La traversée de la rue
Problème G138 de Diophante
Ma rue est à sens unique et la vitesse des véhicules à moteur est limitée à 30km/h. J'ai la fâcheuse manie de traverser la rue en courant (20 km/h) sans regarder s'il y a des véhicules qui arrivent. Si l'on suppose que la circulation est faite d'un flot régulier de voitures assimilées à des rectangles de 3 mètres de longueur sur 2 mètres de largeur espacés tous les 50 mètres et roulant à la vitesse maximale autorisée, la probabilité d'un accrochage peut-elle être inférieure à 10% ?
Solution
Si je traverse perpendiculairement au flot des voitures selon AB, mon parcours relatif est le segment AC (je parcours 2 m quand le flot avance de 3m).
A
B C
Zone de choc
2 m 3 m
3 m 3 m
A un instant donné, la zone de choc mesure donc 6 mètres. Ce qui représente 12% des 50 mètres qui séparent deux voitures consécutives.
Pour améliorer ce pourcentage, j’ai intérêt à traverser en biais dans le sens du flot, sous un angle ß
Alors AB = 2 / cos ß ; HB = 2 tgß ; BC = 3 / cos ß et CH = (3 – 2sin ß) / cos ß On trouve, en dérivant, que CH est minimum pour sin ß = 2 / 3 : cos ß = √5 / 3 et CH = √5 = 2,236…
La zone de choc mesure alors 5,236. Ce qui ramène le pourcentage à 10,473…
Pour abaisser ce pourcentage à 10%, il me faut courir un peu plus vite.
Calculez bien ; vous trouverez 21,22 km/h !
Remarque
L’expression « espacés tous les 50 mètres » peut prêter à interprétation : - ci-dessus, nous avons considéré que 50 mètres séparent deux points homologues de deux voitures consécutives ;
- on peut aussi considérer que 50 mètres mesure la distance entre
l’arrière d’une voiture et l’avant de celle qui la suit, alors l’écart à prendre en compte, dans le calcul, est de 53 mètres et le rapport cherché est légèrement inférieur à 10%.
