46 La magie du calcul © ACL - Éditions du kangourou (extraits)
ÉCRITURE DÉCIMALE INFINIE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 1 4 5 1 17 16 19 18 20 22 21
24 23 25 26
2 7 2 8 29
MATHGIC MAN
Que dire alors des deux nombres précédents a et b ? Faisons d’abord une manipulation un peu magique pour trouver une écriture infinie du nombre a.
Calculons 100 3a :
100 3a = 42,424242424242424242424242
En effet pour multiplier par 100 on déplace la virgule de deux positions vers la droite.
On a donc :
100 3a = 42 + a d’où 99a = 42.
Finalement, le nombre a s’écrit . Le tour est joué !
}42 99
a = 0,424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424 b = 0,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
QUESTIONS AUX MALICIEUX ——
Trouver une écriture finie des nombres
c = 0,421421421421421421421421421421421421421421421421421421421421421421421421421421…
d = 0,178917891789178917891789178917891789178917891789178917891789178917891789178178…
e = 86400864008640086400864008640086400864008640086400864008640086400864008640086400…
f = 0,7575757575757575757575757575757575757575757575757575757575757575757575757575757…
g = 0,8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888…
h = 0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333…
b = 0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999915 Il y a des nombres dont l’écriture décimale ne s’arrête pas. Dans le quotient de certains entiers, la division produit toujours de nouveaux chiffres, mais ils finissent par se répéter.
Ainsi, par exemple, on a :
1
7 = 0,142857142857142857142857…
3010 50 40
60 20
42 7 1,
5 8
7
