1-La Terre

(1)

Version 2021 1 – La Terre 1

1.

Si l’angle entre l’horizon et Polaris est de 46,8° et que cet angle est de 42,35° à Boston, c’est que la différence de latitude entre Québec et Boston est

46,80 42,35 4, 45 θ = ° − ° = °

Puisque la distance est de 435 km, la circonférence de la Terre se trouve avec 495

4, 45 360

40 045 km circonférence circonférence km

° = °

=

2.

On trouve la période de rotation avec

2

11 ² 2

² ³

15 4 0,1 15

4 6,674 10 5514 17 892 4,97

Nm kg

kg m

f GT

T

T s h

π ρ π

−

=

= ⋅ × ⋅ ⋅

= =

3.

Avec une période de 6 h = 21 600 s, l’aplatissement serait

( )

2

11 ² 2

² ³

15 4

15

4 6,674 10 21600 5514 0,0686

Nm kg

kg m

f GT

s π

ρ

π

−

=

⋅ × ⋅ ⋅

= On aurait alors

(2)

Version 2021 1 – La Terre 2 0, 0686

0, 0686 0, 0686 0,9314 a b

a

a b a

a a b

a b

− =

= Ainsi, on aurait

( ) ( )

( )

3 2

3 3

6371 0,9314

6371 0,9314 6371 0,9766

6523,8 R a b

km a a

km a

a km

=

= ⋅

=

= De là, on trouve que

0,9314 6076,1

b a

km

=

4.

Le champ est

( )

2

11 ² 24

² 6 2

, 674 10 5,972 10 6, 471 10

9,52

Nm kg

N kg

g GM r

kg m

⊕

−

=

6 × ⋅ ×

=

×

=

5.

a) Le champ est

( )

2

11 ² 23

² 6 2

, 674 10 6, 4185 10 3,386 10

3,736

mars

Nm kg

N kg

g GM r

kg m

−

=

6 × ⋅ ×

=

×

= b) Le poids est

(3)

Version 2021 1 – La Terre 3 70 3,736

261,5

N kg

P mg kg

N

=

= ⋅

= c) Le rapport des poids est

sur Mars sur Terre

261,5

0,381 686

P N

P = N =

Le poids sur Mars est donc 38,1 % du poids sur Terre.

6.

Entre la Terre et la Lune, le champ est la somme des champs.

Si le champ est nul, c’est que le champ fait par la Terre est de même grandeur que celui de la Lune. On a donc

En posant que la position initiale de Richard était à x = 0, on a

( )

2 2

24 22

2

2 8

2

2 8

8 2 2

2 10 19 2

2 10 19

5,97 10 7,34 10

3,844 10

81,33 1

3,844 10 81,33 3,844 10

81,33 6, 253 10 1, 202 10

80,33 6, 253 10 1, 202 10 0

Terre Lune

g g

GM GM

r r

kg kg

x m x

m x x

x m x x

x m x

=

/ /

=

× ×

=

× −

=

× −

⋅ × − =

− × ⋅ + × =

⋅ − × ⋅ + × =

Les solutions de cette équation sont

x = 346 031 km et x = 432 339 km.

(4)

Version 2021 1 – La Terre 4 La deuxième solution correspond à un point qui n’est pas entre la Terre et la Lune et ce n’est donc pas une bonne solution. Il est vrai que les champs sont égaux à cet endroit, mais ils sont dans la même direction, ce qui fait que les champs s’additionnent et ne peuvent pas donner un champ nul. La bonne réponse est donc 346 031 km.

7.

Le champ est

( )

3

11 ² 24 6

²

6 3

, 674 10 5,972 10 5,371 10 6,371 10

8, 28

Nm kg

N kg

g GM r R

kg m

m

⊕

−

=

6 × ⋅ × ⋅ ×

=

×

=

8.

a) Le noyau est une sphère ayant un rayon de 2000 km. Sa masse est donc

( )

3

6 3

³ 23

23

4 3

12 000 4 2 10

3 1, 28 10

4, 02 10

kg m

M densité volume R

m kg

kg ρ π

π π

= ⋅

= ⋅ ⋅ ×

= × ⋅

= ×

Le manteau est une sphère ayant un rayon de 5000 km dans laquelle il y a une cavité sphérique ayant un rayon de 2000 km. Sa masse est donc

( ) ( )

3 3

int

3 3

6 6

³ 23

24

4 4

3 3

4 4

3000 5 10 2 10

3 3

4, 68 10 1, 470 10

ext

kg m

M densité volume

R R

m m

kg kg

ρ π π

π π

π

= ⋅

 

= ⋅ − 

 

 

= ⋅ ⋅ × − ⋅ × 

 

= × ⋅

= ×

La masse totale est donc

(5)

23 24

24

4, 02 10 1, 470 10 1,872 10

M kg kg

kg

= × + ×

= ×

b) À l’extérieur de la planète, on peut calculer le champ avec

( )

2

11 ² 24

² 6 2

, 674 10 1,872 10 6 10

3, 471

Nm kg

N kg

g GM r

kg m

⊕

−

=

6 × ⋅ ×

=

×

=

c) À la surface de la planète, le champ est

( )

2

11 ² 24

² 6 2

, 674 10 1,872 10 5 10

4,998

Nm kg

N kg

g GM r

kg m

−

=

6 × ⋅ ×

=

×

=

d) À l’intérieur de la planète, il faut utiliser le théorème de Gauss. Pour obtenir le champ à 4000 km du centre, il faut tracer une surface de Gauss à 4000 km du centre de la planète.

À l’intérieur de cette surface, il y a le noyau au complet, dont la masse est 4,02 x 10²³ kg. Il y a ensuite une partie du manteau, dont la masse est

( ) ( )

3 3

int

3 3

6 6

³ 23 23

4 4

3 3

4 4

3000 4 10 2 10

3 3

2, 24 10 7, 04 10

ext

kg m

M densité volume

R R

m m

kg kg

ρ π π

π π

π

= ⋅

 

= ⋅ − 

 

 

= ⋅ ⋅ × − ⋅ × 

 

= × ⋅

= ×

La masse totale à l’intérieur de la surface de Gauss est donc

23 23

int

24

4, 02 10 7, 04 10 1,106 10

M kg kg

kg

= × + ×

= ×

(6)

Version 2021 1 – La Terre 6 Le champ est donc de

( )

2

int

6 2 11 ² 24

4 10 6,674 10 ² 1,106 10

4,61

Nm kg N kg

r g GM

m g kg

g

−

=

× = × ⋅ ×

=

9.

À la surface de la planète, le champ est

2

g GM

= R

La masse de la planète se trouve avec les densités

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2 2

3 3 3

1 1 2 2 1

3 3 3

6 6 6

1 ³

18 3 23

1

4 4 4

3 3 3

4 4 4

2 10 3000 5 10 2 10

3 3 3

4 8 10 3,51 10

3

kg m

M Vol Vol

R R R

m m m

m kg

ρ ρ

ρ π ρ π π

ρ π π π

π ρ

= +

 

= +  − 

 

 

= ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × − ⋅ × 

 

= ⋅ ⋅ × + ×

On a donc

( ) ( )

3 3 3

1 2 1 1 2 2 1

18 3 23

2 1 6

4 4 4

3 3 3

4 8 10 3,51 10

3 5 10

g G R R R

R

G m kg

m

ρ π ρ π π

π ρ

  

=  +  − 

 

= ⋅ × + ×

×

Pour trouver le champ 1000 km sous la surface, il faut utiliser le théorème de Gauss.

Pour obtenir le champ à 4000 km du centre, il faut tracer une surface de Gauss à 4000 km du centre de la planète.

À l’intérieur de cette surface, la masse est

(7)

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2 2

3 3 3

1 1 2 2 1

3 3 3

6 6 6

1 ³

18 3 23

1

4 4 4

3 3 3

4 4 4

2 10 3000 4 10 2 10

3 3 3

4 8 10 1, 68 10

3

kg m

M Vol Vol

R R R

m m m

m kg

ρ ρ

ρ π ρ π π

ρ π π π

π ρ

= +

 

= +  − 

 

 

= ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × − ⋅ × 

 

= ⋅ ⋅ × + ×

Ainsi, le théorème de Gauss nous donne

( ) ( )

2

2 int

6 2 18 3 23

2 1

18 3 23

2 6 2 1

4 10 4 8 10 1, 68 10

3

4 8 10 1,68 10

3 4 10

r g GM

m g G m kg

g G m kg

m π ρ

π ρ

=

× = ⋅ × + ×

= ⋅ × + ×

×

Si les deux champs sont égaux, on a

( ) ( )

1 2

18 3 23 18 3 23

1 1

2 2

6 6

18 3 23 18 3 23

1 1

2 2

6 6

18 3 23 18 3 23

1 1

2 2

1 1

4 4

8 10 3,51 10 8 10 1,68 10

3 5 10 3 4 10

1 1

8 10 3,51 10 8 10 1, 68 10

5 10 4 10

1 1

8 10 3,51 10 8 10 1,68 10

5 4

16 8 10

g g

G G

m kg m kg

m m

m kg m kg

m m

m kg m kg

π π

ρ ρ

ρ

=

⋅ × + × = ⋅ × + ×

× ×

⋅ × + × = ⋅ × + ×

× ×

⋅ × + × = ⋅ × + ×

(

⋅ × ⁸ ³ ²³

) (

¹ ¹⁸ ³ ²³

)

20 3 24 20 3 24

1 1

24 19 3

1

1 ³

3,51 10 25 8 10 1,68 10

1, 28 10 5,616 10 2 10 4, 2 10

1, 416 10 7, 2 10 19 667^kg_m

m kg m kg

kg m

ρ

ρ ρ

+ × = ⋅ × + ×

⋅ × + × = ⋅ × + ×

× = ⋅ ×

=

10.

Le champ est

(8)

( )

( ) ( )

( )

2 4

9,780327 0,0516323 sin 0,0002269 sin

9,780327 0,0516323 sin 28,62 0,0002269 sin 28,62 9,7922

N kg

N kg N

kg

g= + ⋅ ϕ+ ⋅ ϕ

= + ⋅ ° + ⋅ °

=

11.

La vitesse de libération est

11 ² 23

² 6

2

2 6, 674 10 6, 4185 10 3,386 10

5030

lib

Nm kg

m s

v GM r

kg m

−

=

⋅ × ⋅ ×

= ×

=

12.

La vitesse de libération est

11 ² 23

² 6

2

2 6, 674 10 6, 4185 10 5,386 10

3988

lib

Nm kg

m s

v GM r

kg m

−

=

⋅ × ⋅ ×

= ×

=

13.

a) La vitesse des molécules de CO2 est

23 27

2

2 1,38 10 210 44 1,66 10 281,7

molécules

J K

m s

v kT

m

K kg

−

=

⋅ × ⋅

= ⋅ ×

=

Puisque la vitesse de libération sur Mars est de 5030 m/s (exercice précédent), on a

(9)

Version 2021 1 – La Terre 9 5030

280,7 17,9

lib molécules

m s m s

v λ=v

=

Puisque cette valeur est supérieure à 8, le CO2 peut donc rester dans l’atmosphère de Mars.

b) La vitesse des molécules d’hélium est

23 27

2

2 1,38 10 210 4 1,66 10 934, 4

molécules

J K

m s

v kT

m

K kg

−

=

⋅ × ⋅

= ⋅ ×

=

Puisque la vitesse de libération sur Mars est de 5030 m/s, on a

5030 934, 4 5, 4

lib molécules

m s m

s

v λ=v

=

Puisque cette valeur est inférieure à 8, l’hélium ne peut donc pas rester dans l’atmosphère de Mars.

14.

L’épaisseur caractéristique est

H RT

= µ g La masse molaire moyenne du gaz est

0,96 44 0,02 40 0,02 28 43,6

g g g

mol mol mol

g mol

µ = ⋅ + ⋅ + ⋅

=

(10)

Version 2021 1 – La Terre 10 Le champ gravitationnel est

( )

2

11 ² 23

² 6 2

, 674 10 6, 4185 10 3,386 10

3,736

mars

Nm kg

N kg

g GM r

kg m

−

=

6 × ⋅ ×

=

×

=

Ainsi, l’épaisseur caractéristique est

8,31 210 0,0436 3,736 10713

J molK

kg N

mol kg

H RT µg

K m

=

= ⋅

⋅

=

15.

La pression est donnée par

0 z

P=P e⁻H

Si la pression est 90% de la pression au sol, on a

0 0

0,9 0,9 ln 0,9

ln 0,9

z H z H

P P e e

z H

−

=

= −

= − ⋅

Puisque la hauteur caractéristique de l’atmosphère terrestre est de 8428 m, on arrive à

8428 ln 0,9 888

z m

m

= − ⋅

=

16.

L’énergie est

(11)

( )

2

11 ² 22 2

² 6 29

3 5

, 674 10 7,35 10

3

5 1, 738 10

1, 24 10

g

Nm kg

U GM

R

kg m

J

−

= −

6 × ⋅ ×

= − ⋅

×

= − ×

17.

La chaleur est

( )

2

11 ² 23 2

² 6 30

3 5

6, 674 10 6, 4185 10 3

5 3,386 10

4,872 10

Nm kg

Q GM R

kg m

J

−

=

× ⋅ ×

= ⋅ ×

= ×

18.

La chaleur par unité de masse est

11 ² 23

² 6 6

3 5

6,674 10 6, 4185 10 3

5 3,386 10

7,59 10

Nm kg

J kg

q GM R

kg m

−

=

× ⋅ ×

= ⋅ ×

= ×

19.

Nous avons 7,59 millions de J pour chaque kg. Examinons si cette énergie est suffisante pour faire fondre la roche.

Premièrement, il faut chauffer la roche de -63 °C à 1000 °C, soit une augmentation de 1063 °C. À 1000 J par °C, il faut donc 1 063 000 J pour chauffer le kilo de roche à 1000 °C. Après ce chauffage, il nous reste encore 6,527 millions de J. Cette quantité est amplement suffisante pour fournir les 250 000 J nécessaires pour faire fondre la roche.