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Compléments à un travail sur la stabilité
Maurice Parodi
To cite this version:
665.
COMPLÉMENTS
A UN TRAVAIL SUR LASTABILITÉ
Par MAURICE PARODI.Sommaire. 2014 On donne dans ce travail des
conditions suffisantes pour que les racines d’une
équation
que l’on rencontre dans divers problèmes
d’Électricité,
soient toutes à partie réelle non positive.LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME
12,
JUIN1951,
Dans une
publication
anterieure(1),
nous avurlsdonne des conditions suffisantes pour que les valeurs
caractéristiques
d’une matricecarrde,
a elementsr6els,
soient toutes apartie
r6elle nonpositive.
Nous nous proposons de
g6n6raliser
certains resultats de cette 6tude.1. Divers
probl6mes
d’Electricite
conduisent à rechercher les conditions que doivent satisfaire les coefficients d’uneequation
de laforme
le determinant 6tant d’ordre n, les aii,
bii,
ai,,fi;;
reels et afiPi, -
ociibij 7--’ o (i
== 1, 2,...,
n),
pourque ses racines soient toutes a
partie
r6elle nonpositive.
Nous allons donner des conditions suflisantes pour
qu’il
en soit ainsi etqui
demeurentsimples quelque
soit l’ordre n du determinantqui
constitue lepremier
membre de1’6quation (1),
conditionqui
se ramènent a celles obtenues dans le travailpr6cit6 quand
on fait
D’apres
un théorème connu de M.Hadamard,
1’equation envisag6e
ne pourra etre satisfaitelorsque
seront v6rifi6es les n
in6galit6s
Posons z = x +
iy
(x;
yreels),
les relationspr6-c6dentes s’ecrivent
Si l’on considere une racine a
partie
re,elleposi-(1) J. Phys. Rad., 1949, 10, p. 200.
tive
(x >
o)
lesin6galit6s
(2)
seronttoujours
satis-faites si l’on’ a
Notons que,
compte
tenu des deuxpremieres
in6galit6s,
la derniere se r6duit àEn
effet,
supposons aubii
o, la dernierein6-galité (3)
donnesoit
resultat
qui
est en contradiction avec celuiqu’im-plique
les deuxpremi6res.
D’autrepart,
si l’on a,
ou bien
ou bien
ce
qui
estimpossible,
doncAinsi,
des conditions suflisantes pour que1’equa-tion 6tudi6e n’ait pas de racines a
partie
rdellepositive,
sontRemarquons
deplus
que si l’on choisit air,bij,
,Xii et
f3ii
positifs
(i ::=; I, 2,
...,n),
les deuxpremi6res,
relations
(4)
veulentet dans ce cas les relations
(5)
sont suffisantes pour666
que les racines de
(1)
n’aient pas leursparties
r6ellespositives.
11apparait
alors que les determinantssont du
type
de M. Hadamard et nous en avonssignal6
lespropri6tds
dans le travail paru préeé-demment dans ces colonnes.Notons que,
plus
généralement,
la distribution des racines de(1)
dans leplan complexe peut
etre 6tudi6e entraçant
les cercles(CI)
(i
=1, 9., ...,n)
que
représentent
lespremiers
membres desin6ga-lit6s
(2) égalés
az6ro,
la racine de cetteequation
setrouvant a l’int6rieur du domaine limit6 par ces n eirconférences.
Les
equations
des cercles(Ci)
peuvent
s’ecrireleurs centres oi
(i
=1, 2, ...,
n),
ont pourcoor-donn6es
et leurs rayons les valeurs
De ces resultats on deduit de nouvelles
condi-tions pour que
1’equation (1)
ait toutes ses racinesa
partie
recite nonpositive :
il suffit que tous les cercles(Ci)
se trouvent agauche
dei’axe
ima-ginaire
duplan
complexe;
il vient ainsills
permettent egalement
de donner une limitesup6rieure
L des modules des racines de1’6qua-tion
(1);
elle s’ecritet dans Ie cas ou toutes les racines sont a
partie
r6elle nonpositive,
la condition(6)
6tantsatis-faite,
une limite inférieure du module de ces derni6resest
2.
Le
theoreme de M. Hadamardpermet
égale-ment d’obtenir des conditions suffisantes pour que
1’equation
le
determinant
6tant d’ordre n, lesparametres
ail,bij,
..., I cxii, ... reels et telsail
b ii -+
cii au vi 1 ’Y iz
(i -=z 1,
2, ...,n),
n’ait pas de racines apartie
réelle
positive.
11 suffit que soient satisfaites les n
in6galit6s
Posant z
= p eiO (p, 0
reels),
elles veulentUne racine a
partie
réellepositive
implique
- -
0
- ;
1’equation
(1)
ne pourra donc avoirde racines
a partie
r6ellepositive
si 1’on aEn faisant cii = jrii = o, on retrouve les
