Note sur la sommation de certaines séries

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. C ATALAN

Note sur la sommation de certaines séries

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 15 (1856), p. 293-295

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NOTE SIR LA SOMMATION DE CERTAINES SÉRIES;

PAR E. CATALAN

Soit F (n) une fonction entière de n égale au produit de quelques-uns des p fadeurs //, n -f-1. n -f- i, n -f- 3 , . . . , [n ~\- p — i). Soit f (n) une autre fonction entière de/7, première par rapport à F (/?), et dont le degré soit de Jeux unités au moins inférieur au degré de F (/7) (*).

Cne remarque fort simple, et qui à raisoü même desa simplicité n'avait peut-être pas été faite, permet de som- mer très-aisèment la série dont le terme général est

Pour le faire voir, pienons un cas particuliei, et, par exemple,

n- — 3 /* -4- 7

mn la^fene ne

(3)

Au lieu de décomposer, par la méthode connue, u^tt en fractions ayant pour dénominateur les facteurs rc, n -f- i, n -4- 3 , » - f 4 , posons

« ^ 3 / ? + ^ ___ A • B

« ( n + i ) ( « + 3 ) (/i 4- 4) " «(« + 0 l72 -H 0 ( * •+" ?')

C D

A, B, C, D étant des constantes.

Pour les déterminer, chassons les dénominateurs et faisons, successivement,

n — o , n — — i , n — — 2 , // = — 3 .

Nous trouverons

14 = ?4 A,

11 = 6 A — ( > B ,

o=r— 4B-+-4C, a5=-6C — 6D;

(3) A = ^ , B = - Soit actuellement

S«=i

c'est-à-dire

35

12

i) (n ^ 2")

G

2d (T^ T )

^{+ D}

2 (^ ₄₎

(*) Sans qu'il soif nécessaire d'insister sur ce poiat, on voit bien, d'a- près la manière dont les inconnues A, B, C, D s'enchaînent dans les équations (1). que, dans tous les cas, lu décomposition essayée sera possible,

>'t possible d'une seule manièu

(4)

OU

1

\ Sn k2dxn [n + i) "*" B A n (n + T) '

Mais (et c'est là la remarque à laquelle nous faisions allusion en commençant)

\ n / / - h l

donc

-f-

4 « + ou

(4) S,, = A -h - B 4- -'- C -4- 7 D — (A + B + C + D ) ^ " " ' 7 ' Par suite,

(5) limSn = A -h^B-t-ic-HjD.

En remplaçant les coefficients parleurs valeurs, on trouve S - T 3

lim S,, = 7-Q-

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