Q n est un graphe déni omme suit.

(1)

Janvier2015

Consignes :Ilest attenduquelesréponsesfourniessoientlairementjustiées. La

larté, la rédation et la justiation des réponses fournies interviennent dans la

otation.

Bon travail!

(1) (5points) Construireungraphesimple,nonorientéet

3

-régulierpossédant unearêtede oupure.Déterminer lenombreminimum desommets qu'un

telgraphepossède(justiervotreréponse).

(2) (5 points) Soit

n ≥ 1

. Le

n

^-ube

Q n

êst ûn ^graphe ^déni ômme ^suit.

Ci-dessous,sontreprésentéstoutd'abordlesgraphes

Q 1

^,

Q 2

^et

Q 3

^:

Pourtout

n ≥ 1

,onobtient

Q n+1

ênônsidérant^deuxôpies^disjointes ^de

Q n

êt ênâjoutant ûneârête^pour^haque ^paire^de^sommets^qui ^seôrres-

pondentdans lesdeuxopiesde

Q n

^.^Voii^unereprésentationde

Q 4

^:

a) Enfontionde

n

^,^ombien^de^sommets^et^d'arêtes^possède

Q n

^?

Quelest ledegrédehaquesommetde

Q n

^?

b) Pourquellesvaleursde

n

^,^le

n

^-ube^est-ilhamiltonien? ) Pourquellesvaleursde

n

^,^le

n

^-ube^est-il^eulérien^?

d) Prouverque,pourtout

n ≥ 1

,

Q n

^est^un^graphe

2

-olorable.

Endéduireque

Q n

^est^biparti.

(3) (6 points)Ononsidèrelamatrie

M =







1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1







a) Représenterlegrapheorienté

D

^ayant

M

^omme^matrie^d'adjaene.

b) Déterminerlesomposantesfortementonnexesdugraphe

D

^.

) Renuméroter les sommets de

D

^de ^telle ^sorte ^que ^la ^matrie ^d'adja-

eneorrespondantesoitblo-triangulaireomposée(supérieureouin-

férieure).

d) Déterminerlesvaleurspropresde

D

^.Êxprimer,ên^fontion^deêlles-i,

lenombredeheminsfermésdelongueur

n

^dans

D

^.

e) Prouverquelamatrie

M

^n'estⁿⁱ ^primitive,ⁿⁱirrédutible.Est-ilpos- sible de remplaerun uniqueélémentde lamatrie

M

^pour^la ^rendre

irrédutible? Si oui, énumérer toutes les possibilités. Même question

pourlarendreprimitive.

−→

(2)

f)BONUS Si

c n

^dénote^le^nombre^de^hemins^de^longueur

n

^joignant^les

deuxsommetsde

D

^réalisant^le^diamètre^de

D

^,^prouver^que

c n

^satisfait,

pourtout

n ≥ 0

^la^relation

c n+4 = 2 c n+3 + c n+2 − 2 c n+1 − c n .

(4) (4points)Ononsidèreungrapheplanaire

G

^ayant^vingt^faestriangulaires et douze faes pentagonales. De haque sommetde

G

^partent ^deux ^faes

triangulairesetdeuxfaespentagonales.Déterminerlenombredesommets

et lenombred'arêtesde

G

^.