Devoir à la maison n˚2

T^aleS septembre 2014

Devoir à la maison n˚2

A rendre le mardi 30 septembre 2014

Exercice 1. — On considère la suite (un) définie sur l’ensemble des entiers naturelsN paru0 = 8et, pour tout entier natureln,u_n+1 = 1

5u_n+ 1 3ⁿ.

1. a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (un) approchées à 10⁻² près :

n 0 1 2 3 4 5 6

un 8

b. On souhaite écrire un algorithme qui affiche la valeur de u_n en sortie pour une valeur den donnée en entrée. On considère l’algorithme suivant :

Entrée : n

Initialisation : uprend la valeur 8 Traitement : Pouriallant de 1 à n

u prend la valeur 1 5u+ 1

3ⁱ Fin Pour

Sortie : Afficheru

Expliquer pourquoi cet algorithme ne convient pas et proposer une modification qui permette d’obtenir l’affichage voulu.

2. a. En s’appuyant sur le tableau de la question 1.a, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite(un).

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,un≥ 15 2 × 1

3ⁿ. c. En déduire une démonstration de la conjecture formulée en question 2.a.

d. La suite (u_n) est-elle bornée ? (Justifier.)

3. On définit la suite (v_n) pour tout n∈Nparv_n=u_n− 15 2×3ⁿ.

a. Démontrer que(v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. En déduire que, pour tout n∈N,un= 1

2×5ⁿ + 15 2×3ⁿ. 4. Pour tout n∈N, on note S_n la somme

Pn

i=0

u_i.

a. En s’inspirant de l’algorithme proposé en question 1.b, écrire un algorithme qui affiche la valeur deS_n en sortie pour une valeur dendonnée en entrée.

b. Exprimer, pour toutn∈N,S_n en fonction den.

c. Démontrer que la suite (S_n) est bornée.

Exercice 2 (facultatif ). — On considère la suite (u_n) définie par u₀ = ¹₂ et, pour tout n ∈ N, un+1 = 1−u²_n. On définit de plus les suites(vn)et (wn), pour toutn∈N, parvn=u2n etwn=u2n+1.

Etudier les variations des suites (un),(vn) et(wn).