Bac Tunisien Science Technique 2007

EXERCICE 1 (4 points)

1) On considère dans l’équation (E): 2 ²z + +(7 i 3)z−4(1−i 3)=0 a) Montrer que (E) admet une solution réelle que l’on déterminera.

b) Donner alors l’autre solution de (E).

2) a) Calculer

2

3 1

2 2i

 

−

 

 

 

b) Résoudre dans l’équation (E’): 2z⁴+ +(7 i 3) ²z −4(1−i 3)=0

3) Le plan complexe étant muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,r r}

)

on considère les points A et B d’affixes respectives z_A =2i et 3 1

2 2

zB = − i et on désigne par I le milieu du segment [OA].

a) Ecrire z sous forme exponentielle. _B

b) Placer I et B et montrer que le triangle OIB est isocèle.

EXERCICE 2 (6 points)

L’espace étant rapporté à un repère orthonormé

(

^{O i j k, , ,r r r}

)

on considère les points A(6,0,0) ; B(0,6,0) ; C(0,0,6) et D(-2,-2,-2).

1) a) Vérifier que les points A, B et C déterminent un plan P dont une équation cartésienne est : x + y + z - 6= 0.

b) Vérifier que la droite (OD) est perpendiculaire au plan P.

c) Donner un système d’équations paramétriques de la droite (OD).

d) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan P. Vérifier que H a pour coordonnées (2,2,2) et qu’il est équidistant de A, B et C.

e) En déduire que (OD) est l’axe du cercle circonscrit au triangle ABC.

2) Soit Q le plan médiateur du segment [CD].

a) Montrer qu’une équation cartésienne de Q est : x + y + 4z - 6 = 0.

b) Montrer que (OD) coupe Q en un point Ω dont on déterminera les coordonnées.

3) Soit S la sphère de centre Ω et de rayon 3 3. a) Écrire une équation cartésienne de S.

b) Vérifier que S passe par A, B, C et D.

c) Quelle est alors l’intersection de S et P?

NOUVEAU REGIME

REPUBLIQUE TUNISIENNE

MINISTAIRE DE L’EDUCATION ET DE LA FORMATION

EXAMEN DU BACCALAUREAT SESSION DE Principale 2007

SESSION PRINCIPALE SECTION : Science Technique

EPREUVE : MATHEMATIQUES DUREE :2h COEFFICIENT : 2

PROBLEME: (10 points)

I - On considère la fonction g définie sur ]0,+ ∞[ par: g(x) = x( x -1) + Log x.

1) Montrer que la fonction g est strictement croissante sur ]0,+ ∞[ 2) Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) pour x> 0.

II - Soit f la fonction définie sur ] 0,+ ∞ [ par: f(x) = (x - 1 )² + (Log x)²

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé

(

^{O i j, ,r r}

)

a) Calculer

0

lim ( )

x

+ f x

→ et lim ( )

x f x

→+∞ .

b) Montrer que f est dérivable sur ]0,+ ∞ [ et que: f’(x) ( ) 2g x

= x pour x > 0.

c) Dresser le tableau de variation de f sur ]0,+ ∞[

2) Montrer que la restriction h de f à ] 0, 1] est une bijection de] 0, 1] sur [0,+ ∞ [

On désigne par h⁻¹ la réciproque de h et par (Γ) la courbe représentative de h⁻¹ dans le repère

(

^{O i j, ,r r}

)

^.

3) Soit u la fonction définie sur] 0, 1] par u(x) = h(x) - x.

a) Dresser le tableau de variation de u sur] 0, 1 ].

b) En déduire qu’il existe un seul réel α de ] 0, 1] tel que h(α ^{) =} α ^. Vérifier que 1

2< <α 1

4) a) Montrer que (C) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction celle de (0, j r

).

b) Tracer dans le même repère

(

^{O i j, ,r r}

)

la droite ∆ d’équation y = x, la courbe (C) et la courbe (Γ).

III On désigne par A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) l’axe des abscisses et les droites d’équations x = α et x = 1.

Soit I ¹xf '(x)dx

=

∫

α

1) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que I= − −α² A 2) a) Montrer que I = 2 ¹g x dx( )

∫

α

b) En déduire que I = 2 ^{3 2} 7

2 2 log

3α α α 3 α α

− + + − − .

c) Donner la valeur de A en fonction de α ^.

EXERCICE 1 (Correction)

1) On considère dans l’équation (E):2 ²z + +(7 i 3)z−4(1−i 3)=0 a) Soit z0= α une solution réelle de (E) donc

( )

2 ² (7 i 3) 4(1 i 3) 0 2 ² 7 i 3 4 4i 3 0

2 ² 7 4 0 2 ² 7 4 0

2 ² 7 4 i 3 4 3 0

3 4 3 0 4

α + + α − − = ⇔ α + α + α − + = ⇔ α + α − =

  α + α − =

α + α − + α + = ⇔ ⇔

α = − α + =

 



La première équation est vérifiée pour α = −4 d'où z₀ = −4 b) Donner alors l’autre solution de (E).

0

c 4(1 i 3) 1 3

z z 4 z z i

a 2 2 2

− −

′ ′ ′

× = ⇔ − × = ⇔ = −

2) a)

2

3 1 3 1 3 1 1 3

i 2 i i

2 2 4 4 2 2 2 2

 

− = − − × = −

 

 

 

b) Résoudre dans l’équation (E’): 2z⁴+ +(7 i 3) ²z −4(1−i 3)=0

2

2

2 2

On pose X z² ,l'équation (E) devient 2X² (7 i 3)X 4(1 i 3) 0

1 3 3 1

et d'aprés 1) on a : X 4 ou X i i

2 2 2 2

3 1

z 4 ou z i z 2i ou z 2i

2 2

3 1 3 1

ou z i ou z i

2 2 2 2

3 1 3 1

S 2i , 2i , i , i

2 2 2 2

= + + − − =

 

= − = − = −  ⇔

 

 

= − = −  ⇔ = = −

 

= − = − +

= − − − + 

 

 

 

3) le point B d’affixe _B 3 1

z i

2 2

= −

( )

ⁱ⁶

B B

cos 3

3 1 2

a) z i 1 et 2 d'où z e

2 2 1 6

sin 2

−π

θ =  π

= − = ⇒θ ≡ − π =

θ = − 



b) Placer les points I et B .

B I

OB z 1 et OI z 1 OB OI 1 et les points O , I et B

ne sont pas alignés donc le triangle OIB est isoséle de sommet principal O.

= = = = ⇒ = =

EXERCICE 2 (Correction)

A(6,0,0) ; B(0,6,0) ; C(0,0,6) et D(-2,-2,-2).

1

6 6

6 6

1) a) AB 6 , AC 0 et d 36 0

6 0

0 6

donc AB et AC ne sont pas colinéaires.

− −

   

− −

    = = ≠

   

   

   

uuur uuur

uuur uuur

et par suite les points A, B et C déterminent un plan P .

6 0 0 6 0 A P

0 6 0 6 0 B P

0 0 6 6 0 C P

− + + − = ⇒ ∈ + + − = ⇒ ∈ + + − = ⇒ ∈

donc (ABC) = P : x + y + z - 6= 0.

b) Vérifions que la droite (OD) est perpendiculaire au plan P.

p

p p

1

Soit N 1 un vecteur normal à P.

1 2

on a :OD 2 = 2N donc les vecteurs OD et N sont colinéaires 2

et par suite la droite (OD) est est perpendiculaire au plan P.

  

  

 

−

 

−  −

 

− 

  uuur

uuur uuur uuur uuur

c) Un système d’équations paramétriques de la droite (OD) est :

x 2

y 2 avec

z 2

= − α



= − α α∈

 = − α



d) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan P.

( ) ( )

x 2 x 2 y 2 y 2 H x, y, z OD P

z 2 z 2

x y z 6 0 2 2 2 6 0

x 2 y 2 z 2

= − α = − α

 

 = − α  = − α

 

∈ ∩ ⇔ ⇔

= − α = − α

 

 + + − = − α − α − α − =

 

= − α

= − α

⇔ = − α

( )

x 2 y 2

d 'où H 2, 2, 2 z 2

1 1

=

 

  =

 

 ⇔

  =

α = − α = −

 

4 2

AH 2 et AH 16 4 4 24 ; BH 4 et BH 4 16 4 24

2 2

2

CH 2 et CH 4 4 16 24

4

   

  = + + = −  = + + =

   

   

   

   = + + =

  

 

uuur uuur

uuur

AH = BH = CH = 24 donc H est équidistant de A, B et C.

(OD) P et H (OD)

e) (OD) est l'axe du cercle circonscrit au triangle ABC AH = BH = CH

⊥ ∈

 ⇒



2) a) Q est le plan médiateur du segment [CD]

( ) [ ]

2

CD 2 Q d'où Q: 2x 2y z d 0 8

Le point J -1,-1,2 mileu de CD appartient à Q

2 ( 1) 2 ( 1) 2 d 0 d 12

d'où Q: 2x 2y z 12 0 Q : x + y + 4z 6 = 0.

−

 

 

⇒ − ⊥ − − − + =

− 

 

⇒

− × − − × − − + = ⇔ =

− − − + = ⇔ −

uuur

b) Montrer que (OD) coupe Q en un point Ω dont on déterminera les coordonnées.

( )

x x y y x, y, z (OD) Q

z z x + y + 4z 6 = 0 + + 4 6 = 0

= α = α

 

 = α  = α

 

Ω ∈ ∩ ⇒ ⇔

= α = α

 − α α α −



x 1 y 1 z 1 1

=

 =

⇔

  =

 α =

 

{ }

d 'oùΩ(1 , 1 , 1) et (OD)∩ = ΩQ (1 , 1 , 1)

3) Soit S la sphère de centre Ω et de rayon 3 3.

a) Une équation cartésienne de S est : (x 1)− ²+ −(y 1)²+ −(z 1)² =27 b) On Vérifie que S passe par A, B, C et D.

c) l’intersection de S et P est le cercle circonscrit au triangle ABC.

PROBLEME: (10 points)

I) - On considère la fonction g définie sur ]0,+ ∞[ par: g(x) = x( x -1) + Log x.

] [

] [

2

2

1 2x x 1

1) x 0,+ on a : g (x) 2x 1

x x

g (x) 0 2x x 1 0 , =1 8 7

donc x 0,+ on a : g (x) 0. la fonction g est strictement croissante sur ]0,+ [

′ − +

∀ ∈ ∞ = − + =

′ = ⇒ − + = ∆ − = −

∀ ∈ ∞ ′ > ∞

2) g(1) = 0 .

Si x 1 g(x) g(1) g(x) 0.

Si x 1 g(x) g(1) g(x) 0

≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤

≥ ⇒ ≥ ⇔ ≥

II) - Soit f la fonction définie sur ] 0,+ ∞ [ par: f(x) = (x - 1 )² + (Log x)²

( )

( )

x 0 x 0

x x

a) lim f (x) lim (x - 1 )² + (Log x)² lim f (x) lim (x - 1 )² + (Log x)²

+ +

→ →

→+∞ →+∞

• = = +∞

• = = +∞

b) La fonction h₁ : x a x( x -1) est dérivable sur et par suite sur ]0,+ ∞ [ La fonction h2 : x a(Log x)² est dérivable sur ]0,+ ∞ [.

Donc La fonction f = h1 + h2 est dérivable sur ]0,+ ∞ [.

] [ ( ) ( )

^{1 1 2 x x 1}

( )

^{Logx 2g(x)}

x 0,+ on a : f (x) 2 x 1 2Logx

x 2 x x

− +

 

 

∀ ∈ ∞ ′ = − + × = =

c)

x f '(x)

f(x)

∞

+ 0

−

¹⁰

₊

0

∞

+

∞

+

2) h est continue et strictement décroissante sur ] 0, 1] donc h réalise une bijection de] 0, 1] sur [0,+ ∞ [ 3) Soit u la fonction définie sur] 0, 1] par u(x) = h(x) - x.

a) x∀ ∈] 0, 1] on a : u (x)′ =h (x) 1′ − =f (x) 1 0 car x′ − < ∀ ∈] 0, 1] on a : f (x)′ ≤0 tableau de variation de u sur] 0, 1 ].

x u'(x)

u(x)

∞

+

- 0

-1

−

1

b) u est continue et strictement décroissante sur ] 0, 1] donc u réalise une bijection de] 0, 1] sur [-1,+ ∞ [ et comme 0∈[-1,+ ∞ [ donc 0 admet un antécédent unique α∈] 0, 1] tel que u(α) = 0 donc il existe un seul réel α de ] 0, 1] tel que h(α ^{) =} α ^.

De plus ^{u 1 1}

(

^Log2

)

^{2 0 et u(1) 1}

2 4

 = − + > = −

   donc 1

2< <α 1 4) a)

x x x x

f (x) x( x 1) + Log x Log x

lim f (x) et lim lim lim ( x 1) +

x x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= +∞ = − = − = +∞

donc (C) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction celle de (0, j r

).

b)

III On désigne par A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) l’axe des abscisses et les droites d’équations x = α et x = 1.

[ ]

1

1 1

2 1

u(x) x u (x) 1

1) I xf (x)dx on pose :

v (x) f (x) v(x) f (x) I xf (x) f (x)dx f (1) f ( )

or f (1) 0 et f ( ) h( )

d 'où I avec f (x)dx

= ′ =

 

= ′  ′ = ′ ⇒ =

= − = − −

= = =

= − − =

∫

∫

∫

α

α α

α

α α

α α α

α

A

A A

2) a) ^{1 1} xg(x) ¹

I xf (x)dx 2 dx 2 g(x)dx

α ′ α x α

=

∫

=

∫

=

∫

[ ]

( ) ^{[ ]}

1 1 1 1

1

1 2 1 3 2 1

3 2

3 2 3 2

b) J g(x)dx x(x 1) Logx dx x(x 1)dx Logxdx

1 1

x x dx Logxdx x x xLogx x

3 2

1 1 1 1

Log1 1 Log

3 2 3 2

1 1 7 2 7

Log doù I 2J 2 2 Log

3 2 6 3 3

α α α α

α α α

α

= = − + = − +

 

= − + = −  + −

= − − α + α + − − α α + α

= − α + α − + α − α α = = − α + α − + α − α α

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2 2

2 3

c) On a : I I

2 7

2 2 2 Log u.a

3 3

= −α − ⇔ = −α − ⇔

 

= − α + α + − α + α α

 

A A

A