corrigé

Exercice 1 : Sur le quadrillage de la feuille ci-contre :

1. Construire: a) ⃗AB+⃗AC

C'est la règle du parallélogramme : on construit le point D tel que ABDC soit un parallélogramme. On a alors :

⃗_{AB+⃗AC=⃗AD}

b) ⃗MN+⃗PQ à partir du point O Il suffit de se rappeler qu'un vecteur caractérise (décrit) une translation. Le vecteur ⃗_MN, par exemple, décrit le déplacement « 2 unités vers la gauche, 3 unités vers le bas ».

Il est dès lors très important de comprendre

qu'un vecteur n'est pas un ensemble de points ! En effectuant, l'un après l'autre, les déplacements décrits par les vecteurs ⃗MN et ⃗PQ , on a effectué le déplacement décrit par ⃗MN+⃗PQ . Si l'on a effectué ce

déplacement en partant de O, on arrive en E. Le déplacement ainsi effectué peut alors être décrit par le vecteur ⃗_OE et on a la relation : ⃗_{OE=⃗MN+⃗PQ}.

Remarque intéressante : dans GeoGebra, on peut, pour trouver la position de E, travailler de plusieurs façons, qui illustrent toutes très bien la notion de vecteur.

Point de départ : on construit deux vecteurs ⃗MN et ⃗PQ (qui sont appelés u et v, par défaut, par le logiciel).

On construit un point O (on utilisera en fait 3 points O1, O2 et O3 pour illustrer les 3 constructions). a) On trace , bout à bout, en partant de O₁, des représentants des vecteurs ⃗_MN et ⃗_PQ : on obtient la position de E1 tel que ⃗O1E1=⃗MN+⃗PQ

b) On place l'image O' de O2 par la translation de vecteur ⃗MN puis l'image E2 de O' par la translation de vecteur ⃗PQ : on a bien ⃗O₂E₂=⃗MN+⃗PQ .

c) Dans la ligne de saisie, on entre (attention, cette notation, intuitive, n'est pas correcte du point de vue symbolique sur le papier!) : E₃ est le point obtenu en partant de O₃ et en effectuant le déplacement décrit par u, puis le déplacement décrit par v. On a donc ⃗_{O3E3=⃗MN+⃗PQ}.

⃗_O

1E1, ⃗O2E2 et ⃗O3E3 sont trois représentants d'un même vecteur : ils décrivent une même (et unique) translation.

Géométrie vectorielle

D

2. Trouver une relation entre ⃗u et ⃗v .

Les vecteurs ⃗u et ⃗v ont la même direction : ils sont colinéaires. La norme de ⃗v est le double de celle de ⃗u :

∥

⃗v

∥

=2×

∥

⃗u

∥

. Les vecteurs ⃗u et ⃗v sont de sens contraires.

On a finalement la relation : ⃗v=−2 ⃗u . 3. Compléter les égalités suivantes:

⃗_KL=2 3⃗RS ⃗

RS=3 2⃗KL

Exercice 2 : Soit ABC un triangle.

Construire les points E et F tels que ⃗AE=3

2⃗AB et ⃗AF= 3 2⃗AC

Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

Il s'agit en fait simplement de constater que le triangle AEF est un agrandissement de ABC, de rapport 3 2 . En mathématiques, on dit que AEF est l'image de ABC par l'homothétie de centre A et de rapport 3

2 .

On peut d'ailleurs utiliser cette transformation dans GeoGebra pour placer les points E et F, à partir de B et C, ou directement le triangle AEF à partir du triangle ABC.

Dès lors, le résultat devient évident, par l'utilisation du théorème de Thalès (dont la configuration est directement liée à l'homothétie, comme la configuration du parallélogramme est liée à la translation). Mais bon, l'énoncé demande d'utiliser la relation de Chasles :

On cherche à montrer que les vecteurs ⃗_EF et ⃗_BC sont colinéaires. ⃗

EF=⃗EA +⃗AF (d'après la relation de Chasles) ⃗ EF=3 2⃗BA + 3 2⃗AC (d'après l'énoncé) ⃗ EF=3 2(⃗BA +⃗AC ) ⃗ EF=3

2⃗BC (d'après la relation de Chasles) ⃗

EF et ⃗_BC sont colinéaires. On en déduit que : (EF)//(BC).

Et finalement, j'ai fait de la géométrie sans faire un seul dessin... C'est possible, mais, au niveau du lycée, ce n'est pas forcément conseillé, car il est bon d'avoir une représentation visuelle des objets avec lesquels on travaille : ça aide à construire, petit à petit, une représentation mentale qui sera très utile, voire nécessaire, pour arriver à atteindre un degré d'abstraction supérieur.

Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme de centre O; I est le milieu de [AB] et E est le point tel que ⃗_DE=2

3⃗DI .

Le but de l'exercice est de prouver que les points A, E et C sont alignés par différentes méthodes.

Méthode 1: utilisation d’une configuration

1. Que représente le point E pour le triangle ABD ?

I est le milieu de [AB] donc [DI] est la médiane issue de D dans le triangle ABD.

De plus E est au deux tiers de la médiane, en partant du point dont elle est issue (on sait en effet que : ⃗_DE=2

3⃗DI ). Donc E est le centre de gravité du triangle ABD.

2. Prouver que A, E et O sont alignés. Déduisez-en l’alignement de A, E et C.

O étant le centre du parallélogramme ABCD, O est le milieu de la diagonale [BD] : [AO] est la médiane issue de A dans le triangle ABD.

D'après le résultat de la question 1., E appartient à [AO]. A, E et O sont alignés.

O est aussi le milieu de la diagonale [AC] du parallélogramme ABCD, donc A, O et C sont alignés. Finalement, A, E et C sont alignés.

Méthode 2: utilisation du calcul vectoriel

1. Prouver que ⃗AE=1 3⃗AB+

1 3⃗AD . On a la relation vectorielle ⃗DE=2

3⃗DI .

Vu le résultat cherché, on va « décomposer » ⃗DE en ⃗DA +⃗AE . I étant le milieu de [AB], on a : ⃗DI=1

2(⃗DA +⃗DB) (la moitié de la diagonale partant de D dans le parallélogramme de côtés [DA] et [DB], dont I serait le centre).

On a tous les vecteurs voulus dans la relation finale, avec ⃗_DB en plus, qu'il suffit de décomposer en ⃗_{DA +⃗AB .} Et voilà. ⃗_DE=2 3⃗DI ⃗_{DA +⃗AE=}2 3× 1 2(⃗DA +⃗DA+⃗AB) 3⃗DA +3⃗AE=2⃗DA +⃗AB 3⃗AE=−⃗DA +⃗AB ⃗_AE=1 3⃗AB+ 1 3⃗AD 2. En déduire l’alignement de A, E et C.

On cherche à montrer, par exemple, que les vecteurs ⃗_AE et ⃗_AC sont colinéaires. ⃗_AE=1

3(⃗AB+⃗AD) ⃗_AE=1

3⃗AC (d'après la règle du parallélogramme)

Remarque : ⃗_AE=1 3⃗AB+ 1 3⃗AD est équivalent à ⃗AE

(

1 3 1 3

)

dans la base (⃗AB ,⃗AD) .

ou encore à E

(

1 3;

1

3

)

dans le repère (A ;⃗AB,⃗AD) . Or, dans le repère (A;⃗AB ,⃗AD) , A (0 ;0) et C(1 ;1) .

Les points A, E et C sont tous les trois sur la droite d'équation y=x (il y a pléthore de méthodes pour montrer l'alignement de ces trois points...).

Méthode 3: en utilisant un repère

On considère le repère (D ;⃗DC,⃗DA) .

1. Donner les coordonnées des points A, B, C et D dans ce repère. A (0 ;1) B(1 ;1) C(1 ;0) D(0 ; 0)

2. En déduire les coordonnées de I puis de E. I est le milieu de [AB] donc I

(

xA+xB

2 ;

y_A+y_B 2

)

: I

(

1 2;1

)

. E est tel que ⃗DE=2

3⃗DI . Or ⃗DE

(

x_E

y_E

)

et ⃗DI

(

x_I

y_I

)

dans la base (⃗DC ,⃗DA) . Donc

{

xE= 2 3xI y_E=2 3 yI E

(

1 3; 2 3

)

3. Donner les coordonnées des vecteurs ⃗AE et ⃗AC . ⃗_AE

(

xE− xA y_E− y_A

)

⃗_AE

(

1 3 −1 3

)

dans la base (⃗DC,⃗DA) (ce qui signifie, pour rappel, que : ⃗AE=1 3⃗DC−

1 3⃗DA ).

De même, ⃗_AC

(

1

−1

)

dans la base (⃗DC ,⃗DA) . 4. En déduire que les points A, E et C sont alignés. On a donc : ⃗_{AC=3 ⃗AE}.

⃗_{AE et ⃗AC sont colinéaires. Donc les points A, E et C sont alignés. (« copier-coller » de la conclusion de la} méthode 2...)

Exercice 4 : Compléter la figure ou les phrases

1. Placer sur le dessin le point G tel que AEDG soit un parallélogramme. 2. Placer sur le dessin le point H tel que [AH] et [EF] aient même milieu.

3. Dessiner l'image du polygone ABCDE par la translation qui transforme A en A' . 4. Soit F' l'image de F par la translation qui transforme B en A. Placer F' sur le dessin. 5. Placer sur le dessin le point E', image de E par la translation de vecteur ⃗BE . 6. Citer deux vecteurs égaux au vecteur ⃗_CD: ⃗_{CD=⃗FA=⃗AC=⃗HE=⃗JK}

Exercice 5 : La figure ci-dessous est un assemblage de triangles équilatéraux. Compléter sans justifications les phrases ci-dessous en remplaçant les pointillés par une lettre.

1. ⃗CF+⃗FJ=⃗AH

2. ⃗DE−⃗AJ+⃗EJ−⃗HA=⃗IJ+⃗JA+⃗AF+⃗AH=⃗IF+⃗AH=⃗DA +⃗AH=⃗DH=⃗BF 3. ⃗BE+⃗BF=⃗BI

4. ⃗JI+2⃗FI=⃗CB+⃗BH=⃗CH

Exercice 6 : A, B, C , E et F sont des points tels que ⃗_EC=3⃗AB et ⃗_FC=−5⃗AB. Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

⃗ EF=⃗EC+⃗CF ⃗ EF=⃗EC−⃗FC ⃗ EF=3⃗AB+5⃗AB ⃗ EF=8⃗AB

Les vecteurs ⃗EF et ⃗AB sont colinéaires. Donc (EF)//(AB) G

H F'

Exercice 7 : Les points A, B et M sont liés par la relation ⃗AM−7⃗BM=14 ⃗AB . Exprimer ⃗AM en fonction de ⃗_AB (On attend une relation de la forme ⃗_AM=λ⃗AB) puis placer le point M sur le dessin.

Voici un exercice très classique et qu'il faut maîtriser. Dans la relation de départ, le point M (dont on ne connaît pas la position) apparaît dans deux vecteurs différents, ce qui rend difficile le placement direct de M sur le dessin : pour faciliter le placement de M sur le dessin, on s'arrange pour que M n'apparaisse plus que dans un vecteur, à l'aide de la relation de Chasles. Pour travailler efficacement, on doit déterminer avant de commencer les calculs, quel type de relation on cherche à établir. Ainsi, on sait parfaitement quelq vecteurs ont cherche à faire apparaître et on ne tourne pas en rond dans les calculs.

⃗_{AM−7⃗BM=14 ⃗AB} ⃗_{AM−7(⃗BA +⃗AM)=14⃗AB} ⃗_{AM +7⃗AB−7⃗AM=14⃗AB} −6⃗AM=7⃗AB ⃗_AM=−7 6⃗AB Remarque : ⃗AM=−7

6⃗AB équivaut à dire que M

(

− 7

6

)

dans le repère de droite (A;⃗AB) . Exercice 8 : Soit ABC un triangle quelconque.

On considère les points I, J et K tels que ⃗BI=1

2⃗BC , ⃗AJ= 3

2⃗AB et ⃗AK = 3 4⃗AC .

1. a) Exprimer les vecteurs ⃗JK et ⃗JI en fonction des vecteurs ⃗AB et ⃗AC . ⃗ JK=⃗JA+⃗AK ⃗ JK=−3 2⃗AB+ 3 4⃗AC (autrement dit, ⃗JK

(

− 3 2 3 4

)

dans la base (⃗AB,⃗AC) )

⃗

JI=⃗JA+⃗AB+⃗BI ⃗ JI=−3 2⃗AB+⃗AB+ 1 2(⃗BA+⃗AC) ⃗ JI=−1 2⃗AB− 1 2⃗AB+ 1 2⃗AC ⃗ JI=−⃗AB+1 2⃗AC (autrement dit, ⃗JI

(

−1 1 2

)

dans la base (⃗AB,⃗AC) )

b) En déduire que les points I, J et K sont alignés. On remarque que ⃗JK=3

2⃗JI

Les vecteurs ⃗JK et ⃗JI sont colinéaires donc les points J, K et I sont alignés. M

Remarque : on pouvait aussi montrer que les coordonnées de ⃗JK et ⃗JI dans la base (⃗AB,⃗AC) sont proportionnelles, en montrant que la différence des produits en croix est nulle :

x⃗JKy⃗JI−y⃗JKx⃗JI=− 3 2× 1 2− 3 2×

(

− 1 2

)

=− 3 4+ 3

4=0 donc ⃗JK et ⃗JI sont colinéaires. 2. On veut démontrer le même résultat en utilisant une autre méthode.

a) Lire les coordonnées des points J et K dans le repère (A;⃗AB,⃗AC) . J

(

3

2;0

)

et K

(

0 ; 3 4

)

.

b) Quelle est la position du point I sur le segment [BC] ? Calculer les coordonnées de I. ⃗

BI=1

2⃗BC donc I est le milieu de [BC]. I

(

xB+xC 2 ; y_B+y_C 2

)

I

(

1+0 2 ; 0+1 2

)

I

(

1 2; 1 2

)

c) Déterminer l'équation réduite de la droite (JK) dans (A;⃗AB,⃗AC) . x_J≠x_K donc (JK) a une équation réduite dans le repère (A;⃗AB,⃗AC) .

Cette équation est de la forme y=mx+ p , avec m=yK−yJ x_K−x_J= 3 4 −3 2 =−3 4× 2 3=− 1 2 (JK) : y=−1 2x + p On a : yJ=− 1 2 xJ+p p= y_J+1 2 xJ=0+ 1 2× 3 2= 3 4 (JK) : y=−1 2x + 3 4 d) Montrer que I ∈ (JK). −1 2 xI+ 3 4=− 1 2× 1 2+ 3 4 =−1 4+ 3 4 =1 2 =y_I