K. GASSO
UV AUTOMATIQUE
Examen final 2003-2004
ASI 3
– Durée : 3h
– Documents autorisés : formulaires, notes personnelles et calculatrice – La copie du voisin n’est pas un document
– Lire tout l’énoncé avant toute rédaction. Temps de lecture : 15min.
Exercice 1 (3 points)
Soit le système de la figure 1 avec lesparamètres réelsa1,a2,k1,k2,αetβ.
u
a
+ +
y k
k 2
−β
−α x
x 1
2 1
a 2 1
2
+ +
+ +
+ +
+
FIG. 1 – Schéma fonctionnel
Etudier la stabilité, la commandabilité et l’observabilité du système en fonction dea1,a2,k1,k2,αetβ. Exercice 2 (8 points)
On considère un dispositif de régulation (représenté sur la figure 2) de niveau de liquide dans un réservoir.
yref
q(t)u q(t)e
u(t)
Vanne electromecanique
h(t) correcteur
Section A ym
FIG. 2 – Boucle de régulation du niveau de liquide dans un réservoir
Le débit d’utilisation qu(t)est supposé être une perturbation. Le niveau h(t)est mesuré indirectement par un capteur de pression situé au fond du réservoir. Le capteur fournit une tensionym(t)qui est une image deh(t).
Le capteur est caractérisé par l’équation différentielle :
τcy˙m(t) +ym(t) =αh(t)
Le débit d’entréeqe(t)est réglé par une vanne électromécanique dont la grandeur de commande est la tension u(t). La fonction de transfert QU(s)e(s) est un premier ordre de constante de temps τ et de gain statique K0. Le niveau de référencehref est donné par une tensionyref =αhref. L’écart(t) =ym(t)−yref est traité par un correcteur électroniqueC(s) =Kqui fournit la tension de commandeu(t).
Valeurs numériques :section du réservoirA= 0.05m2,K0 = 2.10−4m3/V.s,τ =τc= 1s,α= 8V /m, .
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ASI3 Examen final UV Automatique 2003-2004 1. Etablir l’équation différentielle qui lie le niveauh(t)àqe(t)etqu(t).
2. Complèter le schéma bloc (figure 3) du dispositif de régulation de niveau (la hauteur de référencehref est la consigne et la sortie esth(t)). En déduire la fonction de transfertHBO(s)du système en boucle ouverte.
ym
qe qu
href
−
ε u −
+ h(t)
yref +
FIG. 3 – Schéma bloc du dispositif de régulation de niveau
3. Analyser en fonction du gainKdu correcteur proportionnel la stabilité du système en boucle fermée.
4. Régler le gainKqui donne une marge de phase de60◦au système.
5. Donnerl’expression littéraledu niveauH(s)en fonction deHref(s)et du débit d’utilisationQu(s).
Nota :H(s)est la transformée de Laplace deh(t).
6. Le débit d’utilisationqu(t) =q0Γ(t)et la consignehref =h0Γ(t). Donner l’expression deh(∞), niveau du réservoir en régime permanent. L’erreur statiquehref −h(∞)est-elle nulle ? A quelle condition cette erreur est nulle ?
7. On décide maintenant de satisfaire le cahier de charges suivant (toujours pourqu(t) =q0Γ(t)) : – dépassement maximalD= 7%et temps de réponsetr = 10s,
– erreur statique nulle.
Compte tenu de la question précédente, proposer unnouveau correcteur en remplacement du correcteur proportionnel. Régler les paramètres de ce correcteur.
Exercice 3 (9 points)
Le comportement dynamique d’un système est caractérisé par les équations différentielles suivantes :
a2y¨1+a1y˙1=kv1(t)+v2 2(t)
b2y¨2+b1y˙2+b0y2(t) =k(v2(t)−v1(t)) Les entrées du système sontv1etv2et ses sorties sonty1ety2.
1. Proposer un modèle d’état du système (on spécifiera le vecteur d’étatX, les matricesA,BetC).
2. Donner l’expression des pôles du système.
3. On désire réaliser une commande par retour d’état de ce système. L’étudiant Gényko propose d’utiliser la formule d’Ackermann alors que l’étudiant Nicodé affirme que cela n’est pas possible. Qui des deux a raison ? Justifier la réponse. (Nota : aucun calcul n’est demandé).
4. Pour faciliter les calculs, on définit de nouvelles grandeurs de commandeu1etu2telles que : (
u1(t) = v1(t)+v2 2(t) u2(t) = v2(t)−2v1(t) Donner l’expression de la matrice de passageM telle que :
v1(t) v2(t)
=M
u1(t) u2(t)
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ASI3 Examen final UV Automatique 2003-2004 Donner la nouvelle représentation d’état du système avec u1 et u2 comme entrées. Tracer le schéma fonctionnel correspondant à ce nouveau modèle d’état.
5. En déduire que le système ainsi décrit est parfaitement découplé et est composé de deux sous-systèmes.
Donner le modèle d’état de chaque sous-système.
Nota : le découplage signifie que la commande de chaque sous-système peut être réalisée indépendamment de l’autre.
Valeurs numériques :a1 = 10,a2 = 1,b1= 1,b2 = 0.1,b0 = 20,k= 10.
6. On se donne le cahier de charges suivant en boucle fermée : La sortiey1(t)doit avoir un régime transitoire caractérisé par – un dépassement maximalD = 5%,
– un temps de réponse de 600ms.
La sortiey2(t)doit avoir un régime transitoire caractérisé par : – un dépassement nul,
– un temps de réponse de l’ordre de 300ms.
Effectuer la synthèse de l’asservissement par retour d’étatpour chaque sous-système.
7. On considère ici que les sortiesy1 ety2sont mesurées. Est-il possible de reconstruire les autres états du système ?
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