Aiguille de Buffon - Théorie et simulation
Cet article développe une application des probabilités à la recherche de valeurs approch’ees deπ. Historiquement on doit au mathématicien français Georges Buffon∗l’étude de l’expé- rience consistant à jetter sur un plancher un lot d’aiguilles identiques et à exploiter le nombre de ces aiguilles à cheval sur les rainures du plancher, pour en déduire une approximation de π.
∗Georges Louis LECLERC DE BUFFON ( 1707-1778)
On laisse tomber une aiguille de longueurasur un plancher dont la largeur des lattes est constante égalle à L et on cherche la probabilité que cette aiguille soit à cheval sur deux lattes ( ou encore que l’aiguille coupe une rainure de plancher ).
1. Modélisation.
On modélise le contexte physique, en considérant un repére orthonormé ³ O,−→
ı ,−→
´
tel que les lattes soient parallèles à l’axe (y′O y) des ordonnées, cet axe étant une rainure du parquet, toutes les rainures sont donc modélisées les droites d’équationy=kL, notéeLk, oùk∈Z.
Dans le schéma ci dessous l’aiguille est en rouge et les lattes de parquet en pointillés bleu.Cest le centre de l’aiguille.
-1 0 1 2 3 4 5
-1 0 1 2
−L L 2L 3L 4L
−2L O −→ x
i
−
→j y
y′
A
B
• C
L’intersection de l’aiguille [AB] avec une des lattes verticales ne dépend pas de l’ordonnée deC(
centre de l’aiguille ) , comme d’autre part l’ensemble des lattes est invariant par les translations de vecteursL→−i, on ramène la question de l’intersection de l’aiguille avec une droite verticale Lk
d’équation x=kL à celle de l’intersection d’une aiguille de centreC(X, 0) avec l’une des deux droites d’équationL0et L1, où X∈[0,L].
La figure2traduit l’absence d’intersection de l’aiguille [AB] et la figure3une intersection avec une des deux lattes verticalesL0etL1).
-1 0 1 2 3 4 5
-1 0 1 2
L
|
x O
C(x, 0)
•
Figure 2
-1 0 1 2 3 4 5
-1 0 1 2
L
|
x O
C(X, 0)
• A
H
B K T
π 2
−π 2
h k
Figure 3
La position de l’aiguille est entièrement déterminée, par le couple (X,T) ∈£ 0,L¤
×£
−π 2,π
2
¤. Xdésignant l’abscisse du centreC de l’aiguille et T représentant une mesure comprise entre−π
2 etπ
2 de l’angle de droites¡
(AB), (Ox)¢ .
Soient H etK les projections orthogonales sur l’axe des abscisses des extrémiés A etB de l’ai- guille.Les abscisses de ces points sont respectivement :
h = X−a
2cosT et k = X+a 2cosT .
Il en résulte que l’aiguille n’a pas d’intersection avecL0, niL1si et seulement si 0 < h 6k<L c’est-à-dire 0< X − a
2cosT 6X − a
2cosT < L (1) 2. Simulation théorique.
Pour exprimer le lancer " au hasard " de l’aiguille, on suppose que X est une variable aléatoire de loi U[0,L] , loi uniforme sur [0,L] et T variable aléatoire de loiU[
−π2,−π2], loi uniforme surh
−π 2,π
2 i
. En conséquenceXadmet pour densitéx7→1
L1[0,L](x) et T a pour densitét7→1
π1[−π2,−π2](t).
En supposant naturellement les deux variablesXetT indépendantes , le couple (X,T ) admet sur R2, la densité :
Φ: (x,t)7→ 1
πL1[0,L](x)1[−π2,−π2](t)
On pose alorsZ variable aléatoire de Bernoulli, prenant la valeur 1 si l’aiguille a une intersection avecL0ouL1, soit p le paramètre de cette loi. On ap = P¡
Z=1¢
, et donc 1−p = P¡ Z =0¢
, ( que l’on noteq ), or d’apès (1) :
Z = 0 ⇔ 0 < X − a
2cosT 6 X − a
2cosT < L d’où q = P³
0 < X − a
2cosT 6 X + a
2cosT < L´ Par ailleurs, pour tout couple (x,t) de réels tels que (x,t)∈ [0,L]×[−π
2,−π 2] , a
2cost >0 d’où l’équivalence :
0 < x − a
2cost 6 x + a
2cost < L ⇔ a
2cost < x < L− a
2cost (2) Or
a
2cost < x < L− a
2cost ⇒ a
2cost < L− a
2cost ⇔ acost< L ⇔ cost< L a (3)
• Si a<Lla condition (3) est toujours remplie et dans ce cas :
• Si a>Lla condition (3) est équivalente à :
−π
26t< −arcos¡L a
¢ ou arcos¡L a
¢<t 6 π 2 soit encore :
t∈£
−π
2,−arcos¡L a
¢ £∪¤
arcos¡L a
¢,π 2
¤
Posons alors D la partie deR2des couples (x,t) vérifiant (2), on déduit alors successivement : q =
Z Z
DΦ(x,t)d xd t = Z Z
D
1
πL1[0,L](x)1[−π2,−π2](t)d xd t Le calcul de q s’effectue selon le cas a<Lou a>L.
• Si a<L
q = 1 πL
Z Z
t∈[−π2,π2],x∈¤a
2cost,L−a2cost£d xd t
⇒ q = 1 πL
Zπ
2
−π2
³ZL− a
2cost
a 2cost
d x´
d t = 1 πL
Zπ
2
−π2
¡L− acost¢ d t
= 1 πL
¡Lπ− 2a¢
= 1− 2a πL D’o‘u
p = 2a
πL (∗)
• Si a>L
q = 1 πL
Z Z
t∈£
−π2,−arcos¡L
a
¢ £∪¤
arcos¡L
a
¢,π2¤
,x∈¤a
2cost,L− a2cost£d xd t q = 1
πL Z
t∈£
−π2,−arcos¡L
a
¢ £∪¤
arcos¡L
a
¢,π2¤
³ZL− a2cost
a
2cost d x´
d t
= 1 πL
Z−arcos¡L
a
¢
−π2
¡L −acost¢ d t + 1
πL Zπ
2
arcos¡L
a
¢
¡L− acost¢ d t
= 1 πL
³ L¡
−arcos¡L a
¢+π 2
¢ −ah
sinti−arcos¡L
a
¢
−π2
´ + 1
πL
³ L¡
−arcos¡L a
¢+π 2
¢− ah sintiπ2
arcos¡L
a
¢
´
= 1 πL
³ L¡
−arcos¡L a
¢+π 2
¢−a©
−sin arcos¡L a
¢+1ª + 1
πL
³ L¡
−arcos¡L a
¢+π 2
¢−a©
1−sin arcos¡L a
¢ª´
= 1 πL
³L¡
π−2arcos¡L a
¢¢− a©
2−2 sin arcos¡L a
¢ª´
q = 1− 2
πarcos¡L a
¢− 2a πL + 2a
πLsin arcos¡L a
¢
Comme 0 <L
a 61 , on a : 06arcos¡L a
¢ <π
2 donc 0 6 sin¡
arcos¡L a
¢¢. En conséquence
sin¡
arcos¡L a
¢¢= s
1−cos2¡
arcos¡L a
¢¢ = s
1 −¡L a
¢2
D’où :
q = 1− 2
πarcos¡L a
¢− 2a πL + 2a
πL s
1 −¡L a
¢2
D’où on tire :
p = 2a πL + 2
πarcos¡L a
¢− 2a πL
s 1−¡L
a
¢2
(∗∗)
3. SimulationsScilab
a. La variable aléatoireZ qui prend la valeur 1 si l’aiguille rencontre une rainure est simulée sous la forme suivante :
function z=Z() //Simulation de la variable de Bernoulli Z
x=rand() // simulation de la variable X de loi uniforme sur [0 , 1]
t=%pi*(rand()-0.5)// Simulation de la variable T de loi unforme sur [-pi/2, pi/2]
if x+(a/2)*cos(t)< L & x-(a/2)*cos(t)> 0 then z=0 // Pas d’intersection donc Z=0
else z=1 // cas contraire , une intersection donc Z=1 end
endfunction
b. Le programme suivant simuleN variables aléatoires indépendantesZii∈[[1,N]] de loiB(p) identique à celle deZ.
Conformément à la loi des grands nombres La variableSn = 1 n
n
X
i=1
Zi converge en probabilité versp.
Les fréquences empiriques Sn sont des valeurs approchées dep.
Les courbes suivantes représentent les pointsMk(k,Sk) pourk∈[[5000, 10000]] avecL=1 et la longueur de l’aiguillea=0.5 eta=2.
On donne dans chacun des cas la valeur empirique depet la valeur théorique ( à 10−4prés ).
Casa=0.5
clf()
funcprot(0) clear
//a=longueur de l’aiguille
//l=largeur entre deux lattes de parquet
//p=(2*a)/(%pi*L)) probabilité que l’aiguille tombe sur une rainure de parquet dans le // cas a < L
a=0.5 L=1
function z=Z() //Simulation de la variable de Bernoulli Z x=rand()
t=%pi*(rand()-0.5)// Simulation de la variable de loi unforme sur -pi/2, pi/2 if x+(a/2)*cos(t)< L & x-(a/2)*cos(t)> 0
then z=0 // Pas d’intersection donc Z=0
else z=1 // cas contraire , une intersection donc Z=1 end
endfunction
function y=Freq(N) // Fonction calculant la fréquence d’intersection lors de N lancers s=0
for k= 1:N s=s+Z() end
y=s/N
endfunction
// construction de la courbe des fréquences
x=5000:15: 10000//Incrémentation du nombre de lancers 15 par 15 de 5000 a 10 000 u=feval(x,Freq)
plot2d(x,u)
// création de la droite d’équation y=2a/(Pi*L)
function y=cte(t) y=2*a/(%pi*L) endfunction
v=feval(x,cte) plot2d(x,v,style=5)
legends([’longueur de l’’aiguille a=0.5’],[1],3);
legends([’Droite d’’equation y=2*a/(pi*L)=2/pi~0.3183’],[5],1);
legends([’Ecartement des lattes L=1’],[1],4);
xtitle(’Courbe des fréquences d’’intersection avec les lattes en fonction //du nombre de lancers de l’’aiguille’)
//disp((s/N)*(%pi*L)/(2*a))//
disp(Freq(10000),’ Fréquence empirique : Freq(10 000)=’)//
//affichage de la fréquence observée pour 10 000 lancer= valeur approchée de p disp(2*a/(%pi*L), ’ valeur théorique de p =’)
10 000
6 000 8 000
5 000 5 500 6 500 7 000 7 500 8 500 9 000 9 500
0.3
0.28 0.32 0.34
0.29 0.31 0.33
0.285 0.295 0.305 0.315 0.325 0.335
Courbe des fréquences d’intersection avec les lattes en fonction du nombre de lancers de l’aiguille
longueur de l’aiguille a=0.5
Droite d’equation y=2*a/(pi*L)=2/pi~0.3183
Ecartement des lattes L=1
FIGURE1 – Courbe des fréquences de Z= 1 en fonction du nombre de lancers : a=1/2 : L=1 Fréquence empirique : Freq(10 000)=
0.3174
valeur théorique p = 0.3183099
Casa=2
Fréquence empirique : Freq(10 000)=
0.8367
10 000
6 000 8 000
5 000 5 500 6 500 7 000 7 500 8 500 9 000 9 500
0.82 0.84
0.83 0.85
0.825 0.835 0.845 0.855
Courbe des fréquences d’intersection avec les lattes en fonction du nombre de lancers de l’aiguille
longueur de l’aiguille a=0.5
Droite d’equation y=2*a/(%pi*L)+(2/%pi)*acos(L/a)− (2*a/(%pi*L))*sqrt(1−(L/a)^2)~0.8372
Ecartement des lattes L=1
FIGURE2 – Courbe des fréquences de Z= 1 en fonction du nombre de lancers : a=2 : L=1
valeur théorique pour a >=L 0.8372484
4. Etude du paramètrepde la loi deZ
FixonsLréel strictement positif , la probabilitép que l’aiguille coupe une rainure verticale est ( paramètre de la loi de Bernoulli de la variableZ) une fonction dea, réel strictement positif, notée P. D’aprés la première partie on a
P(a) = 2a
πL1]0,L] +
³2a πL + 2
πarcos¡L a
¢ − 2a πL
s 1−¡L
a
¢2´ 1[L,+∞[
Pour L = 1, la courbe dePest donnée ci-dessous, grâce au programmeScilab suivant : //Buffon-7-courbe-proba.sce
clf()
funcprot(0) clear
// courbe des paramètres $p$ en fonction de a longueur de l’aiguille.
L=1
function y=P(a)
if a< L then y=2*a/(%pi*L)// expression (*) de p(a)
else y=2*a/(%pi*L)+(2/%pi)*acos( L/a)- (2*a/(%pi*L))*sqrt(1-(L/a)^2)// expression end
endfunction
xtitle(’Courbe de la fonction a--> p(a) et son asymptote droite d’’équation y=1’) function y=Cte(a)
y=1 endfunction
a=linspace(0,6,1000) c=feval(a,Cte)
y=feval(a,P)
plot2d(a,y,style=5) plot2d(a,c,style=4)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
0 1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.2
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1
a y
Courbe de la fonction a−−> p(a) et son asymptote droite d’équation y=1
FIGURE3 – Courbe de la fonctiona7→p(a), pourL=1
PourL=1 la courbe précédente indique que la fonction p est continue croissante surR+de limite égale à 1 en+∞.
On établit ces propriétés dans le cas général ci-dessous.
Continuité et dérivabilité de a7→p(a)
• Sur [0,L[, p(a)= 2a
πLdonc p est continue et dérivable sur [0,L[, avec p′(a) =πL2 .
• Sur [L,+∞[, p(a)= 2a πL + 2
πarcos¡L a
¢ − 2a πL
s 1−¡L
a
¢2
donc p est continue sur [L,+∞[ et dérivable sur ]L,+∞[.
On a d’une part lim
a→L−p(a)= 2
π et d’autre part lim
a→L+p(a)= 2
π =p(L) donc la fonction pest continue enLet continue surR+.
Le calcul de la dérivée depsur ]a,+∞[ donne
∀a∈]a,+∞[, p′(a) = 2 πL + 2
π
³
− L a2
´³
− 1
q 1− ¡L
a
¢2
´
− 2 πL
s 1−¡L
a
¢2
−2a πL
1 2
2Ł2 a3 q
1−¡L
a
¢2
Soit, après simplification :
∀a∈]a,+∞[, p′(a) = 2 πL
³ 1−
s 1− ¡L
a
¢2´
>0 On observe que lim
a→L−p′(a)= 2
πL et d’autre part lim
a→L+p′(a)= 2
πL on déduit du théorème de prolongement ( résultat d’analyse ) que la fonction est dérivable enLet que p′(L)= 2
πL, ce qui prouve pour finir que p est dérivable surR+, de dérivée strictement positive donc la fonction a7→p(a) est strictement croissante surR+et de limite égale à 1, ce qui est conforme à l’intui- tion. La probabilité que l’aiguille coupe une rainure est d’autant plus grande et proche de 1 , que l’aiguille est longue.
5. Convergence et approximations
On reprend les notations de la partie3.b. Le lancer de l’aiguille est effectué un nombre indéterminé de fois, la variable aléatoireZiprend la valeur 1 si aui−ème lancer l’aiguille coupe une rainure et la valeur 0 sinon. Les variablesZisont mutuellement indépendantes de même loiB(p) . Comme déjà indiqué la variableSn = 1
n Xn i=1
Zi converge en probabilité versp. ( Loi des grands nombres) . On exploite maintenant de théorème de "limite centrée" ( Laplace-Gauss )
La suite³ S∗n´
n>1 définie par : S∗n =
Sn
n −p
ppq pn
converge en loi vers la loi normale centrée réduite, ce qui exprime que pour tout couple (a,b) de réels tels quea6b:
n→+∞lim P³
a6 S∗n 6b´
= 1 p2π
Zb a
e−t
2
2d t = Φ(b)−Φ(a), En particulier, pour tout réelα>0, on a :
nlim→+∞P³
−α6 S∗n 6α
´
= Φ(α)−Φ(−α) =2Φ(α)−1,
oùΦest la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle de loiN(0, 1). Soit encore :
n→+∞lim P³ ¯
¯
¯Sn∗
¯
¯
¯6 α
´
= 2Φ(α)−1.
Cette dernière limite permet d’accéder à l’approximation suivante, pour de "grandes" valeurs de n:
P³ ¯
¯
¯S∗n¯
¯
¯6 α
´
⋍ 2Φ(α)−1. (1) Comme S∗n =
Sn n −p
ppq pn
on déduit : Sn
n −p = S∗n. pp q
pn . En conséquence, pour toutε>0, on a les équivalences :
¯
¯
¯ Sn
n −p
¯
¯
¯ 6 ε ⇔
¯
¯
¯S∗n
¯
¯
¯6 ε pn pp q (2) De l’approximation (1) et de (2) , on obtient pour de grandes valeurs den:
P³¯
¯
¯ Sn
n −p
¯
¯
¯ 6 ε
´
⋍ 2Φ(εp
pp qn)−1. (3)
Grâce à cette approximation on accède aux valeurs den, pour lesquelles P³¯
¯
¯ Sn
n −p
¯
¯
¯ 6 ε
´
> α oùα∈]0, 1[ , en résolvant :
2Φ( ε
pnp q)−1 > α (4) CommeΦest bijective deRsur ]0, 1[, on a :
(4) ⇔ Φ(εp
pp qn) > α+1
2 ⇔ εp
pp qn > Φ−1³α+1 2
¢ ⇔ n > 1 ε2 h
Φ−1³α+1 2
¢i2
p q (5) On tire de (5) que moyennant les approximations (4), pour des valeurs deεet deαdonnées, pour que la probabilité de¯
¯
¯
Sn
n −p¯
¯
¯ 6 ε soit supérieure àαil suffit quensoit plus grand que n0 = j1
ε2 h
Φ−1
³α+1 2
¢i2
p qk
⌊.⌋désignant la partie entière.
