Exercices
Exercice 1 : Solution page5
Faire l’exercice 4 des feuilles d’exercices.
Exercice 2 : Solution page5
ABC est un triangle. Les pointsD,E,F,G sont tels que −−→
EA = −−→
AB = −−→
BD et tels que [AG] et [BF] ont le même milieuC.
1) Montrer que −−→ AB = −−→
FG. 2) Démontrer que (AG)//(EF).
3) Démontrer que (BF)//(DG).
Pour cet exercice et le suivant, vous vous efforcerez à bien rédiger vos réponses avant de lire la solution.
Exercice 3 : Solution page5
Faire l’exercice 8 des feuilles d’exercices.
Exercice 4 : Solution page5
Faire l’exercice 10 des feuilles d’exercices.
Recopier les définitions et propriétés suivantes dans votre cahier de cours.
II Somme vectorielle 1) Définition
On s’inspire du problème du nageur et du courant pour définir et construire la somme de deux vecteurs.
La somme de deux vecteurs→− u et→−
v est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur→−
u et de vecteur→− v. Définition 1.
−
→u
→−v
→− u +
→− v
→− w
Il suffit de dessiner→− u et→−
v à la queue-leu-leu pour construire→− u +→−
v comme on a fait pour le nageur (avec→−
v et→− c ).
2) Construction
Une méthode pour construire→− u +→−
v est alors la suivante : on dessine les vecteurs à la queue leu-leu :
1) on choisit un point de départ (le plus simple étant de prendre l’origine de→− u) ; 2) on construit→−
u à partir de ce point de départ ; 3) on construit→−
v à la suite de→−
u (on construit donc un parallélogramme) ; 4) on dessine enfin le vecteur somme en « prenant le raccourci ».
Exemple : construire→− u +→−
v en partant de l’origine de→− u :
→− u
→− v
On « déplace » d’abord→−
v au bout de→− u :
→− u
→− v
→− v
Enfin, le résultat →− u +→−
v est le raccourci partant de la 1re origine et arrivant à la dernière extrémité. On suit en fait le chemin indiqué par les flèches :
→− u
→− v
→− v
−→u+
−→v
Exemple : on construit→− u +→−
v en partant deA(les vecteurs de départ sont en noir) :
→− u
→− v
A
→− u
→− v
−→u+
−→v
Un cas particulier important :La relation de Chasles(français, 1793-1880).
Considérons des vecteurs déjà placés bout à bout et nommés par des pointsA,B,C:
A −−→
AB
B
−−→ BC
−−→ C AC
Quels que soient les pointsA,B,Con a −−→ AB +−−→
BC =−−→
AC . Théorème 2(La relation de chasles).
Preuve: On dessine −−→ AB+−−→
BC en partant deA. On applique d’abord la translation de vecteur
−−→
AB pour aboutir enB. Puis celle de vecteur −−→
BC pour finir enC. Finalement, on a le vecteur
−−→AC.
On « court-circuite » le pointBcommun au milieu : suivre le chemin deAàBpuis deBàC revient à prendre le chemin menant directement deAàC.
Faire une soustraction de deux vecteurs consiste à ajouter l’opposé du second vecteur au premier :
−
→u −→− v =→−
u + (−→− v) Définition 3.
Par exemple, pour faire −−→ AB−−−−→
CD on fait −−→
AB + (−−−−→
CD) =−−→ AB +−−−→
DC. Remarque : −−→
AB − −−→
AB = −−→
AB + (−−−→
AB) = −−→ AB + −−→
BA = −−→
AA =→−
0 . On a utilisé l’opposé d’un vecteur et la relation de Chasles pour montrer que −−→
AB −−−→ AB =→−
0 .
Exercice 5 : Solution page5
Exercice 6 : Solution page5 Faire exercice 43 page 151 de votre livre.
Exercice 7 : Solution page5
Faire exercice 44 page 151 de votre livre.
Solution
Solution exercice1:
La translation de vecteur transforme en
−−→
CE L J
−−−→
DA G M
−→
EI ECG IKM
−−→GB [FJ] [CK]
−−−→
MC −−−→
AD −−→
FC −−→
EJ −−→
−−→ LG
KI et −−→
JD −→
JF et −−−→
MG −−→
IA et −−−→
BM −−−→
FM et −−−→
DK −−→
AE et −−→
KF Solution exercice2:
1) Comme les diagonales [AG] et [BF] se coupent en leurs milieux alorsABGFest un paral- lélogramme. CommeABGF est un parallélogramme alors −−→
AB =−−→ FG. 2) Comme −−→
AB = −−→
FG d’après le 1) et comme −−→
AB = −−→
EA par hypothèse alors −−→
EA = −−→ FG. Comme −−→
EA = −−→
FG alors EAGF est un parallélogramme. CommeEAGF est un parallélo- gramme alors (EF)//(AG).
3) On rédige de la même manière qu’au 2).
Comme −−→
AB = −−→
FG d’après le 1) et comme −−→
AB = −−→
BD par hypothèse alors −−→
BD = −−→ FG. Comme −−→
BD = −−→
FG alorsBDGF est un parallélogramme. CommeBDGF est un parallélo- gramme alors (BF)//(DG).
Solution exercice3: Il suffit de montrer que −−→ AI = −−→
JC. CommeAest le milieu de [BI] alors −−→
BA =−−→ AI. CommeCest le milieu de [DJ] alors −−−→
CD =−−→ JC. MaisABCD est un parallélogramme, alors, −−→
BA = −−−→ CD.
En rassemblant les trois égalités vectorielles précédentes, on déduit que −−→
AI = −−→
JC. Donc AICJ est bien un parallélogramme.
Solution exercice4: Oui, faire un dessin ou utiliser la relation de Chasles.
Solution exercice5: La correction est dans un fichier à part. Pensez à appuyer surCtrl+F5 pour passer en mode plein écran sur votre ordinateur. Appuyez ensuite sur les flèches pour faire défiler les pages.
Solution exercice6: La correction est dans un fichier à part. Pensez à appuyer surCtrl+F5 pour passer en mode plein écran sur votre ordinateur. Appuyez ensuite sur les flèches pour faire défiler les pages.
Solution exercice7: La correction est dans un fichier à part. Pensez à appuyer surCtrl+F5
