A fast algorithm for the two dimensional HJB equation of stochastic control
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. A fast algorithm for the two dimensional HJB equation of stochastic control J. Frédéric BONNANS — Elisabeth OTTENWAELTER — Housnaa ZIDANI. N° 5078 Janvier 2004. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5078--FR+ENG. THÈME 4. apport de recherche.
(3)
(4)
(5) ')(+*. . !"$#%&! #. $,+-%.
(6) #/ 01 32%1
(7) 2)24 #5& . 67989:<;>=;?:A@CBED3FHG%GI%GJKEL9MNO@CPRQTSVU?WAXYFHZ3Z[MG[\]IM^Z[M_a`HL9bcedP<fgQeQih4j
(8) k3IGaj
(9) l m.noRpEq[r%s tuvpaw1xzy>{|u~}qR{5}1{|uvpHu~!y>{|u~} qa| T
(10) {
(11) oRpEq}pH1x~qAeq $
(12) }>|qR{t+[3 y>1}|{ q+
(13) q
(14) nqR
(15)
(16) nq)$sy>u~qR+>rse3&y> q. ¡£¢4¤¥§¦?¨1©¥ª m.n1u~&y>qR3y>&y>xv e
(17) q {|nq%uvpH1x~qRpEqR{!y>{|u~}«}>¬{|nqa qRqR!y>xvuv®§q 0¯ 1uv{
(18) q u±°gqR² qRq+pEqR{|n} ¬³}{|nq´5µ¶q·w&y>{|u~}¸}>¬¹|{
(19) }T
(20) n&y|{|u~}{|
(21) }xȼguv{|
(22) } wq ½¼ {¿¾À}Á}>¬À{|nq y>w1{|n}
(23) auv rÿÄEm.nqE}pH1w1{!y>{|u~}Å}>¬}qAÆÇRu~qR{
(24) [qq [{
(25) }i
(26) }xvqÇy>{[q§y
(27) nÈ}uv{a}>¬.{|nq |u ÈÉ y> ¬³}q§y!ni}{|
(28) }xCÊ y%xvuvq§y> 1
(29) } !y>pHpHuv1 £1
(30) } ¼ x~qRpÄ Ë«q|n}§¾ÌnqR
(31) q{|n&y>{§º¬³}Í{ξÀ} uvpEqR|u~}&y>x&1
(32) } ¼ x~qRpEϺ{|n1u~xvuvq§y>1
(33) } !y>pHpHuv1 %1
(34) } ¼ ² x~qRpЧy> ¼ q5
(35) }xvq uvÑHÒ±ÓÔÀ}qR!y>{|u~}§ºT¾nqR
(36) q.ÓÕu~À{|nq|uv®§q+}>¬V{|nq+|{
(37) qRRuvx»Ä$m.nqpEqR{|n} u~ ¼ y
(38) q }«yE¾.y>xvÖi}{|nqEt{
(39) qR|e²¿µ¹
(40) }T}{{|
(41) qqºgy> }{|nq%
(42) qRxzy>{
(43) q ¯ xvxvuv1 Õ}>¬{|nq!qR{}>¬ }|uv{|uvq3
(44) qRpHu q ¯ 1uv{
(45) qapÇy>{||u~q }>¬$|uv®§q+{¿¾¹}1Ä × ØÙÚ
(46) ÛÜ ¦?Ý4¤ª t{
(47) }!n&y|{|u~}{|
(48) }x»º ¯ 1uv{
(49) q u±°gqR
(50) qRq§ºu~!}|uv{¿
(51) }xvw1{|u~}Ϻ}|u~
(52) {
(53) qRR º ´µÞq·w&y>{|u~}9ºt{
(54) qR|e²¿µ¹
(55) }}{5{|
(56) qqÄ. ßáà1â»ã!äOåçæéè§ê?ëÏãìã?í§îCï?â»ðòñ!ózôVãì|õö>åï?ìãAöÏâ÷æ|í§øáãAùñ!ðòï?å4ëÏå4ú&ãAûüö>ìçå|ñ<öíÏýàÕþ|ÿíÏþ å
(57) >å÷ïñêí?â¿ñ<ï?ìå ?â»å|ë?åÎâ»ðòì ýãAï>ï>ñ<ï4ðòïÏâ»ðòñ â î0ëÏå.à1ñ
(58) â»ð Íñ!ïëaàâ»ã
(59) ä³åÎæÀè§ê?ë?ãìãÏíîOï?â»ðòñ
(60) óCôVãì|õö>åçï>ìã<ö?â÷æ|íøáã<ùñ<ðüï>å¹ë?åúã<ûüö>ìå|ñ!öíýà¸þ|ÿ!§í"Ïþ å# ?å$÷ïñêí%?â¿ñ<ï?ìå '& ûüð(»ñ)åÎæ* + ,éæ÷æ»åï.-gñ!åû æ»åçâ4ðüï?â»ðòñ â / à1â»ã!äOåçæè§ê?ëÏãìã?í$îCï?â»ðòñ!ózôVãì|õö>åï?ìãAöÏâ÷æ+ñ!ïë04ï?ðüæ*1%ë?å32+ñ!æ* 1ùñ!æ»ðòõö>å$5476%6?ûüð õö1å$í &98 è"4í:; ýãAö?ûòå<Añ
(61) â¿ëú4ðüìçæ»ã!â|í!=à1ñ!â»ð(> å|ë?å?aþ@íAÏâ¿ñ<ï>ìçå CB ðòë>ñ<ï?ðD4åï%³æ¿ñE â. Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30.
(62) # %-.
(63) ". . . £ -¶ $,+-.
(64) #.
(65) %. 24 #5&
(66) Ð 32
(67) ,+-%. $#. <"$#
(68) #. '. (+*.
(69). %$-. ¤ ª ¹qR{3y>|{|u~Rx~q%y>&y>xv e
(70) qx uvpH1xRpEqR{!y>{|u~} qaxzyEp R{|n} q q u±°R
(71) qRq ¯ 1u~q RR!y>xvu~q+}w1+x·w&y>{|u~}«´5µ w¸}{|x~qH|{
(72) }T
(73) n&y
(74) {|u~·wqºuv{|
(75) } w1uv{
(76) qH&y> qRwe q y>w1{
(77) qRw1
(78) y>+ rÿÄ!Vq§y>x~Rw1x q.}TqAÆÇRu~qR{
(79) q
(80)
(81) uv{
(82) q5xzy
(83) }xvw1{|u~}ÁqRÁ
(84) n&y·wq}uv{ q xzy% |uvxvx~q É qR{}w1!n&y·wq}pHpÇy> qÏÊ w11
(85) } !y>pHpEqaxvuv§ y>uv
(86) qÄ " }w5pE}{|
(87) }3·wqº&}w1 x~q51
(88) } ¼ x~oRpEq ¼ u uvpEqR|u~}1qRx~§ºgqa1
(89) } !y>pHpEqxvuv§ y>uv
(90) q 5 qRw1{a
(91) qE
(92) }w
(93) qEqR ÑEÒ±ÓÔ+} R !y>{|u~}§º4}$ # ÓÈq|{3xzy{!y>uvxvx~q wÈ
(94) {
(95) qRRuvx»Ä%VyÁp R {|n} q£q|{ ¼ y q|w1Íw1Ç!nqRpHuvqRpEqR{ y>Íxü y> ¼
(96) q qt{
(97) qR|e²¿µ¹
(98) }T}{§ºqR{
(99) w1Íx~q
(100) qRpH1xvu~
(101) !y> qy
(102)
(103) }TRu q+x qR!qRp ¼ x~q qpÇy>{||u~q5
(104) qRpHu ¯ 1u~q }
(105) uv{|uvq q+{!y>uvxvx~q qRwegÄ & Ü ¥§¤ Ú ©(' ¤£ª ¹}{| x~q+|{
(106) }T
(107) n&y
(108) {|u~·wqº u±°R
(109) qRq ¯ 1u~qϺ
(110) }xvw1{|u~} q5u~!}|uv{ º}
(111) u~² {!y>qº) ·w&y>{|u~}i´µ+º&y> ¼
(112) q qat{
(113) qR|e²¿µ¹
(114) }T}{§Ä.
(115)
(116) !"# "$ &%(')*,+-#".,/02131415 "6,. &*898 V¢;: ¡. D F. ('. =<?> =< A@ B 7 C. Ø ©¥H© O¨1¤§¤ ᩨe¥ Ü. 7. B$;BBeÄ. eº&r. E #5& 3%-2V
(117) #. ¿¸{|n1u~a&y>qR[¾¹q u~
(118) Rw!3w1pEqR|u~§y>x.
(119)
(120) nqRpEq[¬³}a{|nqE´5µ }{|
(121) }xȀm.nq3pE} qRxg1
(122) } ¼ x~qRp ¾¹qay>
(123) q[}|u qR|uv1 Çu~. q·w&y>{|u~}Å}>¬.|{
(124) }T
(125) n&y
(126) {|u~. LMM PRQTSVU WYXYZ Ò]^,_Ò]
(127) Ô`^,aéÒ]
(128) Ô|Ôcb#];d Ò_Òf+Ô|Ô`g MM H\[ [2e N M h bi_ Ò
(129) ] Ôkjmál Ò]^,_Ò]
(130) Ô`^,aéÒ]
(131) Ô|Ôcb#];donáÒ]^,_Ò]
(132) Ô`^,aéÒ]
(133) Ô|Ôcb#pÒ]
(134) Ô`^ Ò3GIHJ KÔ MM _ Ò3&q ÔkjsrI^ MO a Ò|] Ôutwvx^yqztY{ |}^~f3^]Vt{ q^~f3 4 ´qR
(135) qf |Õu~3{|nq É uvqRÊ ¯ &y>xÍ{|uvpEqºI _ Ò
(136) ] ÔtU / y> 4a Ò|] ÔtYU / y>
(137) qH{|nqE
(138) {!y>{
(139) qEy> }{|
(140) }xVy>|uzy ¼ x~qº1{|nq3xzy>{|{
(141) qR
(142) w ¼ qR{{
(143) }{|nqa}|{|!y>uv{é a Ò
(144) ] ÔVtw¶ v ¾nqR
(145) q¶ v u~ y}pH&yR{
(146) w ¼
(147) qR{}>¬U /yeÄ qÄvº U 9 U / ( U / U y> U / U y>
(148) q {|nq u~|{||u ¼ w1{
(149) q y> ¯ &y>x$}|{§ºIl U [/U U U u~+{|nq%{|
(150) qR[ e ɳ qR{
(151) qR|pHuv1u~|{|u~E&y>|{+}>¬ &y>pHu~AÊAº náÒ~^^ ÔHu~Çy½pÇy>11uv1 ¸¬³
(152) }pU yU /wU / uv{
(153) }¸{|nqÁ|&yqi}>¬¡ ½¢ pÇy>{||u~q§º.y> p)u~[yÕ|{!y> y> ¢ uvpEqR|u~}&y>xµ¹
(154) }§¾1uzy>ÈpE}{|u~}9Ä%m.nqH}{|
(155) }xy>|uzy ¼ x~qYa n&y+{
(156) } ¼ q yi¬³w1R{|u~} }>¬5&y|{HqRqR{
(157) §ºu»Ä qÄvºu~1
(158) }
(159) q
(160) |uvqRxv ÅpEq§y|w1!y ¼ x~qÕ¾[Ä §Ä {§ÄÅ{|nq ¯ xv{|!y>{|u~}o£¥¤ y!
(161) }Ruzy>{
(162) q ¾uv{|nÌ{|nqµ¹
(163) }§¾1uzy>ÞpE}{|u~}9Ä 9qR{¦ ¼ qÁ{|nq0
(164) qR{ }>¬3¬³q§y|u ¼ x~qi}xvu~Ru~qϺ.u»Ä qÄvº 1
(165) }
(166) q!|uvqRxv ÞpEq§y|w1!y ¼ x~q«}{|
(167) }x~¾uv{|ny>xvwqÁuv§% v Ä Ë«q«y
(168) |w1pEq½¬÷}Á{|nq«!y>Öq¸}>¬
(169) uvpH1xvu~Ruv{¿ Á{|n&y>{(á l º6án º y> º&y>
(170) q 9uv
(171)
(172) n1uv{|®Ey> ¼ }w1 q Äm.nqR É qÄ Äu4¨ x~qRpHuv1 Õy> tT}qRª? © ÃOÊ9{|nq.|{
(173) }!n&y|{|[ u~ u±°[ qRe
(174) qR{|uzy>xq·w&y>{|u~}u~§º?¬÷}4q§y!nH}xvu~R atE¦ º>¾ÀqRxvxe}
(175) q y> {|nq£}|
(176) q|} uv1 0qAeqR{!y>{|u~}o) « Ò]`^,rI^,a Ô[u~[¾ÀqRxvx±² q ¯ q Ä+qR}{
(177) qÇ{|nqÇ{|!y>|}
(178) uv{|u~} }qR!y>{
(179) } ¼ ¬ Ä 9qR{&® Ò]^,r;^,ga Ô j°¯ án Ò]^,r;^,ga Ô~án Ò]`^,rI^,a Ô~ ² º¬÷}y>xvxáÒ]^,r;^,ga Ôut{ |}^~fA³U / v º ¼ q£{|nq£}Ïy>|uzy>q pÇy>{||u±gÄ m.± nq£y>xvwqE¬³w1R{|u~}´ }>¬ 1
(180) } ¼ x~qRp Ò3G HJ K ÔAº q ¯ q ȼ ´ Ò3q^,r Ô jmQTSiµ·¶x) Ç « Ò3q^,r;^,ga ÔAº1u~ É éÄÄgu~}[Âv§>ÃOÊ{|nq+w11u~·wq ¼ }w1 q u~
(181) }
(182) uv{¿ £!}xvw1{|u~} }>¬á{|nq3´+y>pHuvxv{
(183) }e²¿y} ¼ u±²¿µ.qRxvxvpÇy>. É ´µÊ.q·w&y>{|u~}. ¸u¹ ¤|Ò]`^,rgÔºj ¶QTSi»¼µ ½ [ Ò]^,r;^,a ÔIdoál Ò]^,r;^,a Ô¾ ¹ K Ò]^,r Ô¿dÀ®&Ò]^,r;^,agÔ;Á ¹ KK Ò]`^,rgÔ`º^ Ò3ÃyÄ;ÅHÔ ¬÷} y>xvxz]`^,rt{ |}^~f;zU ¹ Òf^,rgÔºj [ e ÒrÔ`^ ¬³} y>xvxrRtU /i ¾nqR
(184) q ¹ KK qR}{
(185) q.{|nq 4 pÇy>{||u± }>¬é
(186) q} qR|uvy>{|uvq}>¬ ¹ ¾uv{|n£
(187) q
(188) qR{.{
(189) }réºey> uvqR0{¿¾¹}Á| TpHpEqR{||u~apÇy>{||u~q(Æ%ºÅ£º}>¬|uv®§q ͺAÆÁÅ jÈÇ É J Ê`Ë ¯ Æ É Ê Å É Ê u~5{|nq!§y>xzy> ôéô. Ì. ï 9<ÿ!.
(190) '51)
(191) 5 % -"A!"¥ # r. Æ j Ç É J ÊË ¯ Æ É± Ê ¯ ± 7. ¨. É |uvq ¾¹q } 1
(192) } wR{Çy
(193)
(194) }TRuzy>{
(195) q ¾uv{|n]{|nq 1
(196) } ¼ qR1uvwH}|p%$ $ Ò Ô '& }{.w
(197) q}{|nqR.}|pE}ÕpÇy>{||u~q.{|nq5}{!y>{|u~}Áu~¹}y>p ¼ uv w}wAÊAÄ(y>|u~}w.w1pEqR|u~§y>x pEqR{|n} n&yq ¼ qqRÌ1
(198) }}
(199) q ¬³}Õ
(200) }xvTuv1 È{|n1u~ 1
(201) } ¼ x~qRpÄÀxzy
(202)
(203) u~§y>x ¯ 1uv{
(204) q u±°gqR
(205) qRq ) qR
(206) Ru~qRÕÂv ÿº$
(207) qqÕy>x~
(208) } ) qR&y>x u3ÂvRrÃ¿Ä ) y>|Ö}§ pEqR{|n} %¾ÀqR
(209) q u~
(210) Rw
(211) !q uv gu~}Hy> * !n&y>uviy>11
(212) }euvpÇy>{|u~}¾ÀqR
(213) quv{|
(214) } wq uv, ++w|n1qR[Âv§?ÿºe
(215) qq ++w|n1qRy> w11w1u~3ÂvRÃ¿Ä .y>pHuvxvxvu1y> &y>x~}q5Âüà u~
(216) Rw
(217) épEqR{|n} ¼ y
(218) q }%y 1|u~}|uT{|uvpEq u~
(219) R
(220) qR{|uv®Ïy>{|u~} É y> {|nq
(221) qRxzy>{
(222) q £ &y>pHu~ 1
(223) } !y>pHpHuv1 1|uvRuv1x~q¬÷} u~
(224) R
(225) qR{
(226) q {|uvpEq1
(227) } ¼ x~qRpE<ÊA Ä ++| Tx~}§Â ?à uvq y>qR|
(228) }q
(229) {|uvpÇy>{
(230) q[}>¬$y%xzy>| q3Rxzy!}>¬ u~
(231) R
(232) qR{|uv®Ïy>{|u~}0
(233)
(234) nqRpEqÏÄÍ qqR{uvpH1
(235) }§qRpEqR{
(236) +}>¬ {|nq3qR|
(237) }5q|{|uvpÇy>{
(238) q¾¹qR
(239) q[
(240) qqR{|xv Á} ¼ {!y>uvq uvµ.y>|x~qy> y>Ö} ¼
(241) qRÈÂvº&?ÿÄ. ¨. .. /. ªB. $#%á
(242) 104$32#%. 14£á$#24$. ¨. 9qR{Àw¹
(243) q§y>xvx{|nq5 qRqR!y>xvuv®§q ¯ 1uv{
(244) q u±°gqR
(245) qRq É65 á[Ê$pEqR{|n} }>¬¹Â rÃuv {|nq5!qR{|{|uv1 }>¬ ¯ 1 uv{
(246) qn}|uv®§}1
(247) } ¼ x~qRpEÏÄm.nq
(248) &yq u~
(249) R
(250) qR{|uv®Ïy>{|u~}¸|{
(251) qRy>
(252) qa}|uv{|uvq[
(253) q§y>xéw1p ¼ qR
(254) 7 7 ÄáË uv{|nÁya}uv{}>¬V{|nq |u , 8 a}>¬é}T} uv&y>{
(255) q9 8 [u~y
(256)
(257) }TRuzy>{
(258) q {|nq}uv{ !: 9 <; }>¬{|nq£|{!y>{
(259) qÇ|&yqº4¾nqR
(260) q ; u~a{|nq>=»{|nÅ|{!y> y> ȼ y|u~[qR{
(261) }§Ä VqR{ ? @Ⱥ ? BA ¼ qÕ{|nqÕw1p ¼ qRÇ}>¬{|uvpEqÁ
(262) {
(263) qRD C.
(264) qR{ 7FE HG ? y> JI BK 7LE º$¬÷} I ? Ä%qR}{
(265) q ¼ : {|nqEy>11
(266) }euvpÇy>{|u~}È}>¬À{|nqy>xvwq%¬³w1R{|u~} K y>{EÒ Ô Ò MI N:ÔAÄ 9qRP { O OQ: ¼ q yÁ
(267) q§y>xy>xvwq ¬³w1R{|u~} }§qR 8 eÄÁm.nqEw1¾uv «¯ 1uv{
(268) q u±°gqR
(269) qRq }qR!y>{
(270) } R,S y
(271)
(272) }TRuzy>{
(273) q ¾uv{|n áÒ JI N: Ôy>{}uv{aÒ JI N:Ô¹u~. ^¿^ r ¯ j Ç É Ë ¯ tmU ³j*|}^I^ ] ^,r j. . . É É. ½ Â. ¹. É. t j f. ] j ´ ]^,r ¡j. Rl ] ,^ r ^,a ] ,^ r T R S OQ:VUÉ¿j OW:YX[ZJ\ ¸ OQ: u±¬\láÒ]MI=^,r!:^,agÔ É] |}^ OQ: ¸ OW:_^`ZJ\ u±¬á}{§Ä É eÄvÏÊ 7 É 7 É ËÌuv{|nbat 8 e ºy
(274)
(275) }TRuzy>{
(276) q3{|nq3
(277) q} } qR ¯ 1uv{
(278) q u±°qR
(279) qRqa}qR!y>{
(280) } cPd OQ: e É eÄüÊ j OQ:YX d ¸ OQ: ¸ Ò<OQ: ¸ OQ:j^ d Ô` j OW:YX d fd OQ:_^ d h¸ g OQ:i m.nq É
(281) q} ²¿} qR<Ê5|{
(282) qRRuvxkÞu~y ¯ 1uv{
(283) q%!qR{5}>¬ 8 l ½ |}H }{!y>uv1uv1 ½ ; ¯ ^¿^ ; ÂĨ&} q§y!nm9st 8 T ºÍ¾ÀqÕqR¬³}|p y> y>11
(284) }euvpÇy>{|u~}}>¬5{|nqÕ
(285) q} ²¿} qRÇ{
(286) qR|p uv {|nqÁ´µ q·w&y>{|u~} ¼ ayxvuvq§y>4}p ¼ uv&y>{|u~}H}>¬&
(287) q} } qR ¯ 1uv{
(288) q u±°gqR
(289) qRq}qR!y>{
(290) }
(291) $y
(292)
(293) }TRuzy>{
(294) q ¾uv{|nqRx~qRpEqR{
(295) }>¬4{|nq3|{
(296) qRRuvx»º1u»Ä qÄvºe{|nq3qAe1
(297) q
(298) |u~}RÇ d _ » n-o ¶I J : J d cPd ¹ :I ¾nqR
(299) q o ¶I J : J d y>
(300) q3{
(301) } ¼ qÁ
(302) qR{§Ä 9qR{³®qp j ® É Ê G 7 É 7 Ê Â qR¶ }{
(303) qÁ{|nq
(304) §y>x~q }§y>|uzy>qpÇy>{||u±gĨ&}xvx~}§¾uv1 Þ rà ½ ¾¹q!y§ È{|n&y>{E{|nqi}qR!y>{
(305) } Ç d V » n o I J : J d cPd u~£y , "
(306) s r15"#`? "A y>11
(307) }euvpÇy>{|u~} }>¬ ® Ò]^,r J a Ô¿tÁ R K± K u±¬ ¶ u É eÄ 7 Ê ¬³} y>xvxv9 t 8 o I J : J d aVa ² jm® p Ò]JI ^,rN: ^,aÔ`^ d _» n î 8 ôVî 4.
(308)
(309) !"# "$ &%(')*,+-#".,/02131415 "6,. . m.n1u~
(310) q|w1xv{
(311) uvÁ{|nq3¬³}xvx~}Ͼuv1 £qAe1xvu~Ruv{ ÉO¼ y
(312) ÖT¾¹y> <Ê
(313)
(314) nqRpEq. I IX L ¹ : ¸.7FE¹ : ¯ j ¶ Q Si»¼µ N O Ò]JI ^,rN: ^,aÔ¿dÀláÒ]JI=^,rN: ^,aÔ jR S ¹ :I d u o ¶I J : J d cPd ¹ :I É eÄ rÊ [ d »Vn j ^ ¹ : [e I ¬÷}4y>xvx Kjm|}^;^ ? ¸ A¹y> 9 t 8 TÄ4m.nq!
(315) nqRpEq¹u~VpE}}{
(316) }q É u»Ä qÄvº ¹ : u~4y} qR
(317) q§y|² I I X Êu±¬ y>xvx{
(318) qR|pE uv1 ¬Ow1R{|u~} }>¬ ¹ ¯ ¶ ¹ : uv É eÄ rÊ[y>1q§y>a¾uv{|nÈ}1qR y>{|uvq£}TqAÆÇRu~qR{
(319) §Ä m.n1u~n}x u±¬á{|nq3}qAÆÇRu~qR{
(320) o I J : J d y>
(321) q+}1qR y>{|uvqy> º1uv0y 1 uv{|u~}9º l É Ò] I ^,!r :^,ga Ô d u ¶I J : J d A ^
(322) 0Ò<9A^,aÔ¥t 8 wv u É eÄüÊ o g 7LE ÉË ¯ 7 É d V» n I m.n1u~xzy|{ } uv{|u~}qR
(323) w1
(324) q{|nq3} qR
(325) q§y!q3¾[Ä §Ä {§Ä ¹ : ÄÀtuvq[|{|
(326) }1 Ç}
(327) u~|{
(328) qRR Õuvp² ¶ 1xvu~q¡Ç d »_n o I J : J d ® p Ò] I ^,N r : ^,a Ô ¼ ½Â rº 9qRpHpÇyÇeÄvAÿº} uv{|u~} É eÄüʹu~!y>{|u~ ¯ q ¾nqRqRqR. $`l É $ d $ ® p $ A É eĪ©Ê 7 E ÉË ¯ 7 É g É | ¾¹q£pÇy§ «{!y>Öq 7FE jQTS É T 7 ɱ U ± º4¬÷} |i
(329) pÇy>xvx ¹}!q·wqR{|xv º$¾nqR!QTS É 7 qR}w1 n ɳ qRqR uv1 }¸ l y> T® ÊAº&y qATqR{
(330) q Ä »F ¬{|nq|{|
(331) }1 [}|u~|{
(332) qRR Ey> pE}}{
(333) }1u~Ruv{¿ H1
(334) }qR|{|u~qÍn}x Ϻ{|nqR 5 ¨áy>
(335) qy&y>² u. {|u~Rw1xzy>À§y
(336) q}>¬}|u~
(337) {
(338) qR{!n&y>uv ) y>|Ö}§Hy>11
(339) }euvpÇy>{|u~}§ºTy> {|nqR
(340) qA¬³}
(341) q y>
(342) q}qR| qR{ uvÕTu~qR¾}> ¬ ++w|n1qR y> w11w1u~3Âvº&Àn&y>1{
(343) qR[§?ÿĹtuvq+{|nq
(344) q+
(345)
(346) nqRpEq y>
(347) q+pE}}{
(348) }q y> }|u~|{
(349) qR{§º.}qR| qRq}>¬+{|nq
(350) q
(351) !nqRpEqEu~Çy>x~!}«y¸}
(352) q·wqRq}>¬[µ.y>|x~q£y> tT}w1 y>1u u~Ç ºgm.n1p eÄvAÃ¿Ä Î{u~+}{ u±ÆÇRw1xv{[{
(353) }Õ
(354) qq%{|n&y>{3{|n1u~3
(355)
(356) nqRpEqE<y>{|u~ ¯ q+{|nq%n ² }{|nq
(357) q}> ¬ ++| Tx~}§«Â ?ÿºµy>|x~q y> y} ¼
(358) qRÈÂvº&?ÿºy> nqRqº{|nq[qR|
(359) }5q|{|uvpÇy>{
(360) q }>¬ {|nq!qy>w1{|n}
(361) y>11xv É ¬÷}{|nqH}|
(362) q
(363) } uv1 iy y>1{!y>{|u~}«{
(364) } uv ¯ 1uv{
(365) qHn}|uv®§}¸1
(366) } ¼ x~qRpE }>¬ 5 Åu±¬4qq!!y>| 1ÊAÄ m.nquv{
(367) qR
(368) q|{[}>¬ 5 áu~5{|n&y>{+uv{3q§y
(369) q{|nqHy>&y>xv ®u~3}>¬¹}|u~|{
(370) qRR i1
(371) }qR|{|u~q§Ä &} uv
(372) {!y>qºVÂ rÃV1
(373) }Ïu q
(374) n&y>!yR{
(375) qR|uv®Ïy>{|u~}3}>¬${|nqRxzy
(376) }>¬Í}§y>|uzy>qpÇy>{||u~q¬÷}¾n1u~
(377) n {|nq
(378) !nqRpEqÇu~%}|u~|{
(379) qR{¾uv{|nÅ{|nqÇpE}
(380) {%}pHpE} |{
(381) qRRuvx~§º4¬÷} uvpEqR|u~} g {
(382) } rģ˫qÇ<y ½{|n&y>{|w!nYpÇy>{||u~qy>
(383) qÇ}|u~
(384) {
(385) qR{a¾uv{|n yÁ uvqRÅ|{
(386) qRRuvx»Ä ËÌn&y>{[
(387) qRpÇy>uvq w1Rx~q§y>uvÅ{|nq y>&y>xv e|u~%}>¬Â rÃ.¾¹y%{|nq£q§y
(388) uvq
(389) }>¬ }pH1w1{|uv1 ¸{|nq£}TqAÆÇRu~qR{
(390) o I : d Ä tuvq}TqAÆÇRu~qR{
(391) o I : d n&yq5{
(392) } ¼ q }1qR y>{|uvqº
(393) }xvTuv1 É eÄ Ê¹y>pE}w1{
(394) ¹{
(395) }%
(396) }xvq5xvuvq§y> uvq·w&y>xvuv{¿ }|{|!y>uv{
(397) É q·w1uvy>x~qR{|xv ºyExvuvq§y>51
(398) } !y>p ¾uv{|n0®§qR
(399) }Ç}|{<ʾn1u~
(400) n0pÇy ¼ q. 7. /¨. F. ªB. ¨. ¶J J. ôéô. Ì. ï 9<ÿ!. 7. mj. ¨. ¶J J.
(401) '51)
(402) 5 % -"A!"¥ # ©. Aq eqR|uvq u±¬4{|nq5
(403) {
(404) qRRuvxgu~Àxzy>| qÄ$5qRpEqRp ¼ Rq {|n&y>{.{|n1u~Àn&y.{
(405) } ¼ q }q3y>{q§y
(406) nÁ}uv{}>¬ {|nqH
(407) &y>{|uzy>x$ |u ºg¬÷}+q§y!n«{|uvpEqH|{
(408) qR É y> § q y!n«}{|
(409) }xÀu~3}§y>|uzy>q qRqR }¸{|nq }{|
(410) }xCÊAÄ+q ¯ q3{|nq[
(411) uv®§q3}>¬$y|{
(412) qRRuvxWk y. Q. j. k Ô Ò.. . g 4t Â. ½. $1a!$ a bk. m.nqÕpÇy>uv
(413) q|w1xv{E}>¬{|n1u~E&y>qRHu~§ºÍ¬³}H{ξÀ} uvpEqR
(414) u~}&y>x 1
(415) } ¼ x~qRpE§º.y>y>xv }|uv{|n1p ¬÷} }pH1w1{|uv1 Á{|nq}TqAÆÇRu~qR{
(416) 3uvYÑEÒ Ò k.Ô|Ô5}qR!y>{|u~}§Ä ) }
(417) q% qRqR!y>xvxv º¬÷}5}}|u~|² {
(418) qR{á1
(419) } ¼ x~qRpEá{|nq.y>xv }|uv{|n1p }pH1w1{
(420) qá{|nq¹Rx~}
(421) q|{$}|u~
(422) {
(423) qR{ápÇy>{||u± É uv%{|nq 1
(424) } ¼ qR1uvw }|p£ÊÀuvÑEÒ Ò kÔ|Ô¹}qR!y>{|u~}§Ä ¿iy 1 uv{|u~}9º1uv{.n&y y
(425) qRw1
(426) |uvq[1
(427) }qR|{Î ${|nq3Rx~}!q|{ }
(428) u~|{
(429) qR{pÇy>{||u±¸¬³}a
(430) {
(431) qRRuvxÀ}>¬|uv®§q[Ó«u~}pH1w1{
(432) q uv ÑHMÒ A?Ô3}qR!y>{|u~}y?¬O{
(433) qRn&yTuv1 } ¼ {!y>uvq {|nq[Rx~}
(434) q|{}|u~
(435) {
(436) qR{ pÇy>{||u±Õ¬÷}|{
(437) qRRuvx9}>¬$|uv®§qÓ AÄ m.nqÁpÇy>uv
(438) q|w1xv{Hu~E
(439) {|
(440) }1 xv Å
(441) qRxzy>{
(442) q {
(443) }¸ q}pEqR{||u~Á1
(444) }qR|{|u~qÇ}>¬+{|nq
(445) qR{E}>¬3ÀtT É
(446) pHpEqR{||u~º}
(447) uv{|uvqa
(448) qRpHu q ¯ 1uv{
(449) qÏÊ pÇy>{||u~q+} º{|n&y>{y>
(450) q{|nqa
(451) w ¼ qR{}>¬Í{|nqaqAe{ !qR{|u~}9Ä. Q. F. Q. V¨. ¸. U ±. . . .. -%29-aÐ . 2é
(452) À
(453) #%24. ".&
(454) 2é$. t §y>x~q }§y>|uzy>q[pÇy>{||u~q ¼ qRx~}1 E{
(455) }E{|nq3}q «}>¬áÀtT T {|nq!q+pÇy>{||u~q5yqRx~qRpEqR{
(456) 5}>¬ Ä$m.nq3pÇy>11uv1 . pÇy>{||u~qÏÄ$Ë«q3pÇy ÕTu~qR¾. ¾U ® ¯,¯ ® ¯ ± Ò0® ^ ® ± ^® ±,± Ô ² É 7 ÄòÊ ,¯ ¯ g ¯ ® ¯ ± ® ±,± u~[}|p 1
(457) q
(458) qR|Tuv1 Á¬³
(459) }p {|nqE|&yqE}>¬ g g | TpHpEqR{||u~EpÇy>{||u~q§º4qR }§¾¹q ¾uv{|nY{|nq ¨
(460) } ¼ qR1uvwÀ}|pºe}{
(461) }{|nq{|n1
(462) qq uvpEqR
(463) u~}&y>x C wRxvu q§y>Á|&yqÄ$m.nq uvpÇy> q }>¬9{|nq5ÀtT }q ¼ {|nq3pÇy>11uv1 É 7 ÄòÊ.u~{|nq3
(464) qR{ É 7 ÄüÊ tU g ¯ ] |}g ] |}g ±¯ Ò ± Ô ± ¯ FÎ{áu~$}qR1u~qR{À{
(465) }+
(466) qR1
(467) q
(468) qR{ uv
(469) qR{|u~}Í}>¬{|n1u~Í}q ¼ !y¾uv1 a{|nqRuvÍuv{
(470) qR
(471)
(472) qR{|u~}Ǿuv{|n {|nq[n TqR|1xzy>q j A É uvpÇy> qa}>¬á{|nq[
(473) qR{}>¬ápÇy>{||u~q5¾uv{|nw11uv{{|!yqÏÊAº
(474) qq ¯ w1
(475) q ¯d . . . . . . . . . . . . . . . Ä$µ¹ {|nq[}|{|n}}|pÇy>xé!n&y>1 qa}>¬$}} uv&y>{
(476) q. p ¯ j Ò ¯ ¸ ÔG g g¥p ± j ± g¥p j Ò ¯ d ÔG g ^ ¾¹qÁ} ¼ {!y>uv {|n&y>{H{|n1u~Huv{
(477) qR
(478)
(479) qR{|u~}u~{|nq C wRxvu q§y> ¼ y>xvx}>¬¡U ± }>¬+!y uvwbA_G g ÄY¨&} y« uvqR ¹tT pÇy>{||u±s ® º}} uv&y>{
(480) q uvÌ{|n1u~Çn qR|1xzy>q¸y>
(481) qYÒp ^,p ± ÔG p j Ò0® d ¯ , ¯ ¯ ^ 0 ® ±,± Ô ¯ Ò0® ¯,¯ ¸ ® ±,± ^ g ® ¯ ± Ôy> y>
(482) q[§y>xvx~q {|nq }>¬k® Äm.nq3Tu~qR¾ }>¬ápÇy>{||u~q ¾uv{|niw11uv{ . . . . . . . . . . . . . î 8 ôVî 4.
(483)
(484) !"# "$ &%(')*,+-#".,/02131415 "6,.
(485). . ¯. . . . . . . . ±. . ¯. ±. ¨éuv w1
(486) qÇ À¹}q[}>¬á}|uv{|uvq3!qRpHu q ¯ 1uv{
(487) q[pÇy>{||u~q . !. . . " #. . . Ì. ï 9<ÿ!. . . ". ¨4uv w1
(488) qa Í·w&y !y>{. ôéô. . $ #. .
(489) '51)
(490) 5 % -"A!"¥ # . a. η. 2θ. θ O. 1. η0. 2. a0. Ω. 3. ¨4uv w1
(491) q 7 ¹}|
(492) q|} y>qa}>¬Íy>1 x~q {|!yq5u~¹|uvpH1xv iÒ0® ® ±,± ^ g ® ¯ ± Ôy> {|nq}|
(493) q|} uv1
(494) qR{¹u~{|nq5w11uv{ C wRxvu q§y> ¼ y>xvx»Ä ¸ ¯ , ¯ m.nq.Tu~qR¾ }>¬{|nqu qR{|uv{¿ º qR}{
(495) q y3ºu~á{|nq.®§qR
(496) }3qR{
(497) }§ºy> {|nq.Tu~qR¾ }>¬ ² º¾nqR
(498) q j ÒMA¡|Ô~².ºeu~[ÒMA| ÔAÄ m.nq3x~qRpHpÇy ¼ qRx~}§¾ q§y
(499) q{|nq3}pH1w1{!y>{|u~}}>¬á{|nq3u~qR¾}>¬Íy> !y>1ÖÁ}q3| TpHpEqR{||u~ }1qR y>{|uvqapÇy>{||u±ºy> u~uvxvxvw|{|!y>{
(500) q uv ¯ w1
(501) q eº 7 Ä Ø «¨ ; 4j Ò
(502) ^ Q S Ô ;" 0s, #² ` ". "
(503) T~ g k # 3~ ÒMA^ | ÔAÒMA^ | Ô ² ¦ ÜgÜ ËÌuv{|n y>
(504) q3y
(505)
(506) }TRuzy>{
(507) q j Ò
(508) ± ^ g
(509) Q S ^ QTS ± Ô~²Èy> p j Ò
(510) ± ¸ QTS ± ^ g
(511) Q S Y^ A?ÔG g j Ò
(512) g ^ Q S g Y^ A?ÔG g Ä$m.nq3
(513) q
(514) w1xv{¬³}xvx~}Ͼ§Ä 9qR{Íw u~
(515) Rw!${|nq§y
(516) q}>¬ uzy> }&y>x }pHuv&y>{pÇy>{||u~q§Ä$m.nq.Tu~qR¾}>¬g|w
(517) nEpÇy>{||u~q u~+{|nqw11uv{ ¼ y>xvxÍ}>¬ ¯ ÒU ± ÔAºV|uvquv{3§y> ¼ qq§y|uvxv ½
(518) nq!Öq {|n&y>{y£pÇy>{||u±0u~ uzy> }&y>x }pHuv&y>{u±° ® ® ±,± d g ® ¯ ± ® ¯,¯ d® ±,± Ĩ }Hy uzy> }&y>x }pHuv&y>{pÇy>{||u±«¾¹q ¸ , ¯ ¯ n&y§q3{|nq3¾¹qRxvx±²»Ö}Ͼ q}pH}|uv{|u~} ®j Ò0® ¯,¯ ¸ ® ¯ ± Ô |A T A | U dÞÒ0® ±,± ¸ ® ¯ ± Ô |A T | A U É 7 Ī BÊ d Ò0® ¯ ± ^ |Ô AA T A AjUxd Ò ¸ ® ¯ ± ^ |Ô ¸ A A T ¸ A AjU . . . . . . . . . . . . . . . . . VqR{[w[§y>xvx¿uv1qR[
(519) qR u~}E}>¬.{|nqEÀtT }qºV{|nqH!qR{[}>¬ uzy> }&y>x }pHuv&y>{apÇy>{||u~qÏÄ m.nqR
(520) qEy>
(521) q%¬÷}w1[}w1{
(522) qR[
(523) qR u~}[}|
(524) q
(525) } uv1 {
(526) }Õ{|nqTu~}xzy>{|u~}«}>¬}qH}>¬À{|nq%¬÷}w1[}e². î 8 ôVî 4.
(527)
(528) !"# "$ &%(')*,+-#".,/02131415 "6,. ¯ ± ® É É yU ¾j ® ±,± ® ¯ ± ® ¯,¯ F (®. B. F F.
(529) {|!y>uv{
(530) º¬÷}= AºeeÄám.nqR Çy>
(531) qw1p ¼ qR
(532) q ¬³
(533) }p 4{
(534) } '(y} uv1 {
(535) } ¯ w1
(536) q. eÄ%m.nqH}w1{
(537) qR3
(538) qR u~} u~+{|nqH!qR{+}>¬ÀtTÐy> } uzy> }&y>x }pHuv&y>{pÇy>{||u~q[|w!n {|n&y>{ Ä ¿{+u~3q§y| i{
(539) }Õ
(540) q wq{
(541) }£{|n1u~3§y!q ¼ qR|paw1{!y>{|u~}È}>¬y>|uzy ¼ x~q y>
(542) n&y>1 qi}>¬3|uv }>¬3}q|{!y>{
(543) qÁy>|uzy ¼ x~qÄm.nqR
(544) qA¬÷}
(545) qÁuv {|nqi
(546) q·wqRx¾¹qÁ¾uvxvx u~
(547) Rw! q!
(548) qR{|uzy>xvxv E{|nq5¬»y|{ q}pH}|uv{|u~}}>¬V|w!nÕpÇy>{||u~q§Ä }{
(549) q {|n&y>{À¬³}.ÀtT y> £ uzy> }&y>x }pHuv&y>{[pÇy>{||u~q3uv¸
(550) qR u~} ½y>¸y>xv{
(551) qR|&y>{|uvq q}pH}|uv{|u~}9ºVuv}xvTuv1 {|nqu qR{|uv{Î pÇy>{||u±gº&y>
(552) qA¬÷qR|
(553) q {
(554) }Huv
(555) qR{|u~}0eº1u~. ". .U. ®j Ò0® ¯,¯ ¸ ® ±,± Ô |A || Þ d Ò0® ,± ± ¸ ® ¯ ± Ô |A |A Àd ® ¯ ± . . . . E. %. . á# . *. . A . A. A. A . . 7. É Äv§Ê. 324 .$. ¯ E. ¯. ¯¯ ±¯ . ¯. ¯ . ±. . ±. . ¨4uv w1
(556) q3r Àt{
(557) qR|e²¿µ¹
(558) }T}{{|
(559) qqE F»¬.{|nqH¬³w1R{|u~}*OÞ}>¬
(560) qR{|u~} eº q ¯ q }§qR 8 ºéu~[{|nqÇy>xvwq£y>{aÉ É|u }uv{
(561) %}>¬ y
(562) pE}}{|n¬Ow1R{|u~}
(563) U / U H º&u»Ä qÄvº OQ: j 3ÒNr :>ÔAº¾nqR
(564) qNr : jÈÇ É 9 7 º&{|nqR0{|nq%}e² P c d q ¯ q uv É eÄüÊy>xvx~}§¾§º&y§y> ¼ q+
(565) qqR ¼ Õym4y Tx~} qAe&y>|u~}i}>¬ y>
(566) }w1 qR!y>{
(567) } r!:ºT{
(568) }} ¼ {!y>uviy%}|u~|{
(569) qR{ y>11
(570) }§TuvpÇy>{|u~}}>¬ ÷ÒNr :ÔAÒr d ^,r d ÔAºe{|nqRw1|y>{|w1
(571) q+}>¬ y>{VNr : y>x~}1 uv
(572) qR{|u~}r d ÄÕm.nq£}|u~|{
(573) qRR «} uv{|u~} É eÄ 7 Ê[qAe1
(574) q
(575)
(576) qa{|nqH¬»yR{[{|n&y>{%y}e² . qR y>{|uvq }p ¼ uv&y>{|u~}]}>¬ |w!nÈRw1|y>{|w1
(577) qq·w&y>x~a{|nq£
(578) q} } qRa{
(579) qR|p }>¬{|nq£´µ q·w&y>{|u~}9Ä0m9¾À}½qRx~qRpEqR{
(580) H}>¬{|nq£|{
(581) qRRuvx¹ qRqR!y>{
(582) q {|nq£<y>pEq uv
(583) qR{|u~} u±¬{|nqR Yy>
(584) q£}{. ôéô. Ì. ï 9<ÿ!.
(585) '51)
(586) 5 % -"A!"¥ #. §. xvuvq§y>|xv Çuv qRqR y>{§ÄÀtuvq {|nq+y>xv }|uv{|n1p |n}w1x w!q}uv{
(587) ¹uvÇ{|nq|{
(588) qRRuvxy¹Rx~}
(589) q5{
(590) } !:%y}
(591)
(592) u ¼ x~qºeuv{|weÆÇq{
(593) }{!y>Öq[
(594) w
(595) na¾uv{|n
(596) qRxzy>{|uvqRxv Õ1|uvpEq[}pH}qR{
(597) §Ä &}a{¿¾¹} uvpEqR
(598) u~}&y>xÀ1
(599) } ¼ x~qRpE}«¾n1u~!nȾ¹qE¬÷}Rwa}§¾[ºá|w!nY}uv{
(600) n&yqÕy|qRu ¯
(601) {||wR{|w1
(602) qÄ
(603) |w1pEq£¬³}H|uvpH1xvu~Ruv{Î È{|n&y>{ 9 eÄ }H
(604) q§y
(605) }]}>¬
(606) pHpEqR{||u~q§º¾ÀqÕn&y§q
(607) qR1
(608) q!qR{
(609) q uv ¯ w1
(610) q£Á}qEqRuv n{|nÈ}>¬{|nqHqRuv n ¼ }w1|uv1 0}uv{
(611) §º9&y>pEqRxv ¸{|nqE}uv{
(612) a uv 8 X ºg|w!n0{|n&y>{ a a Ä[m.n}
(613) q%¾uv{|n«y>0uv|
(614) q wRu ¼ x~q£y
(615)
(616) }TRuzy>{
(617) q É
(618) p ¼ }xvu~Ïʬ³!yR{|u~} a G_a ºe{|n&y>{¾¹q3¾uvxvxV§y>xvxguv|
Documents relatifs
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
[…] Chez nous, le parterre […] est composé communément des citoyens les moins riches, les moins maniérés, les moins raffinés dans leurs mœurs ; de ceux
But on another hand, increasing q at constant operative pressure results in decreasing the equilibrium pressure, by decreasing the operative temperature (Figure 9), and finally, it
R´ esum´ e : On pr´esente des r´esultats autour du probl`eme suivant: pour un point mat´eriel dont l’acc´el´eration est born´ee par une constante donn´ee, et pour un
Ensuite, pour déterminer lesquelles des voix créées pouvaient être qualifiées d’« androgynes », nous avons fait un test de perception dans lequel nous avons demandé
Toutefois, des améliorations sont à prévoir car bien que la protection induite par ces glycoconjugués soit significative, elle n’est cependant pas optimale pour mettre
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
Venant compléter les nombreux guides spécialisés qui informent le touriste gay sur les différents lieux et structures qu’il pourra fréquenter s’il recherche son