Perverse filtration and Hodge theory

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I

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Géométrie algébrique/Géométrie analytique

Filtration perverse et théorie de Hodge

Perverse filtration and Hodge theory

Fouad El Zein

^a

, Xuanming Ye

^b

aInstitutdemathématiquesdeJussieu,75005Paris,France

bDépartementdeMathématiques,UniversitéSunYat-Sen,Guangzhou510275,Chine

i n f o a r t i c l e r é s um é

Historiquedel’article : Reçule18septembre2014 Acceptéle7octobre2014

DisponiblesurInternetle25octobre2014 PrésentéparClaireVoisin

LacompatibilitédelafiltrationperverseaveclathéoriedeHodgeàcoefficientsdansune variation de structure de Hodge mixte admissible surle complémentaire d’un diviseur à croisements normauxest établieà l’aided’un complexelogarithmique, en vue d’une nouvelledémonstrationduthéorèmededécomposition.

©^{2014Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.}Tous droits réservés.

a b s t r a c t

The compatibility of the perverse filtration with Hodge theory with coefficients in an admissiblevariationofamixedHodgestructureonthecomplementofanormallycrossing divisorisestablishedusingalogarithmiccomplex,withaviewtoobtaininganewproof ofthedecompositiontheorem.

©^{2014Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.}Tous droits réservés.

1. Introduction

Actuellement,iln’yapasdetraitementcompletdelathéoriedeHodgeàcoefficientsdansunevariationdestructurede Hodgemixte

(L,

^W

,

F

)

admissiblesurlecomplémentaired’undiviseuràcroisementsnormauxY (DCN)dansunevariété X complexe,àl’aidedecomplexeslogarithmiques.Laréférencedisponibleestuneétudelocalede Kashiwara[5],qui permet, avecles résultatsde[7,6,2] detraiter lecas global.Soient j

: (

X

−

^Y

) →

^{X et j}_!∗Ll’extensionintermédiaire.Nousdédui- sonsde[5],pour X compactekählérienneetpourtoutsous-diviseur Z de Y,uneSHMsurlegrouped’hypercohomologie Hⁱ

(

X

−

^Z

,

j_!∗L),calculéeàl’aided’unsous-complexed’uncomplexelogarithmique.

Soient f

:

^X

→

^{V unmorphisme projectifde variétés complexes,W une}sous-variétéferméede V,etK uncomplexe sur V àcohomologieconstructible,lafiltrationperverse ^p

τ

[1]estdéfiniepourtoutentierk

∈

Z^,par

p

τ

i

H

^k

(

V

−

^W

,

K

) :=

^Im

H

^k

(

V

−

^W

,

^p

τ

iK

) → H

^k

(

V

−

^W

,

K

)

.

(1)

Soient Z

:=

^{f−1W imageréciproquede W telque Z et Z}

∪

^{Y soientdesDCN, j}Z

:

^X

−

^Z

→

^{X etK}

:=

^{R f}∗R

(

j_Z

)

_∗j^∗_Zj_!∗L^; j_!∗L^estindépendantdeZ sionremplaceY parY

∪

^{Z.Ondéduitlafiltrationperverse p}

τ

surlacohomologieH^k

(

X

−

^Z

,

j_!∗L) àl’aidedel’isomorphismeH^k

(

X

−

^Z

,

j_!∗L

) =

H^k

(

V

−

^W

,

R f_∗j_!∗L

)

Adressese-mail :[email protected](F. El Zein),[email protected](X. Ye).

http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2014.10.002

1631-073X/©^{2014Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.}Tous droits réservés.

p

τ

_i

_H

^k

(

X

−

^Z

,

j_!∗L

) :=

^p

τ

_i

_H

^k

(

V

−

^W

,

R f_∗j_!∗L

).

(2) Le butde cettenoteestde vérifierquelafiltration ^p

τ

i estunefiltration delaSHMsur lacohomologie de X

−

^{Z pardes} sous-SHM(voirlaproposition 2etlesthéorèmes 2.1,3.2).Ondiratoutsimplementquelafiltration^p

τ

iestcompatibleavec laSHMsurl’hypercohomologiede X

−

^Z.

Théorème1.1(Voisinagetubulaired’unefibre). Soientv unpointdeV defibreX_v

:=

^f−1

(

v

)

.OnsupposeX_vetX_v

∪

^{Y desDCN} dansX ;alorsl’hypercohomologieR

Γ (

Xv

,

i^∗_XvR

(

jXv

)

_∗j^∗_Xvj_!∗L

)

estmunied’uneSHMcompatibleaveclafiltrationperverse.

Soit kv

:

^V

−

^v

→

^{V, i}v

:

^v

→

^{V, on applique le foncteur i∗}vR

(

kv

)

_∗ à la filtration ^p

τ

i définie sur k^∗_vR f_∗j_!∗L^{, puis on} transporte cettefiltrationà l’aidede l’isomorphisme R

Γ (

X_v

,

i^∗_X

vR

(

j_Xv

)

_∗j^∗_X

vj_!∗L)

^i∗vR

(

k_v

)

_∗k^∗_vR f_∗j_!∗L^{.Pourunevisionto-} pologiquemoins abstraite,onpeut considéreruneboule B_v de centre v dans V, X_Bv

:=

^f−1

(

B_v

)

et X^∗_B

v

:=

^XBv

−

^Xv.Si lerayonde Bv estassezpetit,lafiltrationperverse estconsidéréesurl’hypercohomologieH^r

(

X^∗_Bv

,

j_!∗L

)

,quicoïncideavec R

Γ (

X_v

,

i^∗_X

vR

(

j_Xv

)

_∗j^∗_X

vj_!∗L)^.

La preuve,donnéedanslasection3,utiliseuneversionlocale d’unrésultatde [4].Lethéorème ci-dessusconstitueun point-cléd’unenouvelledémonstrationduthéorèmededécomposition[1]àl’aidedecomplexeslogarithmiques.

2. Complexelogarithmique

Soit (L

,

W

,

F) unevariation de SHM admissible [5], [3](8.3), sur lecomplémentaire d’un DCN Y de composantes ir- réductibles lisses Yi pour i

∈

^{I,dans unevariété analytique X. Pour J}

⊂

^{I, soit Y}J

:=

i∈JYi, Y^∗_J

:=

^YJ

−

i∈/J

(

Yi

∩

^YJ

)

(Y_∅^∗

=

^X∗

:=

^X

−

^{Y).Les filtrationspar lepoids W et F s’étendent enunefiltration de} l’extensionanalytique de Deligne L_OX pardessous-fibrésWL_OX etFL_OX.

Théorème2.1(ComplexedeHodgemixtelogarithmique). Soit(L

,

W

,

F )unevariationdeSHMadmissiblesurlecomplémentaire d’unDCNY dansunevariétéanalytiquelisseX .Ilexistesurlecomplexelogarithmiquedéfiniparlesystèmelocalsous-jacentL^:

Ω

^∗_X

(

LogY

) ⊗

L_OX

,

W

,

F

(3) unefiltrationW pardesfaisceauxperversetunefiltrationanalytiqueF quiinduisent,lorsqueX estkählériennepropre,uneSHMsur lesgroupesdecohomologieHⁱ

(

X

−

^Y

,

L)^.

Lessous-complexes F^p

= (

0

→

F^pL_OX

→ · · · → Ω

ⁱ_X

(

LogY

) ⊗

F^p−iL_OX

→ · · ·)

^{définissentlafiltration F etsontdéter-} minésparlesfibrésFL_OX sur X.LaconstructiondelafiltrationW parlepoidssedéduitessentiellementdel’étudelocale de Kashiwara dans[5].Curieusement, lebutannoncéde l’article estun critèred’admissibilité d’unevariationde SHMen codimension1.Enfait,onytrouvelesingrédientsnécessairespourétablirlethéorème.

Lafibreducomplexelogarithmique. Poursimplifierlesnotations,noussupposonsparlasuiteL^{unipotentetonnoteN}j

:=

LogT_j lelogarithme delamonodromie localeunipotentedeL^{enunpoint yde Y.Leproduittensoriel} LX,y

⊗

^k

(

y

)

dela fibre avecle corpsrésiduelk

(

y

)

C^{estisomorpheà l’espacevectorielL dessections}multivaluéesdeL^surlecomplémentaire delarestrictiondeY àunebouledecentre y. En un point y

∈

^Y_M^∗

, |

^M

| =

^{m et des équations locales z}i de Y_i en y pour i

∈

^{M, une base de L s’envoie sur une base du} OX,y-module LX,y

⊂ (

j_∗L_OX∗

)

y par la correspondance v

→

v oùv

= (

exp

−

_2i¹_π

(

_j∈J

(

logz_j

)

N_j

)) ·

^{v.Lafibreducomplexe}logarithmiqueaupoint y estalorsquasiisomorpheàuncomplexede Koszulassociéà

(

L

,

Ni

),

i

∈ [

¹

,

m

]

^{quel’ondésignepar :}

s

L

(

J

),

N_·

J⊂[¹,m]

:= Ω(

L

,

N_·

) ∼ =

Ω

^∗_X

(

LogY

) ⊗

LOX

y (4)

On écrit aussi

Ω(

L

,

N_j

,

j

∈

^M

)

.La correspondance estalors donnéepour v

∈

^L

(

i1

, . . . ,

i_j

) =

^{L par v}

→ ˜

^vdz_ziⁱ¹

1

∧ · · · ∧

^dz_z^{i j}

i j . Soit N_J

=

j∈^JN_j l’endomorphisme composé de L. La fibre de l’extension intermédiaire j_!∗L ^{est alors définie par un} sous-complexe IC

(

L

)

ducomplexelogarithmique :

IC

(

L

)

:

=

^s

(

NJL

,

N_·

)

J⊂^M

,

NJL:

=

^Ni₁Ni₂

· · ·

^Ni_jL

,

J

= {

ⁱ1

, . . . ,

ij

} .

LafiltrationparlepoidsW . La définitionlocale du poids W donnée dans [3](chapitre8) se déduitdu travail de Kashi- wara[5],aussibienqueladéfinitionglobaledu poidsW etlaconstructiond’unsous-complexe

(

IC

(

X

,

L),W

,

F

)

munide filtrations induites par W et F, quasi isomorphe au complexe d’intersection, dont les termes en chaque degré sont des OX-modulesanalytiques.Enparticulier,lecomplexed’intersectionIC

(

X

,

L

) [

ⁿ

]

^décaléden

:=

^{dimX estquasiisomorpheau} complexeextension intermédiaire j_!∗L[ⁿ

]

^{sur X [1].PourunevariationdestructuredeHodgepolarisée}

(L,

^F

)

de poidsa, lesous-complexe

(

IC

(

X

,

L

),

F

)

estuncomplexedeHodgesi Xestunevariétékählériennecompacte.Ilmunitlacohomolo- gie d’intersectionIHⁱ

(

X

,

L)^{d’uneSHpurede poidsa}

+

^{i.Lapreuveutiliseun} raisonnementélégant basésur l’autodualité de lacohomologie d’intersectioncommedans [6].La propriété essentielle réside dansla décompositiondu gradué de la filtration par le poids W qui découle ducas locald’une SHMinfinitésimale

(

L

,

W

,

F

,

N_i

,

i

∈

^M

)

[5,formule 5.6.10]et[5, Proposition 2.3.1].

Propriétés. Le complexe logarithmique d’une variation de SHM admissible de poids w

≥

^{a sur une variété} kählérienne compactedéfinituneSHMsur Hⁱ

(

X

−

^Y

,

L)^depoidsw

≥

^a

+

^i.

Proposition1.LesfiltrationsinduitesW etF surlecomplexed’intersection

(

IC

(

X

,

L

) [

ⁿ

] ,

W

,

F

)

d’unevariationdeSHMadmissible entantquesous-complexeducomplexelogarithmiquesatisfont,pourtoutk :

Gr_k^W

IC

(

X

,

L

),

F

=

IC

(

X

,

Gr_k^WL

),

F

.

Engénéral,lecomplexed’intersectiond’uneextension dedeux systèmeslocauxn’estpasl’extensiondeleurcomplexe d’intersection.L’existencedesfiltrationsrelativesestnécessairepourladémonstrationqui utiliselecorollaire[5](3.4.3)et lelemme[5](3.4.2).

SHMsurlesgroupesd’hypercohomologieH^∗

(

X

−

^Z

,

j_!∗L). Soit Z

⊂

^{Y un sous-DCN. Il s’agit de définir un} sous-complexe IC

(

X

,

L)(∗^Z

) ⊂ Ω

^∗_X

(

LogY

) ⊗

LX muni de filtrationsinduites, qui permet de calculer laSHM sur H^∗

(

X

−

^Z

,

j_!∗L)^{. Soient} j

: (

X

−

^Y

) → (

X

−

^Z

)

,et j

: (

X

−

^Z

) →

^{X tel que j}

=

^j

◦

^{j etsoit un point y}

∈

^YM^∗

∩

^{Z pour M}

⊂

^{I. Onva réaliser} lafibreducomplexe R j_∗

(

j_!∗L)y commeun sous-complexedelafibredu complexelogarithmiquedécrite sousformed’un complexedeKoszul

Ω(

L

,

N_i

,

i

∈

^M

)

.Parhypothèse,ilexisteunsous-ensemblefiniI1 deItelqueZ

:=

i∈^I1Y_i.Onintroduit M1

:=

^M

∩

^I1etM2

:=

^M

−

^M1,etpour J

⊂

^{I: J}1

=

^J

∩

^M1 et J2

=

^J

∩

^M2.

Définition 2.2 (IC

(

X

,

L)(

∗

^Z

)

pour Z

=

i∈I1⊂IYi

⊂

^{Y ). Le} sous-complexe IC

(

X

,

L)(

∗

^Z

)

du complexe logarithmique

Ω

^∗_X

(

LogY

) ⊗

LX estlocalement définienun point y

∈

^Z

∩

^Y_M^{∗ entermes des}coordonnées z_i

,

i

∈

^M

⊂

^{I,équationslocales} desYi

,

i

∈

^{M,commesuit :}

La fibre IC

(

X

,

L)(∗^Z

)

y est engendrée comme

Ω

^∗_X,y-module, par les sections ^v

˜ ∧

j∈J dzj

z_j pour tout v

∈

^NJ2L, J

⊂

^{I et} J2

:=

^J

∩

^M

− (

J

∩

^M

∩

^I1

)

.

Lemme2.3.Ona :IC

(

X

,

L

)( ∗

^Z

)

y

(

R j_∗

(

j_!∗L

))

y.

Proposition2. LesfiltrationsW etF ducomplexelogarithmiqueinduitessurIC

(

X

,

L

)( ∗

^Z

)

définissentuneSHMsurl’hypercohomo- logieH^∗

(

X

−

^Z

,

j_!∗L)^,pourZ

:=

i∈^I1⊂^IY_i

⊂

^Y

:=

i∈^IY_ietX kählériennecompacte.

Voisinagetubulaire. Soit D un DCNdans X telque D

∪

^{Y soitunDCN, i}D

:

^D

→

^{X et j}D

: (

X

−

^D

) →

^{X.Onpeuttoujours} remplacerY parD

∪

^{Y,autrementditsupposerD}

⊂

^Y.Laconstructions’appliquedoncàtoutDCNT contenantD

∪

^Ycomme sous-diviseuretdonneuncomplexebifiltré

(

IC

(

X

,

L)(∗^D

),

W

,

F

)

quasiisomorpheàR j_D∗j^∗_Dj_!∗L^,commesous-complexedu complexelogarithmique

(Ω

^∗_X

(

LogT

) ⊗

L_OX

,

W

,

F

)

.IlestindépendantdeT,contenant D

∪

^Y.

Nousutiliserons danscettenote descomplexes logarithmiquesà coefficientsdéduitsd’un telcomplexe.En particulier, uncomplexebifiltréquasiisomorpheài^!_Dj_!∗L^{s’obtientcommequotientmodulole}sous-complexeIC

(

X

,

L)

^j!∗L^,puison obtientpardualitéuncomplexebifiltréquasiisomorpheài^∗_Dj_!∗L^{.Cescomplexesnedépendentqueduvoisinagede D dans} X etdanslecasoùD estlafibred’unmorphismeprojectif,cesontdesCHM.

Dans lasituationduthéorème 1.1,pourcalculerl’hypercohomologie de i^∗_X

vR jX_v∗j^∗_X

v

(

j_!∗L)^{,autrementditdu voisinage} tubulaireétoiléX^∗_Bv

:=

^XBv

−

^Xv àcoefficientsdans j_!∗L^{,onconsidèrelemorphisme}d’intersection

I

:

^Ri!X_vj_!∗L

→

^i∗Xvj_!∗L (5)

composé de i_Xv∗Ri^!_X

vj_!∗L

→

^j_!∗L ^{et j}_!∗L

→

ⁱXv∗i^∗_X

vj_!∗L^{, alors I s’inscrit dans un triangle Ri!}_Xv^j_!∗L

→

^i∗_Xv^j_!∗L

→

i^∗_XvR jXv∗

(

j_!∗L_|X^∗_{B v}

) →

^{[1].Parconséquent}l’hypercohomologiede X^∗_Bv àcoefficientsdans j_!∗Lestcelleducônesur I.

Définition2.4. Lafibre Xv étantsupposéeunDCN,lestermesRi^!_Xvj_!∗L^eti∗Xvj_!∗L^{sontdécritspardescomplexeslogarith-} miquesbifiltrés.L’hypercohomologiedei^∗_X

vR j_Xv∗j^∗_X

v

(

j_!∗L)^{égaleàcellede X∗}_Bv ^{àcoefficientsdans j}_!∗L^{setrouvemuniede} laSHMdéfinieparlecônemixtebifiltrésur I,notéIC

(

XBv

,

L

)( ∗

^Xv

)

.

(*)Danslasuite,onréfèreàcescomplexesentantquecomplexeslogarithmiquesbifiltrés.

IsomorphismedeThom–Gysin. Soit HunehypersurfacelissequirencontreunDCNT transversalementtelque T

:=

^T

∪

^H soitaussi un DCN.Le morphismerésidu RH

: (

i^∗_H

(Ω

^∗_X

(

LogT

)) ⊗

LX

,

W

,

F

) → (Ω

^∗_H

(

LogT

∩

^H

) ⊗

L|^H

,

W

,

F

)

induitun iso- morphisme inverse de celui de Thom–Gysin, auquel onse réfèrecomme un isomorphisme d’un complexe bifiltré sur X logarithmique le long de T avec un complexe bifiltré sur H logarithmique le long de T

∩

^{H. De même, pour le sous-} complexebifiltré

(

IC

(

X

,

L

)( ∗ (

Z

∪

^H

)),

W

,

F

)

pour Z

⊂

^{Y,ona :}

i)

(

IC

(

X

,

L)(

∗ (

Z

∪

^H

))/

IC

(

X

,

L)(

∗

^Z

))

^i!HIC

(

X

,

L)(

∗

^Z

) [

¹

]

^.

ii)L’inversedel’isomorphismedeThom–GysinIC

(

H

,

L)(∗(^Z

∩

^H

))

^i!_H^IC

(

X

,

L)(∗(^Z

∪

^H

))[

²

]

^{estdéfiniparlerésidupar} rapportà H:IC

(

X

,

L

)( ∗ (

Z

∪

^H

)) →

ⁱH,∗IC

(

H

,

L

)( ∗ (

Z

∩

^H

)) [

¹

]

^{,quis’annulesurIC}

(

X

,

L

)( ∗

^Z

)

.

3. CompatibilitédelaSHMaveclafiltrationperverse

Soit f

:

^X

→

^{V unmorphismeprojectifdevariétéscomplexes.Bienquelafiltrationperversesoitdéfiniesur V dans[1],} elle peut être décrite dansle cas algébrique directement sur X d’après [4], où elle s’appliqueà l’imageréciproque d’un ouvertdeZariskideV.Nousauronsbesoindecerésultatauvoisinaged’unpointv deV,danslecasd’unouvertanalytique B^∗_v

:=

^Bv

− {

^v

}

^{où B}v estunebouledeStein decentre v.Alors cettedescriptions’adapteàlasituationlocalesur X^∗_B

v

:=

f⁻¹

(

B^∗_v

)

auvoisinagedelafibre Xv env,cequipermetd’établirlacompatibilitédelafiltrationperverseaveclaSHM sur la cohomologiede X^∗_Bv à coefficients.Nous insistonsci-dessoussur lecas d’uneboulede Stein car lecas affineest bien décritdans[4].

Soit Bv une boule de centre v de Stein (resp. un ouvert quasi projectif U) de V et soient deux suites de sections hyperplanes Li et Mi de Bv (resp.U) d’indices0

<

i

≤

^m

:=

^{dimV.Onnote H}−^j

:=

i≤jLi

∩

^B∗v et W₋j

:=

i≤jMi

∩

^B∗v lessuitescroissantesdesous-variétésferméesdeB^∗_v (resp.U)pour j

≥

^{0 :}

H_∗

:

^B∗v

=

^H0

⊃

^H−1

⊃ · · · ⊃

^H−m

,

W_∗

:

^B∗v

=

^W0

⊃

^W−1

⊃ · · · ⊃

^W−m

Onnotehi

: (

B^∗_v

−

^H−ⁱ

) →

^B∗vl’inclusionetonconsidèreuncomplexeK

∈

^Dbc

(

B^∗_v

,

Q

)

àcohomologieconstructiblebornée.

Enreprenantlesnotationsde[4](remarque 3.6),ondéfinitsurH^∗

(

B^∗_v

,

K

)

lafiltration :

δ

_p

H

^∗

B^∗_v

,

K

:=

^Im

i−^j=^p

H

^∗W_−j

B^∗_v

, (

h_i

)

_!h^∗_iK

→ H

^∗

B^∗_v

,

K

(6)

resp.pourU aulieude B^∗_v.Lafiltration

δ

estl’aboutissementd’unesuitespectrale.

Proposition3.SoitBvunebouledecentrev assezpetitedansV etK

∈

^Dbc

(

B^∗_v

,

Q

)

.Pourunchoixconvenable,maisassezgénéral,des deuxsuitesdesous-espacesfermésH_∗etW_∗,lafiltration

δ

(6)estégaleàlafiltrationperverse^p

τ

àundécalaged’indicesprès.

Cette propositioncorrespondàl’énoncéduthéorème 4.2.1dans[4],danslecasquasiprojectif.La preuve,baséesur la notion de résolution pardes faisceauxpervers acycliquessaufendegré 0,correspond à un énoncéqui semble remonter danslecasalgébriqueàunelettreinéditedeDeligneselon[4]:

Lemme3.1.SoientH etHdeuxsectionshyperplanesdeB_venpositiongénéraleetpassantparlecentrev.Lesinclusions j

: (

B^∗_v

−

H

∩

^B∗v

) →

^B∗vetj

: (

B^∗_v

−

^H

∩

^B∗v

) →

^B∗vsontdeStein,etpourtoutfaisceauperversP^surB∗v,ona :H^r

(

B^∗_v

,

j_!j^∗j_∗

(

j

)

^!P

) =

⁰ pourr

=

^0.

Le choixassez généraldesdeuxsectionshyperplanes H et H assureun isomorphisme j_!j^∗j_∗

(

j

)

^!P

^j_∗

(

j

)

^!j_!j^∗P.La preuve du lemme utilise lelemme d’Artin–Lefschetzfaible [1] appliquéau faisceau pervers j_!j^∗j_∗

(

j

)

^!P ^{sur B∗}v et à son dualetlefaitque B^∗_v

−

^H

∩

^B∗v soitdeStein.

Théorème3.2.i)Soit f

:

^X

→

^{V unmorphismedevariétés}algébriquesavecX lisse ;pourtoutouvertquasiprojectifU deV telque X_U

:=

^f−1

(

U

)

soitlecomplémentaired’undiviseurD àcroisementsnormauxdansX etqueD

∪

^{Y soitaussiunDCN,lafiltration}

δ

, etparconséquentlafiltrationperverse^p

τ

,estcompatibleaveclaSHM(proposition 2)l’hypercohomologieH^j

(

XU

,

j_!∗L

)

entoutdegré

j

∈

Z^.

ii)Aveclesnotationsduthéorème 1.1,pourtoutpointv deV telquelafibreX_v

:=

^f−1

(

v

)

soitundiviseuràcroisementsnormaux dansX etqueXv

∪

^{Y soitaussiunDCN,lafiltration}

δ

,etparconséquentpourunebouleBvderayonassezpetit,lafiltrationperverse p

τ

estcompatibleaveclaSHM(définition 2.4)surl’hypercohomologieH^j

(

X_B∗

v

,

j_!∗L)^{entoutdegré j}

∈

Z^.

Preuveduthéorème. Il s’agitdemunirlestermesdelafiltration

δ

((6),resp.[4])de SHM.Nousremarquonsd’abordque lechoixdessuites H_∗ etW_∗ dans B^∗_v (resp.U)étantassezgénéral,nouspouvonssupposerqu’ellessontinduitespardes suitesdansBv(resp.dansV),abusivementnotéesaussi H_∗ etW_∗,satisfaisantlesconditionssuivantes :

LesdifférentesimagesinversesH_−i

:=

^f−1

(

H_−i

)

etW_−j

:=

^f−1

(

W_−j

)

sontnonsingulières,tellesqueleurréunionaveclafibre Xv(resp.D)etY formeunDCNnotéT dansXBv(resp.X ).Alorsnousdisposons,d’aprèsdéfinition 2.4,decomplexeslogarithmiques bifiltréspourcalculeri^!_Xvj_!∗L,i^∗_Xvj_!∗Leti^∗_XvR jXv∗j^∗_Xvj_!∗L(resp.pourD aulieudeXv(proposition 2)).

Isomorphismes de Thom–Gysin. Dans ce cas, si H est une sous-variété non singulière de codimension r dans XBv

transversale à Xv

∪

^{Y de sorte que H}

∩ (

Xv

∪

^Y

)

soit un DCN dans H, on note jXv

:

^X∗Bv

→

^XBv, H_v

:=

^Xv

∩

^H, j_Hv

: (

H_B

v

−

^Hv

) →

^H_Bv^,iH

:

^H

→

^XBv,alorsl’isomorphismedeThom–Gysin i^!_H

vR

(

jX_v

)

_∗

(

j_!∗L

)

_|X∗

B v

^R

(

j_H v

)

_∗j^∗_H

vi^∗_H

(

j_!∗L

)

_|X∗ B v

[−

^2r

]

estréaliséàl’aidedesous-complexesdecomplexesbifiltréslogarithmiquesen H

∩ (

X_v

∪

^Y

)

dansH(définition 2.4),donc compatiblesdetype

(

r

,

r

)

aveclesbifiltrationsF etW,soit :

i^!_H

vIC

(

X_Bv

,

L

)(∗

^Xv

)

^IC

(

H_B

v

,

L

)(∗

^H_v

)[−

^2r

].

DéfinitiondesSHMsurlestermesdelafiltration

δ

(6).NousallonsréalisercesSHMàl’aidedesouscomplexesd’uncomplexe logarithmiquelelongduDCN X_v

∩

^W_−j

∩

^H_−i ^{danslesespaceslisses W}_−j

∩

^H_−i^.

Pour simplifier l’exposition, on considère deux étapes. On décrit d’abordle cas du complexe K

:=

^R

(

j_Xv

)

_∗

(

j_!∗L_|X^∗_{B v}

)

, descriptionquis’appliqueraitaussiaucasglobalR

(

j_D

)

_∗j^∗_Dj_!∗L^{,puiscelleducomplexei∗}_Xv^{Kdanslecaslocal.}

1)Casalgébrique : onposeD

:=

^X

−

^XU;c’est unDCNdans X,cequi permetdeconstruire lecomplexebifiltré loga- rithmiqueIC

(

X

,

L

)( ∗

^D

)

^R

(

jD

)

_∗j^∗_Dj_!∗L^.Soienthi

: (

U

−

^H−ⁱ

) →

^U,h_i

: (

XU

−

^H_−i

) →

^XU; onposeK

:=

^IC

(

X

,

L

)( ∗

^D

)

et K

=

^{R f}∗K,puisonintroduitletriangledistingué

i^!_W

−j

(

h_i

)

_!

(

h_i

)

^∗K

→

i^!_W

−jK

→

^ϕ i^!_W

−ji_H

−i∗i^∗_H

−iK ^[

→

^1]

afin de calculer l’hypercohomologie : H^∗W_−j

(

U

, (

hi

)

_!h^∗_iK

)

^H∗_W

−j

(

XU

, (

h_i

)

_!

(

h_i

)

^∗K

)

à l’aide du cône sur

ϕ

,à un décalage d’indicesprès,puisontransformelestermesducôneà l’aided’isomorphismesde Thom–Gysin,pourlesexprimerà l’aide decomplexeslogarithmiquesetlesmunirainsidestructuredecomplexesdeHodgemixte,etdoncmunirlestermesdela filtration

δ

(6)deSHM.

Ainsiles termes i^!_W

−jK (resp. i^!_W

−j

i_H

−i∗i^∗_H

−iK) deviennent isomorphes à

(

IC

(

W_−j

,

L

)( ∗ ((

D

∪

^Y

) ∩

^W_{− j}

)),

W

,

F

)

(pro- position 2), donc des complexes à support W_−j logarithmiques en

(

D

∪

^Y

) ∩

^W_{− j} ^comme sous-complexe du com- plexe logarithmique bifiltré

(Ω

_W^∗

−j

(

Log

((

D

∪

^Y

) ∩

^W_−j

)) ⊗

L_|W_−j

,

W

,

F

)

(resp. à support W_−j

∩

^H_−i logarithmiques en

(

D

∪

^Y

) ∩

^W_−j

∩

^H_−i^).

Enconclusion,H^∗_W

−j

(

X_Bv

, (

h_i

)

_!

(

h_i

)

^∗K

)

(resp.H^∗_W

−j

(

X_U

, (

h_i

)

_!

(

h_i

)

^∗K

)

)sedéduit,àindicesprès,ducônemixtedumorphisme

ϕ

réalisépardescomplexessurW_−jlogarithmiquesen

(

Xv

∪

^Y

) ∩

^W_−j^(resp.

(

D

∪

^Y

) ∩

^W_−j^).

2)Casdel’hypercohomologieduvoisinagetubulaireétoiléX^∗_Bv àcoefficientsdans j_!∗L(définition 2.4).Pour montrerla compatibilité delaSHM avec lafiltrationperverse, onmunitles termesH^∗_W

j

(

X^∗_B

v

, (

h_i

)

_!

(

h_i

)

^∗j_!∗L) ^{de laformule(6)d’une} SHM compatible. En reprenantles notations dela première étape,ce groupede cohomologie secalcule àl’aidedu cône sur

ϕ

.

OnposeK

=

^{R f}∗K,hi

: (

Bv

−

^H−ⁱ

) →

^Bv,h_i

: (

XBv

−

^H_−i

) →

^XBv,etoncalculelacohomologie :H^∗W_−j

(

Bv

, (

hi

)

_!h^∗_iK

)

H^∗_W

−j

(

XBv

, (

h_i

)

_!

(

h_i

)

^∗K

)

àl’aideducônesur

ϕ

,àundécalaged’indicesprès, afindemunircesgroupesetdonclestermes delafiltration

δ

(6)debifiltrations.

En conclusion,H^∗_W

−j

(

X_Bv

, (

h_i

)

_!

(

h_i

)

^∗K

)

sedéduit, àindicesprès,ducônemixte dumorphisme

ϕ

réalisépardescomplexes sur XBv

∩

^W_−j logarithmiques en Xv

∩

^W_{− j}^{. Ce n’est pas encore des SHM, mais la SHM, recherchée est celle d’un} double cône mixte une fois C

(

Ij

)

sur le morphisme Ij

:

^i!_Xv∩W

−j

i^!_W

−j

j_!∗L

→

^i∗_Xv∩W

−ji^!_W

−j

j_!∗L^{, C}

(

Iⁱ_j

)

sur le morphisme Iⁱ_j

:

^i!_Xv∩W

−j

i^!_W

−ji_H

−i∗i^∗_H

−ij_!∗L

→

^i∗_Xv∩W

−ji^!_W

−j

i_H

−i∗i^∗_H

−ij_!∗L^{etune foissur lemorphisme}

ϕ :

^C

(

Ij

) →

^C

(

Iⁱ_j

)

.Enconclusion, lafiltration

δ

sur H^∗

(

X^∗_B

v

,

j_!∗L

)

est réalisée par des SHM compatiblesavec cellesde X^∗_B

v,donc lafiltration perverse est aussicompatibleaveclesSHM. 2

Références

[1]A.A.Beilinson,J.Bernstein,P.Deligne,Faisceauxpervers,in :Analyseettopologiesurlesespacessinguliers,vol. I,Luminy,1981,Astérisque100(1982) 5–171.

[2]E.Cattani,A.Kaplan,W.Schmid,L²andintersectioncohomologiesforapolarizablevariationofHodgestructure,Invent.Math.87(1987)217–252.

[3]E.Cattani,F.ElZein,P.A.Griffiths,D.T.Lê,HodgeTheory,PrincetonUniversityPress,Princeton,NJ,USA,2014.

[4]M.A.deCataldo,L.Migliorini,TheperversefiltrationandtheLefschetzhyperplanetheorem,Ann.Math.(2)171 (3)(2010)2089–2113,arXiv:0805.4634.

[5]M.Kashiwara,AstudyofvariationofmixedHodgestructure,Publ.Res.Inst.Math.Sci.,KyotoUniv.22 (5)(1986)991–1024.

[6]M.Kashiwara,T.Kawai,Hodgestructureandholonomicsystems,Proc.Jpn.Acad.,Ser.A,Math.Sci.62 (1)(1986)1–4.

[7]M.Kashiwara,T.Kawai,PoincarélemmaforavariationofHodgestructure,Publ.Res.Inst.Math.Sci.,KyotoUniv.23(1987)345–407.