Interrogation écrite du vendredi 7 janvier 2022

(1)

T spécialité

Interrogation écrite du vendredi 7 janvier 2022

Durée : 30 minutes - fiche - calculatrice

Numéro : ….. Prénom et nom :……….……….

Note : ….. / 20

I. (4 points : 1°) 2 points ; 2°) 2 points)

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 3. On noteS la sphère de centre F et de rayonx oùx est un réel strictement supérieur à 3 etP le plan qui contient les points A, B, C, D.

1°) Compléter la phrase suivante :

L’intersection deS et du planP est le cercle de centre …. et de rayon ……..… . 2°) Déterminerx pour que l’intersection deS et deP soit un cercle de rayon 2.

…… (une seule valeur sans égalité)

II. (2 points)

On considère la suite

 

un définie sur par son premier terme

0 5

u  et la relation de récurrence u_n_₁ 1 2u_n pour tout entier natureln.

On considère la fonction Pythonterme(n) dans l’encadré ci-contre qui renvoie la valeur de u_n pour tout entier naturel n1.

Compléter les instructions manquantes en utilisant une variableu.

III. (5 points : 1 point par résultat)

On s’intéresse à un portique de sécurité dans un aéroport.

On suppose que pour chaque personne, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,025.

80 personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique de sécurité parmi ces 80 personnes.

· Compléter la phrase suivante :

X suit la loi ……… de paramètres …….. (nombre de répétitions) et ……. (probabilité qu’une personne fasse sonner le portique de sécurité).

· Calculer la probabilité qu’il y ait :

au moins une personne qui fasse sonner l’alarme …………. (un seul résultat, arrondi au millième)

au plus six personnes qui fassent sonner l’alarme …………. (un seul résultat, arrondi au millième)

au moins deux personnes qui fassent sonner l’alarme …………. (un seul résultat, arrondi au millième) def terme(n):

…………..

for i in range(1,n+1):

……….

return ……

(2)

· L’espérance mathématique de X est égale à ……… (valeur exacte, sans égalité).

· La variance de X est égale à ……… (valeur exacte, sans égalité).

IV. (5 points : 3 points + 2 points)

Une urne contient deux boules blanches et trois boules noires. On suppose que les cinq boules sont indiscernables au toucher.

On tire successivement deux boules de l’urne avec remise (on remet dans l’urne la première boule tirée).

On considère le jeu suivant :

- si les deux boules tirées sont blanches, on gagne 5 euros ; - si on tire une boule blanche puis une noire, on gagne 2 euros ; - si on tire une boule noire puis une blanche, on perd 1 euro ; - si les deux boules tirées sont noires, on perd 5 euros.

On considère la variable aléatoire X donnant le gain algébrique en euros d’un joueur. X peut donc prendre les valeurs x₁5, x₂ 2, x₃  1, x₄  5.

Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X (oùP désigne la probabilité qui modélise l’expérience aléatoire).

xi



^X i



P x

Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.

……… (une seule égalité) ……… (une seule égalité)

V. (4 points : 1°) 2 points ; 2°) 2 points)

Une urne contientn boules numérotées de 1 àn,n étant un entier naturel non nul.

On prélève au hasard et avec remise deux boules de cette urne et on note X le produit des numéros des deux boules.

On écrira les résultats sans égalités.

1°) Dans cette question, on suppose que n6. Quelle est la probabilité de l’événement



^X^⁶



^?

On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible. ……

2°) On revient au cas général oùn est un entier naturel quelconque non nul.

Quelle est la probabilité de l’événement



^X^ⁿ²



? ……

Bonus sur 1 point : L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier sur les deux lignes en dessous.

« Pour n2, la probabilité de l’événement



^X^ⁿ



est supérieure ou égale à ²₂

n . » ……

………..

(3)

Corrigé de l’interrogation écrite du 7-1-2022

I.

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 3. On noteS la sphère de centre F et de rayonx oùx est un réel strictement supérieur à 3 etP le plan qui contient les points A, B, C, D.

On commence par faire une figure.

1°) Compléter la phrase suivante :

L’intersection deS et du planP est le cercle de centre B et de rayon x²9.

On utilise la propriété suivante :

SoitS une sphère de centre O et de rayonR



^R^⁰



^.

SoitP un plan de l’espace.

On pose ^d^^{d O,}



^P



^.

Si dR , alorsS et P sont sécants suivant le cercle

C

de centre H, projeté orthogonal de O surP, et de rayon

2 2

r R d (théorème de Pythagore).

P H

R

S d

O

M

Le projeté orthogonal de F sur le planP est le point B.

On a donc ^{d F,}



^P



^^FB^³ (car on suppose que les arêtes du cube ont pour longueur 3).

Or le rayon deS estx et on a supposé que x3.

La distance de F au planP est strictement inférieure au rayon deS.

D’après la propriété, l’intersection deS et du planP est le cercle de centre B et de rayon x²9. 2°) Déterminerx pour que l’intersection deS et deP soit un cercle de rayon 2.

13 (une seule valeur sans égalité) On cherche x3 tel que x² 9 2

 

¹ ^.

 

¹ ^Û ^x²^{ }⁹ ⁴

 

¹ ^Û ^x² ^¹³

 

¹ ^Û ^x^ ¹³^ou ^x^{ } ¹³

On ne retient que 13 comme solution.

(4)

II.

On considère la suite

 

un définie sur par son premier terme

0 5

u  et la relation de récurrence u_n_₁ 1 2u_n pour tout entier natureln.

On considère la fonction Pythonterme(n) dans l’encadré ci-contre qui renvoie la valeur de u_n pour tout entier naturel n1.

Compléter les instructions manquantes en utilisant une variableu.

III.

On s’intéresse à un portique de sécurité dans un aéroport.

On suppose que pour chaque personne, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,025.

80 personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique de sécurité parmi ces 80 personnes.

· Compléter la phrase suivante :

X suit la loi binomiale de paramètres 80 (nombre de répétitions) et 0,025 (probabilité qu’une personne fasse sonner le portique de sécurité).

· Calculer la probabilité qu’il y ait :

au moins une personne qui fasse sonner l’alarme 0,868 (un seul résultat, arrondi au millième)

au plus six personnes qui fassent sonner l’alarme 0,996 (un seul résultat, arrondi au millième)

au moins deux personnes qui fassent sonner l’alarme 0,597 (un seul résultat, arrondi au millième)

· L’espérance mathématique de X est égale à 2 (valeur exacte, sans égalité).

· La variance de X est égale à 1,95 (valeur exacte, sans égalité).

· Pour calculer la probabilité qu’il y ait au moins une personne qui fasse sonner l’alarme, on calcule ^P



^X^¹



^.

On peut utiliser directement la calculatrice ou écrire ^P



^X^¹



^{ }¹ ^P



^X^⁰



^{ }^{1 0, 975}⁸⁰^.

Dans ce dernier cas, on utilise l’événement contraire « aucune personne ne fait sonner l’alarme ».

La probabilité qu’une personne ne fasse pas sonner l’alarme est1 0, 025 0,975.

· Pour calculer la probabilité qu’il y ait au plus six personnes qui fassent sonner l’alarme, on calcule ^P



^X^⁶



^.

On peut faire les calculs à la main (^P



^X^⁶



^^P



^X^⁰



^^P



^X^{ }¹



^P



^X^²



^{ }^... ^P



^X^⁶



) ou utiliser directement la calculatrice.

· Pour calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes qui fassent sonner l’alarme, on calcule ^P



^X^²



^.

On peut utiliser directement la calculatrice.

· Pour l’espérance mathématique et la variance de X, on utilise les formules du cours donnant l’espérance mathématique et la variance d’une variable aléatoire qui suit la loi binomiale.

def terme(n):

u=5

for i in range(1,n+1):

u=1-2*u return u

(5)

IV.

Une urne contient deux boules blanches et trois boules noires. On suppose que les cinq boules sont indiscernables au toucher.

On tire successivement deux boules de l’urne avec remise (on remet dans l’urne la première boule tirée).

On considère le jeu suivant :

- si les deux boules tirées sont blanches, on gagne 5 euros ; - si on tire une boule blanche puis une noire, on gagne 2 euros ; - si on tire une boule noire puis une blanche, on perd 1 euro ; - si les deux boules tirées sont noires, on perd 5 euros.

On considère la variable aléatoire X donnant le gain algébrique en euros d’un joueur. X peut donc prendre les valeurs x₁5, x₂ 2, x₃  1, x₄  5.

Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X (oùP désigne la probabilité qui modélise l’expérience aléatoire).

xi 5 2 – 1 – 5



^X i



P x 4

25

6 25

9 25

On peut utiliser un petit arbre de probabilités.

Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.

 

E X  0, 76 (une seule égalité) ^{V X}

 

^^{13, 6224} (une seule égalité) Pour calculer la variance, on peut utiliser soit la formule de définition soit la formule de König-Huygens.

La deuxième méthode est préférable.

 

⁴ ⁶

 

⁶

 

⁹

E X 5 2 1 5

25 25 25 25

         

 

E X 19

  25

   

²

^{ }

²

V X E X  E X 

 

⁵² ⁴ ²² ⁶

 

¹ ² ⁶

 

⁵ ² ⁹ ¹⁹ ²

25 25 25 25 25

V X             

 

 

^13, ⁴

V X  622

On notera que X ne suit pas une loi binomiale donc on ne peut pas utiliser les formules donnant l’espérance mathématique et la variance d’une variable aléatoire qui suit la loi binomiale.

On effectue les calculs directement. Il n’y a pas d’autre possibilité.

On vérifie en utilisant le menu « statistiques » de la calculatrice.

(6)

V.

Une urne contientn boules numérotées de 1 àn,n étant un entier naturel non nul.

On prélève au hasard et avec remise deux boules de cette urne et on note X le produit des numéros des deux boules.

On écrira les résultats sans égalités.

1°) Dans cette question, on suppose que n6. Quelle est la probabilité de l’événement



^X^⁶



^?

On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible. ¹

9 L’événement



^X^⁶



se traduit par « Le produit des deux numéros est égal à 6 ».

Il y a 4 résultats qui correspondent à cet événement : les résultats

 

^{1 ; 6} ^,

 

^{6 ;1} ^,



^{2 ; 3}



^,



^{3 ; 2}



^.

On applique le principe multiplicatif car les deux tirages sont deux expériences aléatoires indépendantes.



^X ⁶



¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹

6 6 6 6 6 6 6 6 P         

 

X 6

6 1 16 4 P    

 

X 91 6 P  

2°) On revient au cas général oùn est un entier naturel quelconque non nul.

Quelle est la probabilité de l’événement



^X^ⁿ²



^? 2

1 n L’événement



^X^ⁿ²



se traduit par « Le produit des deux numéros est égal à n² ».

Il y a un seul résultat qui réalise cet événement : le résultat



^{n n}^;



^.

On applique le principe multiplicatif car les deux tirages sont des expériences aléatoires indépendantes.



²



2

1 1 1 X

P n

n n n

   

Bonus : L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier sur les deux lignes en dessous.

« Pour n2, la probabilité de l’événement



^X^ⁿ



est supérieure ou égale à ²₂

n . » V Il y a au moins deux résultats qui réalisent



^X^ⁿ



: les résultats



^{1 ;}ⁿ



^et



ⁿ^{; 1}



^.

La probabilité de ces deux résultats est ¹ ¹ ¹₂ n n n .

On a

 

2 2

1 1 X

P n

n n

   soit

 

2

X 2

P n

 n . Sin est premier, on a ^P



^X ⁿ



²₂

  n .