Théorèmes de factorisation pour les opérateurs linéaires à valeurs dans les espaces L p

Astérisque

B ERNARD M AUREY

Théorèmes de factorisation pour les opérateurs linéaires à valeurs dans les espaces L ^p

Astérisque, tome 11 (1974)

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REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier tout spécialement Monsieur Laurent Schwartz, dont l

attention et les conseils m

o n t été extrêmement précieux dans la préparation de ce travail. Qu'il trouve ici l'expression de ma profonde gratitude.

Je remercie Monsieur Pierre Cartier, qui a lu le manuscrit, et Monsieur Adrien Douady qui m

a indiqué un

intéressant sujet de seconde thèse.

Je ne dois pas oublier de remercier mes camarades du Centre de Mathématiques de l'Ecole Polytechnique, qui ont dû subir les premières versions des résultats qui suivent.

Je remercie enfin les secrétaires du Centre de

Mathématiques pour leur gentillesse et leur efficacité dans

la résolution des multiples problèmes techniques.

TABLE DES MATIERES

Introduction 2 0 Conventions générales 9

1 Théorèmes de factorisation pour p > 0 11 II Théorèmes de factorisation pour p = 0 24 III Liens avec la théorie des opérateurs p-sommants 32

IV Théorèmes de factorisation et opérateurs O-sommants 48 V Une généralisation vectorielle : les opérateurs (p,G)-sommants 60

VI Opérateurs et espaces de type et de cotype q, 0 < q < 2 65

VII Espaces de cotype 2 et théorèmes de prolongement 87

VIII Conséquences d'un lemme de H.P. Rosenthal 98 P

IX Applications aux plongements dans les espaces L 121

X Extension aux espaces d'Orlicz 128 XI Questions et problèmes, 149

Index terminologique 154 Index des notations 156 Bibliographie. 157

Addendum 161

Summary 163

INTRODUCTION

La première source d'inspiration de ce travail se trouve dans un ar- ticle de E.M. Nikishin [l9] qui démontre le résultat suivant : soient E un es- pace de Banach, (Q, (M) un espace de probabilité et u un opérateur linéaire continu de E dans l'espace L°(Q,^l) des fonctions réelles -mesurables, muni de la topologie de la convergence en probabilité. Il n'y a pas de raison a priori pour que les éléments de u(E) admettent un moment d'ordre p, pour un p > 0, c'est-à-dire appartiennent à LP( Q , ^ u ) . Cependant, pour tout S > 0 et tout p < 1, il est possible de trouver une partie mesurable Qg de Q, telle que (Q - Qg) < e, et une constante M telles que :

V x € E, / |u(x) |^P d^u < M ||x||P

De cet énoncé donné par Nikishin il est facile de passer à un énon- cé équivalent : tout opérateur linéaire continu d'un espace de Banach E dans un espace L°(Q,^jt ) admet la factorisation : (pour tout p < l) :

1 9 E * LP(n,¿u) > L (fi,

où u^ est un opérateur linéaire continu de E dans L^P(Q,/Ct), et où T^ désigne l'opérateur de multiplication par une fonction mesurable g.

Par ailleurs, Grothendieck a démontré dans [5] un théorème de même

œ .

nature : tout opérateur linéaire continu d'un espace L (X,V) dans un espace

\

L (Q,U) admet la factorisation:

UH T

00 2 9 1

L ( X ,v) *. L (Q,<u) > L ( Q^Mu ) ,

00 2 où u est un opérateur linéaire continu de L (X,V) dans L ( Q ,M) , et où T

2 désigne l'opérateur de multiplication par une fonction g de L

Les deux articles que nous venons de citer fixent le thème de notre travail, qui est donc consacré aux théorèmes de factorisation pour les opéra-

p, . teurs linéaires continus a valeurs dans un espace L (Q,^u

Notre étude empruntera beaucoup à un article récent de

H.P. Rosenthal, "On subspaces of LP" [25J, dont nous généraliserons plusieurs

I N T R O D U C T I O N

r é s u l t a t s . E n p a r t i c u l i e r , en u t i l i s a n t u n lemme t r è s i n t é r e s s a n t de cet a r - t i c l e , n o u s d o n n e r o n s u n e n o u v e l l e d é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e de G r o t h e n d i e c k cité p l u s h a u t .

D a n s la t h é o r i e des a p p l i c a t i o n s s o m m a n t e s |_27]i ce t h é o r è m e de G r o t h e n d i e c k implique que tout o p é r a t e u r 2-sommant d'un e s p a c e L (X,v) dans u n e s p a c e q u a s i - n o r m é F est 1-sommant. Un c e r t a i n n o m b r e de t h é o r è m e s a n a l o - gues ont été d é m o n t r é s p a r S. K w a p i e n [9] et P. S a p h a r [26], sans faire i n - t e r v e n i r de t h é o r è m e s de f a c t o r i s a t i o n : tout o p é r a t e u r l i n é a i r e q-sommant d'un e s p a c e Lr( X , V ) dans u n e s p a c e q u a s i - n o r m é F est p - s o m m a n t si

0 < p ^ q < r' < 2 ou si 0 < p < q < 2 < r1 < œ^# N o u s v e r r o n s que les t h é o r è - m e s de cette n a t u r e i m p l i q u e n t des t h é o r è m e s de f a c t o r i s a t i o n : tout o p é r a - t e u r l i n é a i r e c o n t i n u d'un e s p a c e Lr (X,v) dans un e s p a c e LP( Q , ^ ) admet la f a c t o r i s a t i o n *

T

1 ⁹

Lr (X,V) * Lq( n , ^ ) > L^P( Q , ^ ) ,

s , V

où p , q, r sont comme p r é c é d e m m e n t , et ou g est u n e f o n c t i o n de L (Q, j ,

1 _ A 1

P "~ q s

N o t r e t r a v a i l est d i v i s é en o n z e p a r t i e s , que n o u s a l l o n s p a s s e r en r e v u e :

Le c h a p i t r e I c o n c e r n e le p r o b l è m e de f a c t o r i s a t i o n p r o p r e m e n t d i t . N o u s e n v i s a g e r o n s la q u e s t i o n de la f a ç o n s u i v a n t e : soient ( Q , ^ ) un e s p a c e m e s u r é , et (f.) une f a m i l l e de f o n c t i o n s de LP(Q,/6« ) , 0 < p < <»• Soient

1 1 € 1 1 1 1

d ' a u t r e part q > p et r donne p a r — = — + — . N o u s v o u d r i o n s t r o u v e r u n e

R P q r

f o n c t i o n g 6 L (n,^ ) telle que l'on ait p o u r tout i 6 I : f. q

/ I—I W ^<

La c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e est d o n n é e au t h é o r è m e 2.

Elle s ' i n s p i r e de la c o n d i t i o n d o n n é e dans le t h é o r è m e 1 de [25]«

A p a r t i r de là il est facile de d o n n e r la c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e p o u r q u ' u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u d'un e s p a c e q u a s i - n o r m é E dans u n e s p a c e LP( Q , A/ ) a d m e t t e la f a c t o r i s a t i o n :

T

9

E Lq( Q ,

n)

ou plus généralement si G est un espace quasi-normé, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un opérateur linéaire continu de E dans L^P( Q, ^ c i, G ) ad- mette la factorisation :

T g

E **L^q(n, p ,G) > L^P( Q , ju ,G) (Théorème 8 ) . Nous étudierons ensuite dans ce premier chapitre le problème

"transposé" : si (f.) est une famille d'éléments de L^q( Q ,^ju ) , 0 < q < +00,

1 *•€ I , r 1 1 1

nous voulons trouver une fonction g £ L )« — = — + — telle que l'on P q r

ait pour tout i G I î P

/ |g f.

I dp ^

Cette condition est donnée dans le théorème 1 0# On en déduit des théorèmes de factorisation pour des opérateurs linéaires continus définis sur un sous-espace S d'un espace L^iCï, u ) , et à valeurs dans un espace quasi-

q 1

norme E (Corollaire 1 1 ) ,

L'objet du chapitre II est identique à celui du chapitre I, mais on travaille maintenant sur des operateurs a valeurs dans un espace L (0,/U ) , et les techniques seront un peu différentes (inspirées du théorème 4 de [19])• De plus, on traite un problème un peu plus général que dans le cha- pitre I : on recherche la condition nécessaire et suffisante pour qu'un opé- rateur linéaire continu d'un espace quasi-normé E à valeurs dans un espace

o / \

L (Q,/U) admette la factorisation : T

$ 9 o

E * L*(n,^ ) L (n,tf ) ,

où $ est une fonction de Young telle que l'espace d'Orlicz L (Q, ) soit quasi-normable (théorème 1 7 ) .

Dans les chapitres III (pour p > 0) et IV (pour p = 0 ) , on fera le lien entre les théorèmes de factorisation pour les opérateurs à valeurs dans

P / \

un espace L (Q,¿4 ) et la théorie des applications radonifîantes. Comme dans [27] et |_2^]on verra apparaître l'hypothèse d'approximation dans le cas p < 1. Les résultats principaux sont le théorème 23 (pour p > 0) et le co- rollaire 34 (pour p ss 0) : si E est un espace de Banach, tel que E ' vérifie l'hypothèse d'approximation métrique, les conditions suivantes sont équiva- lentes, lorsque q est un nombre réel ^ p :

I N T R O D U C T I O N

a) Tout opérateur linéaire continu de E

dans un espace L

(Q

4i) admet la factorisation :

T g

E' >L

(Q,/tA )

(on suppose que AÀ est une probabilité si p = 0)

b) Pour tout espace quasi-normé F, on a :

n

(E,F)

(E,F)

q P

Dans le chapitre V, on introduit la notion d

opérateur (p,G)-som- mant (G étant un espace quasi-normé)• Cette notion généralise celle d'opéra- teur p-sommant, et permet de formuler l'analogue du théorème 23 dans le cas d'opérateurs à valeurs dans L

(Q,^tf ,G) (Théorème 39)»

A partir des théorèmes connus de la forme :

1/F, r U E , F ) = n ( E , F ) (cf [ 9 ] , [26] ou [3])

on déduit par le théorème 23 un certain nombre de théorèmes de factorisation pour les opérateurs linéaires continus de È ' dans un espace L

que E est

espace L

( X , V) , pour r convenable ( [ 9 ] et [26]) ou un espace de Banach quelconque [3]« En fait dans le chapitre VI, nous retrouvons cas ré- sultats par une méthode plus directe, en introduisant la notion d'espace de type q, 0 < q < 2. Cette méthode aura l'avantage secondaire de ne pas uti- liser l'hypothèse d'approximation. Lorsqu'un espace quasi-normé E est de type q, tout opérateur linéaire continu de E dans un espace L

(Q,

oi),

0 ^ P ^ q» se factorise par L

(Q,xv) (Proposition 4 3 ) . Nous donnerons quelques exemples d'espaces de type q, (essentiellement des espaces L

( X , \>) ou

L

( X , V , G ) , pour r et G convenables), et nous résumerons l'essentiel des ré- sultats dans le théorème 5 0 .

Pour finir le chapitre VI, nous appliquerons les théorèmes géné- raux de factorisation au cas d'opérateurs linéaires invariants par translation de L

(K,)() dans L ° ( K ,

) , où K est un groupe compact, et

sa mesure de Haar. On verra dans ce cas que si un opérateur invariant par translation de L

(K,)() dans L°(K,

) se factorise :

T

L

( K ,

) * L

( K ,

) ^ ( L ° ( K ,

) ,

c'est qu'il o p é r a i t déjà de L,^r(K,y) dans Lq( K ,x) ( P r o p o s i t i o n 6 6 , t h é o r è m e 6 8 ) .

Le c h a p i t r e VII é t u d i e u n e c l a s s e d ' e s p a c e s q u a s i - n o r m é s que n o u s a p p e l o n s e s p a c e de cotype 2, dont l'exemple f o n d a m e n t a l est f o u r n i p a r les e s p a c e s LP( Q , < u ) , p o u r 0 < p < 2. L o r s q u e E est de c o t y p e 2, tout o p é r a t e u r l i n é a i r e et c o n t i n u d'un s o u s - e s p a c e d'un e s p a c e Lq( f l , ^ ) ( 2 < q < œ) dans E admet la f a c t o r i s a t i o n :

T

9 2

Lq( Q , / u ) • L

U i U

Jg

S • S E

q 2

où T est u n o p é r a t e u r de m u l t i p l i c a t i o n de L (ü,/U ) d a n s L ( Q , ^ ) , S 9 2 ' l ' a d h é r e n c e de T (S ) dans L (Q,>U ) et j l ' o p é r a t e u r induit p a r T sur S .

g q * g g q O n en déduit en p a r t i c u l i e r que tout o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u d'un s o u s - e s p a c e S d'un e s p a c e L^(Q,¿i>? ) , 2 ^ q < œ, dans E admet u n p r o l o n g e m e n t c o n - t i n u à L^(Q,{U ) t o u t e n t i e r ( T h é o r è m e 7 6 ) . O n r e t r o u v e a i n s i u n r é s u l t a t de K a d e c et P e l c z y n s k i [7] : si un s o u s - e s p a c e E de L^(Ç1, fit ) , 2 ^ q < <», est h i l b e r t i s a b l e , il est c o m p l e m e n t é d a n s Lq( Q , < u ) , ( C o r o l l a i r e 79)»

D a n s le c h a p i t r e V I I I a p p a r a î t l ' a n a l y s e la p l u s f i n e , f o n d é e sur l e lemme 6 de |_²5 ] , qui d e v i e n t p o u r n o u s (dans u n e v e r s i o n c o n v e n a b l e m e n t g é n é r a l i s é e ) le t h é o r è m e 8 4 . Ce r é s u l t a t p e r m e t d ' é t u d i e r , l o r s q u e E est u n e s p a c e de B a n a c h , l ' e n s e m b l e I des r é e l s p > 0 t e l s que l'on ait :

E V F, n (E,F) = I M E , F ) .

O n d é m o n t r e r a p a r e x e m p l e que 1 £ I_ si et s e u l e m e n t si p o u r tout e > O et p o u r tout e n t i e r n, E c o n t i e n t un s o u s - e s p a c e ( 1 + e ) - i s o m o r p h e à X ° ° ( T h é o r è m e 92) .

n

A p a r t i r de ces r é s u l t a t s , on p o u r r a d é m o n t r e r le t h é o r è m e de G r o t h e n d i e c k cité p r é c é d e m m e n t . En fait, n o u s t r o u v e r o n s u n e c e r t a i n e a m é - l i o r a t i o n , que n o u s p o u v o n s e x p r i m e r sous la forme :

L ( L \ L2) = nQ( L1, L2) ( T h é o r è m e 9 4 ) •

I N T R O D U C T I O N

O n en d é d u i t e n s u i t e u n n o u v e a u r é s u l t a t , qui a m é l i o r e u n t h é o r è m e de K w a p i e n et P e l c z y n s k i 1 s^ £ X^{n est une} série i g c o n d i t i o n e l l e m e n t c o n v e r g e n t e dans LP(Q,i>l ) , O < p < 1, la s é r i e S n c o n v e r g e p r e s q u e

n > 2 9 n

p a r t o u t ( T h é o r è m e 9 5 ) • ^ D a n s le c h a p i t r e IX, n o u s é t u d i e r o n s les p l o n g e m e n t s forts d'un e s p a c e de B a n a c h E dans u n e s p a c e LP( Q , | U ) , c ' e s t - à - d i r e les p l o n g e m e n t s u de E dans LP( Q , { U ) t e l s que sur u ( E ) les t o p o l o g i e s de LP( Q , ( U ) et de L ( Q Î ^ ) c o ï n c i d e n t . N o u s m o n t r e r o n s e s s e n t i e l l e m e n t le r é s u l t a t suivant : si E est u n e s p a c e de B a n a c h p l o n g e a b l e dans un e s p a c e L (Q,(ti ) , v é r i f i a n t l ' h y p o t h è s e d ' a p p r o x i m a t i o n m é t r i q u e , et si p est u n n o m b r e réel tel que 0 < p < 2, les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s : ( T h é o r è m e 98)

a) E est de type p

b ) E peut se p l o n g e r f o r t e m e n t dans L ^ Q , ^ )

c) P

e

Le c h a p i t r e X c o n s t i t u e un essai de g é n é r a l i s a t i o n des c h a p i t r e s I et III au cas des e s p a c e s d ' O r l i c z L ( 0 , ^ ) . N o u s c o m m e n c e r o n s par d é t e r - m i n e r les o p é r a t e u r s de m u l t i p l i c a t i o n de L^(Q,<t< ) dans L (Q,ftf) ( P r o p o s i - t i o n 1 0 7 ) . E n s u i t e n o u s d o n n e r o n s au t h é o r è m e IO9 l ' a n a l o g u e du t h é o r è m e 8, ( a n a l o g i e p a r t i e l l e car n o u s i g n o r o n s si les c o n d i t i o n s d o n n é e s sont n é c e s - s a i r e s dans ce c a s ) , p u i s l ' a n a l o g u e du t h é o r è m e 23 s e r a p r o u v é dans le t h é o r è m e 113.

P o u r finir le c h a p i t r e XI i n d i q u e q u e l q u e s q u e s t i o n s et p r o b l è m e s . D é p e n d a n c e l o g i q u e des c h a p i t r e s

V

V I I I

^ ^ ^ ^ III " " " \ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

~~~~~ ; v

(Dans ce d i a g r a m m e , n o u s c o n s i d é r o n s q u ' u n c h a p i t r e est i n d é p e n d a n t d'un c h a p i t r e p r é c é d e n t s'il s u f f i t de se r e p o r t e r à u n e ou d e u x d é f i n i t i o n s du p r é c é d e n t p o u r le l i r e . P a r e x e m p l e , la d é f i n i t i o n des e s p a c e s de c o t y p e 2 é t u d i é s dans le c h a p i t r e VII se t r o u v e dans le c h a p i t r e V I , m a i s c'est la s e u l e c h o s e u t i l i s é e de ce c h a p i t r e ) •

* *

C O N V E N T I O N S G É N É R A L E S

O• C o n v e n t i o n s g e n é r a l e s

N o u s a p p e l l e r o n s e s p a c e q u a s i - n o r m a b l e u n e s p a c e v e c t o r i e l t o p o l o - g i q u e s é p a r é p o s s é d a n t un v o i s i n a g e de zéro b o r n é . N o u s a p p e l l e r o n s e s p a c e q u a s i - n o r m é la d o n n é e d'un e s p a c e q u a s i - n o r m a b l e E et d'un v o i s i n a g e de zéro é q u i l i b r é et b o r n é V . La q u a s i - n o r m e sur E sera a l o r s la j a u g e de V .

Si p est u n n o m b r e réel tel que 0 < p ^ 1, on a p p e l l e p - n o r m e sur u n e s p a c e v e c t o r i e l E u n e f o n c t i o n x -> ||x|| à v a l e u r s dans ]R+, t e l l e que :

||x|| _ 0 < £ = > * - 0 ; ||X x|| = | M ||x||

V X , y € E ||x + y|jP < ||x||P + ||y||P.

O n sait [23] que si u n evt E est q u a s i - n o r m a b l e , il e x i s t e p £ ]0,1] tel ° lu e la t o p o l o g i e de E p u i s s e être d é f i n i e p a r u n e p - n o r m e .

Tout au long de ce t r a v a i l , n o u s u t i l i s e r o n s les e s p a c e s c l a s s i q u e s LP(Q,(i,), m a i s é g a l e m e n t les e s p a c e s d ' O r l i c z L ^ ( Q , |x).

N o u s n o u s p e r m e t t r o n s c o n s t a m m e n t l'abus de l a n g a g e qui c o n s i s t e à a p p e l e r " f o n c t i o n s " les é l é m e n t s de LP(Q,|a) ou de L^(Q,|i,), qui sont en r é a - lité des c l a s s e s de f o n c t i o n s .

R a p p e l o n s u n p e u de t e r m i n o l o g i e au sujet des e s p a c e s L^(Q,(JL), N O U S a p p e l l e r o n s f o n c t i o n de Y o u n g $ u n e a p p l i c a t i o n de 3R+ dans l u i - m ê m e , n o n i d e n t i q u e m e n t n u l l e , c r o i s s a n t e et sci ( c ' e s t - à - d i r e c r o i s s a n t e et c o n t i n u e à g a u c h e ) , c o n t i n u e à l ' o r i g i n e , et t e l l e que §(0) = 0 .

S o i e n t (Q,p,) un e s p a c e m e s u r é et § une f o n c t i o n de Y o u n g . O n d é s i - gne p a r L (Q,|i) l ' e s p a c e des ( c l a s s e s de) f o n c t i o n s m e s u r a b l e s f sur (Q, \i) t e l l e s que l'on ait p o u r un a > 0 ( d é p e n d a n t de f) :

/ *( I ^ T ^ D

O n définit u n e t o p o l o g i e d ' e v t s sur L (Q,|JL), dont u n s y s t è m e f o n d a - m e n t a l de v o i s i n a g e s de zéro est d o n n é p a r les :

Ve C = ^^f I ^ du- < « }, p o u r t o u s e,c > 0.

Si $ est u n e f o n c t i o n de Y o u n g , p o s o n s p o u r u £ TR+ :

B (u) = sup .

* x >

1 $(-)

Il est c l a i r que B . est u n e f o n c t i o n c r o i s s a n t e . P o s o n s

$

B (0+) = lim B ( u ) . O n sait [24] que si (0,(x) est u n e s p a c e de p r o b a b i l i t é u -»

0

s a n s a t o m e , L (Q,lx) est q u a s i - n o r m a b l e si et s e u l e m e n t si Bx( 0 + ) = O , D a n s ce c a s n o u s c o n s i d é r e r o n s L (Q, comme u n e s p a c e q u a s i - n o r m é p a r la jauge de V, „, c ' e s t - à - d i r e :

1,1'

||f||

- inf {a| / # ( M ) du < 1 }.

L o r s q u e $ est u n e f o n c t i o n c o n v e x e , B (0+) = 0, et ||f||- est u n e n o r m e qui fait de L ( Q, u ) u n e s p a c e de B a n a c h . N o t o n s e n c o r e que si

§(t) = tP, O < p < + oo, L$(n,|i) c o ï n c i d e avec LP( n, u ) , et ||f||$ = l l^fl |^p-

Si $ est u n e f o n c t i o n de Y o u n g , n o u s d i r o n s que $ v é r i f i e la c o n - d i t i o n s'il e x i s t e u n n o m b r e réel k tel que :

V

^§(2x)

O n en déduit i m m é d i a t e m e n t que p o u r tout M ^ 1, il e x i s t e N tel que :

V

R a p p e l o n s la n o t i o n de d i s t a n c e de d e u x e s p a c e s q u a s i - n o r m é s E et F : o n p o s e d ( E , F ) = + oo si E et F ne sont p a s i s o m o r p h e s , et dans le cas c o n t r a i r e :

d( E, F) = inf \ Ijujj Hu"

)! | u isomorphisme de E sur F ) .

N o u s a p p e l l e r o n s p l o n g e m e n t de E dans F u n o p é r a t e u r l i n é a i r e u tel que u soit u n i s o m o r p h i s m e de E sur u ( E ) .

* *

LB CAS p > O

I . T h é o r è m e s de f a c t o r i s a t i o n p o u r p > 0

D a n s ce p r e m i e r c h a p i t r e , n o u s e x a m i n e r o n s le p r o b l è m e s u i v a n t :

*

soient E un e s p a c e q u a s i - n o r m é , (fî,u) u n e s p a c e m e s u r é q u e l c o n q u e ( ) , u u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de E d a n s LP( n , u ) , 0 < p < + «», et q u n n o m b r e réel tel que p ^ q ^ + œ^# N o u s v o u l o n s t r o u v e r u n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e p o u r que l ' o p é r a t e u r u a d m e t t e la f a c t o r i s a t i o n ï

u, T l g E * LQ( Q , u ) + LP( Q , u ) ,

u étant u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u et T lfo p é r a t e u r de m u l t i p l i c a t i o n

r 1 1 1 9

p a r u n e f o n c t i o n g € L (Q,JJL), — = — + — • C e l a s i g n i f i e e x a c t e m e n t q ufi l p r q

e x i s t e u n e c o n s t a n t e C t e l l e que :

, V q l/q

i x 6 E , ( /

\^f-\

E n fait, il est tout a u s s i s i m p l e de r é s o u d r e u n p r o b l è m e u n p e u p l u s g é n é r a l . Soit I u n e n s e m b l e d ' i n d i c e s q u e l c o n q u e , et soit (f.) u n e

1 i€ I f a m i l l e d ' é l é m e n t s de LP( Q , u ) . N o u s r e c h e r c h e r o n s u n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e p o u r q u ' i l e x i s t e u n e f o n c t i o n g 6 L#r(n, u ) t e l l e que :

f. q

l i t ! / du- < 1.

N o u s a u r o n s b e s o i n d'un lemme :

L e m m e 1 : S o i e n t ( 0 ,p ) u n e s p a c e m e s u r é , p et q d e u x n o m b r e s r é e l s , 1 < p < + œ et O < q < + œ , et d é s i g n o n s p a r K lve n s e m b l e c o n v e x e des f o n c - t i o n s f m e s u r a b l e s > 0 t e l l e s que / fP d p < 1. L ' a p p l i c a t i o n f -* / f""q d p est c o n v e x e s . c i . sur K m u n i de la t o p o l o g i e c i ( LP, LP ) .

D é m o n s t r a t i o n î L a c o n v e x i t é r é s u l t e i m m é d i a t e m e n t de la c o n v e x i t é de t ~q

sur [ o , + o o [ . P u i s q u e l ' a p p l i c a t i o n est c o n v e x e , il r e v i e n t au m ê m e q u ' e l l e soit sci p o u r la t o p o l o g i e de la n o r m e o u p o u r la t o p o l o g i e ( j ( LP, Lp f) .

(*) N o u s d e v r i o n s é c r i r e ( Q , ^ , |J L) étant u n e t r i b u sur Q . C o m m e n o u s n ' a u - r o n s à c o n s i d é r e r q u ' u n e s e u l e t r i b u sur Q , n o u s ne la m e n t i o n n e r o n s p a s p o u r a l l é g e r l ' é c r i t u r e . S a u f m e n t i o n d u c o n t r a i r e , u n'est p a s s u p p o s é e f i n i e , ni m ê m e cr-finie.

R a i s o n n o n s donc p o u r la t o p o l o g i e de la n o r m e . S o i t f £ K , et soit

p

(f ) u n e s u i t e t e n d a n t v e r s f t e l l e que : n

1 q 1 q

lim inf / (—) d u = lim / (*rr") du,

g -» f 9 n n

Il e x i s t e u n e s o u s - s u i t e f qui c o n v e r g e p r e s q u e p a r t o u t v e r s f.

D ' a p r è s le lemme de F a t o u : 1

1 q 1 q 1 q

/ (-) d u < lim inf / (- ) d u = lim inf / (-) du,

i n. g f 9

ce qui d é m o n t r e le l e m m e .

Le t h é o r è m e f o n d a m e n t a l qui suit g é n é r a l i s e u n t h é o r è m e de H , P , R o s e n t h a l ([25], T h é o r è m e l ) .

T h é o r è m e 2 : S o i e n t (Q,u) un e s p a c e m e s u r é , I u n e n s e m b l e d ' i n d i c e s , (f^) u n e f a m i l l e d ' é l é m e n t s de LP( Q , u ) , 0 < p < + 00, et q, r d e u x r é e l s t e l s que"

1 1 1

p < q < + 0 0 , — _ — ^# L e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s : p q r

q p / q i/p q 1/ q

a)

V

e

b ) Il e x i s t e u n e f o n c t i o n m e s u r a b l e g t e l l e que / |g| d u < 1 , et que :

V i e i </ an) <

(Avec la c o n v e n t i o n ~ = O ) .

L a d é m o n s t r a t i o n u t i l i s e r a le lemme s u i v a n t , c l a s s i q u e en a n a l y s e c o n v e x e , et que n o u s a d m e t t r o n s :

L e m m e 3 s Soient K un c o n v e x e c o m p a c t d'un e l e s , 7C u n e n s e m b l e c o n v e x e de f o n c t i o n s r é e l l e s sur K, s , e s et ne p r e n a n t p a s la v a l e u r + »• O n s u p p o s e que 5

a) C h a q u e f o n c t i o n f 6 fô est c o n c a v e sur K ,

b ) V f € Jfij, 1 x € K, f ( x ) > 0 .

Il e x i s t e a l o r s u n p o i n t Xq € K tel que f ( xQ) ^ 0 p o u r t o u t e f £ A¹

LE CAS p^>0

D é m o n t r o n s m a i n t e n a n t a) = ^ b ) dans le t h é o r è m e 20 Le cas p = q est t r i v i a l , il suffit de p r e n d r e p o u r g la f o n c t i o n c o n s t a n t e égale à 1.

S u p p o s o n s p < q , et q = + œ , Si J est un s o u s - e n s e m b l e fini de I, et (oO la s u i t e d é f i n i e p a r :

/ 1 si i

e

a.

= J

0 si i <£ J

la c o n d i t i o n a) s'écrit : P

/ ( sup |f.|) d u < 1.

i

e

La f a m i l l e des sup |f. | c o n s t i t u e quand J v a r i e un e n s e m b l e f i l -

i € J 1

t i a n t c r o i s s a n t dans L (n,u) • Il est c l a s s i q u e q u ' u n e n s e m b l e filtrant c r o i s s a n t de f o n c t i o n s de LP( Q ,u ) , p < + œ, admet une b o r n e s u p é r i e u r e si et s e u l e m e n t si il est b o r n é en n o r m e . P o s o n s :

g = sup

I

I •

i

e

O n a / | g |P d u ^ 1, et jf^| ^ g p o u r chaque i, ce qui a c h è v e la d é m o n s t r a t i o n dans ce c a s .

S u p p o s o n s m a i n t e n a n t 0 < p < q < + œ, et p o s o n s s = d'où P

l < s < + oo et s' = r / p . D é s i g n o n s p a r K l'ensemble des f o n c t i o n s h m e s u r a - r S 1

b l e s > 0 sur K t e l l e s que / h d u < 1. L ' e n s e m b l e K est c o n v e x e et compact s ' s ( I )

p o u r la t o p o l o g i e a ( L , L ) . P o u r c h a q u e cv 6 K d é s i g n o n s par u la m e - Oi sure (S \<y. f. ) • u, et c o n s i d é r o n s la f o n c t i o n F sur K d é f i n i e p a r :

' î i ' a

F (h) =

S

Il est c l a i r que l ' e n s e m b l e des F est un cône c o n v e x e de f o n c t i o n s a

sur K . D ' a u t r e p a r t , d ' a p r è s le lemme 1, c h a q u e f o n c t i o n F^ est c o n c a v e s e s . D e p l u s p o s o n s :

1/ss' p / q - l / s ' h = C . ( £ I c ^ f j ) avec C = ( / ( E \(x^± f± I ) du)

S 1

O n v é r i f i e que J h d u = 1 , c ' e s t - à - d i r e h 6 K, et :

Fa(ha) = S | а . |Ч - C "s / ( S lor. f . |q)

„ p / q q/p q q

= S |cvi I - (/ (E \ot^± f I ) du) > 0 d ' a p r è s a ) .

D ' a p r è s le lemme 3 ? il e x i s t e h^Q 6 K t e l l e que : ,q

l

- I

V i £ I / —— du < 1 , d'où le r é s u l t a t avec g = h ^^P •

" s o

h

P o u r f i n i r , m o n t r o n s b ) = > a ) , qui r é s u l t e a i s é m e n t de l ' i n é g a l i t é de H o l d e r ;

q p / q I/P a f q p 1/p

(/ ( S

l a .

l - ^ l )

». f. q q

< (/ 2 d û ) < ( 2 )

R e m a r q u e 4 : S u p p o s o n s que la f a m i l l e (f.) du t h é o r è m e 2 v é r i f i e 1 ' h y -

1 1

€

p o t h e s e :

q P A

E

I

I <

I )

O n a a l o r s u n e a p p l i c a t i o n l i n é a i r e :

(c^) -M O N fi) de Xq( l ) d a n s LP( Q , u, A i ) ) ,

qui est c o n t i n u e de J&q(l) d a n s ( L^ C^ u ) )1, donc aussi de Xq( l ) dans

L

( Q , u ,

p / q i/p q i/q

V

S o i e n t (Q,u) un e s p a c e m e s u r é , I u n e n s e m b l e d ' i n d i c e s , (f.)

1 i G I u n e f a m i l l e d ' é l é m e n t s de

L

( Q , u ) ,

p.q 1 i £ I ( é v e n t u e l l e m e n t + ») t e l l e que l'on ait :

LE CAS p > 0

q p / q

V P

V (oO €

( / ( £ I c y .

dp.)

| c * . | )

N o t o n s que C ( (f.) ) ne d é p e n d que de | f .I , et p l u s p r é c i -

p'q 1 i € I s è m e n t :

C ( (f.) ) = C ( (|f.|) ) .

p , q i p , q I i 1

Soit m a i n t e n a n t G u n e s p a c e v e c t o r i e l q u a s i - n o r m é , et s u p p o s o n s que (f.) soit u n e f a m i l l e d!é l é m e n t s de LP( Q , f J L, G ) . N o u s p o s e r o n s :

1 i

G

C ( (fi} > " Cp , q ( ) • p* q

O n o b t i e n t i m m é d i a t e m e n t :

C o r o l l a i r e 5 * S o i e n t (Q,|^) u n e s p a c e m e s u r é , I u n e n s e m b l e df i n d i c e s , G un e s p a c e v e c t o r i e l q u a s i - n o r m é , (f.) u n e f a m i l l e d ^ l é m e n t s de LP( Q , ( J L , G ) ,

1

\

i i i

0 < p < + oo, et q, r d e u x n o m b r e s r é e l s tels que p < q ^ + °°, — = — + — . p q r L e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s :

a ) C ( (f.) ) < C P Î Q i

b ) Il e x i s t e u n e f o n c t i o n m e s u r a b l e r é e l l e , telle que / | g | ^r d|j. < 1 et que :

* i € I (/

| ^ | |

du)

De p l u s , les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s : p / q

q q a ) S |a.

I

(2

i 1 1 G

b ^ ) Il e x i s t e u n e f o n c t i o n m e s u r a b l e r é e l l e g , t e l l e que f | g |^r d|i < + oo, et que :

V i € I

d n < l .

Y G

D é f i n i t i o n 6 : S o i e n t (Q, |i) un e s p a c e m e s u r é , E et G d e u x e s p a c e s q u a s i - n o r m é s , p et q d e u x n o m b r e s r é e l s t e l s que 0 < p ^ q ^ + oo, et u un o p é r a - t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de E d a n s LP( Q , ( - L , G ) . P r e n o n s p o u r e n s e m b l e d ' i n d i c e s I

la q u a s i - b o u l e u n i t é B de E, et p o s o n s p o u r x € I = B :

f = u ( x )

e

N o u s d i r o n s que lfo p é r a t e u r u est q - c y l i n d r i q u e m e n t de type p si C ( (f ) ) est f i n i , et n o u s p o s e r o n s :

P,q

S

C (u) = C ( ( f ) ) . p * q p > q x x ç i

N o u s a l l o n s t r a d u i r e la d é f i n i t i o n c i - d e s s u s d'une f a ç o n t r è s l é - g è r e m e n t d i f f é r e n t e ; n o u s a l l o n s m o n t r e r que C (u) est la p l u s p e t i t e

P » q

c o n s t a n t e C t e l l e que la p r o p r i é t é s u i v a n t e soit r é a l i s é e :

P o u r t o u t e s u i t e finie ( x „ , • • • , x ) d ' é l é m e n t s de E , o n a : 1 n

q p / q i/p q i/q

( / ( E ||u(x.)|| ) d u ) < C ( E ||x.|| )

M o n t r o n s l ' é q u i v a l e n c e des d e u x d é f i n i t i o n s . S o i t (x., ...,x ) u n e

l n

s u i t e f i n i e d ' é l é m e n t s . P o s o n s y = x^/||x^||, et p o u r x G B = I :

«x = ( £ ||x.|| ) i

yi = * q l/q q l/q

A l o r s : ( E U I ) = ( E ||x. || ) , et :

x € B x i 1

ql/q q l/q

( E \a f J ) = ( E | | u ( x . ) | | ) ,

x € B i

ce qui p r o u v e l ' é q u i v a l e n c e v o u l u e .

N o u s a l l o n s r a s s e m b l e r q u e l q u e s é v i d e n c e s dans u n e p r o p o s i t i o n :

P r o p o s i t i o n 7 : Soient E et G d e u x e s p a c e s q u a s i - n o r m é s , (Q, |x) u n e s p a c e m e s u r é , p et q d e u x n o m b r e s r é e l s t e l s que 0 < p < q < + », et u u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de E dans LP( Q , | i , G ) .

a) Si F est u n e s p a c e q u a s i - n o r m é et v u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de F dans E, o n a :

C ( u 0 v ) < llvll C (u) P,q ° 11 11 p > q

LE CAS

17 U

b ) Si u admet la f a c t o r i s a t i o n : E > E/N * - LP( Q , p,G) , on a :

C (u) = C (u)

D é m o n s t r a t i o n : Le a) est t r i v i a l , et en c o n s é q u e n c e , il suffit de p r o u v e r C (u) (u) d a n s b ) . Soient e > 0 , et ( x x ) une suite d ' é l é m e n t s

p * q p , q i n

de E / N . C h o i s i s s o n s p o u r c h a q u e i un v e c t e u r x^ Ç E tel que x^ = T T ( X . ) , et ||x^|| < (l + S) . O n a u r a a l o r s :

p / q i/p p / q i/p i/q (/ (2 ||ïï(x.)|| ) du) = (/ (S l|u(x.)||q) dp) < C p,q ( u ) ( I ]l ixi l lq)

q l /q

< (1 + €) Cp?q( u ) (E||x.|| ) ,

d!o ù le r é s u l t a t p u i s q u e e est a r b i t r a i r e .

O n peut se p o s e r la q u e s t i o n s u i v a n t e , dans l ' o p t i q u e de la p r o p o - s i t i o n 7 a) : soient (X,v) u n e s p a c e m e s u r é , w u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de LP( Q , L I ) d a n s LP( X , v ) , q u n n o m b r e réel > p , et u un o p é r a t e u r q - c y l i n d r i - q u e m e n t de type p de E d a n s L^P( Q, L L ) . L ' o p é r a t e u r w « u e s t - i l q - c y l i n d r i q u e - m e n t de type p ? C e l a n'est p a s vrai en g é n é r a l , et ce p r o b l è m e sera e x a m i n é au c h a p i t r e V I .

Soient à n o u v e a u E et G d e u x e s p a c e s q u a s i - n o r m é s , et u un o p é r a - teur l i n é a i r e c o n t i n u de E d a n s LP( Q , ( J L , G ) . N o u s d i r o n s (de f a ç o n a b u s i v e m a i s r a p i d e ) que u se f a c t o r i s e p a r Lq( n , | ^ , G ) s'il e x i s t e u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u v de E dans LQ( Q , p , , G ) , et une f o n c t i o n g 6 LR( Q , p i ) , — = — + — , t e l s

p q r que u = Q v, c ' e s t - à - d i r e e n c o r e :

\/ x

G

N o u s o b t e n o n s f i n a l e m e n t la c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e de f a c t o r i s a t i o n a n n o n c é e au début du c h a p i t r e .

T h é o r è m e 8 ; Soient (Q,|i) u n e s p a c e m e s u r é , E et G d e u x e s p a c e s q u a s i - n o r m é s ,

1 1 1

p , q , r t r o i s n o m b r e s r é e l s t e l s que : 0 < p < q < + o o , — - — + — , e t u u n o p é - P q r

r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de E d a n s L ( Q , p , G ) . L e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s :

a ) C (u) < C P? q

b ) Il e x i s t e u n e f o n c t i o n m e s u r a b l e r é e l l e g t e l l e que f \g\T du. ^ 1, et un o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u v de E d a n s Lq(n,|j,,G) t e l s que :

u = Tg • V , | | v | | < C

D e p l u s , les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s :

a „ ) P o u r t o u t e s u i t e (x ) d ' é l é m e n t s de E :

1

q p /q

2 | | xnf < + <*> =¡> / ( S | | u ( xn) | | ) d u < + »

b ^ ) L ' o p é r a t e u r u se f a c t o r i s e p a r Lq( Q , |x,G).

D é m o n s t r a t i o n : D é m o n t r o n s a) b ) • D ' a p r è s le c o r o l l a i r e 5? l ' i n é g a l i t é C (u) < C est é q u i v a l e n t e à l ' e x i s t e n c e d'une f o n c t i o n m e s u r a b l e r é e l l e a,

p > q r

t e l l e que / |g| du- < 1, et :

q l/q

V x € E (/ d u ) < c | | x | | .

Il suffit a l o r s de d é f i n i r u n o p é r a t e u r v de E d a n s Lq( Q , | j , , G ) p a r :

v ( x ) =U^X^ , et a ) < > b ) est d é m o n t r é .

9

O n d é m o n t r e de m ê m e a )^ f - > b „ ) en se r a m e n a n t au c o r o l l a i r e 5.

1 1

N o u s a l l o n s d o n n e r u n e x e m p l e où l ' a p p l i c a t i o n du t h é o r è m e 8 est p a r t i c u l i è r e m e n t s i m p l e . Le r é s u l t a t s u i v a n t p r é c i s e u n t h é o r è m e de N i k i s h i n

( [ l 9 ] » t h é o r è m e 4 ) .

P r o p o s i t i o n 9 : S o i e n t ( X , v ) et (n,|i) d e u x e s p a c e s m e s u r é s , u u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u p o s i t i f de Lq( X , V) d a n s LP(n,|J.), 0 < p < q < + c o , et q > 1, L ' o p é r a t e u r u se f a c t o r i s e p a r Lq(fi,Li), et o n a p l u s p r é c i s é m e n t :

C (u) = l l u l l .

p , q U H

D é m o n s t r a t i o n : Il s u f f i t de v o i r que C (u) < l l u l l . Soit ( x x ) une

p , q 11 il

1

s u i t e f i n i e d ' é l é m e n t s de L ( X , v ) . O n a d a n s l ' e s p a c e r é t i c u l é L ( Q , p ) :

LB CAS p > 0

( E | u ( x . ) I ) = s u p { E o . u ( x . ) I E I I < 1 }

l/q

qf q

< u (sup J E a . x . I E I O N I n u ( ( Z | x j ) )

( L ' i n é g a l i t é c i - d e s s u s r é s u l t e de la p o s i t i v i t é de u ) • O n a donc : p/q i/p

( / ( E | u ( x . ) |q) d[i)

ql/ q

< I M I • Il <= \ *

\ ) Il

Lq( X , V )

q l/ q

I M I - ll*iH

> •

d'où le r é s u l t a t .

R e m a r q u e : La r e s t r i c t i o n q > 1 est n é c e s s a i r e dans la p r o p o s i t i o n 9. E n e f f e t , si p et q sont t e l s que 0 < p < q < 1, il e x i s t e [ 4 ] u n e s p a c e de p r o - b a b i l i t é (n,|x) et un o p é r a t e u r l i n é a i r e p o s i t i f de iq dans LP( n, | i ) , qui ne se f a c t o r i s e p a s p a r Lq( Q, | i ) .

N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t é t u d i e r le p r o b l è m e t r a n s p o s é du p r o b l è m e p o s é au début de ce c h a p i t r e .

Soient ( Q , | i ) u n e s p a c e m e s u r é , E un e s p a c e q u a s i - n o r m é , u u n o p é - r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de Lq( Q, | i ) dans E , 0 < q ^ + oo, et p un n o m b r e réel tel que 0 < p ^ q ^ + oo. N o u s v o u l o n s t r o u v e r une c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e p o u r que u a d m e t t e la f a c t o r i s a t i o n :

Tg V

LQ( Q , ( ^ ) LP( Q , L L ) E .

En fait, n o u s a l l o n s r é s o u d r e une q u e s t i o n un p e u p l u s g é n é r a l e . Soient S u n s o u s - e s p a c e fermé de Lq(n,u,), et u u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i -

q

nu de S d a n s E . N o u s a l l o n s d o n n e r u n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e q

p o u r que u a d m e t t e la f a c t o r i s a t i o n :

T

g

Lq( Q , L t ) ^ LP( Q ,| JL )

g

S > S » E q p

où S est u n s o u s - e s p a c e fermé de L^Cfl, p.), 0 < p < q < + » , g £ Lr(n,u.)?

P

1 1 1 . . .

— = — + — , et j l ' o p e r a t e u r induit p a r la m u l t i p l i c a t i o n T • C e l a s i g n i -

P q r' g g fie e x a c t e m e n t que :

1/p P

V f G S

||u(f)|| < C (/ |g f I du)

C o m m e au t h é o r è m e 2 , n o u s s o m m e s conduit s à p r o u v e r u n r é s u l t a t en a p p a r e n c e p l u s g é n é r a l :

T h é o r è m e 10 : S o i e n t (Q,p«) u n e s p a c e m e s u r é , I u n e n s e m b l e d ' i n d i c e s , p , q et

1 1 1

r t r o i s n o m b r e s r é e l s t e l s que 0 < p < q < + oo, — = — + — , e t ( f . ) u n e

P q r 1 . € 1

f a m i n e d ' é l é m e n t s de Lq( Q, | J L ) . L e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s : r

a) Il e x i s t e u n e f o n c t i o n m e s u r a b l e g t e l l e que / |g| dp < 1, et que : P

V i

G

I

>

p i/p p q/p i/q b ) \/ (or.) G 3 R( I ), ( E \a±\ ) < (/ (E lev. f. | ) dp)

D é m o n s t r a t i o n : M o n t r o n s b ) a ) . Le cas p = q est t r i v i a l . S u p p o s o n s donc 0 < p < q < + oo. L a d é m o n s t r a t i o n est a l o r s i d e n t i q u e à c e l l e du t h é o r è m e 2 . P o s o n s s = q/p, et soit K le c o n v e x e compact p o u r CJ(LS Î LS) des f o n c t i o n s m e s u r a b l e s > 0 h t e l l e s que / hS d|Ji < 1. P o u r c h a q u e a G I R ^ ^ c o n s i d é - r o n s la f o n c t i o n F s u r K d é f i n i e p a r :

a

P P

F (h) =

E /

- E |cy

I .

C h a q u e f o n c t i o n F est a f f i n e et c o n t i n u e sur K, et l ' e n s e m b l e des F est c o n v e x e . De p l u s , si n o u s p o s o n s :

& q/r n q/p - 1 / s »

P P h = C . (E |Œ. f. ! ) , avec C = (/ (E le*, f. I ) dp,)

ci 1 1 1

i

n o u s a v o n s h G K, et : a

P q/p P

F (h ) = C / (E \ot. f. ! ) dp, -

S

I

oí oí i i ¹ i¹

p P /q p

= ( / (E |a. f.| ) dp) - E l o f j > 0 .

D ' a p r è s le lemme 3, il e x i s t e hQ G K t e l l e que :

L E CAS p^>0

P

V

<E

/

I

' i o

d'où le r é s u l t a t dans ce cas avec g = . o

Comme au t h é o r è m e 2, a ) = ^ b ) r é s u l t e a i s é m e n t de l'inégalité de H o l d e r 2

P P

2 | a . I ^{< E /} | a .

P

V P P

= / (

| a .

I I

l a .

ce qui a c h è v e la d é m o n s t r a t i o n .

R e m a r q u e : Le r é s u l t a t ne s u b s i s t e p a s l o r s q u e q = + œ, car le dual de L°°(Qi p) contient des é l é m e n t s qui ne s ' i d e n t i f i e n t p a s à des f o n c t i o n s sur

(Q, p.).

O n déduit i m m é d i a t e m e n t du t h é o r è m e 10 :

C o r o l l a i r e 11 : Soient (Q, p) un e s p a c e m e s u r é , E et G d e u x e s p a c e s v e c t o - r i e l s q u a s i - n o r m é s , p , q et r t r o i s n o m b r e s r é e l s t e l s que 0 < p ^ q < + o o , p^ = "q + r"' SqU n sous~esPace fermé de Lq( Q , p , G ) , u u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de S dans E et C u n n o m b r e réel > 0 . L e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont

q é q u i v a l e n t e s :

a) Il e x i s t e u n s o u s - e s p a c e fermé S^ de LP( Q , p , G ) tel que u admette la f a c - t o r i s a t i o n u as v ° j , où v est u n o p é r a t e u r l i n é a i r e de S dans E, tel que

g p

j j v j l < C, où g est u n e f o n c t i o n m e s u r a b l e r é e l l e sur (fl, p.), t e l l e que / | g |r d p ^ 1, et l ' o p é r a t e u r induit sur S ^ p a r la m u l t i p l i c a t i o n Tg. b ) P o u r t o u t e suite (f ....,f ) d ' é l é m e n t s de S , o n a :

l n q'

1/p q/p l/q (S ||u(f.)|jP) < C (/ (E ||f.||P) d p )

G

De p l u s , les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s :

at) Il e x i s t e g 6 Lr(Q,p.) et u n s o u s - e s p a c e fermé S^ de LP(Q,p,,G) tels que u a d m e t t e la f a c t o r i s a t i o n u = v 0 j , où v est l i n é a i r e c o n t i n u de S dans E .

9 P

b ) P o u r t o u t e s u i t e (f ) d ' é l é m e n t s de S :

1 n q

P ^ P

/ ( S | | fⁿ| | ) d ^ < ⁺ » ^ Z | | u ( fⁿ) | | <⁺= o .

D é m o n s t r a t i o n : C o m m e p r é c é d e m m e n t a) > b ) r é s u l t e de lfi n é g a l i t é de H o l d e r , I n v e r s e m e n t ( m o y e n n a n t le c h a n g e m e n t de n o t a t i o n e x p l i q u é a p r è s la d é f i n i t i o n 6 ) , l ' h y p o t h è s e b ) i m p l i q u e , d ' a p r è s le t h é o r è m e 1 0 , l ' e x i s t e n c e d'une f o n c t i o n m e s u r a b l e r é e l l e g t e l l e que / | g|rd L i ^ 1, et que :

P 1 / P

V f € SQ, | | u ( f ) | | < C ( / | | f g U d u )

O n peut- a l o r s d é f i n i r u n o p é r a t e u r v sur T ( S ) p a r : g q v (f g) = u ( f ) .

L ' i n é g a l i t é c i - d e s s u s s i g n i f i e e x a c t e m e n t que v est c o n t i n u l o r s - q u ' o n m u n i t T ( S ) de la ( quasi )-norme de LP( Q , L L , G ) , et p l u s p r é c i s é m e n t

g q

livll < C . Si l'on d é s i g n e p a r S l ' a d h é r e n c e de T (S ) d a n s LP(fi, U , G ) , v se

il i l p g q

p r o l o n g e à S avec e n c o r e llvll < C, et u = v ° j , ce qui d é m o n t r e a ) .

p 11 11 g

D é m o n t r o n s m a i n t e n a n t a^)^—> b ^ ) .11 s u f f i t de m o n t r e r que b ^ ) im- p l i q u e b ) p o u r u n e c e r t a i n e c o n s t a n t e C . O n p e u t , l o r s q u e G est c o m p l e t , u t i l i s e r p o u r c e l a le t h é o r è m e du g r a p h e f e r m é comme à la r e m a r q u e 4, m a i s o n p e u t d a n s t o u s les cas se c o n t e n t e r d'un r a i s o n n e m e n t p l u s é l é m e n t a i r e : s'il n ' e x i s t e a u c u n e c o n s t a n t e C t e l l e que b ) soit r é a l i s é e , o n p e u t t r o u v e r p o u r tout e n t i e r k u n e s u i t e (f ) t e l l e que :

n n

G

( / ( E | | fn k| p ) d u ) < 2 "K ; S ||u(fn ) | |P > l .

n ' n O n a u r a a l o r s , p u i s q u e q/p > 1, d ' a p r è s l ' i n é g a l i t é de M i n k o w s k i :

p q/p p / q p q/p p/q (/(E | | fn k| | ) d u ) < E (/ (E ||fn k| | ) d u ) < 1.

k , n ' k n '

L ' h y p o t h è s e b ) a p p l i q u é e à la s u i t e d o u b l e (f ) d e v r a i t n o u s

1 n, K

d o n n e r E l |u^f n ^ 0 0 'ce qui n'est Pas le cas» 0 n o b t i e n t donc u n e c o n - t r a d i c t i o n , qui p r o u v e que b ^ ) b ) p o u r u n c e r t a i n C, et ceci t e r m i n e la d é m o n s t r a t i o n .

LB CAS p > 0

Si S ^ est u n s o u s - e s p a c e fermé de Lq( Q , p , G ) , E un e s p a c e q u a s i - n o r m é , u u n o p é r a t e u r l i n é a i r e c o n t i n u de S ^ dans E , et p u n réel tel que 0 < p < q < oo, on d é s i g n e r a p a r C * (u) la p l u s p e t i t e c o n s t a n t e C t e l l e que

P* q

l'on ait p o u r t o u t e suite finie (f ....,f ) d ' é l é m e n t s de S :

l n q

p

i/p p q/p V q

(S ||u (f.)|| ) < C ( / (S Ijf.H ) dp)

D ' a p r è s le c o r o l l a i r e 1 1 , C * q^u^ es* égal à 1 ' inf de ||v|j p o u r les f a c t o r i s a t i o n s de u de la forme u = v.j , avec /|g|rd(j, ^ 1 « —• = + •

g 1 p q r

*

* *

I I • T h é o r è m e s de f a c t o r i s a t i o n p o u r p = 0

D a n s tout ce c h a p i t r e , n o u s s u p p o s e r o n s que est u n e s p a c e m e s u r é a v e c |i g - f i n i e « ( N o u s en v e r r o n s la r a i s o n p l u s loin)» N o u s d é s i g n e r o n s p a r L° ( Q, | J b ) l ' e s p a c e v e c t o r i e l des f o n c t i o n s m e s u r a b l e s r é e l l e s » N o u s v o u l o n s d é m o n t r e r l ' a n a l o g u e du t h é o r è m e 2 : soient I u n e n s e m b l e d ' i n d i c e s , (f^) u n e f a m i l l e d ' é l é m e n t s de L°(Q,|i), et q u n réel tel que O < q ^ + ».

Q u e l l e est la c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e p o u r q u ' i l e x i s t e u n e f o n c - t i o n m e s u r a b l e g t e l l e que :

f. q

V

1 ?

E n fait, dire que p est a - f i n i e é q u i v a u t à l ' e x i s t e n c e d'une f o n c - t i o n h > 0 p - p r e s q u e p a r t o u t , et t e l l e que / h d|i = 1, Si n o u s p o s o n s V = h p , f! = h -l / qf . .

1 1

n o u s s o m m e s r a m e n é s au m ê m e p r o b l è m e r e l a t i v e m e n t à la p r o b a - b i l i t é V, N o u s n o u s c o n t e n t e r o n s donc p a r la s u i t e de c o n s i d é r e r le c a s où

fjb est u n e p r o b a b i l i t é .

E n f a i t , dans ce c h a p i t r e , n o u s p o u r r o n s s a n s d i f f i c u l t é s u p p l é - m e n t a i r e r é s o u d r e un p r o b l è m e u n peu p l u s g é n é r a l que c e l u i que n o u s v e n o n s de p o s e r : s o i e n t I u n e n s e m b l e d ' i n d i c e s , (f.) u n e f a m i l l e d ' é l é m e n t s

1 i € I

de L ( Q, ) j b ) , et § u n e f o n c t i o n de Y o u n g ( c f . c h a p i t r e 0 ) • N o u s a l l o n s c h e r - c h e r la c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e p o u r qu'il e x i s t e u n e f o n c t i o n m e s u r a b l e g t e l l e que :

J ^f •

v

e

/ s (•—)

N o u s n o u s l i m i t e r o n s c e p e n d a n t a u x f o n c t i o n s de Y o u n g t e l l e s que 3 , ( 0 + ) = 0 . N o u s c o m m e n c e r o n s p a r r a m e n e r le p r o b l è m e p r é c é d e n t à un p r o b l è - me é t u d i é p a r N i k i s h i n [19] : si (f ) est u n e f a m i l l e d ' é l é m e n t s de L ° ( Q , |i) , o n c h e r c h e à s a v o i r si p o u r è o u tIe > 0 , il e x i s t e u n e p a r t i e m e s u - r a b l e Q de Q et un n o m b r e réel M t e l s que :

S 6 f.

p(Q - QE) < e, et : V i Ç l / S ( ^ ) dp, < 1.

P r o p o s i t i o n 12 2 S o i e n t (Q, p,) u n e s p a c e de p r o b a b i l i t é , I u n e n s e m b l e d ' i n - d i c e s , (f.) u n e f a m i l l e d ' é l é m e n t s de L ° ( f l , ( 1 ) et $ u n e f o n c t i o n de Y o u n g

1 i G I t e l l e que Ba( 0 + ) = 0 .