

, (31) avec :

Ξ

_ij

=

"

Ξ

^(1,1)_ij

(∗) Ξ

^(1,2)_ij

−εI ⊗ H(H

j

)

# ,

Ξ

^(1,1)_ij

= L ⊗ P + H (M ⊗ (A

_i

H

_j

+ B

_i

F

_j

)) ,

Ξ

^(1,2)_ij

= M ⊗(P −H

_j

)+εI ⊗(H

_j^T

A

^T_i

+F

_j^T

B

_i^T

),

D´ emonstration. Triviale en fixant X ˜

_ij

=

P = P

^T

0 commune et ˜ R

_ij

= −2P dans

les conditions du th´ eor` eme 1.

(7)

Remarque 3. Bien que quadratiques, les conditions du corollaire 1 permettent n´ eanmoins la synth` ese d’une loi de commande non-PDC (2). Ces conditions sont donc moins conservatives que le lemme 3.

4 Exemples de simulation

4.1 Exemple 1

Soit le mod` ele T-S donn´ e par :

˙ x(t) =

2

X

i=1

h

_i

(x

₁

(t))(A

_i

x(t) + B

_i

u(t)) (32) avec x(t) = [x

1

(t) x

2

(t)]

^T

, h

1

(x

1

) = (1 − sin(x

₁

))/2, h

₂

(x

₁

) = 1 − h

₁

(x

₁

) et :

A

₁

=

2 −10

2 0

, B

₁

= 1

1 , A

₂

=

a −5

1 2

, B

₂

= b

2 .

Les param` etres a et b sont d´ edi´ es ` a compa- rer les domaines de faisabilit´ e obtenus, trac´ e dans la figure 2, du th´ eor` eme 1, du corollaire 1 et du lemme 3 [15]. Les domaines de faisabilit´ e ont ´ et´ e obtenus via la LMI Toolbox de Matlab [5] avec s = 5, q = −8, β = 5, θ = 9π/20, γ = 1 et ε ∈ [10

⁻⁶

, 10

⁶

] (voir remarque 1 ). La figure 2 confirme la r´ eduction du conservatisme escompt´ ee.

4.2 Exemple 2

Soit le bras de robot flexible repr´ esent´ e dans la figure 3 [22].

La dynamique non lin´ eaire de ce robot peut ˆ

etre exactement repr´ esent´ ee par le mod` ele T- S suivant [21] :

˙ x(t) =

2

X

i=1

h

_i

(x

₁

(t))A

_i

x(t) + Bu(t) (33) o` u x = [x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

]

^T

est le vecteur d’´ etat, x

₁

et x

₂

sont respectivement les positions angu- laires du bras et de l’actionneur, x

₃

= ˙ x

₁

et

−100 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

Théorème 2 Corollaire 1 Lemme 3

Figure 2 – Comparaison des domaines de faisabilit´ e du th´ eor` eme 1, du corollaire 1 et du lemme 3 [15].

Figure 3 – Bras de robot flexible [22].

x

₄

= ˙ x

₂

, u est l’entr´ ee, h

₁

(x

₁

) = 1 − h

₂

(x

₁

) avec h

₂

(x

₁

) = (1 − f(x

₁

))/(1 + ρ) et, ∀x

₁

f(x

₁

) = sin x

₁

/x

₁

∈ [ρ ; 1] avec ρ = min(sin x

₁

/x

₁

) ≈ −0, 2172 et :

A

1

=







0 0 1 0

0 0 0 1

k−mgL J1

k

J1

0 0

k J2

k

J2

0 0





 ,

A

2

=







0 0 1 0

0 0 0 1

k−mgLρ J1

k

J1

0 0

k J2

k

J2

0 0





 , B =





 0 0 0

1 J2







o` u J

1

= J

2

= 1 kg.m

²

sont les inerties de l’actionneur et du bras, m = 1 kg est la masse du bras, L = 1 m est la longueur du bras, k = 100 N.m.rad

⁻¹

est la raideur du ressort, g = 9.81 m.s

⁻²

est l’acc´ el´ eration de la gravit´ e.

Un contrˆ oleur non-PDC (2) a ´ et´ e synth´ etis´ e

au travers du th´ eor` eme 1, via la toolbox

LMI de MATLAB [5], avec la r´ egion LMI

(8)

d´ efinie pr´ ec´ edemment pour s = 8, q = 7, β = 3, θ = π/5, γ = 3 et φ

₁

= φ

₂

= −2.

La solution avec ε = 0.008 est donn´ ee par les matrices gain de la loi de commande non- PDC (2) suivantes :

H

1

=







0.015 0.016 −0.055 −0.036 0.016 0.018 −0.075 −0.069

−0.056 −0.076 0.407 0.414

−0.036 −0.069 0.417 0.639





 ,

H

2

=







0.020 0.020 −0.066 −0.049 0.020 0.023 −0.083 −0.080

−0.067 −0.083 0.410 0.393

−0.049 −0.081 0.396 0.633





 ,

F

1

= [ −0.151 0.230 −2.753 −8.072 ] , F

₂

= [ −0.135 0.317 −2.062 −8.013 ] .

La figure 4 montre les trajectoires de l’´ etat du syst` eme en boucle ferm´ ee, la d´ eriv´ e tem- porelle des fonctions d’activation ainsi que l’emplacement des pˆ oles, pour les conditions initiales x(0) = [−π/5 π/5 0 0]

^T

. On notera que l’hypoth` ese ˙ h

_k

(z) ≥ φ

_k

= −2 est v´ erifi´ ee dans cette simulation.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−10

−5 0 5 10

Temps (s) xi(t)

(a)

x₁(t) x₂(t) x₃(t) x₄(t)

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−10

−5 0 5 10

Partie réelle

Partie imaginaire

(c)

λ₁(x(t)) λ₂(x(t)) λ₃(x(t)) λ₄(x(t))

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−2

−1 0 1 2

Temps (s)

˙h(x(t))

(b)

dh₁(xt))/dt dh2(xt))/dt

Figure 4 – Simulation : (a) trajectoires en boucle ferm´ ee, (b) d´ eriv´ e des fonctions d’appartenance, (c) pˆ oles du syst` eme.

4.3 Conclusion

Dans cet article, la synth` ese de contrˆ oleurs non-PDC garantissant le placement de pˆ oles

pour les mod` eles T-S a ´ et´ e propos´ ee en se basant sur le concept de la D-stabilit´ e. Des r´ esultats moins conservatifs ont ´ et´ e obtenus ` a partir d’une Fonction de Lyapunov Floue impliquant une structure ` a double somme suivi d’un corollaire quadratique. Deux exemples ont ´ et´ e pr´ esent´ es afin de montrer l’efficacit´ e des approches propos´ ees.

5 Remerciements

Les auteurs remercient M. Paul Plaissemant pour ses remarques pertinentes.

R´ ef´ erences

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