D2913 – Trois axes de symétrie [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Existe-t-il une fonction de dans dont le graphe en repère orthonormé possède exactement 3 axes de symétrie ?
Solution proposée par l’auteur.
La réponse contre intuitive est OUI !
Les 3 axes de symétrie seront les droites [en rouge sur la figure 1] :
La fonction dont on cherche le graphe mystérieux sera notée f.
Posons pour la suite
(2) se démontre simplement avec (1) et les formules d’addition de la fonction tangente.
La figure clé est la figure 2 ci-dessous avec la présence de la droite D d’équation Figure 1
Figure 2
La figure 2 montre une partie du graphe de f en traits gras :
Le segment [A ; B[ fermé en A et ouvert en B ainsi que son symétrique [A’ ; B’[ par rapport à les coordonnées de A, B sont
A (1 ; t) et B (m ; t m) Ainsi, A et B appartiennent à la droite D.
On calcule facilement les coordonnées de A’ et B’ :
La droite D’ symétrique de D par rapport à a pour équation Ainsi, A’ et B’ appartiennent à la droite D’.
Pour l’instant, la fonction f est définie sur l’intervalle .
Remarquons que u [point B’]
La droite D’’ symétrique de D par rapport à a pour équation Soit [A’’ ; B’’[ le symétrique de [A ; B[ par rapport à On calcule facilement les coordonnées de A’’ et B’’ :
Ainsi, A’’ et B’’ appartiennent à la droite D’’.
Pour l’instant, la fonction f est définie sur l’intervalle .
Symétrisons les 3 segments [A ; B[, [A’ ; B’[, [A’’ ; B’’[ par rapport à c’est-à-dire (Oy) On obtient la figure 3 ci-dessous :
Dans la figure 3, les 6 segments [traits gras] forment une partie du graphe de f qui possède les 3 axes de symétrie
Figure 3
Les abscisses positives des 6 points de la figure 3 sont
Si on effectue une homothétie de centre O et de rapport on obtiendra 6 nouveaux points dont les abscisses seront (dans le désordre) : Figure 4 ci-dessous.
Figure 4
[ (symétrique de par rapport à ) d’abscisse n’est pas visible].
Les 3 segments [ possèdent les mêmes propriétés de symétrie que
De plus a la même abscisse m que B, ce qui fait que la fonction f qui était définie sur l’intervalle l’est maintenant sur
En itérant (par une homothétie de rapport , on définit f sur f est maintenant définie avec les propriétés souhaitées sur
C’est presque fini…
Une homothétie de rapport va permette de prolonger le domaine de définition de f de à donc à puis une homothétie de rapport prolongera le domaine à etc.
f est maintenant définie sur
La symétrie du graphe par rapporte à (Oy) définit f sur Enfin, un prolongement par définit f sur
