Remarques sur les fonctions 𝑆 ∶ ℝ → ℝ convexes et Lipschitziennes :
1) Si 𝑆 est Lipschitzienne alors 𝑆′(𝑥) existe presque partout au sens classique, et vérifie |𝑆′(𝑥)| ≤ 𝑀 𝑝𝑝
De plus, cette dérivée au sens classique est aussi la dérivée faible de 𝑆. On a aussi
∫ 𝑆𝑏 ′(𝑥)𝑑𝑥 𝑎
= 𝑆(𝑏) − 𝑆(𝑎)
Remarque : on a utilisé le fait que si 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞(ℝ) alors 𝑆𝜙 est aussi Lipschitzienne.
2) Les fonctions Lipschitziennes sont absolument continues donc l’image d’un ensemble de mesure de Lebesgue nulle par une fonction Lipschitzienne est de mesure nulle.
3) Les fonctions Lipschitziennes sont localement BV (à variation bornées) donc peuvent s’écrire comme la différence de deux fonctions croissantes.
4) Si {𝑓𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼} (avec I ensemble quelconque) est une famille de fonctions M-Lipschitzienne alors il en est de même pour les fonctions 𝑥 ↦ max
𝑖∈𝐼 {𝑓𝑖(𝑥)} et pour les fonctions 𝑥 ↦ min𝑖∈𝐼 {𝑓𝑖(𝑥)}
si ces fonctions sont finies en chaque point 𝑥
5) Il existe un théorème (de Mcshane-Withney) qui permet de prolonger une fonction Lip définie sur 𝐴 ⊂ ℝ à une fonction Lip définie sur tout ℝ
6) l’espace de Sobolev 𝑊1,∞(ℝ) est constitué des fonctions essentiellement bornées et
localement ? Lipschitzienne
7) Si 𝑓 est BV et 𝑆 Lipschitzienne, alors on a encore
∫ 𝑆(𝑥)𝑓′(𝑑𝑥) ℝ
= − ∫ 𝑆′(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥
ℝ
8) Un fonction convexe est localement Lipschitzienne
9) Si 𝑆 est une fonction convexe, elle admet des dérivées à droite et à gauche en tout point, de plus 𝑆𝑑′(𝑥) = 𝑆
𝑔′(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ\𝑁
où 𝑁 est un sous ensemble dénombrable de ℝ Ces deux fonctions 𝑆𝑑′ et 𝑆
𝑔′ sont croissantes. On a donc 𝑆(𝑥) − 𝑆(0) = ∫ 𝑆𝑥 𝑑′(𝑡)𝑑𝑡 0 = ∫ 𝑆𝑥 𝑔′(𝑡)𝑑𝑡 0
Remarque : Si 𝑆 est strictement convexe alors 𝑆𝑑′ et 𝑆
𝑔′ sont strictement croissantes
10) 𝑆′(𝑥) existe sauf sur un ensemble au plus dénombrable donc existe presque partout et est égal
à 𝑆𝑑′(𝑥) = 𝑆
𝑔′(𝑥) pp et est aussi égale à la dérivée au sens faible de 𝑆.
11) 𝑆𝑑′ et 𝑆
𝑔′ sont croissantes donc localement BV , comme elles admettent en tout point des
limites à gauche et à droite, on peut parler de leurs fonctions limite à droite et limite à gauches notées 𝑆𝑑′ + , 𝑆
𝑑′ − , 𝑆𝑔′ + et 𝑆𝑔′ − qui sont elles continues à droites ou continues à gauche (et
croissantes). leurs dérivées faibles sont des mesures positives qui vérifient 𝜇𝑑−( [𝑎; 𝑏[ ) = 𝑆
𝜇𝑔−( [𝑎; 𝑏[ ) = 𝑆𝑔′ −(𝑏) − 𝑆𝑔′ −(𝑎)
𝜇𝑑+( ]𝑎; 𝑏] ) = 𝑆𝑑′ +(𝑏) − 𝑆𝑑′ +(𝑎)
𝜇𝑔+( ]𝑎; 𝑏] ) = 𝑆
𝑔′ +(𝑏) − 𝑆𝑔′ +(𝑎)
Ces 4 mesures sont identiques. Notons la 𝜇
On a donc la dérivée au sens faible de 𝑆′ est égale à 𝜇
Remarque : Si 𝑆 est strictement convexe alors 𝜇(𝑎; 𝑏) > 0 dès que 𝑎 ≠ 𝑏 12) 𝑆𝑑′ et 𝑆
𝑔′ étant croissantes, elles sont dérivables presque partout, de dérivées mesurables au
sens de Lebesgue et positives
13) Le théorème fondamental de l’analyse n’est pas vérifié mais on a 0 ≤ ∫ (𝑆𝑏 𝑑′)′(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
≤ 𝑆𝑑′(𝑏) − 𝑆
𝑑′(𝑎) ∀𝑎 ≤ 𝑏
idem pour 𝑆𝑔′
14) A priori les dérivées faibles et presque partout de 𝑆𝑑′ et 𝑆
𝑔′ ne sont égales que si on peut
trouver des versions absolument continues sur tout compact de ces fonctions. Ce n’est pas le cas en général.
15) terminons par l’absolue continuité des fonctions et des mesures :
F est absolument continue sur ℝ si et seulement si il existe une fonction intégrable (au sens de Lebesgue) telle que
𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
𝑎
Dans ce cas, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑝𝑝
Remarque : fonction absolument continue entraîne fonction BV
F est localement absolument continue sur ℝ si et seulement si sa dérivée au sens faible est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.
16) 𝑆 en tant que fonction convexe sur ℝ peut être régularisée grâce à la suite régularisante habituelle : 𝜌(𝑥) = {1𝑐exp (𝑥21− 1) 𝑠𝑖 |𝑥| < 1 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 et 𝜌𝑛(𝑥) = 𝑛𝜌(𝑛𝑥) ∀𝑛 ∈ ℕ En effet, 𝑆 ∗ 𝜌𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑒 𝑒𝑡 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠û𝑟 𝐶∞
17) Si maintenant je régularise 𝑆𝑑′ qui est localement BV alors 𝑆
𝑑′ ∗ 𝜌𝑛 est localement BV et 𝐶∞, On a 𝑆𝑑′ ∗ 𝜌 𝑛 →𝑛→+∞𝑆𝑑′ 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐿1𝑙𝑜𝑐(ℝ) et (𝑆𝑑′ ∗ 𝜌 𝑛)′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐷(𝑆𝑑′ ∗ 𝜌𝑛) = 𝜇 ∗ 𝜌𝑛 →𝑛→+∞𝜇 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 (𝐶𝑉 𝑑𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒𝑠)
18) détail de la démo p49 du Perthame :
Cette fois-ci 𝑆𝑑′ est croissante et bornée donc BV. Donc je peux effectuer
〈𝜒(𝜉, 𝑢) − 𝑓(𝜉), 𝑆𝑑′ ∗ 𝜌
𝑛(𝜉)〉 = 〈
𝜕
soit ∫ (𝜒(𝜉, 𝑢) − 𝑓(𝜉)) × 𝑆𝑑′ ∗ 𝜌 𝑛(𝜉)𝑑𝜉 ℝ = − ∫ 𝑚(𝜉) × 𝜕 𝜕𝜉(𝑆𝑑′ ∗ 𝜌𝑛(𝜉))𝑑𝜉 ℝ = −〈𝑚(𝜉), 𝜇 ∗ 𝜌𝑛(𝜉)〉
et donc en faisant tendre 𝑛 vers l’infini, on a
∫ (𝜒(𝜉, 𝑢) − 𝑓(𝜉)) × 𝑆𝑑′(𝜉)𝑑𝜉 ℝ
= −〈𝑚(𝜉), 𝜇〉 ≤ 0
Pour montrer que 𝑚 ≡ 0 si 𝑆 est strictement convexe, supposons qu’il existe 𝑎 tel que 𝑚(𝑎) > 0, comme 𝑚 est continue,
𝑚(𝑥) >𝑚(𝑎)
2 ∀𝑥 ∈ 𝑉
où 𝑉 est un intervalle ouvert contenant 𝑎, or la mesure 𝜇(𝑉) > 0, ce qui contredit le fait que 〈𝑚(𝜉), 𝜇〉 = 0
