Chap.4

DIFFÉRENTIELLES, LISSITÉ, SÉPARABILITÉ, QUOTIENTS G/H

Version du 8 janvier 2006

13. Différentielles, lissité et séparabilité

13.1. Module des différentielles. — Dans ce paragraphe, k désigne un anneau commutatif arbitraire. Le symbole ⊗ désigne le produit tensoriel surk.

SoitAunek-algèbre commutative et soitI le noyau du morphisme d’algèbres A⊗A→ A. Dans ce qui suit, on considèreA⊗A comme unA-module pour l’action de Asur le facteur de gauche, c.-à-d.,

a·(b⊗c) =ab⊗c= (a⊗1)(b⊗c).

AlorsI est un sous-A-module (puisque c’est un idéal deA⊗A).

Définition 13.1. — On note Ω_A/k = I/I² et d l’application linéaire A → Ω_A qui associe à un élément ala classe dansI/I² de 1⊗a−a⊗1.

Ω_A/k s’appelle le module des différentielles(de Kähler) de A sur k.

Lemme 13.2. — i) I, resp. Ω_A/k, est engendré comme A-module par les élé- ments 1⊗a−a⊗1, resp. par leurs images da.

ii) d:A→Ω_A/k est unek-dérivation.

iii)Si A=k[x₁, . . . , x_n]est unek-algèbre de type fini, alors Ω_A/k =Adx₁+

· · ·+Adx_n est un A-module de type fini.

iv)LeA-moduleΩ_A/k représente le foncteurDer_k(A,−), qui à toutA-module M associeDer_k(A, M); c.-à-d., pour tout M, on a un isomorphisme :

θ_M : Hom_A(Ω_A, M)→^∼ Der_k(A, M), φ7→φ◦d,

et cet isomorphisme est fonctoriel en M, c.-à-d., si ψ : M → M⁰ est un morphisme de A-modules, alors le diagramme

Hom_A(Ω_A/k, M) −−−−→^θM Der_k(A, M)

φ7→ψ◦φ

 y

 y^D7→ψ◦D

Hom_A(Ω_A/k, M⁰) −−−−→^θM0 Der_k(A, M⁰).

Démonstration. — i) Soitx=P

ia_i⊗b_i un élément deI. AlorsP

a_ib_i = 0et donc x=x−P

ia_ib_i⊗1 =P

ia_i(1⊗b_i−b_i⊗1), d’où i).

b) Notonsπ la projectionI →I/I². Il est clair que d estk-linéaire, et pour a, b∈A on a

1⊗ab−ab⊗1 =a(1⊗b−b⊗1) + (1⊗a−a⊗1)(1⊗b).

Comme (1⊗a−a⊗1)(1⊗b−b⊗1)∈I², on obtient que d(ab) =ad(b) +bd(a).

Ceci prouve ii).

iii) SupposonsA=k[x₁, . . . , x_n]. Alors touta∈Aest combinaisonk-linéaire des monômes

x^ν :=x^ν₁¹· · ·x^ν_nⁿ, pour ν∈Nⁿ,

et donc Ω_A/k est engendré comme k-module par les d(x^ν). Or, comme d est une dérivation, on obtient que

(∗) d(x^ν) =

Xn i=1

ν_ix^ν−εid(x_i),

où l’on désigne parε_i len-uplet dont toutes les coordonnées sont nulles, sauf la i-ème qui vaut1. Il résulte alors de(∗)queΩ_A/k est engendré commeA-module par d(x₁), . . . ,d(x_n). Ceci prouve iii).

iv) Soit φ : Ω_A/k → M un morphisme de A-modules. Comme d est une k-dérivation, il en est de même de φ◦d. De plus, comme Ω_A/k est engendré comme A-module par les d(a), pour a ∈ A, alors θ_M est injective. Montrons qu’elle est surjective.

Soit D ∈ Der_k(A, M). On peut étendre D en une application A-linéaire ϕ:A⊗A→ M, définie parϕ(a⊗b) = aD(b). Un calcul facile montre queϕ s’annule sur tout élément (a⊗1−1⊗a)(b⊗1−1⊗b) et donc sur I². Donc ϕinduit un morphisme de A-modules

φ:I/I²→M,

tel que φ(d(a)) = ϕ(1⊗a −a⊗1) = D(a). Ceci prouve que θ_M est un isomorphisme. Enfin, la commutativité du diagramme est claire, car les deux composées sontφ7→ψ◦φ◦d. Le lemme est démontré.

13.2. Lemme de Yoneda. —

Proposition 13.3 (Lemme de Yoneda). — Soient C une catégorie et X, Y deux objets de C. Supposons qu’il existe un isomorphisme de foncteurs

θ: Hom_C(Y,−)→^∼ Hom_C(X,−), c.-à-d., qu’on ait pour tout M ∈ C une bijection

θ_M : Hom_C(Y, M)→^∼ Hom_C(X, M)

de sorte que pour tout morphismef :N →M dans C, le diagramme ci-dessous soit commutatif :

Hom_C(Y, N) −−−−→^∼

θN

Hom_C(X, N)

f

 y

 y^f Hom_C(Y, M) −−−−→^θM

∼ Hom_C(X, M),

(c.-à-d., θ_M(f ◦g) =f◦θ_N(g) pour tout g:Y →N). Alors, X∼=Y.

Démonstration. — Posons φ = θ_Y(id_Y); c’est un morphisme X → Y, et il induit un morphisme de foncteurs

φ^∗ : Hom_C(Y,−)→Hom_C(X,−), f 7→f ◦φ.

L’astuce est de voir que φ^∗ = θ. En effet, soient M un objet de C et f ∈ Hom_C(Y, M). On a le diagramme commutatif :

Hom_C(Y, Y) −−−−→^θY

∼ Hom_C(X, Y)

f

 y

 y^f Hom_C(Y, M) −−−−→^∼

θM

Hom_C(X, M), qui donne

θ_M(f) =θ_M(f◦id_Y) =f ◦θ_Y(id_Y) =f ◦φ.

Comme θ_X : Hom_C(Y, X) → Hom_C(X, X) est bijective, soit ψ = θ⁻¹_X (id_X); c’est l’unique morphismeψ:Y →X tel que ψ◦φ=id_X. Alors,

θ_Y(φ◦ψ) =φ◦ψ◦φ=φ=θ_Y(id_Y),

et la bijectivité deθ_Y entraîneφ◦ψ=id_Y. Doncφetψsont des isomorphismes réciproques ; la proposition est démontrée.

13.3. Retour aux différentielles. —

Proposition 13.4. — Si A=k[X₁, . . . , X_n]est une algèbre de polynômes, alors Ω_A/k est un A-module libre de base (dX₁, . . . ,dX_n) :

Ω_A/k =AdX₁⊕ · · · ⊕AdX_n

Démonstration. — D’après le lemme 13.2, iii), Ω_A/k est engendré comme A- module par dX₁, . . . ,dX_n, donc on a un morphisme surjectif deA-modules

π:Aⁿ→Ω_A/k, e_i 7→dX_i,

où (e₁, . . . , e_n) est la base canonique de Aⁿ. Pour montrer que π est un iso- morphisme il suffit, d’après le lemme de Yoneda, de montrer que pour tout A-module M le morphisme induit :

(∗) Der_k(A, M) = Hom_A(Ω_A/k, M) −→^π∗ Hom_A(Aⁿ, M)∼=Mⁿ D 7→ (D(X₁), . . . , D(X_n))

est un isomorphisme. Puisque les monômesX^ν (ν ∈Nⁿ) forment unek-base de A=k[X₁, . . . , X_n], on peut définir pour toutn-uplet(m₁, . . . , m_n)d’éléments de M, une (unique) application k-linéaireD:A→M, par

D(X^ν) = Xr

i=1

X^ν−εim_i,

et ceci est un élément deDer_k(A, M). Il en résulte que(∗)est un isomorphisme, et la proposition est démontrée.

Exemples 13.5. — Soientkun corps etK=k[x]une extension monogène. On va voir plus bas que si x est algébrique séparable sur k, alors Ω_K/k = {0}.

Tandis que si xest transcendant ou si car(k) =p >0et K=k[X]/(X^p−a), où a6∈k^p, alorsΩ_K/k=Kdx.

Lemme 13.6. — Soient A un anneau et M →^u N →^v P des morphismes de A-modules, tels que v◦u= 0. Si, pour tout A-module T, la suite

Hom_A(P, T)−→^v∗ Hom_A(N, T)−→^u∗ P est exacte, alors Ker(v) = Im(u).

Démonstration. — On aKer(u^∗_T) = {ψ :N → T |ψ(Im(u)) = 0}, et Im(v^∗_T) s’identifie à

{ψ:N →T |ψ(Ker(v)) = 0}.

Supposons Im(v^∗_T) = Ker(u^∗_T) pour tout T. Appliquant ceci àT =N/Im(u), on obtient que π : N → N/Im(u) est nul sur Ker(v), d’où Ker(v) = Im(u).

Ceci prouve le lemme.

Proposition 13.7 (Fonctorialité). — Soit ϕ : A → B un morphisme de k- algèbres.

a) φ induit un morphisme de B-modules ϕ_∗ : B ⊗_A Ω_A → Ω_B, tel que ϕ_∗(1⊗d_Aa) =d_Bϕ(a), pour touta∈A, et l’on une suite exacte

(1) B⊗_AΩ_A/k −→^φ∗ Ω_B/k−→Ω_B/A →0.

b) Si ϕ est surjectif, ϕ_∗ l’est aussi et, posant m = Kerϕ, on a une suite exacte

(2) m/m²→B⊗_AΩ_A/k →Ω_B/k →0.

c) Si S est une partie multiplicative de A, le morphisme S⁻¹A⊗_AΩ_A/k → Ω_S−1A/k est bijectif.

Démonstration. — a) d_B ◦ϕ est une dérivation A → Ω_B/k et donc induit, d’après la propriété universelle, un (unique) A-morphisme ϕ⁰ : Ω_A/k → Ω_B/k tel que ϕ⁰◦d_A=d_B◦ϕ, c.-à-d.ϕ⁰(d_Aa) =d_Bφ(a), pour touta∈A. On étend ϕ⁰ parB-linéarité àB⊗_AΩ_A/k pour obtenir dϕ.

D’après le lemme 13.6, pour montrer que(1)est exacte, il suffit de montrer que pour toutB-module M, la suite

0→Der_A(B, M)→Der_k(B, M)−→^ϕ∗ Der_k(A, M),

obtenue en appliquant le foncteurHom_B(−, M), est exacte. Il est clair que la se- conde flèche est une inclusion, et le noyau deϕ^∗ est formé desk-dérivationsD: B →M qui sont nulles surA, c.-à-d.,A-linéaires, d’oùKerϕ^∗ = Der_A(B, M).

Ceci prouve a).

b) Supposons ϕ surjectif, de noyau m, de sorte que B ∼= A/m. Alors, ϕ_∗ est surjectif, puisque Ω_B/k est engendré comme B-module par les d_Bϕ(a) = ϕ_∗(d_Aa), poura∈A.

D’autre part, pour toutB-module T et tout D∈Der_k(A, T), la restriction D⁰ =D|_mest A-linéaire, puisque

D⁰(ax) =aD⁰(x) +xD(a) =aD⁰(x), ∀x∈m, a∈A.

En particulier, considérons la dérivation

D₀ :A→B⊗_AΩ_A/k, a7→1⊗d_Aa.

et soit D₀⁰ sa restriction à m. Elle est A-linéaire et nulle sur m², donc induit une application B-linéaire δ:m/m² →B⊗_AΩ_A/k telle que

δ(x+m²) = 1⊗d_Ax, et l’on aϕ_∗◦δ= 0, d’où un complexe de B-modules

(2) m/m²→B⊗_AΩ_A/k →Ω_B/k

Pour montrer qu’il est exact, il suffit de montrer que pour toutB-moduleT, la suite obtenue en appliquant Hom_B(−, T) est exacte. Or, pour toutB-module T, on a

Hom_B(m/m², T) = Hom_A(m, T)

et alors, via l’identification Der_k(A, T) = Hom_B(B⊗_AΩ_A/k, T) dans laquelle toute dérivationDcorrespond à unB-morphismeφtel queD(x) =φ(1⊗d_Ax) pour tout x∈A, on obtient que le diagramme ci-dessous est commutatif (2⁰)

Hom_B(Ω_B/k, T) → Hom_B(B⊗_AΩ_A/k, T) −→^δ∗ Hom_B(m/m², T)

k k k

Der_k(B, T) → Der_k(A, T) −→^res Hom_A(m, T).

(On a vu plus haut que la restriction à m d’une k-dérivation A → T est A- linéaire). OrDer_k(B, T) s’identifie au sous-k-module desk-dérivationsA→T nulles sur m, c.-à-d., au noyau de res. Ceci montre que (2⁰), et donc (2), est exact. Le point b) est démontré.

c) Notons K et C le noyau et le conoyau de Ω_A/k ⊗_AS⁻¹A → Ω_S⁻¹_A/k. Pour montrer queK = 0 =C, il suffit de montrer que pour toutS⁻¹A-module N, l’application Hom_S⁻¹_A(Ω_S⁻¹_A/k, N) → Hom_S⁻¹_A(Ω_A/k ⊗_AS⁻¹A, N) est bijective. D’après la propriété universelle, ceci revient à voir que l’application naturelle θ : Der_k(S⁻¹A, N) → Der_k(A, N) est bijective. Or, si D est une dérivation S⁻¹A→ N, alors, pour a∈A,s∈S, on a D(as⁻¹) = D(a)s⁻¹− aD(s)s⁻².

Ceci montre queθest injective. Réciproquement, pour toutD∈Der_k(A, N), on vérifie que la formule ci-dessus définit une dérivationS⁻¹A → N qui pro- longe D. Doncθest surjective.

Corollaire 13.8. — Si A=k[X₁, . . . , X_n] etB =A/(f₁, . . . , f_r), alors Ω_B/k∼= (BdX₁⊕ · · · ⊕BdX_n)±X^r

i=1

Bdf_i.

Démonstration. — Posonsm= (f₁, . . . , f_r). D’après le point b) de la proposi- tion précédente, on a une suite exacte

m−−→^1⊗d B⊗_A Mn

i=1

AdX_i →Ω_B/k →0

et l’image de 1⊗d est le sous-B-module engendré par les éléments 1⊗df_j, pourj = 1, . . . , r. Ceci prouve le corollaire.

Lemme 13.9. — Soit B un anneau. Un morphisme de B-modules u:M →N admet un inverse à gauche (on dit aussi : une rétraction) v:N → M tel que

v◦u=id_M si et seulement si pour tout B-module T, l’application u^∗_T : Hom_B(N, T)→Hom_B(M, T), f 7→f◦u, est surjective.

Démonstration. — Si vu = id_M alors pour tout B-morphisme f : M → T on a f = f vu = u^∗_T(f v), donc u^∗_T est surjective. Réciproquement, si u^∗_M est surjective, il existe v∈Hom_B(N, M)tel que id_M =u^∗_M(v) =v◦u.

On peut maintenant généraliser la proposition 13.4 et le corollaire 13.8 comme suit. Soient A une k-algèbre et B = A[X₁, . . . , X_n]. On s’intéresse à Ω_B/k. Notantτ l’inclusionA ,→B, on a la suite exacte

(†) B⊗_AΩ_A/k −→^τ∗ Ω_B/k ³Ω_B/A=BdX₁⊕ · · · ⊕BdX_n.

Comme τ_∗(1⊗d_Aa) = d_Ba, pour tout a ∈ A, le diagramme ci-dessous est commutatif, pour toutB-module T :

Hom_B(Ω_B/k, T) −−−−→^(τ∗)∗ Hom_A(Ω_A/k, T)

∼=

 y

 y^∼=

Der_k(B, T) −−−−→^res Der_k(A, T) .

Or, on peut prolonger toute k-dérivation D : A → T en une k-dérivation De :B→T définie par

D(e X

ν∈Nⁿ

a_νX^ν) =X

ν

X^νD(a_ν).

(On vérifie facilement que c’est une dérivation.) Par conséquent, l’application res est surjective, et donc τ_∗ possède un inverse à gauche, d’après le lemme précédent. On a donc un isomorphisme deB-modules

(1) Ω_B/k ∼= (B⊗_AΩ_A/k)⊕BdX₁⊕ · · · ⊕BdX_n. De plus, via cet isomorphisme, d_B/k s’identifie à

(2) d]_A/k+d_B/A=]d_A/k+ Xn

i=1

∂

∂X_i, c.-à-d., pour toutP =P

νa_νX^ν dansB,

(3) d_B/k(P) =X

ν

d_A/k(a_ν)X^ν + Xn i=1

∂P

∂X_idX_i.

Soient maintenant mun idéal deB etC =B/m. D’après la proposition 13.7, on a une suite exacte de C-modules :

m/m² −→^δ C⊗_BΩ_B/k→Ω_C/k→0,

où δ(P +m²) = 1⊗d_B/kP pour toutP ∈m. Par conséquent, on a obtenu la proposition suivante.

Proposition 13.10. — Soient A une k-algèbre, B = A[X₁, . . . , X_n], m un idéal de B, et C = B/m. Soit (P_j)_j∈J une famille d’éléments de B dont les images engendrent m/m² comme C-module. Alors, on a un isomorphisme de C-modules :

Ω_C/k∼= C⊗_AΩ_A/k⊕CdX₁⊕ · · · ⊕CdX_n L

j∈JCδ(P_j)

13.4. Application géométrique : différentielles et espaces cotangents.

— Dans ce paragraphe, k désigne un corps algébriquement clos. Soit X une variété algébrique affine sur k. On note Ω_X/k = Ω_k[X]/k. Soitx ∈ X, soit m_x l’idéal maximal correspondant dek[X]et soit k_x=k[X]/m_x.

Proposition 13.11. — a) On a Ω_X ⊗_k[X]k_x ∼=m_x/m²_x, et pour tout f ∈ k[X], l’image de df ∈Ω_X dans m_x/m²_x = T_x^∗X coïncide avec l’image de f −f(x), c.-à-d., d’après le lemme 5.10, avec la différentielled_xf ∈T_x^∗X.

b) Soitu:X→Y un morphisme de variétés affines et soit φ:k[Y]→k[X]

son comorphisme. Considérons le morphisme de k[X]-modules : φ_∗: Ω_{Y /k}⊗_k[Y]k[X]→Ω_X/k.

Alors le diagramme ci-dessous est commutatif

Ω_Y ⊗_k[Y]k_x −−−−→^φ∗⊗1 Ω_X ⊗_k[X]k_x

∼=



y ^∼=

 y

m_u(x)/m²_u(x) −−−−→^t(dxu) m_x/m²_x .

Démonstration. — a) Posons k[X] =A. Alors A =m_x⊕k1, et la projection A → m_x est donnée par f 7→ f −f(x). Composant ceci avec l’application m_x→Ω_A/k⊗k_x de 13.7, et tenant compte du fait queΩ_kx/k ={0}, on obtient une application k-linéaire surjective

m_x/m²_x ³^δ Ω_A/k ⊗k_x,

telle queδ(f −f(x)) =df⊗1pour toutf ∈A. Réciproquement, l’application π :A→m_x/m²_x, f 7→f −f(x)

est unek-dérivation de Adans le k_x-module m_x/m²_x, puisque f g−f g(x)) =f π(g) +g(x)π(f) =f π(g) +gπ(f).

Il lui correspond donc un élément τ de

Hom_A(Ω_A/k,m_x/m²_x) = Hom_kx(Ω_A/k⊗_Ak_x,m_x/m²_x)

tel que τ(df) = f−f(x). Par conséquent, τ et δ sont des isomorphismes réciproques, et l’on a bien dansm_x/m²_x =T_x^∗X l’égalité

τ(df) =f−f(x) =d_xf.

Ceci prouve a).

L’assertion b) en résulte. En effet, posonsy=u(x)et soitf ∈k[Y]. L’image de df⊗1dansm_y/m²_yestf −f(u(x))et, par définition,^t(d_xu)est l’application induite par le comorphisme φ:g 7→ g◦u. Par conséquent, l’image de df ⊗1 par la composée du bas est

f◦u−f ◦u(x) qui est l’image dansm_x/m²_x de

d(f ◦u)⊗1 =φ_∗(df ⊗1).

Comme Ω_{Y /k}⊗_k[Y]k_x est engendré par les df ⊗1, pourf ∈k[Y], ceci prouve la commutativité du diagramme. La proposition est démontrée.

Définition 13.12. — On notera u^∗ le morphismeφ_∗: Ω_{Y /k}⊗_k[Y]k[X]→Ω_X/k. La proposition précédente montre que u^∗ est un analogue global des applica- tions linéaires^t(d_xu), pourx∈X.

Dans le cas oùX etY sont irréductibles etudominant, on va étudieru^∗ au niveau des corps de fractions k(Y) etk(X).

13.5. Extensions séparables de corps I. — Suivant l’usage, on noteL/K une extension de corps K ⊆ L. Son degré est [L : K] := dim_KL, c’est un élément de N∪ {∞}.

Définition 13.13. — SoitP ∈K[X]un polynômeirréductible(donc de degré

≥ 1). On dit que P est séparable s’il est sans facteur commun avec son polynôme dérivéP⁰, ce qui est le cas si et seulement siP⁰ 6= 0. Par conséquent, P est non séparable si et seulement sicar(K) =p >0etP ∈K[X^p].

Définition et proposition 13.14. — Soit L/K une extension algébrique.

1) Un élément x ∈ L est dit séparable sur K si son polynôme minimal M_K(x) est séparable.

2) On dit que L estséparable sur K si tous ses éléments le sont.

3)(Transitivité) SiL=K(x₁, . . . , x_n) et si chaque x_i est séparable surK, alors L/K est séparable. De plus, si L/L⁰ et L⁰/K sont séparables, alorsL/K l’est aussi.

Démonstration. — Le point 3) résulte de la théorie de Galois, voir par exemple [Po, Chap.6], Cor. 26.1.9 ou 25.3.4.

Remarque 13.15. — On s’intéresse aux extensions séparables pour une raison géométrique qui apparaîtra dans le paragraphe suivant.

Définition 13.16. — Une extension de corpsL/K est diteséparablement en- gendrée s’il existe une base de transcendanceB deLsurK telle que l’exten- sion (algébrique) L/K(B) soit séparable. Dans ce cas, on dit que B est une base de transcendance séparante.

En particulier, une extension transcendante pure ou bien algébrique sépa- rable est séparablement engendrée.

Remarque 13.17. — Soit T une indéterminée. L’extension K ⊂ K(T) est sé- parablement engendrée. Mais, si car(K) = p > 0, alors T^p est une base de transcendance de K(T) surK qui est non séparante.

Proposition 13.18. — SoitL/K une extension de type fini. Alorsdim_LΩ_L/K ≥ deg.tr_KL. De plus, on a l’égalité si L/K est séparablement engendrée.

Afin de démontrer ceci en se ramenant au cas où l’extension L/K est mo- nogène (c.-à-d., L = K(x) pour un x ∈ L), il est commode de démontrer la proposition un peu plus générale suivante.

Proposition 13.19. — Soient k ⊆ K ⊆ L des corps, avec L/K de type fini.

Alors

(∗) dim_LΩ_L/k≥dim_KΩ_K/k+ deg.tr_KL.

De plus, on a l’égalité si L/K est séparablement engendrée.

Démonstration. — Remarquons d’abord qu’il suffit de démontrer l’inégalité dans le cas où L/K est monogène. En effet, supposons la proposition établie dans ce cas, et écrivonsL=K(x₁, . . . , x_m). PosantK₀=K etK_i=K_i−1(x_i) pouri= 1, . . . , m, on obtient alors, pour touti=m, . . . ,1 :

dim_KiΩ_Ki/k≥dim_Ki−1Ω_Ki−1/k+ deg.tr_Ki−1K_i. Sommant ces égalités, et utilisant le fait queP_m

i=1deg.tr_Ki−1K_i = deg.tr_KL, on obtient que

dim_LΩ_L/k≥dim_KΩ_K/k+ deg.tr_KL.

Montrons maintenant la proposition lorsque L = K(x). Si x est transcen- dant, on a, d’après 13.7 c) et 13.10,

Ω_L/k =L⊗_K[x]Ω_K[x]/k ∼=L⊗_KΩ_K/k⊕Ldx, d’où

(1) dim_LΩ_L/k= dim_KΩ_K/k+ 1 = dim_KΩ_K/k+ deg.tr_KL, c.-à-d., on a l’égalité dans(∗)dans ce cas.

Six est algébrique surK soit P désigne son polynôme minimal. AlorsL= K[x]∼=K[X]/(P) d’où, d’après 13.10, un isomorphisme

Ω_L/k∼= (L⊗_KΩ_K/k)⊕LdX Lδ(P) .

On a doncdim_LΩ_L/k≥dim_KΩ_K/k, avec l’égalité si et seulement si δ(P)6= 0.

Ceci prouve déjà l’inégalité (∗).

De plus, siP =X^d+a₁X^d−1+· · ·+a_d, avec a_i∈K, δ(P) =

Xd i=1

x^d−id_K/k(a_i) + ( Xd i=1

ia_ixⁱ⁻¹)dX= (d]_K/kP)(x) +P⁰(x)dX.

Comme (d]_K/kP)(x)∈L⊗_KΩ_K/k, on a

(†) δ(P) = 0⇔P⁰ = 0et d_K/k(a_i) = 0, ∀i= 1, . . . , d.

En particulier, si P est séparable, alors P⁰(x) 6= 0 et donc δ(P) 6= 0, d’où l’égalité dans (∗) dans ce cas.

Supposons maintenant L/K séparablement engendrée et soit B = (X₁, . . . , X_r) une base de transcendance de L sur K. Posons K⁰ = K(B). Par application répétées de (1), on obtient que

(2) dim_K⁰Ω_K⁰_/k= dim_KΩ_K/k+r= dim_KΩ_K/k+ deg.tr_KK⁰.

D’autre part, comme l’extension L/K⁰ est algébrique séparable et de type fini, alors, d’après le théorème de l’élément primitif (voir, par exemple, [Po, Chap.6], 26.7.3 ou 25.4.2), il existeξ ∈L, algébrique séparable surK⁰, tel que L=K⁰[ξ]. Donc, d’après la discussion précédente, l’on a

dim_LΩ_L/K⁰ = dim_K⁰Ω_K⁰_/k.

Combiné avec(2), ceci donnedim_LΩ_L/k= dim_KΩ_K/k+ deg.tr_KL, c.-à-d., on a l’égalité dans(∗). La proposition est démontrée.

Proposition 13.20. — Réciproquement, soitL/K une extension de type fini telle que dim_LΩ_L/k= deg.tr_KL. Alors L/K est séparablement engendrée.

Démonstration. — Traitons d’abord le cas oùL/K est algébrique, auquel cas l’hypothèse entraîne Ω_L/K ={0}. Soit x∈L et soit P son polynôme minimal surK. Il résulte de l’inégalité(∗)dans la proposition précédente queΩ_K[x]/K = 0, d’oùδ(P)6= 0. Mais, iciδ(P) =P⁰(x), puisque d_K/K = 0. DoncP⁰(x)6= 0et x est séparable. Ceci prouve la proposition dans le cas oùL/K est algébrique.

Supposons maintenant dim_LΩ_L/k = deg.tr_KL = r > 0 et soient x₁, . . . , x_r ∈ L tels que B = (dx₁, . . . ,dx_r) soit une base de Ω_L/k. Posons K⁰ = K(B). Alors, dans la suite exacte

L⊗_K⁰ Ω_K⁰_/k →Ω_L/K→Ω_L/K⁰ →0,

la première flèche est surjective, puisque son image contient la baseB deΩ_L/K. Par conséquent, Ω_L/K⁰ = 0. DoncL/K⁰ est algébrique, d’après l’inégalité(∗), et séparable, d’après le cas traité plus haut. Donc L⁰ est algébrique séparable sur K⁰ = K(x₁, . . . , x_r). Comme r = deg.tr_KL, les x_i sont nécessairement algébriquement indépendants, et donc B B est une base de transcendance séparante de L/K, etL/K est séparablement engendrée.

Définition 13.21. — On dit qu’un corps k est parfait si car(k) = 0 ou bien si car(k) = p > 0 et si le morphisme de corps k → k, x 7→ x^p est surjectif (et donc bijectif). En particulier, tout corps algbériquement clos (et aussi tout corps fini) est parfait.

Proposition 13.22. — Soit k un corps parfait. Toute extension K/k de type fini est séparablement engendrée. Plus précisément, si K = k(x₁, . . . , x_n) et deg.tr_kK =r, il existe une permutationσ ∈S_n telle que(x_σ(1), . . . , x_σ(r)) soit une base de transcendance séparante.

Démonstration. — Si car(k) = 0, toute base de transcendance est séparante, donc on suppose car(k) =p >0. On procède par récurrence surn. Sir= 0 ou r=n, il n’y a rien à montrer. On peut donc supposer que1≤r < n et, quitte à renuméroter les x_i, que (x₁, . . . , x_r) est une base de transcendance. Alors x₁, . . . , x_r, x_r+1 sont algébriquement indépendants, donc il existe un polynôme P ∈k[X₁, . . . , X_r+1]tel queP(x₁, . . . , x_r+1) = 0, et de degré total minimum.

Alors,P est irréductible, disons de degréd≥1. De plus,P 6∈k[X₁^p, . . . , X_r+1^p ] car sinon, commekest parfait, on pourrait former le polynômeP^1/p, de degré d/p, qui s’annulerait aussi en (x₁, . . . , x_r+1), contredisant la minimalité de d.

Il existe donc au moins un indice i ∈ {1, . . . , r+ 1} tel que P ne soit pas un polynôme en x^p_i.

Alors,x_i est algébrique sur B ={x₁, . . . , x_r+1} \ {x_i}, et il en résulte queB est une base de transcendance de L/k. Par conséquent,

k[B][X]∼=k[X₁, . . . , X_r+1]

et donc le polynômeP(x₁, . . . ,xb_i, . . . , x_r+1)[X]est irréductible, et n’appartient pas àk(B)[X^p]. Il en résulte quex_i est algébriqueséparablesurk(B), et donc a fortiori surK⁰ =k(x₁, . . . ,xb_i, . . . , x_n). Par hypothèse de récurrence, il existe un sous-ensemble {i₁ <· · ·< i_r} de{1, . . . , n} \ {i} tel queK⁰ est algébrique séparable surK₀=k(x_i1, . . . , x_ir). Commex_i est algébrique séparable surK⁰, il l’est aussi surK₀, par transitivité. Il en résulte que(x_i1, . . . , x_ir)est une base de transcendance séparante deL/K. La proposition est démontrée.

Remarque 13.23. — La démonstration ci-dessus est tirée de la preuve de [Jac, Thm. 8.37]. Pour une autre démonstration, qui utilise la proposition 13.20, voir [Sp, Prop. 4.2.10].

Corollaire 13.24. — Soit k un corps parfait. Pour toute extension de type fini L/k, on a

dim_LΩ_L/k= dim_kDer_k(L, L) = deg.tr_kL.

Démonstration. — Ceci résulte de la proposition précédente et de 13.18.

13.6. Localisation de modules et de morphismes. — Dans ce para- graphe, k est un corps algébriquement clos etX une variété algébrique surk, affine et irréductible. On pose A= k[X] etK =k(X). SoitM un A-module non nul de type fini. Pour x ∈ X ou f ∈ A, on note M_x = M ⊗_AA_mx et M_f =M⊗_AA_f. Soient M_K =M⊗_AK etr= dim_KM_K.

Proposition 13.25. — a) Il existe f ∈ A\ {0} tel que M_f soit un A_f-module libre de rang r.

b) Pour tout x∈ X, on a dim_kM_x/m_xM_x ≥r. L’égalité a lieu ssi M_x est libre, et l’ensemble des tels x est un ouvert non-vide de X.

Démonstration. — Soit{m₁, . . . , m_n}un système de générateurs deM. Trai- tons d’abord le cas où r = 0, c.-à-d., M_K = {0}. Dans ce cas, il existe f ∈ A \ {0} tel que f m_i = 0 pour i = 1, . . . , n, et l’on a M_f = {0} et M_x={0} pour toutx∈D(f). Ceci prouve que

U ={x∈X|M_x = (0)}

contient l’ouvert non-vide D(f). Réciproquement, si x ∈ U alors pour i = 1, . . . , n il existe g_i ∈ A\m_x tel que g_im_i = 0; posons g = g₁· · ·g_n. Alors x∈D(g)⊆U. Ceci prouve que U est un ouvert dense.

Supposons maintenant que r ≥ 1. Quitte à renuméroter les m_i, on peut supposer que lesm_i⊗1, pouri≤r, forment une base deM_K. Alors,m₁, . . . , m_r sont linéairement indépendants sur A donc forment une A-base du sous-A- moduleN qu’ils engendrent. Le module quotientM/N vérifie(M/N)_K ={0}

donc d’après le premier cas, il existe f ∈ A\ {0} tel que M_f = N_f soit librement engendré comme A_f-module par m₁, . . . , m_r. Alors, pour tout x ∈ D(f),M_x = (M_f)_x est libre de rangr surA_mx, et donc l’ensembleU ={x∈ X|dim_kM_x/m_xM_x=r} est non-vide.

D’autre part, soient x ∈ X et s := dim_kM_x/m_xM_x. Soient e₁, . . . , e_s des éléments deM dont les images engendrentM_x/m_xM_x. Il résulte du lemme de Nakayama que e₁, . . . , e_s engendrent M_x sur A_mx et donc M_K sur K. Donc s≥r.

Enfin, si s=r, alorse₁, . . . , e_r sont linéairement indépendants surK, donc forment une base deM_x. Il existe donc desβ_ij ∈A_mx tels quem_j =P_r

i=1β_ije_i, pourj= 1, . . . , n. Soitg∈A\m_xun dénominateur commun desβ_ij. Alorsx∈ D(g)et lesβ_ij sont dansA_gdoncM_gest librement engendré pare₁, . . . , e_r, d’où

x ∈D(g) ⊆U. Ceci montre que U est ouvert. La proposition est démontrée.

Considérons maintenant un A-morphisme φ : M → N entre A-modules de type fini. Soient m = dim_KM_K, n = dim_KN_K et r = rang(φ_K). Pour tout x ∈ X, on pose M_x = M_x/m_xM_x et N_x = N_x/m_xN_x et on note φ_x l’application induiteM_x→N_x.

Proposition 13.26. — (i) Si φ_K est injective, l’ensemble U des x∈X tels que M_x etN_x soient libres et φ_x injective est un ouvert non-vide.

(ii)S’il existextel queN_x soit libre etφ_x injective, alorsM_x est libre etφ_K injective.

Démonstration. — Soient P = Kerφ etC = Cokerφ. Comme la localisation est un foncteur exact, on a dim_KC_K = n−r, et pour tout x ∈ X on a une suite exacte :

(∗) 0→P_x →M_x −→^φx N_x→C_x→0.

(i) Si φ_K est injective, alors dim_KC_K = n−m. D’après la proposition précédente, l’ensemble U⁰ des xtels que M_x etN_x soient libres (de rangm et nrespectivement) est un ouvert non-vide. Soitx∈U⁰. SiC_x est libre, alors la suite exacte(∗) est scindée, d’oùP_x = 0 etφ_x injective.

D’autre part, commeC_x/m_xC_x = Cokerφ_x (⊗est exact à droite), siφ_x est injective alorsdim_k(C_x/m_xC_x) =n−met donc C_x est libre. Ceci montre que U ={x∈U⁰ |C_x libre}; c’est un ouvert non-vide deX.

(ii) Supposons qu’il existex∈X tel queN_x soit libre etφ_x injective. Alors, on a une suite exacte0→M_x →N_x→C_x→0.

On a doncn= dim_kN_x = dim_kM_x+dim_kC_x≥m+(n−r), et on en déduit queM_x etC_x sont libres et quer =m, et donc queφ_K est injective.

Remarque 13.27. — On laisse au lecteur le soin de reformuler la proposition en termes de conditions équivalentes. Siφ vérifie ces conditions, on dit queφ estgénériquement injectif.

13.7. L’ouvert des points lisses. —

Définition 13.28. — 1) SoientA⊂Bdeux anneaux. On rappelle qu’un élément x∈B est dit entier surA s’il existe un polynôme unitaireP ∈A[X]tel que P(x) = 0.

2) Soient A un anneau intègre et K son corps des fractions. On dit que A estintégralement clos si tout x∈K qui est entier sur Aappartient à A.

Proposition 13.29. — Soit X une variété algébrique sur k. Pour tout x, on a dim_kT_xX ≥dim_xX. Si l’égalité a lieu, alorsO_X,x est intègre et intégralement clos.

Démonstration. — Voir, par exemple, [Ma1, §17]. L’idée est que l’algèbre gra- duée A:= L

n≥0mⁿ_x/mⁿ⁺¹_x est engendrée par m_x/m²_x et de dimension égale à dim_xX. Lorsque dimm_x/m²_x = dim_xX, A est une algèbre de polynômes et ceci entraîne que O_X,x est intègre et intégralement clos.

Lemme 13.30. — Soient X une variété algébrique, etx∈X. Les composantes irréductibles de X contenant x sont en bijection avec les idéaux premiers mi- nimaux de O_X,x. En particulier, si O_X,x est intègre, alors x appartient à une unique composante irréductible de X.

Démonstration. — SoitU un ouvert affine de X contenantx et soitml’idéal maximal de k[U] correspondant à x. D’une façon générale, les composantes irréductiblesU_ideU correspondent aux idéaux premiers minimauxp_idek[U], et commeO_X,x =k[U]_m, les idéaux premiers miminaux deO_X,xsont lesp_iO_X,x tels quep_i ⊆m, c.-à-d.,x∈U_i.

SoientX₁, . . . , X_n les composantes irréductibles deX qui contiennentx. Si Y est une composante irréductible deU contenantx, alorsY est contenu dans une composante irréductible deX qui contientx, donc dans l’un desU ∩X_i. Réciproquement, chaque U ∩X_i est un ouvert non vide deX_i (il contient x), donc est irréductible, et dense dans X_i. De plus, pour i 6= j on ne peut avoirU ∩X_i ⊆X_j, car sinon X_j contiendrait X_i.

Ceci montre que les composantes irréductibles deU contenantxsont exac- tement lesX_i∩U. Le lemme est démontré.

Définition 13.31. — 1) On dit quex∈Xest un pointlissedeXsidim_kT_xX= dim_xX. Sinon, sidim_kT_xX >dim_xX, on dit quexest un point singulier. On dit que X est lisse si tous ses points le sont ; sinonX est dite singulière.

2) On dit quex∈Xest un pointnormalsi l’anneau localO_X,x estintègre et intégralement clos, etX estnormalesi toutx∈X est normal. D’après la proposition 13.29, tout point lisse est normal, et doncX est normale si elle est lisse.

3) Sixest un point normal, il résulte du lemme précédent quexest contenu dans une unique composante irréductible de X. Donc, si X est normale, ses composantes irréductibles sont deux à deux disjointes, donc sont les compo- santes connexes deX. Par conséquent, les composantes connexes d’une variété normale sontirréductibles.

Théorème 13.32. — Soit X une variété algébrique. L’ensemble Rég(X) des points lisses est un ouvert dense.

Démonstration. — D’après la proposition 13.29, Rég(X)est contenu dans l’ou- vert de X formé des points qui n’appartiennent qu’à une seule composante irréductible de X. Il suffit donc de montrer que si X est irréductible alors Rég(X) est un ouvert non-vide. En recouvrant X par des ouverts affines, on se ramène au cas où X est irréductible et affine.

Posons alorsA=k[X],K =k(X)etM = Ω_X. On sait, d’après 13.7 c), que K⊗_AM = Ω_K/k, et d’après 13.24,

dim_K(K⊗_AM) = dim_KΩ_K/k = deg.tr_kK = dimX.

Dautre part, d’après la proposition 13.11, on a

Rég(X) ={x∈X|dim_k(M_x/m_xM_x) = dimX}.

La proposition 13.25 entraîne alors que Rég(X) est un ouvert dense de X. Le théorème est démontré.

13.8. Morphismes séparables et morphismes birationnels. —

Définition 13.33. — Soitφ:X →Y un morphisme de variétés. On rappelle que φest ditdominant siφ(X)est dnes dansY. Comme, d’après le théorème de constructibilité de Chevalley,f(X)contient un ouvert dense de son adhérence, ceci équivaut à dire que f(X) contient un ouvert dense V ⊆Y. Dans ce cas, pour tout ouvert affine U ⊆ V, le comorphisme φ^∗ :O_Y(U) → O_X(φ⁻¹(U)) est injectif.

Par conséquent, si X et Y sont de plus supposées irréductibles, alors φ^∗ induit un morphisme de corpsk(Y),→k(X).

Définition 13.34. — Soit f :X → Y un morphisme de variétés irréductibles.

On dit que f est séparable s’il est dominant et si l’extension k(Y) ⊆ k(X) est séparablement engendré (cf.13.16).

On dit que φ est birationnel s’il est dominant et si φ^∗ induit un isomor- phismek(Y)→^∼ k(X).

Proposition 13.35. — φ est birationnel si, et seulement si, il existe un ouvert non-videW de Y tel que φinduise un isomorphisme de φ⁻¹(W) sur W. Démonstration. — La condition est clairement suffisante. Réciproquement, supposons φbirationnel ; en particulier,φ est dominant. Soit V un ouvert af- fine deY contenu dansφ(X), et soitU un ouvert affine non vide contenu dans φ⁻¹(V). Alors φ(U) est dense dans V et donc φ^∗ : k[V] → k[U] est injectif.

Comme k[U]est unek-algèbre de type fini, il existe f₁, . . . , f_n∈k[U]tels que k[U] =k[V][f₁, . . . , f_n]. Or, d’après l’hypothèse, on aFrac(k[V]) = Frac(k[U]).

Par conséquent, il existe g ∈ k[V] tel que gf_i ∈ k[V] pour tout i. Alors, k[V]_g =k[U]_g et, par conséquent, φ induit un isomorphisme entre les ouverts affines D(φ^∗(g))⊆U etD(g)⊆V.