E630. Le marchand d'huile
Un marchand d’huile doit livrer une quantité d’huile comprise entre un et douze litres mais il ne la connaît pas à l’avance. Pour ce faire, il dispose de trois récipients vides de 7,8 et 9 litres ainsi que deux récipients pleins de 12 et 13 litres. Son âne blessé par son bât ne peut porter que trois récipients : deux vides et un plein. Quels sont ces trois récipients si le marchand veut être assuré de livrer n’importe quelle quantité d’huile exprimée sous la forme d’un nombre entier de litres variant de 1 à 12 ?
Source : Pierre Tougne – Revue Pour la Science.
Solution de Paul Voyer:
On peut lire avec intérêt http://www.mathkang.org/pdf/gclassiquesrm.pdf Le diagramme ci-dessous montre le parcours représentant les transvasements.
G est le récipient mère, M et P les récipients vides.
Si, comme dans notre cas, G a une capacité limitée, il faut inclure dans le diagramme la condition M+P≤G, ce qui "écorne" le coin en haut à droite.
Le marchand doit emporter les récipients de G13, P7 et M8 de 13, 7, 8 litres.
13 est déjà présent dans G13.
7 (ou 6 par complémentarité) s'obtient avec P7.
8 (ou 5 par complémentarité) s'obtient avec M8.
1- On remplit M8, soit 8 dans M8 et 7 dans G13 2- On verse 7 de M8 dans P7, il reste 1 dans M8 2bis- si on a besoin de 12, on verse P7 dans G13 3- On vide P7 dans G13
4- On verse le 1 de M8 dans P7 5- On remplit M8, soit 8
6- On verse 6 de M8 dans P7, il reste 2 dans M8 6bis- si on a besoin de 11, on verse P7 dans G13 7- On vide P7 dans G13
8- On verse les 2 de M8 dans P7 9- On remplit M8, soit 8
10- On verse 5 de M8 dans P7, il reste 3 dans M8 10 bis- si on a besoin de 10, on verse P7 dans G13 11- On vide P7 dans G13
12- On verse les 3 de M8 dans P7
13- On remplit M8, soit 8 c'est là que M=9 et P=8 ne conviennent pas 14- On verse 4 de M8 dans P7, il reste 4 dans M8
14bis- si on a besoin de 9, on verse P7 dans G13
G=12 n'aurait pas bénéficié de la complémentarité pair-impair et n'aurait pas permis la profondeur de transferts nécessaire à l'obtention de 6.
(M9 et P7) n'auraient pas permis une progression de 2 en 2 atteignant 8.
