H10629. Combien de couleurs ?
Je veux peindre ma collection de polyèdres réguliers, de façon que chaque face reçoive une couleur différant de celles des faces adjacentes (ayant un côté commun avec elle) du même polyèdre. Pour chaque type de polyèdre, combien de couleurs me faudra-t-il (au minimum) ?
Solution
Quatre couleurs, bien sûr, pour le tétraèdre qui ne peut avoir deux faces de même couleur, chaque face touchant les 3 autres.
Trois pour le cube, une par direction de face.
Deux pour l’octaèdre, qui se colorie comme le damier avec 4 faces en chaque sommet.
Dodécaèdre : une face a 5 voisines, qui ne peuvent pas être coloriées avec seulement 2 couleurs (autres que celle de la face qu’elles entourent). Ainsi 4 couleurs sont nécessaires. La figure ci-contre reproduit la disposition des arêtes du dodécaèdre quand on les applique sur un plan ; aux 11 faces que ces arêtes délimitent, étiquetées de 1 à 4 selon leur couleur, s’ajoute une face infinie de couleur 1.
Pour les faces de l’icosaèdre, trois couleurs suffisent car il y a correspon- dance (dualité) entre ces faces et les sommets du dodécaèdre ; les couleurs en ces sommets (6 noirs, 7 bleus, 7 rouges) montrent une coloration pos- sible des faces de l’icosaèdre.
Dans cet autre exemple d’icosaèdre, 6 faces sont bleues, 6 autres sont rouges, les 8 dernières (incluant la face infinie) sont blanches.
Ces exemples illustrent le théorème de Brooks : sauf pour le graphe com- plet, le nombre chromatique (nombre de couleurs nécessaire) est majoré par le plus grand degré (nombre de voisins d’un sommet, s’il s’agit de co- lorier les sommets, nombre de côtés d’une face, s’il s’agit de colorier les faces ) .
