I Fonctions harmoniques : quelques propriétés

mp* 2020-2021 DTL8

08/03/2021

On lit les instructions ; on écrit l’heure de début sur sa copie ; 4 heures plus tard on écrit l’heure de fin.

Au choix :

Enoncé 1 :Deux exercices CCP (le premier est assez long), suivis d’un problème.

Enoncé 2 :Un énoncé Centrale (il y a eu un énoncé Mines sur le même thème au début des années 2010). Pas facile et d’une longueur déraisonnable, mais bien sûr on ne cherche pas à tout faire.

Enoncé 3 :Le meilleur énoncé math C de tous les temps ! typiquement ens, mais d’une difficulté acceptable (pour ce type d’épreuve). Terriblement long, comme le sont les énoncés ens, où la note maximale (20) peut en général être obtenue en traitant la moitié du problème.

Enoncé 4 :Un problème X. Pas trop facile bien sûr, mais pas trop décourageant.

Enoncé 1

Exercice CCP 2014

aetbétant deux fonctions continues surR, on note l’équation différentielle

(E) x²y⁰⁰+a(x)y⁰+b(x)y=0

On noteS⁺l’espace vectoriel des solutions de (E) sur l’intervalleI =]0,+∞[ etS⁻l’espace vectoriel des solutions de (E) sur l’intervalleJ=]− ∞, 0[.

L’objectif de cet exercice est d’étudier la dimension de l’espace vectorielSdes fonctionsy de classe C²surRvérifiant (E) surRtout entier.

1. Donner la dimension des espaces vectorielsS⁺etS⁻.

2. On noteφl’application linéaire deSversS⁺×S⁻définie parφ(f)=(fI,fJ) oùfI désigne la res- triction de la fonctionf à l’intervalleIetfJdésigne la restriction de la fonctionf à l’intervalle J.

Donner le noyau de l’applicationφet en déduire que dimS≤4.

3. Dans cette question, on considèrea(x)=xetb(x)=0, d’où

(E) x²y⁰⁰+x y⁰=0

DéterminerS⁺etS⁻.

Déterminer ensuiteSet donner, sans détails, la dimension deS.

4. Dans cette question

(E) x²y⁰⁰−6x y⁰+12y=0

Déterminer deux solutions surI de cette équation de la formex7−→x^α(αréel).

En déduireS⁺puisS⁻.

DéterminerSet donner la dimension deS.

5. Donner un exemple d’équation différentielle du type (E) x²y⁰⁰+a(x)y⁰+b(x)y=0 tel que dimS=0 (on détaillera).

On pourra, par exemple, s’inspirer de la question précédente.

Exercice CCP 2009 On considère l’équation différentielle

x y⁰+y= 2x

1+x⁴ (E)

1. Résoudre (E) sur chacun des intervalles ]− ∞, 0[ et ]0,+∞[.

2. En déduire que (E) admet une solution unique surR.

Problème Notations

— Dans ce préambule et dans les parties I et III,ndésigne un entier strictement positif.

— On munitRⁿde sa structure euclidienne canonique etk.kdésigne la norme euclidienne.

— SiUest une partie deRⁿ, alorsUdésigne son adhérence et∂Usa frontière.

— Poura∈RⁿetR>0, on désigne parD(a,R) la boule ouverte de centreaet de rayonRpour la distance euclidienne. Autrement dit

D(a,R)={x∈Rⁿ/kx−ak <R}

La boule fermée de centreaet de rayonRest alorsD(a,R).

— L’opérateur différentiel∆(appelé laplacien) est défini pour toute fonction à valeurs réelles de classeC²sur un ouvertU⊂Rⁿpar

∀x=(x₁, . . . ,x_n)∈U,∆f(x)= Xn i=1

∂²f

∂x²_i(x)

— Une fonction f de classeC²à valeurs réelles sur un ouvertU deRⁿ est dite harmonique sur Usi

∀x∈U,∆f(x)=0 L’ensemble des fonctions harmoniques est notéH(U).

I Fonctions harmoniques : quelques propriétés

SoitU un ouvert non vide deRⁿ. On noteC²(U,R) l’espace vectoriel des fonctions de classeC² deUdansR.

Q 1. Montrer queH(U) est un sous-espace vectoriel deC²(U,R).

Q 2. Soit f ∈H(U). Montrer que si f estC^∞surU, alors toute dérivée partielle à tout ordre def appartient àH(U).

Q 3. On suppose dans cette question queU est convexe. Déterminer l’ensemble des fonctions f deH(U) telles que f²appartienne aussi àH(U). On pourra commencer par montrer, sif ∈ C²(U,R),∆(f²)=2k∇fk²+2f ∆f où∇f désigne le gradient def.

Q 4. Donner une fonction non constante appartenant àH(U). Le produit de deux fonctions har- moniques est-il nécessairement une fonction harmonique ?

II Exemples de fonctions harmoniques

II.A - On cherche dans cette question à déterminer les fonctions harmoniques non nulles surR²à variables séparables, c’est à dire les fonctionsf s’écrivant sous la formef(x,y)=u(x)v(y).

On se donne donc deux fonctionsuetv, de classeC²surR, non identiquement nulles, et on pose

∀(x,y)∈R², f(x,y)=u(x)v(y) On suppose quef est harmonique surR².

Q 5. Montrer qu’il existe une constanteλréelle telle queu etv soient solutions respectives des équations

z⁰⁰+λz=0 et z⁰⁰−λz=0

Q 6. Donner en fonction du signe deλla forme des fonctions harmoniques à variables séparables.

II.B - Soitf une fonction réelle de classeC²surR²\ {(0, 0)}. On pose, pour tout (r,θ)∈R^∗+×R, g(r,θ)=f(rcos(θ),rsin(θ))

Q 7. Justifier quegest de classeC²surR^∗+×R.

Q 8. Pour tout (r,θ)∈R^∗+×R, exprimer _∂^∂g_r(r,θ) et^∂_∂θ^g(r,θ) en fonction de

∂f

∂x(rcos(θ),rsin(θ)) et ∂f

∂y(rcos(θ),rsin(θ))

Q 9. Exprimer également ^∂_∂²_r^g2(r,θ) et ^∂_∂θ^2g2(r,θ) en fonction des dérivées partielles premières et se- condes def en (rcos(θ),rsin(θ)).

Q 10. Montrer quef ∈H(R²\ {(0, 0)}) si et seulement si, pour tout (r,θ)∈R^∗+×R, r²∂²g

∂r²(r,θ)+∂²g

∂θ²(r,θ)+r∂g

∂r(r,θ)=0

Q 11. Déterminer les fonctions harmoniques radiales deR²\ {(0, 0)}, c’est à dire les fonctions f ap- partenant àH(R²\ {(0, 0)}) telles que (r,θ)7→f(rcos(θ),rsin(θ)) soit indépendante deθ. Q 12. Soienta,b,r1,r2quatre réels tels que 0<r1<r2. Déterminer une fonction f de classeC²sur

R²\ {(0, 0)} telle que















∆f =0

f(x,y)=a si k(x,y)k =r₁ f(x,y)=b si k(x,y)k =r2

II.C -Dans cette sous-partie II.C, on considère deux fonctions de classeC²,u : R^∗+→Retv : R→R et on pose

∀(r,θ)∈ R^∗+×R, f(rcos(θ),rsin(θ))=u(r)v(θ)

La fonctionf est alors une fonction de classeC²surR²\ {(0, 0)}, dite à variables polaires séparables.

Q 13. Montrer que, sif n’est pas identiquement nulle, alorsvest 2π-périodique.

Q 14. Montrer que, sif est harmonique et non identiquement nulle surR²\ {(0, 0)}, alors il existe un réelλtel queusoit solution de l’équation différentielle (II.1)

r²z⁰⁰(r)+r z⁰(r)−λz(r)=0 (II.1) etvsoit solution de l’équation différentielle (II.2)

z⁰⁰(θ)+λz(θ)=0 (II.2)

II.C.1) On suppose ici queλ=0.

Q 15. Quelles sont les solutions 2π-périodiques de (II.2) ? Q 16. Résoudre (II.1) surR^+∗.

Q 17. En déduire, dans le casλ=0, les fonctions harmoniques à variables polaires séparables.

II.C.2) On suppose désormaisλ6=0.

Q 18. Montrer que (II.2) admette des solutions 2π-périodiques non nulles si et seulement siλest le carré d’un entier naturel non nul. Donner ces solutions.

Q 19. Pour les valeurs deλdéterminées dans la question précédente, résoudre (II.1) surR^+∗. On pourra considérer, en justifiant son existence, une fonctionZ de classeC²surRtelle que, pour toutr>0,z(r)=Z(ln(r)).

Q 20. Quelles sont les solutions se prolongeant par continuité en 0 ?

III Principe du maximum faible

SoitUun ouvert borné non vide deRⁿ(n≥2) etf : U→Rde classeC².

Le but de cette partie est de montrer le théorème suivant, connu sous le nom de principe du maxi- mum faible.

Sif est une fonction continue surU, de classeC²et harmonique surU, alors

∀x∈U, f(x)≤sup

y∈∂U

f(y) où∂U désigne la frontière deU.

III.A - Soit f une fonction continue surU.

Q 21. Montrer quef admet un maximum en un pointx0∈U.

On suppose de plus quef est de classeC²surUet que, pour toutx∈U,∆f(x)>0.

Q 22. Montrer quex₀∈∂Uet en déduire que∀x∈U, f(x)<sup

y∈∂Uf(y).

On pourra supposer par l’absurde quex0∈U, justifier qu’il existei∈J^1,nK^{tel que}

∂²f

∂x²_i(x0)>0, et considérer la fonctionϕdéfinie, pour touttréel, parϕ(t)=f(x₀+t e_i), où(e₁, . . . ,e_n)désigne la base canonique deRⁿ.

III.B - Soitf une fonction continue surU, de classeC²et harmonique surU.

Pour toutε>0, on poseg_ε(x)=f(x)+εkxk².

Q 23. Montrer queg_εest continue surU, de classeC²surU, et telle que∀x∈U,∆gε(x)>0.

Q 24. En déduire que∀x∈U, f(x)≤sup

y∈∂U

f(y).

Q 25. Soientf1,f2deux fonctions continues surU, de classeC²et harmoniques surU. Montrer que si les fonctionsf1etf2sont égales sur∂U, alorsf1etf2sont égales surU.

• • •FIN de l’énoncé 1• • •

Enoncé 2

Ce problème étudie quelques propriétés des fonctions harmoniques ainsi que quelques exemples de telles fonctions (parties I et II). Dans la partie III, largement indépendante du reste du problème, on montre le principe du maximum faible pour le laplacien. Dans la partie IV, on établit un lien entre les fonctions harmoniques de deux variables et les fonctions développables en série entière, et on propose la résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité deR²dans la partie V.

Notations

— Dans ce préambule et dans les parties I et III,ndésigne un entier strictement positif.

— On munitRⁿde sa structure euclidienne canonique etk.kdésigne la norme euclidienne.

— SiUest une partie deRⁿ, alorsUdésigne son adhérence et∂Usa frontière.

— Poura∈RⁿetR>0, on désigne parD(a,R) la boule ouverte de centreaet de rayonRpour la distance euclidienne. Autrement dit

D(a,R)={x∈Rⁿ/kx−ak <R}

La boule fermée de centreaet de rayonRest alorsD(a,R).

— L’opérateur différentiel∆(appelé laplacien) est défini pour toute fonction à valeurs réelles de classeC²sur un ouvertU⊂Rⁿpar

∀x=(x1, . . . ,xn)∈U,∆f(x)=

n

X

i=1

∂²f

∂x²_i(x)

— Une fonction f de classeC²à valeurs réelles sur un ouvertU deRⁿ est dite harmonique sur Usi

∀x∈U,∆f(x)=0 L’ensemble des fonctions harmoniques est notéH(U).

I Fonctions harmoniques : quelques propriétés

SoitU un ouvert non vide deRⁿ. On noteC²(U,R) l’espace vectoriel des fonctions de classeC² deUdansR.

Q 1. Montrer queH(U) est un sous-espace vectoriel deC²(U,R).

Q 2. Soit f ∈H(U). Montrer que si f estC^∞surU, alors toute dérivée partielle à tout ordre def appartient àH(U).

Q 3. On suppose dans cette question queUest convexe. Déterminer l’ensemble des fonctionsf de H(U) telles que f²appartienne aussi àH(U).

Q 4. Donner une fonction non constante appartenant àH(U). Le produit de deux fonctions har- moniques est-il nécessairement une fonction harmonique ?

II Exemples de fonctions harmoniques

II.A - On cherche dans cette question à déterminer les fonctions harmoniques non nulles surR²à variables séparables, c’est à dire les fonctionsf s’écrivant sous la formef(x,y)=u(x)v(y).

On se donne donc deux fonctionsuetv, de classeC²surR, non identiquement nulles, et on pose

∀(x,y)∈R², f(x,y)=u(x)v(y) On suppose quef est harmonique surR².

Q 5. Montrer qu’il existe une constanteλréelle telle queu etv soient solutions respectives des équations

z⁰⁰+λz=0 et z⁰⁰−λz=0

Q 6. Donner en fonction du signe deλla forme des fonctions harmoniques à variables séparables.

II.B - Soitf une fonction réelle de classeC²surR²\ {(0, 0)}. On pose, pour tout (r,θ)∈R^∗+×R, g(r,θ)=f(rcos(θ),rsin(θ))

Q 7. Justifier quegest de classeC²surR^∗+×R.

Q 8. Pour tout (r,θ)∈R^∗+×R, exprimer _∂^∂g_r(r,θ) et^∂_∂θ^g(r,θ) en fonction de

∂f

∂x(rcos(θ),rsin(θ)) et ∂f

∂y(rcos(θ),rsin(θ))

Q 9. Exprimer également ^∂_∂r^2g2(r,θ) et ^∂_∂θ^2g2(r,θ) en fonction des dérivées partielles premières et se- condes def en (rcos(θ),rsin(θ)).

Q 10. Montrer quef ∈H(R²\ {(0, 0)}) si et seulement si, pour tout (r,θ)∈R^∗+×R, r²∂²g

∂r²(r,θ)+∂²g

∂θ²(r,θ)+r∂g

∂r(r,θ)=0

Q 11. Déterminer les fonctions harmoniques radiales deR²\ {(0, 0)}, c’est à dire les fonctions f ap- partenant àH(R²\ {(0, 0)}) telles que (r,θ)7→f(rcos(θ),rsin(θ)) soit indépendante deθ.

Q 12. Soienta,b,r1,r2quatre réels tels que 0<r1<r2. Déterminer une fonction f de classeC²sur R²\ {(0, 0)} telle que















∆f =0

f(x,y)=a si k(x,y)k =r1

f(x,y)=b si k(x,y)k =r2

II.C -Dans cette sous-partie II.C, on considère deux fonctions de classeC²,u : R^∗+→Retv : R→R et on pose

∀(r,θ)∈ R^∗+×R, f(rcos(θ),rsin(θ))=u(r)v(θ)

La fonctionf est alors une fonction de classeC²surR²\ {(0, 0)}, dite à variables polaires séparables.

Q 13. Montrer que, sif n’est pas identiquement nulle, alorsvest 2π-périodique.

Q 14. Montrer que, sif est harmonique et non identiquement nulle surR²\ {(0, 0)}, alors il existe un réelλtel queusoit solution de l’équation différentielle (II.1)

r²z⁰⁰(r)+r z⁰(r)−λz(r)=0 (II.1) etvsoit solution de l’équation différentielle (II.2)

z⁰⁰(θ)+λz(θ)=0 (II.2)

II.C.1) On suppose ici queλ=0.

Q 15. Quelles sont les solutions 2π-périodiques de (II.2) ? Q 16. Résoudre (II.1) surR^+∗.

Q 17. En déduire, dans le casλ=0, les fonctions harmoniques à variables polaires séparables.

II.C.2) On suppose désormaisλ6=0.

Q 18. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (II.2) admette des solutions 2π-périodiques non nulles. Donner ces solutions.

Q 19. Pour les valeurs deλdéterminées dans la question précédente, résoudre (II.1) surR^+∗. On pourra considérer, en justifiant son existence, une fonctionZ de classeC²surRtelle que, pour toutr>0,z(r)=Z(ln(r)).

Q 20. Quelles sont les solutions se prolongeant par continuité en 0 ?

III Principe du maximum faible

SoitUun ouvert borné non vide deRⁿ(n≥2) etf : U→Rde classeC².

Le but de cette partie est de montrer le théorème suivant, connu sous le nom de principe du maxi- mum faible.

Sif est une fonction continue surU, de classeC²et harmonique surU, alors

∀x∈U, f(x)≤sup

y∈∂U

f(y) où∂U désigne la frontière deU.

III.A - Soit f une fonction continue surU.

Q 21. Montrer quef admet un maximum en un pointx₀∈U.

On suppose de plus quef est de classeC²surUet que, pour toutx∈U,∆f(x)>0.

Q 22. Montrer quex₀∈∂Uet en déduire que∀x∈U, f(x)<sup

y∈∂U

f(y).

On pourra supposer par l’absurde quex0∈U, justifier qu’il existei∈J^1,nK^{tel que}

∂²f

∂x²_i(x0)>0, et considérer la fonctionϕdéfinie, pour touttréel, parϕ(t)=f(x0+t ei), où(e1, . . . ,en)désigne la base canonique deRⁿ.

III.B - Soitf une fonction continue surU, de classeC²et harmonique surU.

Pour toutε>0, on poseg_ε(x)=f(x)+εkxk².

Q 23. Montrer queg_εest continue surU, de classeC²surU, et telle que∀x∈U,∆g_ε(x)>0.

Q 24. En déduire que∀x∈U, f(x)≤sup

y∈∂Uf(y).

Q 25. Soientf₁,f₂deux fonctions continues surU, de classeC²et harmoniques surU. Montrer que si les fonctionsf1etf2sont égales sur∂U, alorsf1etf2sont égales surU.

IV Fonctions harmoniques et fonctions développables en série entière

On dit qu’une fonctionf, définie surD(0,R)⊂R²(R>0) et à valeurs complexes, se développe en série entière surD(0,R) s’il existe une suite complexe (an) telle que

∀(x,y)∈D(0,R), f(x,y)=

+∞X

n=0

an(x+iy)ⁿ

Dans toute cette partie,f désigne une fonction se développant en série entière surD(0,R).

IV.A -

Q 26. Montrer que f est de classeC¹surD(0,R) et que ses dérivées partielles se développent en série entière surD(0,R). Que peut-on en déduire pour la fonctionf?

On noteuetvles parties réelle et imaginaire def, de sorte que, quel que soit (x,y)∈D(0,R), u(x,y)∈R,v(x,y)∈R, f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

Q 27. Montrer queuetvsont harmoniques surD(0,R).

IV.B -On admet le résultat suivant : une fonctionhdeD(0,R) dansCse développe en série entière sur D(0,R) si et seulement sihest de classeC¹surD(0,R) et pour tout (x,y)∈D(0,R),_∂^∂h_y(x,y)=i^∂_∂^h_x(x,y).

Q 28. Montrer que sif ne s’annule pas surD(0,R) alors 1/f se développe en série entière surD(0,R).

Q 29. Montrer queuvest harmonique surD(0,R).

IV.C - Soitgune fonction deD(0,R)⊂R²dansR. On suppose quegest harmonique.

Q 30. Montrer que la fonctionhdéfinie surD(0,R) par h : (x,y)7→∂g

∂x(x,y)−i∂g

∂y(x,y) se développe en série entière surD(0,R).

Q 31. Montrer que sigappartient àH(D(0,R)) alors il existe une fonctionHse développant en série entière surD(0,R), telle quegest la partie réelle deH.

On pourra considérer une série entière primitive de la série entière associée à la fonctionhde la question précédente.

IV.D -

Q 32. Montrer que pour toutr∈[0,R[, on af(0)= 1 2π

Z _2π

0

f(rcos(t),rsin(t)) dt.

Q 33. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques.

Q 34. Montrer que∀r∈[0,R[,|f(0)| ≤sup

t∈R|f(rcos(t),rsin(t))| Q 35. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques.

Q 36. Montrer que si|f|admet un maximum en 0, alorsf est constante surD(0,R).

Q 37. Montrer le théorème de D’Alembert-Gauss : tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine.

On pourra procéder par l’absurde, supposer qu’il existe un polynôme ne s’annulant pas et considérer son inverse.

V Résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de R

Soithune fonction deRdansR, continue et 2π-périodique surR. On cherche à résoudre le pro- blème de Dirichlet sur le disque unité ; autrement dit, il s’agit de déterminer, s’il y en a, la ou les fonctionsf définies et continues surD(0, 1) (disque fermé), de classeC²surD(0, 1), et telles que







∆f =0 sur D(0, 1)

∀t∈R, f(cos(t), sin(t))=h(t) Pour cela, on pose, pour tout nombre complexeztel que|z| <1,

g(z)= 1 2π

Z 2π 0

h(t)P(t,z) dt où P(t,z)=Re µe^it+z

e^it−z

¶

(Re désigne la partie réelle)

Q 38. Montrer que la fonctionz7→^e_e^itit^+z−z est développable en série entière pour|z| <1 et calculer son développement en série entière. En déduire que la fonction (x,y)7→g(x+iy) est une fonction harmonique surD(0, 1).

Q 39. Montrer que, pour tout nombre complexeztel que|z| <1, 1 2π

Z 2π

0 P(t,z) dt=1.

Q 40. Soitϕ∈R. Montrer que, pour tout nombre complexeztel que|z| <1,g(z)= 1 2π

Z _ϕ+2π

ϕ h(t)P(t,z) dt. Q 41. Montrer que, pour toutr∈[0, 1[ et tous réelstetθ,

P(t,re^iθ)= 1−r² 1−2rcos(t−θ)+r² Q 42. Montrer que, pour toutδ∈]0,π[ et tout réelϕ,

Z _ϕ+2π−δ

ϕ+δ P(t,z) dt−−−−→

z→e^iϕ 0.

Q 43. En utilisant le théorème de Heine, montrer que, pour toutε>0, il existeδ>0 tel que, pour tout nombre réelϕet tout nombre complexezvérifiant|z| <1,

|g(z)−h(ϕ)| ≤ sup

t∈R|h(t)|

π

Z _ϕ+2π−δ

ϕ+δ P(t,z) dt+ε

Q 44. Montrer l’existence et l’unicité de la solution au problème de Dirichlet étudié dans cette partie.

• • •FIN de l’énoncé 2• • •

Énoncé 3

On note

— RN[X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré6^N,

— 〈., .〉le produit scalaire euclidien surRⁿ:­ x,y®

=

n

X

j=1

xjyjpour toutx=(x1, ...,xn) ,y=¡

y1, ...,yn¢

∈ Rⁿ,

— Mn(R) l’algèbre des matrices carréesn×nà coefficients réels,

— Inson élément unité,

— exp l’exponentielle surMn(R) : exp (A)=

+∞X

k=0

A^k

k!,∀A∈Mn(R) ,

— f^(k)la dérivéek-ième de la fonction f, pourk>^{1, lorsqueI} est un intervalle ouvert deRet f :I→Restk-fois dérivable surI; par convention f⁽⁰⁾=f,

— C^m([0,T] ,R), pourm>1, l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle fermé [0,T] , de classeC^m sur l’intervalle ouvert ]0,T[ , admettant des dérivées à droite en 0, et à gauche enT, jusqu’à l’ordremet telles quef^(k)soit continue sur [0,T] pourk=1, ...,m,

— C^∞([0,T] ,R)= \

m∈N

C^m([0,T] ,R) ,

— Ãn

k

!

les coefficients binômiaux : Ãn

k

!

= n!

k! (n−k)!,∀n∈N^∗,k∈{0, ...,n} . Les relations entre les 5 parties sont :

1⇒2 3⇒4⇒5.

Ainsi, la partie 1 est utile pour résoudre la partie 2 mais les parties (3, 4, 5) sont indépendantes des parties (1, 2) , etc.

I Équation différentielle scalaire

Dans cette partie, on fixen ∈N^∗,T >0,a0, ...,an−1,c0, ...,cn−1∈R. Le but de cette partie est de montrer le résultat suivant.

Proposition 1Il existe u∈C⁰([0,T] ,R)tel que la solution f du système

(Σ) :







f⁽ⁿ⁾(t)+an−1f⁽ⁿ⁻¹⁾(t)+ · · · +a0f(t)=u(t) , ∀t∈[0,T] , f^(k)(0)=c_kpour k=0, ...,n−1,

vérifie f^(k)(T)=0pour k=0, ...,n−1.

1. Justifier, pour toutu∈C⁰([0,T] ,R) , l’existence et l’unicité def ∈Cⁿ([0,T] ,R) vérifiant (Σ) . 2. Montrer que l’application suivante est un isomorphisme

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

L: R2n−1[X] → R²ⁿ

P 7→ ¡

P(0) , ...,P⁽ⁿ⁻¹⁾(0) ,P(T) , ...,P⁽ⁿ⁻¹⁾(T)¢ .

3. Montrer qu’il existef ∈C^∞(R,R) telle quef^(k)(0)=cketf^(k)(T)=0 pourk=0, ...,n−1.

4. Montrer la Proposition 1.

5. La fonctionuévoquée dans la Proposition 1 est-elle unique ?

II Système différentiel

Dans cette partie, on fixen∈N^∗,T>0,A∈Mn(R) etb∈Rⁿ. Le but de cette partie est de montrer l’équivalence entre les énoncés suivants.

• (E1) :¡

b,Ab, ...,Aⁿ⁻¹b¢

est une base deRⁿ.

• (E2) : Pour touty⁰∈Rⁿ, il existeu∈C⁰([0,T] ,R) tel que la solution de





 d y

d t (t)=Ay(t)+u(t)b, ∀t∈[0,T] y(0)=y⁰

(2, 1)

vérifiey(T)=0.

1. Justifier, pour toutu∈C⁰([0,T] ,R) et touty⁰∈Rⁿ, l’existence et l’unicité dey∈C¹([0,T] ,R) vérifiant (2.1) .

2. Exprimery(T) en fonction deA,b,uety⁰. En déduire une reformulation de l’égalitéy(T)=0 de la formey⁰=Φ(A,b,u) .

3. Montrer que, pour toutk>n, il existe un polynômePk∈Rn−1[X] tel queA^k=Pk(A) . 4. Le but de cette question est de démontrer (E2)⇒(E1) . On suppose que¡

b,Ab, ...,Aⁿ⁻¹b¢ n’est pasune base deRⁿ.

(a) Justifier l’existence dez∈Rⁿ\ {0} tel que­ z,A^kb®

=0 pour toutk∈N. (b) Que dire de­

z, exp (At)b®

pourt∈R?

(c) Soity⁰∈Rⁿtel que­ z,y⁰®

6=0. Montrer qu’il n’existe pas de fonctionu∈C⁰([0,T] ,R) pour laquelle la solution de (2.1) vérifiey(T)=0.

(d) Conclure.

Juqu’à la fin de la partie 2, notre but est de démontrer (E1)⇒(E2) . On suppose donc que (E1) est vérifié. On notea0, ...,a_n−1les coefficients du polynôme caractéristique deA:

det (X In−A)=Xⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+ · · · +a₁X+a₀

et on définit une famille (v1, ...,vn) deRⁿpar récurrence descendante, de la façon suivante







vn:=b

vk:=Avk+1+akvnpourk=n−1,n−2, ..., 1.

5. Exprimervken fonction deAetbpourk=1, ...,n.

6. Montrer queA^jb∈Vect {v₁, ...,v_n} pour j=0, ...,n−1. En déduire que (v₁, ...,v_n) est une base deRⁿ.

7. Montrer queAv₁= −a₀vn.

8. En déduire l’existence deU∈GLn(R) telle que

Ae=U⁻¹AU=























0 1 0 · · · 0

... 0 . .. ... ...

... . .. ... 0

0 · · · 0 1

−a0 −a1 · · · −an−1























etU⁻¹b=















 0

... 0 1















 .

9. Soity⁰∈Rⁿ,u∈C⁰([0,T] ,R) etyla solution de (2.1) . (a) Quel problème de Cauchy la fonction

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

F: [0,T] → Rⁿ t 7→ U⁻¹y(t) résout-elle ?

(b) Notons f(t) la première composante deF(t) . Quel problème de Cauchy la fonction f résout-elle ?

10. Conclure.

III Classe de Gevrey : résultats généraux

Dans cette partie, on fixes∈[1,+∞[ etT>0.

Définition :Une fonctionf : [0,T]→Rest dans laclasse de Gevrey d’ordressur[0,T] sif ∈C^∞([0,T] ,R) et s’il existeM,R>0 tels que

¯

¯f⁽ⁿ⁾(t)¯

¯6^M(n!)

s

Rⁿ , ∀n∈N,t∈[0,T] . On note alorsf ∈G^s(0,T) .

1. Montrer que, sif ∈G^s(0,T) alors la fonction

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

g: [0,T] → Rⁿ t 7→ f(T−t) est dans la classe de Gevrey d’ordressur [0,T] .

2. Montrer queG^s(0,T) contient les fonctions polynomiales.

3. Montrer queG^s(0,T) est un espace vectoriel.

4. Montrer que sif1,f2∈G^s(0,T) alors leur produitf1f2est dans la classe de Gevrey d’ordressur [0,T] .

5. Soit f ∈G^s(0,T) etM,R des constantes associées comme dans la définition ci-dessus. On suppose qu’il existeδ>0 tel quef(t)>δpour toutt∈[0,T] .

(a) Montrer que, pour toutn∈N^∗, µ1

f

¶(n)

= −1 f

n

X

k=1

Ãn k

! f^(k)

µ1 f

¶_(n−k) . (b) Montrer qu’il existeε>0 tel que, pour toutn∈N^∗

n

X

k=1

Ãn k

!1−s

ε^k6 ^δ M. (c) Montrer que 1

f ∈G^s(0,T) avec, par exemple, les constantesM⁰=1

δetR⁰=εR.

IV Classe de Gevrey : exemples

On fixeT >0. Le but de cette partie est de montrer que les fonctionsh etφ: [0,T]→Rdéfinies par

h(t)=







0 sit=0 e^−t12 sit∈]0,T]

φ(t)=























1 sit=0,

e⁻

1 (T−t)²

e⁻

1

(T−t)²+e^−t12

sit∈]0,T[ ,

0 sit=T.

sont de classe de Gevrey d’ordre3

2sur [0,T] . 1. Montrer queh^(k)(t) →

t→0⁺0 pour toutk∈N.

2. Montrer queh∈C^∞([0,T] ,R) .

3. Soit (an)_n∈Nune suite de nombres réels tels que la série entièreX

anzⁿait un rayon de conver- gence ρ >0. Pour z ∈C tel que|z| <ρ, on note F(z)=

+∞X

n=0

anzⁿ. Montrer que, pour tout r∈¤

0,ρ£ , on a

an= 1 2π

Z _2π

0

F¡ r e^iθ¢

¡r e^iθ¢ndθ. 4. Dans cette question, on fixet₀∈]0,T] etr:=t₀

3. (a) Montrer que, pour toutz∈C\ {t0} , on a

e⁻

1 (t0−z)² =

+∞X

n=0

(−1)ⁿ n!t₀²ⁿ

1 µ

1− z t0

¶2n.

(b) En déduire qu’il existe une suite (an)_n∈Nde nombres réels tels quee⁻

1 (t0−z)² =

+∞X

n=0

anzⁿ pour toutz∈Cvérifiant|z| <t0.

(c) Montrer que

¯

¯

¯

¯

h⁽ⁿ⁾(t0) n!

¯

¯

¯

¯=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ 1 2π

Z 2π 0

e⁻

1

(^t0−r e^iθ)²

¡r e^iθ¢n dθ

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ . (d) Montrer que, pour un certainλ>0 indépendant det0, on a

¯¯h⁽ⁿ⁾(t0)¯

¯6^n!e

−λ r²

rⁿ .

(e) Montrer que, pour toutα,β,x>0 alorsx^αe^−βx6 µα

eβ

¶_α . (f ) Montrer quenⁿ6^en−1n! pour toutn∈N^∗.

(g) En déduire queh∈G³²(0,T) . 5. Montrer queφ∈G³²(0,T) .

6. SoitP∈R[X] . Montrer que la fonctiont7→P(t)φ(t) est dans la classe de Gevrey d’ordre3 2sur [0,T] .

7. Calculerφ⁽ⁿ⁾(0) ,φ⁽ⁿ⁾(T) ,¡ Pφ¢(n)

(0) et¡ Pφ¢(n)

(T) pour toutn∈N.

V Équation de la chaleur

Dans cette partie, on fixes∈[1, 2[ ,T>0 et une fonctionf ∈G^s(0,T) . 1. Montrer que

H(t,x)=

+∞X

n=0

f⁽ⁿ⁾(t) x²ⁿ (2n)!

est bien défini, pour tout (t,x)∈[0,T]×[0, 1] .

2. Montrer que toutes les dérivées partielles deHsont définies et continues sur [0,T]×[0, 1] . 3. Montrer que ∂H

∂t −∂²H

∂x² =0 sur [0,T]×[0, 1] et que∂H

∂x (t, 0)=0 pour toutt∈[0,T] .

4. En déduire que, pour tout polynôme pairH⁰, il existe une fonctionu∈C⁰([0,T] ,R) et une solutionHdu système































∂H

∂t (t,x)−∂²H

∂x² (t,x)=0, ∀(t,x)∈[0,T]×[0, 1] ,

∂H

∂x (t, 0)=0, ∀t∈[0,T] ,

∂H

∂x (t, 1)=u(t) , ∀t∈[0,T] , H(0,x)=H⁰(x) , ∀x∈[0, 1]

qui satisfasseH(T,x)=0 pour toutx∈[0, 1] .

Fin de l’énoncé 3

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE

MP

CONCOURS D’ADMISSION 2008

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

? ? ?

Équations différentielles de Sturm-Liouville

Ce problème est consacré à l’étude d’une équation différentielle avec paramètre. On désigne par C^∞([0,1])l’espace des fonctions réelles de classeC^∞ sur [0,1].

Première partie

Dans cette première partie, étant donné deux fonctions p etq de C^∞([0,1]), on désigne par A_p,q l’endomorphisme deC^∞([0,1])défini par

A_p,q(y) =y⁰⁰+py⁰+qy et par (D_p,q) l’équation différentielle sur[0,1] :A_p,q(y) = 0.

1.Soity une solution non identiquement nulle de(Dp,q).

1.a)Montrer que les fonctionsy et y⁰ ne s’annulent pas simultanément.

1.b)Montrer que les zéros de y sont en nombre fini.

2. Soit y₁ et y₂ deux solutions linéairement indépendantes de (D_p,q); on suppose que y₁ admet au moins deux zéros et on note aetbdeux zéros consécutifs.

2.a) Montrer que y₂ admet au moins un zéro dans l’intervalle ouvert ]a, b[. [On pourra procéder par l’absurde et considérer le wronskien W de y₁ ety₂.]

2.b)La fonction y₂ peut-elle avoir plusieurs zéros dans ]a, b[?

Étant donné deux fonctionsuetv deC^∞([0,1]),une s’annulant en aucun point, on désigne par B_u,v l’endomorphisme de C^∞([0,1]) défini par

B_u,v(y) = (uy⁰)⁰+vy et par (Eu,v) l’équation différentielle sur[0,1] :B_u,v(y) = 0.

Enoncé 4

3.a) Soit y₁ et y₂ deux solutions linéairement indépendantes de (D_p,q) et soit W leur wronskien. Vérifier la relation

y₁B_u,v(y₂)−y₂B_u,v(y₁) = (u⁰−up)W .

3.b) Montrer que, pour tout couple (p, q), il existe des couples (u, v) tels que Ker A_p,q =Ker B_u,v et déterminer tous ces couples(u, v).

4.On se donne trois fonctionsu, v₁, v₂ deC^∞([0,1])et on suppose u(x)>0 , v₂(x)< v₁(x) pour tout x∈[0,1].

Pour i= 1,2, on notey_i une solution non identiquement nulle de l’équation (E_u,vi); on suppose que y₂ admet au moins deux zéros et on noteaetb deux zéros consécutifs.

4.a)Vérifier la relation

[uy₁y⁰₂]^b_a= Z b

a

v₁(x)−v₂(x)y₁(x)y₂(x)dx .

[On pourra considérer ^{Z b}

a

y₁B_u,v2(y₂)−y₂B_u,v1(y₁)dx.]

4.b)Montrer quey₁ admet au moins un zéro dans l’intervalle]a, b[. [On pourra procéder par l’absurde.]

Dans toute la suite du problème on noter une fonction deC^∞([0,1]); pour tout nombre réel λon considère l’équation différentielle sur[0,1]:

(D_λ) y⁰⁰+ (λ−r)y= 0.

On note y_λ l’unique solution de (D_λ) satisfaisant y_λ(0) = 0, y⁰_λ(0) = 1, et E_λ l’espace vectoriel (éventuellement réduit à zéro) des solutions de (D_λ) satisfaisant y(0) =y(1) = 0; si cet espace n’est pas réduit à zéro, on dit que λestvaleur propre.

Deuxième partie

5.a)Quelles sont les valeurs possibles de dimE_λ?

5.b)Démontrer l’équivalence des conditions E_λ 6={0} ety_λ(1) = 0.

6.Démontrer les assertions suivantes :

6.a)Toute valeur propre est supérieure ou égale àinf_x∈[0,1]r(x).

6.b)Siy₁ ∈E_λ1, y₂ ∈E_λ2 avec λ₁ 6=λ₂, alors Z ₁

0

y₁(x)y₂(x)dx= 0.

Troisième partie

Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par N(λ) le nombre des zéros de la fonctiony_λ dans[0,1]et on se propose d’étudierN(λ)en lien avec les valeurs dey_λ(1), ainsi que la répartition des valeurs propres.

7.Dans cette question on examine le cas où r = 0 etλ >0. On désigne par E(a) la partie entière d’un nombre réel a.

7.a)Calculery_λ(x) pourx∈[0,1].

7.b)CalculerN(λ).

7.c)Préciser le comportement deN(λ) au voisinage d’un point λ₀.

On ne suppose plus r = 0 ni λ > 0. On admettra que la fonction de deux variables (λ, x)7→y_λ(x)est de classe C^∞.

8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si y_λ0(1) est non nul, N(λ) est constant dans un voisinage de λ₀.

On désigne par c₁, . . . , c_n, n>1, les zéros dey_λ0 dans [0,1]avec 0 =c₁< c₂< . . . < c_n<1.

8.a) Montrer qu’il existe une suite strictement croissante (ξ_j)₀6j62n de nombres réels, pos- sédant les propriétés suivantes :

(i) ξ₀ = 0, ξ_2n= 1, 0< ξ₁ < ξ₂ , ξ_2j−2 < c_j < ξ_2j−1 pourj = 2, . . . , n; (ii) (−1)^j+1y_λ0 >0 sur[ξ_2j−1, ξ_2j], j= 1, . . . , n;

(iii) (−1)^jy_λ⁰

0 >0sur [ξ_2j, ξ_2j+1], j= 0, . . . , n−1.

8.b) Dans cette question, on considère une fonction F de classe C^∞ définie sur un ouvert contenant un rectangle compact I×J de R². Démontrer l’assertion suivante : pour tout ε >0 il existe δ >0 tel que les conditions s₁, s₂∈I et|s₁−s₂|< δimpliquent

|F(s₁, t)−F(s₂, t)|< ε pour toutt∈J .

8.c) Montrer que, pour tout λ suffisamment voisin de λ₀, y_λ a exactement un zéro dans chacun des intervalles [ξ_2j, ξ_2j+1], mais n’en a aucun dans les intervalles [ξ_2j−1, ξ_2j]. Conclure.

9.Montrer que, pour toutλ>ρ= sup_x∈[0,1]r(x), on a N(λ)>E(λ−ρ)^1/2π⁻¹.

[On pourra utiliser la question 4 et la question 7 en y remplaçant λ par un réel quelconque µ < λ−ρ.]

10.a)Montrer que, siy_λ(1)est non nul pour tout λappartenant à un intervalle I,N(λ) est constant dans I.

10.b)L’ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide ? fini ou infini ?

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement deN(λ) au voisinage d’un pointλ₀ tel que y_λ0(1) = 0. On écrira y(λ, x) au lieu dey_λ(x), et on rappelle que cette fonction de deux variables est de classe C^∞; l’équation (D_λ)s’écrit donc :

(i) ∂²y

∂x² + (λ−r)y= 0.

11.Démontrer que la relation (i) entraîne les relations suivantes :

(ii) ∂³y

∂x²∂λ + (λ−r)∂y

∂λ +y= 0

(iii) ∂²y

∂x²

∂y

∂λ− ∂³y

∂x²∂λy−y²= 0

(iv) ∂y

∂λ(λ₀,1)∂y

∂x(λ₀,1) = Z 1

0

y(λ₀, x)² dx >0.

12.Montrer qu’il existe un réel ε >0 ayant les propriétés suivantes : (i) si λ∈[λ₀−ε, λ₀[, on aN(λ) =N(λ₀)−1;

(ii) si λ∈[λ₀, λ₀+ε], on aN(λ) =N(λ₀).

13. Montrer qu’on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante infinie λ₁< λ₂ < . . ., et exprimerN(λ_n) en fonction de n.

∗ ∗

∗