Table de caractères de A 5

Table de caractères de A ₅

Florian BOUGUET

Référence : PEYRÉ: L’algèbre discrète de la transformée de FOURIER

Theorème 1

La table de caractères deS4est :

1 6 8 6 3

(1) (12) (123) (1234) (12)(34)

χtr 1 1 1 1 1

χ_ε 1 -1 1 -1 1

χstd 3 1 0 -1 -1

χ2 2 0 -1 0 2

χ3 3 -1 0 1 -1

Preuve :

IClasses de conjugaison :

Le résultat est bien connu, des éléments deS4sont conjugués si, et seulement si, ils sont de même type.

Iχtretχstd:

Regardons la représentation naturelle deS₅ surR⁴ obtenue par permutation des vecteurs de base. Le caractère associéχ_R4 est la trace d’une matrice de permutation, c’est-à-dire le nombre de 1 sur la diagonale. Autrement dit χ_R4(σ)est le nombre de points fixes deσ. Cette représentation laisseV ect{(1,1,1,1,1)}stable, il s’agit donc d’une représentation de dimension 1 (la représentation triviale correspondant à χ_tr, on peut donc compléter la première ligne). On a alors un caractère de dimension 3, notéχ, tel que

χ=χ_R4−χ_tr= [3,1,0,−1,−1]

Le calcul nous donne

< χ, χ >= 1 24

1×3²+ 6×1²+ 8×0²+ 6×(−1)²+ 3×(−1)²

= 1

χest donc irréductible, on peut donc le noterχstd(pour "standard") et compléter la troisième ligne.

Iχε:

εest un morphisme deS4dans{−1,1}. On a donc une action de groupe linéaire, ou représentation, de degré 1 telle que :

σ·x=ε(σ)x

On peut donc compléter la deuxième ligne.

Iχ3:

Finissons déjà de remplir la première colonne en remarquant que 1 + 1 + 3²+a²+b²= 24⇒a= 2, b= 3

On cherche donc deux représentations, l’une de degré 2 et l’autre de degré 3. Considérons l’action naturelle deS4

sur les quatre grandes diagonales du cube deR³(on peut montrer que le groupe des isométries positives du cube est isomorphe àS4). Cela nous livre une représentation deS4de dimension 3 de caractèreχ.

1

– χ((1)) =Tr(Id) = 3 – (12)∼Rotation d’angleπ:

χ((12)) = 1−2 cos(π) =−1 – (123)∼Rotation d’angle2π/3:

χ((123)) = 1−2 cos(π/3) = 0 – (1234)∼Rotation d’angleπ/2:

χ((123)) = 1−2 cos(π/2) = 1 – (12)(34)∼Rotation d’angleπ:

χ((123)) = 1−2 cos(π) =−1

On calcule alors< χ, χ >= 1doncχest irréductible, on peut donc le noterχ3et compléter la quatrième ligne.

2

Iχ2:

On peut alors déterminer χ₂ par orthogonalité des caractères, et résolvant un système de 4 équations à quatre inconnues.

Remarques :

Il existe deux autre façons de compléter cette table. On peut déterminerχ_std en regardant l’action deS₄comme groupe des isométries du tétraèdre, et étudier l’action deS4sur le groupe de KLEINpour obtenirχ2. . .

3