NOTIONS DE THERMODYNAMIQUE - exercices
A. EXERCICES DE BASE I. Baromètre de Huygens
• Le baromètre de Huygens comprend une cuve à mercure A : soit S la surface libre (annulaire) du mercure dans A.
• Le tube barométrique comporte un renflement B de section s1 surmon- té d’un tube C de section s2 < s1. Le mercure monte jusqu’au niveau N1, environ au milieu de B ; il est surmonté par de la glycérine dont la surface libre est au niveau N2. L’espace au dessus de N2 est pratiquement vide (la pression de vapeur de la glycérine est négligeable).
• Calculer la variation du niveau N2 pour une variation Δp de la pression atmosphérique ; en déduire le gain en précision par rapport au baromètre ordinaire.
données: S = 50 cm2 ; s1 = 5 cm2 ; s2 = 0,2 cm2 ;
masses volumiques : mercure : ρ = 13,6 kg.L-1 ; glycérine : µ = 1,05 kg.L-1.
II. Pression dans un liquide et gaz parfait
• Un tube cylindrique retourné sur une cuve à mercure contient dans sa partie supérieure un gaz parfait. La hauteur de gaz dans le tube est 10 cm ; la hauteur de mercure dans le tube, au dessus du niveau dans la cuve, est 60 cm. La masse volumique du mercure est : ρ = 13,6 kg.L-1.
• On enfonce alors le tube de 20 cm, à température constante (on attend au besoin qu’elle se rééqui- libre avec l’extérieur), et on constate que la hauteur de mercure dans le tube, au dessus du niveau dans la cuve, n’est plus que 45 cm. En déduire la pression atmosphérique.
III. Pression dans un liquide et gaz parfait
• Un cylindre vertical fermé aux deux extrémités est séparé en deux compartiments égaux par un piston homogène, cylindrique et sans frottement, dont la hauteur est 5,0 cm et dont la masse volumique est µ = 2,7 g.cm-3. Les deux compartiments, de 50 cm de hauteur, contiennent un gaz parfait à 0 °C.
• La pression dans le compartiment inférieur correspond à une dénivellation de 100 mm dans un baromètre à mercure (la masse volumique du mercure est ρ = 13,6 kg.L-1 et le coefficient de la pesanteur est g = 9,81 m.s-2).
• On chauffe alors l’ensemble à 100 °C. En négligeant la dilatation du cylindre et du piston, calculer la nouvelle position du piston.
IV. Pression dans un liquide et gaz parfait
• Un cylindre vertical fermé aux deux extrémités est séparé en deux compartiments égaux par un piston homogène, cylindrique et sans frottement, dont la hauteur est 5,0 cm et dont la masse volumique est µ = 2,7 g.cm-3. Les deux compartiments, de 50 cm de hauteur, contiennent un gaz parfait à 0 °C.
• La pression dans le compartiment inférieur correspond à une dénivellation de 100 mm dans un baromètre à mercure (la masse volumique du mercure est ρ = 13,6 kg.L-1 et le coefficient de la pesanteur est g = 9,81 m.s-2).
• On retourne alors l’ensemble de haut en bas, en maintenant la température constante (ou en la laissant se rééquilibrer avec l’extérieur à 0 °C). Calculer la nouvelle position du piston.
V. Masse de l’atmosphère terrestre
• En considérant que l’air se comporte comme un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol-1 et de température T = 10 °C, calculer la masse de l’atmosphère terrestre.
données : p0 = 101300 Pa ; g = 9,8 m.s-2 ; rayon terrestre : rt = 6370 km.
VI. Pression d’un pneu
• La pression d’un pneu de roue de voiture est ajustée l’hiver à 2 bars pour une température -10 °C.
Sachant que le conducteur ressent les effets néfastes d’un écart relatif de pression de 10 %, et en supposant les fuites et la dilatation du pneu négligeables, sera-t-il nécessaire de corriger cette pression l’été lorsque la température sera 30 °C ?
VII. Calcul d'une fuite
• De l'hélium (gazeux) est enfermé dans un récipient de volume V = 1 L ; la pression initiale est p = 133 Pa. Ce récipient communique par un trou avec un autre récipient identique, initialement vide ; le tout est maintenu à 0 °C. Le trou a une aire s = 1 µm2.
• Au bout de combien de temps la pression dans le second récipient aura-t-elle atteint la valeur p’ =
€
p 10 ?
donnée : M(He) = 4,0 g.mol-1.
VIII. Libre parcours moyen
1.
• On considère un gaz parfait de particules sphériques de rayon r (de l'ordre de grandeur des rayons atomiques). On souhaite calculer le libre parcours moyen entre deux collisions, dans des conditions“usuelles” de température et de pression.
a) Dans un premier temps, on suppose que seule l'une des particules est mobile, comme si toutes les autres avaient été “figées” à un instant donné. Déterminer le “libre parcours moyen” dans ces conditions.
b) Considérer maintenant le cas d'une particule se déplaçant dans le gaz dont toutes les particules sont en mouvement.
2.
a) Justifier qu'il existe des conditions telles que le libre parcours moyen soit nettement plus grand que la taille du récipient.b) Dans de telles conditions, préciser comment interpréter la notion de pression en chaque point.
IX. Pression de vapeur à l'équilibre de changement d'état
• Pour déterminer la pression de vapeur du béryllium, on perce un trou de 8 mm2 dans une enceinte contenant de la vapeur de béryllium en équilibre avec le solide à 1537 K. Il s'échappe une masse de 8,88 mg de Be en 15,1 min. En déduire la pression de vapeur “saturante” pour Be à 1537 K.
☞
indication : de même qu'à pression fixée les changements d'état d'un corps pur se produisent à une température caractéristique de l'équilibre (par exemple : la glace fond à 0 °C pour la pression usuelle), on constate qu'à température fixée les changements d'état se produisent à une pression caractéristique nommée “pression de vapeur saturante” ; l'équilibre considéré ici est l'équilibre de sublimation-condensation.donnée : M(Be) = 9,0 g.mol-1.
X. Température Fahrenheit
1.
• L’échelle de température Fahrenheit se déduit de l’échelle Celsius par une transformation affine.Sachant que : 32 °F = 0 °C et 212 °F = 100 °C, convertir 451 °F (température d’ignition du papier) dans l’échelle Celsius.
2.
• À quelle température les deux échelles donnent-elles la même indication numérique ?XI. Thermocouple
1.
• La f.e.m. du thermocouple plomb-cobalt (dont l’une des soudures est maintenue à 0 °C) est : E = 1,114 mV à 50 °C ; E = 3,902 mV à 150 °C ; E = 7,436 mV à 250 °C.• Montrer que, dans le domaine de 50 °C à 250 °C, cette f.e.m. peut être représentée par une expres- sion de la forme : E(t) = at + bt2, et déterminer les coefficients a et b.
2.
• La représentation est moins bonne si on utilise une expression E1(t) seulement linéaire, étalonnée à 250 °C. À quelle température (entre 50 °C et 250 °C) l’écart sur t est-il maximal ? Quel est cet écart ?XII. Thermistance
1.
• La résistance d’une “thermistance” est :R = 33,8 kΩ à 273 K ; R = 3,16 kΩ à 333 K ; R = 0,994 kΩ à 373 K.
• Montrer que cette résistance peut être représentée par une expression de la forme : R(T) = AeB/T, et déterminer les coefficients A et B.
2.
• On veut utiliser cette thermistance à ≈ 300 K pour mesurer de très petites variations de température.Sachant qu’on peut détecter pour R une variation relative de 10-4,quelle est la plus petite variation de tempé- rature détectable ?
XIII. Développement du viriel
• On considère un gaz décrit par l'équation d'état de Dieterici (en prenant n = 1 mol, c'est à dire en considérant que V est le volume molaire, pour simplifier les calculs) : p = RT
€
e−
a RTV
V−b .
1.
• Exprimer le coefficient de dilatation isobare sous la forme : α =€
1
T f(V, T). En donner un dévelop- pement limité au premier ordre en
€
1 V.
2.
• Montrer que dans la limite des faibles pressions on peut écrire : pV ≈ RT (1 +€
B V +
€
C
V2) et calculer les “coefficients du viriel” B et C.
XIV. Masse volumique de l’eau
1.
• Entre t = 0 °C et t = 40 °C le volume massique de l’eau sous la pression normale peut s’écrire, sous la forme : v = v0 + v1 t + v2 t2 + v3 t3 où t représente la température en °C. Calculer la température à laquelle l’eau présente une masse volumique maximale.données : v0 = 999,87 cm3.kg-1 ; v1 = - 6,426.10-2 cm3.kg-1.°C-1 ; v2 = 8,5045.10-3 cm3.kg-1.°C-2 ; v3 = - 6,79.10-5 cm3.kg-1.°C-3.
2.
• Calculer le coefficient de dilatation (isobare) à 25 °C.XV. Compressibilité du dioxygène
• Dans les conditions “normales” (p = 101325 Pa et T = 273,15 K), le volume molaire du dioxygène est 22,393 L. Avec R = 8,3144 J.K-1.mol-1, calculer le coefficient de compressibilité isotherme dans ces conditions.
B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT XVI. Équilibre d’un barrage
• Un mur de barrage, retenu uniquement par son contact avec le sol, a le profil ci-contre (en coupe), avec une hauteur h = 50 m, une largeur L et une longueur ℓ = 100 m.
• La densité du matériau de construction est d = 2 ; le “coefficient de frottement solide” au sol est λ = 0,5 (valeur maximum du rapport entre le frotte- ment et la réaction normale du sol).
1.
• Déterminer la résultante des forces de pression ; en déduire la largeur L minimum qu’il faut imposer pour que le barrage ne risque pas de glisser sur le sol ?2.
• Déterminer le moment résultant des forces de pression ; en déduire la largeur L minimum qu’il faut imposer pour que le barrage ne risque pas de basculer autour de l’axe passant par A ?XVII. Compressibilité de l’eau de mer
1.
• En supposant l’eau de mer incompressible, et de masse volumique moyenne ρ = 1,03 kg.L-1, quelle est la pression à l’altitude z = -10 km (profondeur) dans une fosse océanique ?2.
• En réalité, la densité de l’eau dépend de T et p. On veut reprendre le calcul précédent en négligeant l’effet de la température (ainsi que les variations de la pesanteur), mais en tenant compte d’un coefficient de compressibilité isotherme moyen χT = 4,5.10-10 Pa-1 (avec ρ0 = 1,03 kg.L-1 à la surface) :a) exprimer χT en fonction de ρ et en déduire l’expression de ρ en ponction de p, ou en fonction de z.
b) en tirer l’expression de p en fonction de z.
XVIII. Force pressante sur une surface conique
• Calculer la résultante des forces pressantes exercées par l’eau sur la surface supérieure d’un cône immergé (avec g uniforme) :
XIX. Expérience de Jean Perrin
• Pour déterminer le nombre d'Avogadro
N
A à partir de la constante des gaz parfaits R (ou inverse- ment), J. Perrin a simulé une "atmosphère" isotherme à l'aide d'une suspension de petits grains sphériques de gomme-gutte, de rayon moyen r = 0,212 µm et de masse volumique ρ = 1,194 g.cm-3, dans de l'eau de masse volumique ρ0 = 1,003 g.cm-3 à T0 = 293 K.1.
• Montrer que la répartition des grains en altitude se fait suivant la loi : dN = A e-z/H dz où A est une constante et où dN est le nombre de grains compris entre z et z+dz dans une colonne verticale de section constante.• Exprimer H en fonction de R,
N
A, r, ρ, ρ0, T0 et g = 9,8 m.s-2.2.
• À un niveau pris comme origine, dans une tranche de petite épaisseur, J. Perrin a compté 100 grains ; à l'altitude h = 90 µm au dessus du niveau précédent, dans une tranche de même épaisseur, il a compté 17 grains (en moyenne sur plusieurs essais).• Déduire de ces mesures une valeur approximative de
N
A.3.
• Afin de montrer l'importance de la petitesse des grains, l'expérience nécessite que r < H pour pou- voir observer la décroissance exponentielle ; calculer numériquement H, et conclure.donnée : R = 8,32 J.K-1.mol-1.
XX. Coefficients thermoélastiques
• Les propriétés caractérisant “l’élasticité” des matériaux peuvent être décrites à l’aide des “coefficients thermoélastiques” :
α =
€
1 V [
€
∂V
∂T]p dilatation à pression constante ; χT = -
€
1 V [
€
∂V
∂p]
T compressibilité isotherme ; β =
€
1 p [
€
∂p
∂T]V augmentation de p à volume constant.
• Le coefficient β est difficile à mesurer (il faut maintenir un volume rigoureusement constant), mais facile à calculer d'après l’existence d'une équation d’état reliant p, V et T. Montrer qu'on peut en déduire (même si l'équation d'état n'est pas connue) : pβ =
€
α χT.
XXI. Coefficients thermoélastiques
• Montrer que les coefficients α et χT vérifient toujours la relation :
€
∂α
∂p
$
%&
' ()
T
= -
€
∂χT
∂T
$
%& ' ()
p
.
