Bac France 2010 STL Chimie

Exercice 1( 4 points )

1. Résoudre l’équation différentielle ( )E : " 25y + y=0 , où y est une fonction de la variable réelle t , Définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R des nombres réels .

2. Déterminer la fonction f , solution de l’équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions suivantes : ^f

( )

^{π = − 3et f '}

( )

^{π =5.}

3. Vérifier que , pour tout nombre réel t , ( ) 2 cos 5 f t ₌ ^ t₊π6^

 

 . 4. a. Résoudre dans R l’équation 2 cosx=1

b. En déduire les solutions dans R de l’équation ( ) 1f t = .

Exercice 2( 5 points )

Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d’une solution liquide contenant un produit P et dosée de la manière suivante :

•5 flacons sont remplis d’une solution dosée à 10%du produit P ;

•30 flacons sont remplis d’une solution dosée à 20%du produit P ;

•40 flacons sont remplis d’une solution dosée à 30%du produit P ;

•20 flacons sont remplis d’une solution dosée à 40%du produit P ;

•5 flacons sont remplis d’une solution dosée à 50%du produit P.

On tire au hasard un flacon du conteneur . On admet que tout les flacons ont la même probabilité d’être tirés.

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage d’un flacon , associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon . Ainsi , si on tire l’un des cinq flacons dont le contenu est dosée à 10%, X prend la valeur 10.

1. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 2. Calculer l’espérance mathématique ^{E X}

( )

de la variable aléatoire X .

3. Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu de 100 flacons dans un même récipient.

4. Dans cette question , toute trace de recherche , même incomplète , ou d’intiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation .

Le produit P étant toujours dosé soit à10%, soit à 20%, soit à 30%, soit à40%, soit à 50%, on souhaite Obtenir ^{E X}

( )

^{=29, 2} en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons .

Proposer une manière de parvenir à ce résultat . Problème 11points

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : 3 ^{2 2}

( ) ln 1

f x = 2x −x x+ . 1. Déterminer la limite de la fonction f en 0 ( on rappelle que la limite de xlnxlorsque x tend vers 0 est 0).

2.Vérifier que, pour tout nombre réel xappartenant à l’intervalle ]0;+∞[, ² 3

( ) ln 1

f x x 2 x

=  − +

  .

En déduire la limite de la fonction f en +∞.

3. On désigne par f la dérivée de la fonction f . '

a. Calculer f '( )x .Vérifier que, pour tout nombre réel xappartenant à l’intervalle ]0;+∞[, ^{f x'( )=2x}

(

^{1 ln− x}

)

^.

b. Etudier le signe de f '( )x suivant les valeurs de x.

4. Donner le tableau de variation de la fonction f . Indiquer les limites en 0 et en +∞, ainsi que la valeur de L’extremum de la fonction f .

5. Montrer que l’équation ( )f x =0 admet une solution αunique dans l’intervalle ]0;+∞[. Donner un encadrement de α d’amplitude 10⁻¹.

6. On note V la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé

(

^{O i j; ,}

)

unité graphique 2 cm.

Tracer la courbe V ( faire figurer sur le tracé le point A de la courbe d’abscisse α).

7. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par 11 ³ 1 ³

( ) ln

8 3

g x = x − x x+x. Vérifier que la fonction g est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0;+∞[ .

8. On considère le domaine D limité par la courbeV ,l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=2^et x=4 ^.

Calculer l’aire A du domaine D . Donner une valeur exacte , puis une valeur approchée de A au centième.

Corrigé Bac STL-CHIMIE France Métropolitaine 2010 Exercice 1 (4 points)

1. " 25y + y=0 est de la forme : y"+ω²y=0 avec ω² =25^{, donc} ω=⁵et l’ensemble des solutions a pour expression : ^{y= Acos}

( )

^{ωx +Bsin}

( )

^{ωx =Acos 5}

( )

^{x +Bsin 5}

( )

^{x .}

2.on a : ^{f x( )=Acos 5}

( )

^{x +Bsin 5}

( )

^{x et f x'( )= −5 sin 5A}

( )

^{x +5 cos 5B}

( )

^{x .}

^{f( )π =Acos 5}

( )

^{π +Bsin 5}

( )

^{π = − = −A 3, donc A= 3}

^{f '( )π = −5 sin 5A}

( )

^{π +5 cos 5B}

( )

^{π = −5B=5, donc B= −1.}

La solution f de l’équation différentielle , qui vérifie les conditions : ( )f π = 3 et f '( )π =5 est donnée par : ^{f x( )= 3 cos 5}

( )

^{x −sin 5}

( )

^{x .}

3.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 1

2 cos 5 2 cos 5 cos sin 5 sin 2 cos 5 sin 5

6 6 6 2 2

3 cos 5 sin 5 ( )

t t t t t

t t f t

π ^ π π ^{  }

 + =  −   =  − 

      

        

= − =

.

4.

1 3 2

2 cos 1 cos cos cos

2 3

3 2

x k

x x x

x k

π π π

π π

 = +

  

= ⇔ = ⇔ =  ⇔

   = − +

où k est un entier relatif.

b.

5 2 5 2 2

1 6 3 6 30 5

( ) 1 2 cos 5 1 cos 5

2

6 6 2

5 2 5 2

6 3 2 10 5

t k t k t k

f t t t

t k t k t k

π π π π π π π

π π

π π π π π π π

 + = +  = +  = +

  

  

   

= ⇒  + = ⇒  + = ⇔ ⇒ ⇒

     + = − +  = − +  = − +

où k est un entier relatif Exercice 2 (5 points)

Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d'une solution liquide contenant un produit P.

1) On tire au hasard un flacon du conteneur. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon.

5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 10% du produit P :

(

¹⁰

)

^{5 0, 05}

p X = =100= 30 flacons sont remplis d'une solution dosée à 20% du produit :

(

²⁰

)

^{30 0, 3}

p X = =100= 40 flacons sont remplis d'une solution dosée à 30% du produit P :

(

³⁰

)

^{40 0, 4}

p X = =100= 20 flacons sont remplis d'une solution dosée à 40% du produit P :

(

⁴⁰

)

^{20 0, 2}

p X = =100 = 5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 50% du produit P :

(

²⁰

)

^{5 0, 05}

p X = =100 = .

D’où la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

X =xi 10 20 30 40 50

(

i

)

p X =x 0,05 0,3 0,4 0,2 0,05 2) Espérance mathématique de X :

E X

( )

= ×10 0, 05 20 0,3 30 0, 4 40 0, 2 50 0, 05+ × + × + × + × =29

3) Le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100 flacons dans un même récipient serait donc un dosage moyen, soit puisque ^{E X}

( )

⁼²⁹, un dosage moyen de 29%

4)Le produit P étant toujours dosé soit à 10%, soit à 20%, soit à 30%, soit à 40%, soit à 50%, on souhaite

obtenir ^{E X}

( )

^{=29, 2}en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons.

Il faut donc une espérance supérieure à la précédente de 20

100=0, 2. Voici une composition possible :

Nombre de flacons

5 30 39 20 6

X =xi 10 20 30 40 50

(

i

)

p X =x 0,05 0,3 0,39 0,2 0,06

E X

( )

= ×10 0, 05 20 0,3 30 0, 39 40 0, 2 50 0, 06+ × + × + × + × =29, 2

Ainsi en modifiant le dosage de la solution contenue dans un flacons à 30 % et en transformant ce flacon en un flacon à 50 %, on obtient ^{E X}

( )

^{=29, 2.}

Problème

1. 3 ^{2 2}

( ) ln 1

f x = 2x −x x+ . _x^{lim ( )}_→0^{f x =}_x^lim_→0^_³₂^{x2−x2lnx+1}_⁼³_2x^lim_→0

( ) (

^{x2 −}_x^lim_→0 ^x2lnx

)

^+1.

^lim_x→0

( )

^{x2 =0 ;} _x^lim_→0

(

^x2lnx

)

⁼_x^lim_→0

^{( )}

^{x ×}_x^lim_→0

⁽

^xlnx

⁾

^{=0, donclim}_x→0^{f x( )=1}. ( somme des limites ) 2. _x^lim_→+∞ ^{f x( )=}_x^lim_→+∞^_³₂^{x2−x2lnx+1}_⁼_x^lim_→+∞^_^x2_³₂^−lnx_^{+ =1}_{ x}^lim_→+∞

( )

^{x2 ×}_x^lim_→+∞^_³₂^−lnx_^+1.

_x^lim_→+∞

( )

^{x2 = +∞ ;} _x^lim_→+∞^_³₂^−lnx_^{= −3}_{2 x}^lim_→+∞

^{( )}

^{lnx = −∞} , donc lim ( )

x

→+∞ f x = −∞ ( produit des limites) 3. On désigne par f la dérivée de la fonction f . '

a. ^{f x'( ) 3x 2 lnx x x2 1 3x 2 lnx x x 2x 2 lnx x 2x}

(

^{1 lnx}

)

= − − × =x − − = − = − ^.

b. Etudier le signe de f '( )x suivant les valeurs de x.

( )

'( ) 0 2 1 ln 2 0 1 ln 0 0 1 ln 0

f x = ⇔ x − x ⇔ x= ou − x= ⇔ =x ou = x⇔ =x ou x=e

( )

'( ) 0 2 1 ln 0 2 0 1 ln 0 0 1 ln 0

f x ≥ ⇔ x − x ≥ ⇔ x≥ et − x≥ ⇔ ≥x et ≥ x⇔ ≥x ou x≤e x 0 e +∞

2x + + 1 ln x− + 0 −

'( )

f x + 0 − ( )

f x 1 ² 2e +1

1 −∞

5. Montrer que l’équation ( )f x =0 admet une solution αunique dans l’intervalle ]0;+∞[. Donner un encadrement de α d’amplitude 10⁻¹.

La fonction f est continue dérivable sur l’intervalle [ ;e +∞[ et elle strictement décroissante sur l’intervalle [4;5 ]⊂[ ;e +∞[, or (4)f ≈2,8>0 et 75

(5) 25 ln(5) 1 1, 736 0

f = 2 − + ≈ − < ,donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation ( )f x =0 admet une solution αunique dans l’intervalle [4;5 ] ]0;⊂ +∞[

(4, 6)f ≈0, 44865>0 et (4, 7)f ≈ −0, 0507<0 .Donc on a : 4, 6≤ ≤α 4, 7. 6.

2 2 2

3 1

( ) ln 1 1

2 2

f e = e −e e+ = e +

e

αααα

2 3 4 5 6

2 3 4

-1

0 1

1

x y

7. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par 11 ³ 1 ³

( ) ln

18 3

g x = x − x x+x. Vérifier que la fonction g est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0;+∞[

33 ^{2 2} 1 ³ 1 11 ^{2 2} 1 ² 9 ^{2 2} 3 ^{2 2}

'( ) ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ( )

18 3 6 3 6 2

g x x x x x x x x x x x x x x x f x

= − − × + =x − − + = − + = − + =

Donc la fonction g est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0;+∞[.

8. On considère le domaine D limité par la courbeV ,l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=2^et x=4 ^.

Calculer l’aire A du domaine D . Donner une valeur exacte , puis une valeur approchée de A au centième.

^A=_

∫

₂^{4 f x dx( ) }_^{×u a. =}

[

^{g x( )}

]

⁴₂^{×u a. = ×4}

[

^g(4)−g(2)

]

11 ³ 1 ³ 352 128 ln 2 352 384 ln 2 36 388 384 ln 2

(4) 4 4 ln 4 4 4

18 3 9 3 9 9

g = − + = − × + = − × + = − ×

11 ³ 1 ³ 44 8 ln 2 44 24 ln 2 18 62 24 ln 2

(2) 2 2 ln 2 4 2

18 3 9 3 9 9

g = − + = − × + = − × + = − ×

⁴

[

^{(4) (2)}

]

^{4 326 40 ln 2 ² 34 ²}

A= × g −g = × 9 − cm ≈ cm

 