corps en fonction du temps

Introduction

La mécanique est l’étude des mouvements et des déformations que subissent les corps

sous l'effet de diverses forces.

On distingue plusieurs parties dans cette

étude:

 la cinématique

 la statique ou l’étude des équilibres des systèmes,

 la dynamique.

I- 1. Définition:

C’est la partie de la mécanique qui étudie le mouvement des

corps en fonction du temps

indépendamment des causes qui

leurs donnent naissance ou qui

les modifient.

Le mouvement s’effectue le long d’une trajectoire, la trajectoire se trouve sur une courbe (droite, arc, …)

Mouvement: modification de la position d’un corps pendant un intervalle de temps. On attribue à la position du corps une ou plusieurs valeurs numériques (coordonnées) qui situent le corps en fonction du temps dans un référentiel.

Trajectoire: l’ensemble des positions successives du corps dans l’espace.

Notion de référentiel

L’ensemble repère - horloge constitue un référentiel.

La description du mouvement d’un point matériel exige de connaître sa position dans l’espace à tout instant. Pour cela, nous devons définir :

Un repère d’espace

Une horloge

A- Rappels du mouvement unidimensionnel (mouvement rectiligne)

Le mouvement d’un objet M est dit rectiligne si sa trajectoire est une droite.

On pourra alors repérer cet objet M, au cours du temps, par son abscisse par rapport à une origine O d’un axe OX.

M X

.

O

.

 i r OM ^ = x

= ^

 i



Rappels 1-Vecteur constant

un vecteur est dit constant si sa direction

"support", son sens " orientation" et son module " distance " sont tous constants

r

2- Déplacement

à t

, l’objet M se trouve en M

, à t

, l’objet M se trouve en M

.

Durant l’intervalle de temps [t

,t

], l’objet M s’est déplacé de M

vers M

. On a:



→ 1

1

= x i et

OM OM

= x

i

i x

i x

= OM

OM

1

→ 2

1

2

- -

→

→ 1

2 1

2

- OM = ( x - x ) i = x i

OM 

M

X

.

O

.

M



i

→

2

1

M = x i

M



Remarque:

Ici le vecteur est constant.

Le vecteur vitesse moyenne est donné par:

→ i

M

i

M

moy

t

x t =

=

V

 



 

 

i r

OM = x

= ^

Soit M de coordonnée x sur l’axe OX de base i Le vecteur position est donné par:

i dt dx i

t )]

x (

lim

V

) i t x lim

V

lim

V

t 0

r r

r

 =

 



  

=



 



  

=

=

 

[

(

 

t  0





t  0





OM (

dt

) i (x dt

d

V = = )



d

OM

d dt

=



Quant au vecteur vitesse instantanée V, il est donné par:

Caractéristique du vecteur vitesse V

V = OM dt

d

 Point d’application est: M

 Direction est: La tangente à la trajectoire

 Sens est: est celui du déplacement de M

 Module est: V >0

Durant l’intervalle de temps [t₁,t₂], la vitesse de l’objet M passe de V₁ à V₂. On a:

) a

//

( V

t V

= t

V V

= a

moy 2

1 2

moy





 t

-

-

=

a

t V



Accélération moyenne:



Accélération instantanée:

2 →

→

→ x 2

dt d OM

= dt )

d OM dt (

= d dt

d V

= a i

= r

x x

t 0 i

dt dV

= t i

lim

= a

→

r r r







• Si un mouvement rectiligne se fait à vitesse constante, on dira qu’il est rectiligne et uniforme.

• Si un mouvement rectiligne se fait à accélération constante, on dira qu’il est rectiligne et uniformément

varié.

B-Mouvement bidimensionnel

(dans le plan)

Vecteurs à 2 Dimensions

Dans le plan, il existe plusieurs façons de repérer un point.

Axe des x

Axe des y

y

O



j

i

r

M 

Axe des x

Axe des y Coordonnées cartésiennes (x,y)

vecteurs unitaires le long des axes positives ox et oy

x y

O



j



i



=



j 0 i

ordonnée

y : et

abscisse :

x

M 

y

x :

OM =

r =

i +

j

Ortho:

r

(x,y) s'appelle coordonnées cartésiennes du point M dans le repère orthonormé

( i r r j )

, ,

o

normé:

1 j

j i

i

=

=



×

x

y ^

M

O



r

Coordonnées polaires (r,q)

Son module est constant mais pas sa direction et son sens donc ce n’est pas un vecteur constant

donc . unitaire,

= 1



r

r

est un vecteur e

e

e 

e

tg θ x

y =

sin θ

r

y = r cos θ x =

Axe des x

Axe des y



j

i

position vecteur

OM

) OM ,

i θ = (

q

= θ (t)

 θ



Coordonnées cartésiennes

OM = r ^ = r e ^ r



 = +

= r r x y

r ^{2 2} = r>0

 

  



 

= ^r _r

e

  

+ i

y x

x ^

 



2 +

=

+ y x ^{2 2}

Comment passer des coordonnées cartésiennes(x;y) aux coordonnées polaires (r; q ) ?

+

= OM = x y

r

= r cos q x

= r

sin q y On en déduit q

x = r cos q

Comment passer des coordonnées polaires (r; q) aux coordonnées cartésiennes (x ; y) ?

On en déduit r

On en déduit x

On en déduit y

y = r sin q

- Vecteur Vitesse:

- Vecteur position:

V_x et V_y sont les composantes du vecteur vitesse. Avec:

x et y sont les composantes du vecteur position.





+

OM = x i y j

 ^

+

V = x i y j = V

i+V

j

V_x = (x) dt x =  d

V_y =

(y) dt y =

d

et

OM (

dt d

=

) OM

d dt ) =

i + (x dt

V= d

j

y

a_x et a_y sont les composantes du vecteur accélération.

Avec:

- Vecteur accélération:

a dV

j dt

dV +

i dt

=

2 2

dt

= d

dt ) ( d

dt d dt =

V

= d

→

→ →

OM

y

OM

x

i + a j

= a r r





+

a = x

i

y j = V

i+ V

j

V_x = (x) dt²

a_x= x =  d²

V_y =

(y) dt

y =

d

  et  

 les mouvements suivant X et Y sont indépendants. Ils peuvent être traités comme 2 problèmes séparés.

Le problème du mouvement plan se ramène à 2 problèmes de mouvements rectilignes

simultanés.

Caractéristiques du

mouvement bidimensionnel

• Pour connaitre la trajectoire (y en fonction de x)

1.résoudre x(t) et y(t) appelées équations horaires.

2.Substituer une équation. Pour avoir t en fonction de x

3.Insérer t(x) dans y(t) pour avoir y(x)

qu’on appele équation cartésienne du

mouvemnt.

C-Mouvement tridimensionnel

(dans l’espace)

x O

y i j

k

m



M



 

 z

y x

x, y et z sont les composantes du vecteur position dans l’espace

= + y j

r

x i

r

k

+ z r

= avec Om → z

Om → OM →

k z j

y i

x OM

r r

r + +

 =

Système de coordonnées cartésiennes

z

x

y

- Vecteur position:

V_x ; V_y et V_zsont les composantes du vecteur vitesse.

x, y et z sont les composantes du vecteur position dans le repère (o, i, j,k)

- Vecteur Vitesse:

V_x , V_y et V_z sont les composantes du vecteur vitesse. Avec:

V_x = (x) dt

x =  d _V

y =

(y) dt y =

d

; V_z =

(z)

dt z =

d

et

 ^

+

V = x i y j +z k = V

i+V

j + +V

k

 

OM (

dt d

=

) OM

d dt ) =

i + (x dt

V= d

j



y

+

z k









= + +

= x i y j z k M r

O



a_x , a_y et a_z sont les composantes du vecteur accélération.

- Vecteur accélération:

dt ) d

dt d



= OM

dt ( a d



= V r

dt 2

d ²



= OM

+

+

= k

dt d V j

dt dV i

dt d V

a

r

r r

+

+

= a

i a

j a

k

a r r r

a_x ; a_y et a_z sont les composantes du vecteur accélération. Avec:

- Vecteur accélération:





+

a = x

i y

= V

i+V

j

j + z

k

+ V

k

V_x = (x) dt²

a_x= x =  d²

V_y =

(y) dt

y =

d

  ;  

V_z =

(z) dt

z =

d

;

a = a

i r + a

j r

z

k + a r

dV j

dt dV +

i dt

=

2 2

dt

= d dt )

( d dt d dt =

V

= d

→ →

→

OM OM

k dt

dV

+

Exemples de mouvements

(voir TD 1)

 Mouvement curviligne : la trajectoire se trouve sur une courbe. La norme du vecteur vitesse et sa direction changent au cours du temps.

 Mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire se trouve sur une droite, la vitesse est constante en direction et en norme. Le vecteur vitesse V est constant, en direction et en norme.

On distingue :

 Mouvement rectiligne uniformément accéléré : la trajectoire se

trouve sur une droite, la direction du déplacement est constante, mais la norme de la vitesse varie au cours du temps (augment ou diminue). L’accélération (ou la décélération) est constante. Le vecteur vitesse V est constant en direction, mais sa norme varie.

 Mouvement rectiligne varié : l’accélération n’est pas constante

dans le temps.

 Mouvement circulaire uniforme : la trajectoire se trouve sur un cercle ou un arc de courbe. La norme du vecteur vitesse V est constante, mais sa direction change.

Déplacement angulaire : dq

Vitesse(m/s) =

S = R q (où S et R sont mesurés en mètre et q en radian)

S= MM’ est appelé abscisse curviligne

R q S

1- Mouvement circulaire,

dS

dt = d(Rq)

dt = dq

R dt = Rq

Vitesse angulaire w = dq/dt (en radians/seconde)

M M’

)

Le centre de gravité de la planète décrit une ellipse d’équation

paramétrique:

x = a cos t, y = b sin t.

les centres P des planètes décrivent des orbites

elliptiques ayant le centre S du Soleil pour foyer.

2- Mouvement elliptique

Soleil

Planète

O A

B F

OB= a: demi-grand axe OA= b: demi-petit axe OF= c: Foyer

Tous les corps célestes qui composent le système solaire gravitent autour du soleil suivant des orbites elliptiques.

3- Mouvement hélicoïdal

Cette animation représente le mouvement hélicoïdal d'un point matériel P.

Les équations paramétriques (en fontion du temps) de l'hélice sont données par :

x = R.cos (ω.t) y = R.sin (ω.t) z = a.t

Si le pas a de l'hélice est nul, on retrouve un mouvement circulaire uniforme

a

C'est la trajectoire dessinée par un point d'une roue par rapport au sol :

4- Mouvement cycloïde.