A10109. Diviseur commun
a/ Montrer que, dans toute séquence de 14 entiers consécutifs, il y a un entier premier avec 2310.
b/ Trouver les séquences de 21 entiers consécutifs dont aucun terme n’est premier avec 30030.
Solution
a/ Les diviseurs premiers de 2310 sont 2, 3, 5, 7, 11. Sur les 14 entiers, 7 sont pairs, les autres sont n−6, n−4, n−2, n, n+ 2, n+ 4, n+ 6. Au plus un est multiple de 11, au plus un est multiple de 7 (s’il y en avait deux, leur différence serait 14>(n+ 6)−(n−6)). Il y a au plus deux multiples de 5 et au moins 2 multiples de 3 ; mais s’il y en a 3, ce sont n−6, n, n+ 6 et il ne pourrait pas y avoir deux multiples de 5 dans les entiers restants (leur différence serait 10>(n+ 4)−(n−4)). Au moins 14−7−1−1−2−2 = 1 des entiers n’admet aucun des diviseurs 2, 3, 5, 7, 11.
b/ 30030 = 2.3.5.7.11.13. Sur les 21 entiers, de n−10 à n+ 10, il peut y avoir 11 pairs (dontn), 4 multiples impairs de 3 (n±9, n±3), 2 multiples impairs de 7 (n±7), 2 multiples impairs de 5 (n±5), avec n multiple de 210 = 2.3.5.7. Restentn−1 etn+ 1, dont l’un doit être multiple de 11 et l’autre multiple de 13 ; alorsn−12 oun+ 12 est multiple de 11×13 = 143.
Comme 12 = 45×210−66×143, la solution est n= ±45×210 =±9450 modulo 30030, soit les séquences de 9440 + 30030k à 9460 + 30030k, et les séquences de 20570 + 30030kà 20590 + 30030k.
