Les fractions rationnelles

(1)

Remarque : Tu devrais visionner toutes les présentations sur la factorisation avant de visionner celle-ci.

Les fractions rationnelles

Définition

(2)

Exemple :

x

² + 6

x

+ 8

x

² + 11

x

+ 28 Voici deux rectangles semblables et les expressions algébriques

représentant leur aire.

On voudrait représenter le rapport des aires de ces deux rectangles.

Rapport _{des aires} =

x

² + 6

x

+ 8

x

² + 11

x

+ 28

le numérateur est un polynôme;

le dénominateur est un polynôme;

appelons-le P(

x

);

appelons-le Q(

x

).

?

dans laquelle Q(x) ≠ 0.

On appelle fraction rationnelle une expression de la forme

Q(

x

) P(

x

)

Q(

x

) P(

x

)

(3)

Q(x) ≠ 0; cette partie de la définition est importante.

En mathématique, la division par 0 n’est pas définie.

Exemple : Posons

x

= 5 0

Effectuons le produit croisé : 0

x

= 5

Cette expression signifie : « Quelles valeurs doit-on donner à

x

pour que multiplié par 0, on obtienne 5 » ?

En mathématique, la division par 0 n’est pas définie.

Le dénominateur d’une fraction rationnelle ne doit jamais être égal à 0.

?

Q(

x

) P(

x

)

(4)

Voici une situation qui démontre la raison de cette restriction.

Un ami organise une fête.

Il veut partager les frais (500 $) entre les personnes présentes.

La fonction représentant cette situation est :

f(

x

) = 500

x

,

dans laquelle

x

représente le nombre de participants et f(

x

), le coût à payer par participant.

x

ne peut pas valoir 0, ce qui signifierait que personne ne viendrait.

et f(0) = 500 ₀

?

(5)

La même personne, étant l’organisateur de cette fête, considère qu’il n’a pas à payer.

Il veut partager les frais (500 $) entre les personnes présentes.

La fonction représentant cette situation est : 500 x - 1 f

(x

) = ,

dans laquelle x représente le nombre de participants et f(

x

), le coût à payer par participant.

x

ne peut pas valoir 1, car ^{f(1) =} _{1 - 1}⁵⁰⁰ ^{= 500}₀

?

(6)

Il faut donc s’assurer que le dénominateur soit différent de 0.

Exemple :

x

+ 2

x

+ 7 pour que cette fraction puisse exister, il faut que

x

+ 7 ≠ 0

Donc, si

x

+ 7 ≠ 0 - 7 - 7

x

≠ - 7

Dans cette expression,

x

peut prendre n’importe quelle valeur, mais pas -7, car cette valeur annule le dénominateur.

Cette valeur à ne pas retenir peut être appelée : - une restriction;

- une condition d’existence;

- une valeur de la variable pour laquelle la fraction n’est pas définie.

alors

x

+ 7 -7 + 7 = 0

(7)

Déterminer une restriction

Pour déterminer les restrictions à donner à une fraction rationnelle, il faut : - factoriser le dénominateur, s’il y a lieu;

- déterminer la valeur de la variable qui annule le polynôme dans chaque facteur;

- éliminer cette (ces) valeur(s).

Exemple :

x

² + 6

x

+ 8

x

² + 11

x

+ 28

x

² + 11

x

+ 28 ≠ 0 (

x

+ 4) (

x

+ 7) ≠ 0

(

x

+ 4) ≠ 0, donc

x

≠ - 4 (

x

+ 7) ≠ 0, donc

x

≠ - 7

Cette fraction peut exister pour toutes valeurs de

x

sauf - 7 et - 4.

x

≠ - 7 et - 4 Remarque : On ne donne des restrictions qu’au dénominateur, jamais au numérateur.

(8)

Détermine les restrictions à donner aux fractions rationnelles suivantes.

x

+ 3

x

² -

x

- 6

x

² -

x

– 6 ≠ 0 (

x

+ 2) (

x

- 3) ≠ 0

x

+ 2 ≠ 0, donc

x

≠ - 2

x

- 3 ≠ 0, donc

x

≠ 3

si

x

≠ - 2 et 3

x

² + 10

x

+ 25

x

² - 25

x

² - 25 ≠ 0 (

x

+ 5) (

x

- 5) ≠ 0

x

+ 5 ≠ 0, donc

x

≠ - 5

x

- 5 ≠ 0, donc

x

≠ 5

si

x

≠ - 5 et 5

x

+ 3

x

² -

x

- 6

x

² + 10

x

+ 25

x

² - 25

(9)

Détermine les restrictions à donner aux fractions rationnelles suivantes.

x

+ 7

2

x

- 5

2

x

- 5 ≠ 0, donc 2

x

≠ 5

x

≠ 5

2

x

² + 6

x

+ 9

2

x

² - 11

x

- 6

(2

x

+ 1) (

x

- 6) ≠ 0

(2

x

+ 1) ≠ 0, donc 2

x

≠ - 1

(

x

– 6) ≠ 0, donc

x

≠ 6 2

x

² - 11

x

– 6 ≠ 0

x

≠ - 1 2

x

≠ 5 2 si

x

+ 7

2

x

- 5

x

≠ - 1 2 et 6 si

x

² + 6

x

+ 9 2

x

² - 11

x

- 6

(10)

Les opérations avec les fractions rationnelles suivent les mêmes règles qu’avec les fractions numériques.

Les restrictions sont toujours la première étape d’un problème comportant des fractions rationnelles.

La factorisation est donc un procédé très utilisé avec les fractions rationnelles.

Nous verrons ce qu’il en est dans les prochaines présentations.