D316 - Les deux tétraèdres
Problème proposé par Pierre Jullien
Soit un tétraèdre (non aplati) T de sommets ABCD. On mène par A, B, C et D quatre plans parallèles distincts selon une direction quelconque. Une droite quelconque ∆ coupe respectivement ces plans en quatre points distincts a, b, c et d.
Par a on mène un plan parallèle à BCD ; par b on mène un plan parallèle à ACD ; par c on mène un plan parallèle à ABD et, enfin, par d on mène un plan parallèle à ABC. Ces quatre plans délimitent un tétraèdre T’.
Démontrer que T et T’ sont images l’un de l’autre dans une symétrie centrale.
Solution
Notons sω la symétrie de centre ω et ho l'homothétie de centre o et de rapport 1 2. Remarquons tout d’abord l'équivalence des propositions
{ }
{ }
1 2 1 2
( )
'/ ',
, ,
'/ ' ,
o( ) o s P
o m m m m P
m P m o
m P o om
m om om m P
h P
ω
ω ω ω ω ω ω
ω
∈
⇔ ∈ = ∈
⇔ ∃ ∈ =
⇔ ∃ ∈ =
⇔ ∈ = ∈
⇔ ∈
En appliquant ce résultat à proposition à démontrer, elle devient :
' ( )
( ) et b ( ) et c ( ) et d ( )
( ) et ( ) et ( ) et ( )
( ) ( ) ( ) ( ) { }
a b c d
a b c d
T s T
a s BCD s CDA s DAB s ABC
h BCD h CDA h DAB h ABC
h BCD h CDA h DAB h ABC
ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω
=
⇔ ∈ ∈ ∈ ∈
⇔ ∈ ∈ ∈ ∈
⇔ ∩ ∩ ∩ =
Nous allons prouver par le calcul que les quatre plans images ainsi définis sont bien concourants.
On se place dans le repère formé par T tel que
0 1 0 0
0 ; 0 ; 1 ; 0
0 0 0 1
A B C D
Les quatre plans parallèles distincts menés par A, B, C, D selon une direction quelconque, s'écrivent alors respectivement sous la forme suivante :
: . . . 0
: . . . 0
: . . . 0
: . . . 0
A B C D
P p x q y r z P p x q y r z p P p x q y r z q P p x q y r z r
+ + =
+ + − =
+ + − = + + − =
La droite ∆ est définie paramétriquement par .
: . ,
. x e u t y f v t t z g w t
= +
∆ = + ∈
= +
Puisque ∆ coupe la famille de plans, on a nécessairementp u. +q v. +r w. ≠0. En outre, puisque on peut choisir le vecteur directeur à un facteur multiplicatif près, on pose finalement :
. . . 1
p u+q v+r w=
On choisit également l’origine du paramètre de sorte que t=0 quand ∆ coupe PA :
. . . 0
p e+q f+r g=
Calculons à présent les coordonnées de a, b, c, d :
{ } 0
{ } ( . ) ( . ) ( . ) 0
( . . . ) ( . . . ) 0
. . . .
{ } .
. .
{ } .
A A
B B B B
B
B
C C
D D
e
a P t a f
g
b P p e u t q f v t r g w t p
p e q f r g p u q v r w t p e u p
t p b f v p g w p e u q
c P t q c f v q
g w q e u r
d P t r d f v
= ∆ ∩ ⇒ = ⇒
= ∆ ∩ ⇒ + + + + + − =
⇒ + + + + + − =
+
⇒ = ⇒ +
+
+
= ∆ ∩ ⇒ = ⇒ +
+
+
= ∆ ∩ ⇒ = ⇒ + .
r g w r
+
Considérons maintenant la transformation homothétique :
' '
: ' ' , 2 '
' '
o
x x x x
h m y m y y o y
z z z z
− =
D’où l’on déduit :
: : 1 : 2 2 2 1
: : 0 : 2 . 0
: : 0 : 2 . 0
: : 0 : 2 . 0
a a
b b
c c
d d
h BCD x y z P x e y f z g
h CDA x P x e u p
h DAB y P y f v q
h ABC z P z g w r
+ + = − + − + − =
= − − =
= − − =
= − − =
Les quatre équations obtenues sont liées (la première s’obtient en sommant les trois autres carp u. +q v. +r w. =1).
Les quatre plans images sont donc concourants.
On en conclut finalement que T’ est l’image de T par la symétrie de centre . 2
. 2
. 2 e u p
f v q g w r ω
+
+
+
.
