D316 - Les deux tétraèdres [**** à la main]
Solution de Pierre Jullien Enonçons le cas général :
Soit, dans l’espace affine réel de dimension n, n+1 points Ai, pour 0 ≤ i ≤ n, formant un hypertétraèdre (non aplati) T. On mène par chaque sommet Ai des hyperplans Pi (de dimension n-1) parallèles selon une direction quelconque. Une droite D (de dimension 1) coupe ces plans respectivement en n+1 points distincts ai. Par chaque point ai on mène un hyperplan Qi parallèle à la face des Aj (j≠i). Ces n+1 hyperplans délimitent un hypertétraèdre T’.
Montrer que T et T’ sont images l’un de l’autre dans une symétrie centrale.
Illustration pour n = 2
A0
A1
A2
a0
a1
a2 D
A’0
A’1 A’2
T
T’
P0 P1
P2
Q2
Q0
Q1
Remarquons, d’une part, que le tétraèdre T’ ayant ses faces parallèles à celles de T lui est homothétique et, d’autre part, qu’une translation quelconque de la droite D translate aussi le tétraèdre T’ (ainsi D peut être définie à une translation près).
Prenons, pour repère cartésien de l’espace, A0 comme origine et les vecteurs A0Ai (pour 1 ≤ i ≤ n) comme vecteurs unitaires de base. Choisissons, en plus, la droite D passant par l’origine (ainsi A0 et a0 sont confondus).
Il suffit maintenant de montrer que le point A’0 est dans le plan des Ai (i ≠ 0) car ainsi les deux tétraèdres T et T’ auront des hauteurs opposées, étant homothétiques ils seront donc symétriques l’un de l’autre.
Dans le repère choisi, le plan P0 a pour équation : u1.x1 + u2.x2 + … + un.xn = 0 et les plans Pi (pour 1 ≤ i ≤ n) ont pour équations :
u1.x1 + u2.x2 + … + un.xn = ui
Le point courant p = (p1, p2, …, pn) de la droite D dépend d’un paramètre t tel que p1
= π1.t, p2 = π2.t, …, pn = πn.t, où les πi sont les coefficients directeurs de D.
Ainsi la valeur de t relative au point ai satisfait la relation : u1. π1.t + u2. π2.t + … + un. πn.t = ui soit
t = ui / (u1. π1 + u2. π2 + … + un. πn) Le plan Qi (pour 1 ≤ i ≤ n) a donc pour équation ;
xi = ui.πi / (u1. π1 + u2. π2 + … + un. πn)
Ainsi le point A’0 intersection des Qi (pour i ≠ 0) satisfait la relation : x1 + x2 + … + xn = 1
qui n’est autre que l’équation du plan des Ai (i ≠ 0). Le point A’0 est bien dans le plan des Ai ( i≠ 0), comme annoncé.
