Démonstration du théorème de Baker-Feldman via les formes linéaires en deux logarithmes

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

Y

URI

B

ILU

Y

ANN

B

UGEAUD

Démonstration du théorème de Baker-Feldman via les

formes linéaires en deux logarithmes

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

12, n

o

_{1 (2000),}

p. 13-23

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_1_13_0>

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Démonstration

du théorème de Baker-Feldman via

les formes linéaires

en

deux

logarithmes

par YURI BILU* et YANN BUGEAUD

RÉSUMÉ. Nous _{montrons que}

_{l’inégalité}

de

Liouville-Baker-Feldman |03B1 -

y/x|

»eff xT-n est une _conséquence facile d’une

mi-noration de formes linéaires en deux

_logarithmes.

ABSTRACT. We show that the Liouville-Baker-Feldman

inequal-ity

|03B1 -

y/x|

&#x3E;&#x3E; eff x03C4 -n

_easily

follows from an estimate for linear

forms in two

_logarithms.

A

Alan

_Baker,

à l’occasion de son soixantième anniversaire

1. INTRODUCTION

L’objet

de ce travail est la

_{présentation}

d’une nouvelle démonstration du

résultat

_suivant,

dû à Feldman

_[10].

Théorème 1.1. Soit a un nombre

algébrique

réel de

d egré n &#x3E;

3. Il existe

alors deux constantes

_positives

C _{et T, que} l’on

_peut

_expliciter,

telles _que,

pour tout rationnel

y/x

avec x &#x3E;

_0,

on

a la -

La démonstration

_originale

de

_Feldman,

_puis

la

_première

amélioration effective de

_{l’inégalité}

de

_{Liouville la -}

»

e(log )1/(n+l+c)

x-n est

un réel &#x3E;

0)

due à Baker

_[2],

_reposent

sur la célèbre théorie de Baker

[1]

des formes linéaires en m &#x3E; 3

logarithmes

de nombres

algébriques.

La

nou-veauté

_importante,

introduite _{par Feldman} dans

_[9]

_(et

élaborée par Baker

dans ses

"Sharpenings"

(3J ),

est l’utilisation de

_(~)

au lieu de

xk

dans la

construction de la fonction auxiliaire.

Une

_{approche alternative,}

basée sur le

_principe

de

Thue-Siegel

raffiné,

le

lemme de

_Dyson,

et de la

_géométrie

des nombres

_{élémentaire,}

a été élaborée

par Bombieri

[5],

puis

améliorée et étendue au cas non-archimédien _par Bombieri et Cohen

_[6].

Dans ce

travail,

nous _{montrons que} l’on

_peut

facilement déduire le Théorème 1.1 d’une minoration convenable de formes linéaires en

seule-ment deux

_logarithmes

_(voir

le Théorème 1.3

_ci-dessous),

via un lemme

Manuscrit reçu le 7 février 1999.

géometrique

très

_simple

de Bombieri et Cohen

_[6].

Mentionnons

_qu’une

telle

_possibilité

est

_évoquée

dans

_[6]

et

_qu’un

_pas dans cette direction a été effectué dans

_(7~,

où sont utilisées des formes linéaires en trois

logarithmes.

Notre

_objectif

consiste à

_présenter

une démonstration

simple,

courte et

complète

(à

une seule

_exception

près)

du Théorème

_1.1,

_et,

_par

conséquent,

nous ne nous intéressons pas ici à

l’aspect quantitatif

(voir

la

Remarque

2.2).

Le lecteur est invité à consulter

_[5,

_7,

_8]

où se trouvent les estimations

quantitatives

les

_plus

récentes des constantes T et C du Théorème

1.1,

ainsi que de nombreuses références

bibliographiques.

Au cours du

_présent

travail,

nous

adoptons

les notations suivantes. Soient

al, ... , ,an,an+1 des nombres

complexes algébriques

et

log

a1, ... ,

log

rxn,

log

des déterminations

_quelconques

de leurs

_logarithmes.

On se donne

bl , ... ,

bn

des entiers non nuls et on _pose

Soient

_{A1, ... ,}

des nombres réels vérifiant

où

_h(.)

_désigne

la hauteur

_{logarithmique}

absolue. Par des

_arguments

clas-siques

(voir

la

_partie

_3),

le Théorème 1.1 est une

_conséquence

du résultat

suivant.

Théorème 1.2.

_Supposons

que 0

lAI

e-EB,

@ où e est un nombre réel

positif

et B =

1 bn 11 .

On a alors B

_Bo

An+1’

où

Bo

est une

constante

_effective

ne

dépendant

_que de

Al, ... , An,

D et e.

Jusqu’à

présent,

le Théorème 1.2 était démontré au _moyen de la théorie des formes linéaires en m &#x3E; 3

_logarithmes

ou bien _par les méthodes

déve-loppées

par Bombieri

[5]

et Bombieri &#x26; Cohen

_[6].

Dans ce travail

(voir

la

partie

2),

nous le déduisons du Théorème

_{1.3, qui}

_présente

une minoration de formes linéaires en deux

logarithmes.

Théorème 1.3. On _{suppose n} = 2 _et A =

bl log

al +

_{b2 log}

a2 non nul.

Posons

On a alors la où

co(D)

&#x3E; 0 est une

constante

_effective.

Une démonstration

_complète

du Théorème 1.3

_quand

al et a2 sont réels se trouve dans Laurent

_[11]

_(voir

_[12]

_pour le cas

complexe

et

_quelques

améliorations).

L’argu.mentation

utilise d’une manière essentielle l’idée de

Feldman,

mentionnée dans l’introduction. Les _preuves des résultats de

_[11]

et

_[12]

sont

_longues

et

_techniques,

car les auteurs cherchent à minimiser la

quatrième partie

une démonstration relativement courte du Théorème

_1.3,

en suivant les

_étapes

de

[11],

mais sans se soucier de

co(D),

dont nous donnons

_cependant

une valeur

_explicite.

Notre démonstration est

_complète,

à ceci

_près

que nous ne

rappelons

_pas la _preuve du lemme de

_zéros,

bien

qu’elle

soit élémentaire et courte

_(il

_s’agit

essentiellement de la

_Proposition

1

de

_[12]).

Nous

_soulignons

_que la théorie des formes linéaires en m &#x3E; 3

logarithmes

est certes bien établie

_(voir

_{[4, 13]}

_pour les contributions les

plus

récentes),

mais elle demeure

_{beaucoup plus}

délicate _que celle des formes linéaires en deux

_logarithmes.

Remarque.

En

_procédant

comme dans

[7],

nous _pouvons obtenir la

version

_p-adique

du Théorème 1.1 à

_partir

de minorations de formes linéaires archimédiennes et non-archimédiennes en dieux

_logarithmes.

Notation. Pour tout nombre réel _~, on

_note,

comme il est

_d’usage,

[a?] =

minfn

e 7~ : n &#x3E;

_xl.

Remerciements. Nous remercions Paula

_Cohen,

Michel

_Laurent,

David Masser et Michel Waldschmidt _pour leurs

_précieuses

_remarques.

2. LE THÉORÈME 1.2 DÉCOULE DU THÉORÈME 1.3

Dans cette

_partie,

nous admettons le Théorème 1.3 et montrons comment

le Théorème 1.2 s’en déduit. Notre démonstration _repose sur un cas

(très)

particulier

du lemme

_{géométrique}

de Bombieri &#x26; Cohen

_[6,

Lemma

_6.1].

Dans un souci

_{d’exhaustivité,}

nous donnons une démonstration

complète,

en suivant

[6]

avec

cependant

certaines

simplifications.

Lemme 2.1. Soient

_{bl, ... , bn}

des entiers rationnels et soient N &#x3E;

_Q

des

entiers

_positifs.

Il existe alors un entier

_{positi, f}

r et des entiers _pi, ... , pn

tels _que r N et

Démonstration : Le théorème de Minkowski affirme

_qu’il

existe

, ’" -- 1 .., , -.... 1 1

-On a

_{po #}

0 car sinon on obtiendrait _pi =... =

pn = 0

par

(2.1),

ce

_qui

est

exclu.

_Quitte

à

_changer

le

_signe

de _po, on

_peut

_{supposer que}

_{1 po}

_Q.

Soit r l’entier le

_{plus proche}

de

_{N /po.}

Comme N &#x3E;

_{Q &#x3E;}

_1,

on a N &#x3E; r &#x3E; 1 _{et, par}

_conséquent,

_{pour tout} 1 i

_n,

Démonstration du Théorème 1.2 à

_partir

du Théorème 1.3 : Soient N et

_Q

des _{entiers que} l’on

_précisera

_plus

tard et

_qui

vérifient

et définissons les

_logarithmes

_par

Notons _que

puisque

vantes :

Ceci conduit aux estimations

sui-Nous posons alors

l’inégalité

et montrons que

, 1

entraîne une contradiction _pour un choix convenable de

Ainsi,

supposons

l’inégalité

(2.5)

vérifiée. Alors la condition

(2.2)

est

réalisée,

et on a donc les

_majorations

(2.3)

et

_(2.4).

1 - .. 1

En

_outre,

r &#x3E; =

implique L

qui,

combiné avec

(2.4),

donne

Par

_hypothèse,

A = _r

log

a +

_{log y}

est non nul. Il suffit alors

d’appliquer

le Théorème _{1.3 pour, via}

_(2.3)

et

_(2.6),

obtenir

et

_log

-eB pour un choix

_approprié

de

Q,

ne

dépendant

_que de

c(D, A1, ... ,

An ), n

et e. Ceci achève la démonstration. Il

Remarque

2.2. La démonstration

_presentée

ici

_implique

la

_majoration

qui

est assez faible. On

_peut

l’améliorer sans

_{difiiculté ;}

_par

exemple,

en introduisant les

_"poids"

_Ai

dans le Lemme 2.1

_(comme

Bombieri et Co-hen le font dans

_{~6~ ) ,}

on

_peut

remplacer

A1

+ ...

_{+ An}

par

n ( A1 ~ ~ ~

D’autres raffinements sont

_{également possibles,}

mais comme dans ce travail

notre

_objectif

se limite à

_présenter

les

principales

idées sans aborder les

com-plications

techniques,

nous ne nous soucions _pas des constantes

_optimales.

3. LE THÉORÈME 1.1 DÉCOULE DU THÉORÈME 1.2

Dans cette

_partie

nous déduisons le Théorème 1.1 du Théorème 1.2.

Quoique l’argument

correspondant

soit

_classique

et bien connu, nous l’inclu-ons _{par souci} d’exhaustivité. Nous avons besoin du résultat auxiliaire

sui-vant.

Proposition

3.1. Soient K un _corps de nombres et r le _rang de son _groupe des unités. Soit _{111, ... , l1r} un

_système

f ond amental

d’unités d e K.

Alors,

pour tout entier

algébrique {3

E

_{K, il}

existe

_{bl, ... , br}

tels _que, en

_posant

En

outre,

les constantes

_{implicites dépendent}

de manière

_effective

de K et

de _1J1, ... ,

77r-Démonstration : Soit _{~1, ... ,} une collection de

plongements:K

y

C,

formée _{par tous} les

_plongements

réels et _par un

_{représentant}

de

_{chaque paire}

de

_{plongements complexes.}

Comme la matrice

_[log

est

non-dégénérée,

on

_peut

résoudre les

_équations

linéaires

simultanées

Pour

_chaque

_i,

on note

bi

l’entier le

_plus

_proche

de Xi. Comme y =

-,

où ei est

égal

à 1 ou

2,

selon _{que ai est} un

plongement

réel ou

complexe.

Ceci

_implique

_(3.1)

_{puisque M}

est un entier

algébrique.

Les démonstrations des

_inégalités

_(3.2)

sont immédiates. Il

Démonstration du Théorème 1.1 à

_partir

du Théorème 1.2 : On

peut

supposer que a est un entier

_algébrique.

Soient _al = _{a, cx2, ... , an} les

conjugués

de a

sur Q

et _{soit 111,... , 11r} un

_système

fondamental d’unités

de

_Q(a).

Dans cette

_{démonstration,}

toutes les constantes

_implicites

sont

effectives,

et ne

dépendent

_que de a et des _{unités 11i.}

Soient x =1

0 et y deux

_entiers,

et _posons m =

(xa -

y) 1.

On

peut

supposer

que 6

:= vérifie ô « car sinon le résultat souhaité

est immédiat. Par

_conséquent,

nous obtenons 6 »

_et,

pour établir le

théorème,

il suffit de montrer

_qu’il

existe une constante effective T &#x3E; 0 telle

que

Par la

_Proposition

3.1

_appliquée

à

_Q

=

xa - y et en

_remarquant

_que

=

log x

₊

O(1),

_nous obtenons des entiers

bi, ... , b,.,

de valeurs ab-solues

_majorées

par

B,

tels que y :=

(xa -

8r¡:;br

vérifie

h(p,)

«

log

m + 1 _{et que} l’on ait B «

_{log x}

+ 1 et

_log

x «

_h(&#x3E;)

+ B.

_Ainsi,

on

_peut

écrire

_(c’est

à cette

_étape

_{qu’intervient}

_{l’hypothèse}

n &#x3E;

₃₎

où

_{0) el) - - - , gr}

_{appartiennent}

à

_Q(a,

_a2,

_a3)

et vérifient

_h(B)

+

_O(1)

«

_logm

+ 1 et

_{h(£j ) 2h(%),}

_pour tout 1 i r.

Le membre de

_gauche

de

_(3.4)

est

_égal

à

1

ce

_qui,

en utilisant B «

_log

x +

_1,

_implique

11 ~

x-1 «

e ,

où c &#x3E; 0 est une constante effective. Du Théorème 1.2 découle la

majora-tion B «

_{h( 8)}

+ 1 «

_{log m}

+ 1. Par

_conséquent,

nous obtenons

log

x «

h(~)

+ B «

_log

m +

1,

c’est-à-dire

_(3.3),

et ceci achève la démonstration. 0

4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1.3

Nous suivons essentiellement

_~11~

et

_112~,

_mais,

comme nous ne cherchons

pas à calculer la constante

numérique,

nous

_supprimons

ou

_simplifions

de nombreux

_arguments

très fins de

_{[11, 12].}

Soient al et a2 deux nombres

algébriques

non

_nuls,

_appartenant

à un

corps de nombres

K,

de

degré

D. On suppose, et cela n’est pas

restrictif,

bl

&#x3E;

0, b2

0 et _que les modules de a1 et a2 sont

_supérieurs

ou

_égaux

à 1.

En

_remplaçant

b2

par

-b2,

on

_peut

écrire A =

b2

_log

a2 -

bl

log

al, où

bl

et

_b2

sont alors des entiers

_positifs.

Soient K &#x3E;

_3,

L &#x3E;

_{2, Rl, R2, Si}

et

_S2

des entiers strictement

_positifs.

Notons N =

KL,

R =

Ri

₊

R2 -

1 et S =

Si

₊

S2 -

1. Grâce au lemme de zéros de Nesterenko

_([12,

Lemme

_11,

dont nous ne _{reprenons pas} la démonstration

_ici,

bien

_qu’elle

soit courte et

_{élémentaire)}

nous savons _que,

si les conditions

sont

_réalisées,

alors la matrice de format KL x RS dont les coefficients sont

les nombres

, - - ,

est de _rang

_maximal,

_égal

à N = KL. On

_peut

donc en extraire un mineur à non

nul,

d’ordre N x

_{N, qui s’écrit,}

les colonnes étant convenablement

ordonnées,

Nous _supposons maintenant _que

_(4.1)

et

_(4.2)

sont réalisées et minorons à

par

l’inégalité

de

Liouville, puis

nous le

_majorons

à l’aide du

_principe

du

maximum ;

enfin,

nous _{montrons que} ces deux estimations sont

contradic-toires si A est suffisamment

_petit.

e Minoration

_{arithmétique}

de

_ILlI.

Pour une valeur absolue v de

5Q

on a la

_{majoration triviale}

si v est

_{archimédienne ;}

’On normalise les valeurs absolues de K de telle sorte que leurs restrictions sur Q coïncident

En utilisant de la formule de

_produit,

en observant _que

(K -

1)N12

et en

_posant

on obtient sans difFculté la minoration

qui

est certes nettement moins

_précise

_que le Lemme 6 de

_[12],

mais suffit

à notre _propos.

En

_outre,

il est

_important

de noter la

_majoration

.

_Majoration

analytique

de

1 d 1.

Nous

_procédons

comme dans

[11]

et

_{[12] :}

nous introduisons la

quantité

et nous nous donnons un réel _p &#x3E; 1. Notre

_objectif

consiste à démontrer le lemme suivant.

Lemme 4.1.

Démonstration : On suppose

(sans

perte

de

_{généralité)}

_que

_61ogo:i

₁

b2110g a21.

On écrit alors

_loga2

=

{3log al

+

11/b2

_avec

/3

=

bl /b2.

Par multilinéarité du

_{déterminant,}

on obtient

et l’on observe que

où les

_8i,j

sont des nombres

_complexes

de module 1.

_Ainsi,

le déterminant à s’écrit

où

avec

Considérons maintenant la fonction

entière (PI

de la variable x définie _par

de telle _{sorte que}

₀₁

=

lllI(1).

En

_développant

en série de

Taylor

les fonctions _{cpi pour} les indices i

_{E I,}

on _{constate que} la

fonction

possède

au

point x

= 0 _un zéro de

multiplicité &#x3E;

(v2 -

v)12,

où nous avons

posé

v =

Card(I).

Le lemme de Schwarz entraîne alors

En utilisant _{ceci pour} tous les sous-ensembles I de

_{{1, ... , N~}

et en

repor-tant la

_majoration

_p-N+112

dans

_(4.6),

on obtient

Il reste alors à

_majorer

Pour

_cela,

on

développe

le déterminant

et on utilise les

_majorations

1.

Ainsi,

_pour tout nombre

puisque

1 log a21.

On obtient alors

car, N étant

supérieur

ou

égal

à

_6,

on a

. Choix des

_paramètres.

En

_multipliant

_(4.3)

et

_(4.5)

_par

_2/N,

_{l’hypothèse}

_IA/I

est

contredite dès _que

donc,

d’après

la définition de

_Ai

et de

_A2,

dès que

. --

Il 1

- ~ ,- -- ~. -, /

On

_procède

alors comme dans

[11]

_pour choisir nos

_paramètres,

mais,

les

constantes

_optimales

ne nous

_important

_pas

_ici,

nos estimations restent très

larges.

Ainsi,

on note B = _max

{log

p, D

( 5

+

_log

_{b) 1}

et on _pose

1 sera

_precisée

ci-dessous.

On observe _que l’on a L et

_{L, donc,}

si al et a2 ne sont _pas tous deux racines de l’unité

_(auquel

cas la démonstration du théorème

est

_immédiate),

la condition

_(4.1)

est réalisée. Si l’on suppose en outre

que tous les éléments de l’ensemble

{rb2

+

sbl;

0rR2?0~~S2}

sont

_distincts,

la

_{majoration R2S2}

&#x3E;

_{(K -}

_1)L

entraîne la condition

_(4.2).

De

_plus,

_(4.4)

_{implique D log b}

B et le membre de droite de

_(4.7)

est

donc

_majoré

_par

_{4B2A, A2r-(r-}

+

_p).

Or,

le membre de

_gauche

de cette

inégalité

est trivialement _{minoré par}

_{0.7 B2 A1A2K,210g}

p. Par

conséquent,

(4.7)

est vérifiée avec _p =

e7

_{et x} =

12p. Ainsi,

le Lemme 4.1

implique

la minoration

_log

_{1 A’I}

2:

_{(1 /2 - N)}

logp &#x3E;

-1010 A1A2B2,

et, compte

tenu

de la définition de A’ et de la

_majoration

_(très

_large)

_{1 + log L + log R + log}

S

AlA2B2,

on aboutit à

Il reste maintenant à considérer le cas où

(4.2)

n’est _pas réalisée.

Sup-posons donc

qu’il

existe deux entiers r _{et s,} tels

1

S - 1

et

_rb2

+

sbl

= 0. On a alors

1 A 1

=

bIr-lis log a2

+ r log a, 1,

de

_Liouville,

comme énoncée au début de cette

_partie,

conduit à une

mi-noration en réalité meilleure _que

(4.8).

Ceci achève la démonstration du théorème. Il

BIBLIOGRAHIE

[1] A. Baker, Linear forms in the logarithms of algebraic numbers I-IV. Mathematika 13 _(1966),

204-216; 14 _(1967), 102-107 et 220-224; 15 _(1968), 204-216.

[2] A. _Baker, Contributions to the theory of Diophantine equations. I. On the _{representation} of

integers by binary forms. Phil. Trans. R. Soc. London Ser.A 263 (1967-68), 173-191.

[3] A. Baker, A sharpening of the bounds for linear _forms in _logarithms I-III. Acta Arith. 21 (1972), 117-129; 24 _{(1973), 33-36;} 27 _(1975), 247-252.

[4] A. _Baker, G. _{Wüstholz, Logarithmic forms} and group varieties. J. Reine Angew. Math. 442 (1993), 19-62.

[5] E. _{Bombieri, Effective Diophantine Approximation} on Gm. Ann. Scuola Norm. _Sup. Pisa Cl. Sci. 20 _(1993), 61-89.

[6] E. _Bombieri, P.B. _{Cohen, Effective Diophantine Approximation} on _{(Gm ,} II. Ann. Scuola

Norm. _Sup. Pisa Cl. Sci. 24 _(1997), 205-225.

[7] Y. Bugeaud, Bornes effectives pour les solutions des équations en S-unités et des _équations

de Thue-Mahler. J. Number Theory 71 _(1998), 227-244.

[8] Y. Bugeaud, K. Gyôry, Bounds for the solutions of Thue-Mahler equations and norm _form

equations. Acta Arith. 74 _(1996), 273-292.

[9] N.I. _{Feldman, Improved} estimate for a linear form of the logarithms of algebraic numbers,

(en russe). Mat. Sb. 77 _(1968), 256-270. _Également: Math. USSR. Sb. 6 ₍₁₉₆₈₎ 393-406. [10] N.I. Feldman, An _{effective refinement of the} exponent in Liouville’s _{theorem, (en russe).} Iz.

Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 35 _(1971), 973-990.

_Également:

Math. USSR. Izv. 5 ₍₁₉₇₁₎ 985-1002.

[11] M. Laurent, Linear forms in two _logarithms and _{interpolation} determinants. Acta Arith.

66 _(1994), 181-199.

[12] M. _Laurent, M. _Mignotte, Y. _Nesterenko, Formes linéaires en deux _logarithmes et

détermi-nants _{d’interpolation.} J. Number _Theory 55 _(1995), 285-321.

[13] M. Waldschmidt, Minorations de combinaisons linéaires de _logarithmes de nombres

al-gébriques. Canadian J. Math. 45 _(1993), 176-224.

Yuri BILU

Mathematisches Institut Universitât Base Rheinsprung 21

4051 BASEL, SWITZERLAND E-rrtail : _{yuriQmath. unibas . ch}

Yann BUGEAUD

Université Louis Pasteur et CNRS U.F.R. de _{Mathématiques}

7, rue René Descartes

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