D352. Un produit maximal
Problème proposé par Dominique Roux Solution proposée par Pierre Renfer
Soit un point M à l'intérieur d'un tétraèdre. Quelle est la position de ce point qui rend maximal le produit des distances de M aux faces du tétraèdre?
Soient A, B, C, D les sommets du tétraèdre.
On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C,D) de l’espace On note a, b, c, d les aires des faces BCD, CDA, DAB, ABC respectivement.
Soient x, y, z, t les coordonnées barycentriques, de somme 1, d’un point M.
Soient k, l, m, n les distances de M aux plans BCD, CDA, DAB, ABC respectivement.
Si l’on prend le volume du tétraèdre ABCD comme unité de volume, les coordonnées x, y, z, t du point M sont respectivement les volumes des tétraèdres MBCD, MCDA, MDAB, MABC.
Donc :
3 k x a ,
3 l yb ,
3 m z c ,
3 n t d
Le produit Pklmn à maximiser est donc égal à
d c b a
t z y 81 x
P
La comparaison entre moyennes géométrique et arithmétique des nombres x, y, z, t donne : 4
1 4
t z y t x
z y x
4
Donc la valeur maximale de P est égale à
d c b a
1 256
81
Ce maximum est atteint lorsque les quatre coordonnées de M sont égales entre elles c’est-à-dire lorsque le point M est l’isobarycentre du tétraèdre ABCD.
